FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO
f:   [ 1, 1] , f(x) = sen (x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg (x)
Domínio
x 
x 
Imagem
y  1, 1
y  1, 1
y 
Período
2
2

x

 k,k  Z
2
TRANSFORMAÇÕES NOS GRÁFICOS
f(x) = A + B . sen (Cx) ou f(x) = A + B . cos (Cx)
A  Desloca o gráfico A unidades para cima (A > 0) ou
para baixo (A < 0). Afeta a imagem. A reta y = A é um eixo
FUNÇÂO CO-SENO
f:   [ 1, 1] , f(x) = cos (x)
de simetria da curva.
B  Altera a amplitude sem alterar o período. Afeta a
imagem. Reflete o gráfico em torno do eixo de simetria se
negativo.
C  Altera o período. Não afeta a imagem. P =
2
|C |
ROTEIRO PARA ESBOÇO
FUNÇÃO TANGENTE
f: x   / x     k, k  Z    , f(x) = tg (x)

2

1) Calcular a imagem e marcá-la no gráfico. Traçar o eixo
de simetria y = A.
2) Calcular o período, e dividi-lo em quatro.
3) Esboçar o gráfico usando os pontos de intersecção
entre os elementos traçados, e respeitando as
características de cada curva.
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Exercícios de Aula:
03) Quantas soluções a equação sen 2x = cos x possui:
01) Esboce o gráfico de f(x) = 1 + 2 sen(x).
a) se x   2 , 2 
A imagem é obtida a partir dos valores máximo e mínimo
de sen x. Dessa forma, são valores extremos de f(x):
b) se x   40 , 40 
1 + 2.(1) = 1 + 2 = 3 e 1 + 2.(-1) = 1 - 2 = -1.
a) O número de soluções de equações na forma f(x) = g(x)
pode ser visualizado como o número de intersecções entre
seus gráficos, onde as abscissas de cada intersecção
serão as soluções.
Logo, If   1, 3 . O eixo de simetria da onda localiza-se
sobre a reta y = 1. Ainda, a amplitude da onda mede 2.
Assim, esboçando o gráfico de f(x) = sen 2x (cuja imagem
é If   1, 1 e cujo período vale P 
g(x)
=
cos
x
(onde
If   1, 1
e
2
  ) e de
2
P
2
 2 ),
1
constatamos que no intervalo desejado existem 8 pontos
de intersecção. Logo, 8 soluções.
02) Esboce o gráfico de y = 2 - 3.cos(x).
A imagem da função co-seno é obtida do mesmo modo:
2 - 3.(1) = 2 - 3 = -1 e 2 - 3.(-1) = 2 + 3 = 5.
b) Como para cada período de g(x) existem 4 soluções, no
Logo, If   1, 5 . O eixo de simetria da onda localiza-se
intervalo
sobre a reta y = 2. Ainda, a amplitude da onda mede 3.
Como B = -3, o gráfico será refletido em torno do eixo de
simetria.
que seu período vale 2 . Logo, serão 160 soluções.
 40 ,
40  g(x) dará 40 voltas completas, já
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EXERCÍCIOS
10) (PUC) O gráfico abaixo é da função f. A lei de f é
01) Determine o período, a imagem e construa o gráfico de
cada uma das funções abaixo:
x
2
y
b) f(x) = 3cos 2x
3
a) f ( x )  3 cos
x
2
a) f(x) =3sen(x)
b) f(x) = cos(4x)
c) f ( x )  3 sen
c) f(x) = 1 - sen(3x)
d) f(x) = -cos(x)
d) f(x) = 3sen 2x
x
e) f(x)=2cos   -3
3
f) f(x) =-1+2sen(0,5x)
02) (UFPEL) Qual a imagem de f(x) = 2sen(x) - 3?
e) f ( x )  3  sen

0
2
x
4
3
-3
x
2
11) (UFRGS) O gráfico abaixo representa uma função real
f. Esta função é dada por:
03) (UFRN) Sejam f(x) = 4cos(2x) e g(x) = 2cos(0,25x). Se
a) f(x) = 1 – cos x
Pf é o período de f e Pg é o período de g, então:
b) f(x) = 1 + cos x
a) Pg = Pf
c) Pg = 4Pf
b) Pg = 0,5Pf
d) Pg = 2Pf
e) Pg = 8Pf
c) f(x) = cos(x + 1)
d) f(x) = cos(x – 1)
e) f(x) = cos(x + )
04) (PUCRS) Qual o período e a imagem da função
definida por f(x) = 3sen(2x)?
05) (FUVEST) Qual o menor valor de
1
?
3  cos( x)
01a
01b
01c
01d
01e
01f
06) Obtenha k, k > 0, na função f(x) = sen(kx), sabendo
que seu período é igual a

.
3
07) Qual o maior valor que f(x) = 5+5sen(5x+5) assume?
08) (FUVEST) A figura abaixo mostra parte do gráfico da
função
a) sen(x)
x
b) 2  sen  
2
x
c) sen  
2
d) 2sen(x)
e) sen(2x)
09) Se y = 3.cos(x) – 1, então y varia no intervalo:
a) [2, 4]
b) [–1, 1]
c) [–1, 3]
d) [–3, 1]
e) [–4, 2]
01a
2, [ 3;3]
01b

, [ 1;1]
2
01c
2
, [0;2]
3
01d
2, [ 1;1]
01e
6, [5; 1]
01f
4, [ 3;1]
02
[-5; -1]
03
E
04
 e [ 3;3]
05
1
4
06
6
07
10
08
B
09
E
10
C
11
B
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