Revisão Matemática
ANO 2008
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
Trigonometria: Triângulo Retângulo
Triângulo retângulo ABC
B
BC  hipotenusa
AC e AB  catetos
C
A
B'
B
triângulos
semelhantes


C
A
C'
AB
A'B'
=
=k
BC
B'C'
A'
Trigonometria: Triângulo Retângulo
B
a

teorema de Pitágoras
b2 + c2 = a2
c

C
sen α =
AB
c
=
a
BC
b
A
 +  = 90o
(ângulos complementares)
sen  = cos 
cos α =
AC
b
=
a
BC
cos  = sen 
c
sen α
c a
c
sen α
AB
c
= a = . =
=
tg α =
=
b
cos α
a b
b
cos α
b
AC
a
2
2
2
2
2
c
b
c
+
b
a
2
2
2
2
sen α + cos α = 1
sen α + cos α = 2 + 2 =
 2 1
2
a
a
a
a
Trigonometria: Triângulo Retângulo
30o
a 2
45o
a
Calcule:
sen 45º =
cos 45º =
tg 45º =
a
a 2
a
a 2
a
1
a

1
2

2
2

1
2

2
2
a
a
a 3
2
60o
a
2
a
a 1 1
sen 30º = 2  . 
sen 60º =
a
2 a 2
a 3
2  a 3 . 1  3 cos 60º =
cos 30º =
a
2 a
2
a
1
3

tg 30º = 2 
tg 60º =
3
a 3
3
2
3
2
1
2
3
2  3.2  3
1
2 1
2
Trigonometria: Triângulo Retângulo
Exercícios
a) Trace um ângulo de 27º, sabendo que tg 27º = 0,51
5,1 cm
27o
10 cm
b) Calcule cos  e tg , sabendo que sen  = 0,6
sen2 + cos2 = 1  cos2 = 1 - sen2
cos2 = 1 – 0,62 = 1 – 0,36 = 0,64  cos  = 0,8
tg  = sen  / cos  = 0,6 / 0,8  tg  = 0,75
c) Um navegador vê o topo de um farol sob um ângulo de 30º em relação à reta em que navega.
Depois de percorridos 4 km, este ângulo passa a ser de 60º. Qual a altura do farol?
h
4 km
R: h = 2 3 km
Trigonometria: Arco de circunferência
Circunferência
90º = /2
B
180º = 
0
A
270º = 3/2
arcos unitários:
grau: é um arco que corresponde a 1/360 da circunferência (º)
minuto: é o arco que corresponde a 1/60 do grau (')
segundo: é o arco que corresponde a 1/60 do minuto (")
ex: 30º40'15"
radiano: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência (rad)
como o perímetro de uma circunferência mede 2r, então a medida de uma
circunferência em radianos é 2.
conversão de unidades:
180º
xº
 rad
y rad
Trigonometria: Arco de circunferência
Exercícios:
Soma e subtração de ângulos
a) 30º43'10" + 10º10'18"
b) 30º43'10" + 340º23'53"
c) 30º43'10" – 20º30'08"
d) 30º43'10" – 43º50'15"
e)  radianos + 1,25 radianos
Transformação
a) 30º43'10" para décimos de graus
b) 30º43'10" para radianos
Trigonometria: Relações
/2
1
sen( - x) = sen(x)
1

-1
0
cos( - x) = -cos(x)
sen(x)
x
0 cos(x)
1
0
sen( + x) = -sen(x)
cos( + x) = -cos(x)
sen(2 - x) = -sen(x)
-1
3/2
cos(2 - x) = cos(x)
Trigonometria: Relações
/2
a
1
c
tg(x) =
c
b
c
tg(x) =
c
=c
1
x
x
sen(x)
tg(x)
b
0 cos(x)
1
1

-1
0
a
0
x
1
-1
3/2
tg( - x) = -tg(x)
tg( + x) = tg(x)
tg(2 - x) = -tg(x)
Trigonometria: Relações
Algumas relações entre seno e co-seno são também importantes:
Co-tangente
cos(x)
1
=
sen(x)
tg(x)
cotg(x) =
Secante
sec(x) =
1
cos(x)
sec2 (x) = 1 + tg2 (x)
Co-secante
cosec(x) =
1
sen(x)
cosec2 (x) = 1 + cotg2 (x)
Trigonometria: Relações
Outras relações trigonométricas:
Co-seno da diferença de dois números reais:
cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)
Co-seno da soma de dois números reais:
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)
Seno da diferença de dois números reais:
sen(x - y) = sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)
Seno da soma de dois números reais:
sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)
Tangente da diferença de dois números reais:
tg(x - y) =
tg(x) - tg(y)
1 + tg(x)tg(y)
Tangente da soma de dois números reais:
tg(x + y) =
tg(x) + tg(y)
1 - tg(x)tg(y)
Trigonometria: Relações
Exercício
Se cos(x) = 3/4, calcular cos(2x) e cos(x/2) sabendo que 0 < x < 
cos(2x) = cos(x + x) = cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x)
= cos2 (x) - sen 2 (x) = cos 2 (x) - 1 - cos 2 (x)  = 2cos 2 (x) - 1
2
9
9
1
3
cos(2x) = 2   - 1 = 2
-1= -1=
16
8
8
4
x
cos(2x) = 2cos2 (x) - 1  cos(x) = 2cos2   - 1
2
cos(x) + 1
 x  cos(x) + 1
x
cos2   =
 cos   = 
2
2
2
2
x
cos   =
2
3
+1
7 1
7
4

. 
2
4 2
8
Trigonometria: Funções
Função seno
f(x) = sen(x),
-1  f(x)  1
/2
11
0,5
0,5
00
-2
-1
00
1
2
3
44
55
6
77
88
x

sen(x)
0
-0,5
-0,5
-1
-1
3/2
Função co-seno
f(x) = cos(x),
-1  f(x)  1
/2
1
0,5
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8

x
cos(x)
-0,5
-1
3/2
0
Trigonometria: Funções
Função tangente
cos(x)  0, ou seja, x  R | x  /2 + k, k  Z
f(x) = tg(x),
/2
31
2
0,5
1
tg(x)
00
-2
-1
00
1
2
3
44
55
6
77
88
x

0
-1
-0,5
-2
-3
-1
3/2