LISTA DE EXERCÍCIOS – 3º ANO – MATEMÁTICA
POLINÔMIOS
01. Determinar os reais, a, b, c de modo que F(x) = (a – 2)x 3 +
(b + 2)x + (3 – c) seja um polinômio nulo.
02. Demonstrar que P(x) = (x – 1)2 + (x – 3)2 – 2(x – 2)2 – 2 é
um polinômio nulo.
03. Decompor o trinômio P(x) = – 6x 2 + 36x – 56 em uma
diferença de dois cubos do tipo (x – b)3 – (x – a)3.
04. Determinar o polinômio f do segundo grau tal que f(0) =
1, f(1) = 4 e f( – 1) = 0.
05. Determinar o polinômio f(x) do segundo grau tal que f(1)
= f(– 2) = 9, f( – 1) = 1
06. (UnB) Seja f(x) = ax5 + bx3 + cx + 10 com a, b, c ∈ ℝ.
Calcule f(–2) sabendo que f(2) = 2.
07. Determine o valor de m para que o polinômio M(x) = (m2
– m – 30)x3 – (5 + m)x2 + 2x – 3 tenha grau 1.
08. Efetue as divisões P(x)/D(x) indicando o quociente e o
resto.
a) P(x) = 3x5 – x4 + 2x3 + 4x – 3 e D(x) = x3 – 2x + 1
b) P(x) = x4 – 2x + 13 e D(x) = x2 + x + 1
c) P(x) = 2x5 – 3x + 12 e D(x) = x2 + 1
09. Efetuar a divisão de F(x) = x3 + ax + b por G(x) = 2x 2 + 2x
– 6. Qual é a condição para que a divisão seja exata?
10. Determine o polinômio f(x) de grau 3 tal que f(2) = f(1) =
f(-1) = 0 f(3) = 12
11. (UFG) Considere os polinômios s p(x) = x4 −13x3 + 30x2
+ 4x − 40 e q(x) = x2 − 9x −10. Calcule s(x) = p(x)/q(x)
12. (FMTM) Sendo k um número real e P(x) = – x5 + 2x3 – x2
+ k2 um polinômio divisível pelo polinômio D(x) = x3 + 1,
pode-se concluir que k² é um número
a) natural.
b) inteiro negativo.
c) racional não inteiro.
d) irracional.
e) imaginário puro.
13. (UFRJ) O polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 5x + d, d ∈ IR, é
divisível por (x – 2).
a) Determine d.
b) Calcule as raízes da equação P(x) = 0.
14. (UEPG) Dividindo o polinômio P(x) = x4 + 2x2 + 1 pelo
polinômio D(x) = x2 – 2x + 1, julgue os itens.
(1) O quociente é um trinômio do 2º grau.
(2) O quociente da divisão é x2 – 2x + 5.
(3) O resto da divisão é R(x) = 8x – 4.
(4) O resto da divisão é um monômio.
(5) O polinômio P(x) é divisível pelo polinômio D(x).
15. (FURG) Se o polinômio p(x) = x 4 + 2x3 + ax2 + bx + c é
divisível por q(x) = x2 - x - 2 , então a + b vale
a) –11
d) 1
b) –1
e) 11
c) 0
16. (UFRJ) Determine todas as raízes de x3 + 2x2 – 1 = 0
17. (UnB) Julgue as proposições acerca do seguinte
polinômio P(x) = x4 – 5x3 + 8x2 – 4x.
(1) P(x) é divisível por x2 – x.
(2) O quociente de P(x) por x2 – x tem uma raiz dupla.
(3) P(x) é positivo para todo valor de x que esteja fora do
intervalo [0, 1].
(4) P(x) é divisível por Q(x) = (x – 1) (x – 2).
(5) O resto da divisão de P(x) por (x – 3) é igual a 5.
18. (UnB) Julgue os itens a seguir.
(1) O polinômio x100 – 2x99 + 4x80 – 2x79 – 16x78 + 8x77 é divisível
por x – 2.
(2) O resto da divisão de x40 + 2x20 + x por x – 1 é 4.
(3) Um polinômio p(x) é divisível por x – a se, e somente se,
p(a) = 0.
(4) Os restos das divisões do polinômio P(x) por x, x – 1 e x +
1 são, respectivamente, 2, – 1 e – 1. Então, o resto da divisão
de P(x) por x(x2 – 1) é – 3x2 + x + 2.
19. (UEPG)
Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio B(x) = x + a, foi
aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, conforme
esquema abaixo, obtendo-se o polinômio Q(x).
Complete o dispositivo e julgue os itens.
(1) P(x) é divisível por B(x)
(2) Q(x) = x3 + 5x2 + 10x + 15
(3) B(x) = x – 2
(4) O resto da divisão é 20
(5) P(x) = x4 + 3x3 – 5x – 10
20. (PUC – SP) Sejam –1 e 2, respectivamente, os restos das
divisões de um polinômio f por x – 1 e x – 2. O resto da divisão
de f por (x – 1) (x – 2) é:
a) 0
d) x – 1
b) –2
e) 3x – 4
c) –x + 2
21. (UFES) Um polinômio P(x) dividido por x + 1 dá resto –1,
dividido por x – 1, dá resto 1 e por x + 2 dá resto 1. Qual será o
resto da divisão do polinômio por (x + 1) (x – 1) (x + 2)?
a) x2 – x + 1
d) x2 – x – 1
b) x – 1
e) x2 + x – 1
c) x2 + x + 1
22. (UnB) Seja p(x) = 4x 3 – 12x2 + 5x + 6. Julgue os itens a
seguir.
(1) p(x) = p(–x), para todo x ∈ ℝ.
(2) Uma raiz de p(x) está entre –1 e 0.
(3) p(x) não é divisível por x – 2.
23. (UFPE) Seja f(x) um polinômio de grau 3. Sabendo que o
gráfico da função y f(x) passa pelos pontos (0, 1), (1, 0), (1, 0)
e (2, 0), calcule f(6).
24. (ITA) Os valores reais a e b, tais que os polinômios x3 –
2ax2 + (3ª + b)x – 3b e x3 – (a + 2b)x + 2ª sejam divisíveis por
x + 1, são:
a) dois números inteiros positivos.
b) dois números inteiros negativos.
c) números inteiros, sendo que um positivo e outro negativo.
d) dois números reais, sendo um racional e outro irracional.
e) nda.