Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
10 Semestre de 2013
Matemática Discreta 1 – MD 1
Prof. Lineu Mialaret
Aula 6: Proposições (1)
Matemática Discreta 1
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Introdução (1)
 Você foi convocado a participar em um processo
criminal, como participante de um júri. O advogado de
defesa argumenta o seguinte:
 Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou
a faca não estava na gaveta ou José viu a faca. Se a faca
não estava lá no dia 10 de outubro, então José não viu a
faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro,
então a faca estava na gaveta e o martelo estava no
celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no
celeiro. Portanto, senhoras e senhores, meu cliente é
inocente.
 Pergunta: O argumento do advogado está correto? Qual seria
seu voto?
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Introdução (2)
 Lógica é uma ciência de índole Matemática e fortemente
ligada à Filosofia. Já que o pensamento é a manifestação
do conhecimento, e que o conhecimento busca a
verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que
essa meta possa ser atingida.
 Assim, a Lógica é o ramo da Filosofia que cuida das regras
do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um
instrumento do pensar.
 Lógica é a disciplina que lida com métodos de raciocínio.
Ela provê regras e técnicas para, por exemplo, determinar
se um dado argumento é válido.
 Lógica Matemática ou Simbólica é o uso da lógica formal
para estudar o raciocínio matemático.
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Introdução (2)
 A Lógica formulada por Aristóteles é denominada de
Lógica Clássica, e expressa o raciocínio a partir da
linguagem natural (falada ou escrita):
 A Lógica Matemática utiliza apenas de símbolos para
expressar um raciocínio.
 Neste tipo de lógica, o pensamento é fragmentado em
frases (denominadas Proposições).
 Varias proposições conectadas entre si por conectivos
lógicos compõe por sua vez o pensamento.
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Introdução (3)
 "Lógica Matemática é uma ferramenta fundamental na
definição de conceitos computacionais”.
 Diretrizes curriculares do MEC para
Cursos
de
Computação e Informática.
 Aplicações em Ciência da Computação:
 Banco de Dados.
 Inteligência Artificial.
 Construção e Verificação de Algoritmos.
 Linguagens de Programação, etc.
 Objeto de Estudo deste curso:
 Lógica Proposicional.
 Lógica de Predicados.
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Introdução (1)
 Lógica Proposicional ou Cálculo Sentencial ou Cálculo
Proposicional:
 É o sistema lógico formal mais simples.
 É um sistema no qual as declarações (proposições) têm
valor verdade Verdadeiro (V) ou Falso (F).
 Exemplos:
 O fígado é um órgão pequeno.
 Varsóvia é a capital da Polônia.
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Introdução (2)
 Lógica de Predicados ou Cálculo de Predicados:
 Considera ainda predicados (condições), variáveis e
quantificadores sobre estas variáveis.
 Exemplos:
 Existe alguém que está rezando.
 Todo homem é mortal.
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Proposição (1)
 Uma
Asserção é uma declaração (uma sentença
declarativa).
 Uma Proposição é uma frase (oração ou sentença
declarativa) que possui as seguintes características
fundamentais:
 Não são sentenças interrogativas ou exclamativas.
 Apresenta um dos dois valores lógicos, Verdadeiro (V) ou
Falso (F).
 Não possui simultaneamente Verdadeiro (V) e Falso (F)
como valores lógicos.
 Valor Verdade (Valor Lógico):
 É o resultado da avaliação de uma proposição (V ou F).
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Proposição (2)
 A Lógica Matemática adota como regras fundamentais
do pensamento dentre
princípios (axiomas):
outras,
os
três
seguintes
 Princípio da Identidade  Uma
proposição verdadeira
proposição falsa é Falsa.
é
Verdadeira;
uma
 Princípio da Não Contradição  Uma proposição não pode ser Verdadeira (V) e Falsa
(F) ao mesmo tempo.
 Princípio do Terceiro Excluído  Toda a proposição ou é Verdadeira (V) ou é Falsa (F),
isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um
terceiro.
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Proposição (3)
 Exemplos de proposições:
 Dois é um número par.
 O triângulo é uma figura de três lados.
 Pedras também são seres vivos.
 O boi é um micróbio.
 O Sol é menor que a Lua.
 A Lua é um satélite da Terra.
 Recife é capital de Pernambuco.
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Proposição (4)
 Exemplos de frases que não são proposições:
 João e Maria.
 São todos animais.
 Todo ímpar é primo?
 Michael Jackson morreu!
 Três vezes um número menos um é igual a 11 (3x - 1 =
11).
 Ela é muito talentosa.
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Proposição (5)
 Os exemplos de proposições apresentados até agora
são caracterizados com proposições simples, os quais
possuem apenas um sujeito e um predicado:
 Existem proposições que são formadas pela junção de
duas ou mais proposições, e são denominadas de
proposições compostas.
 A junção entre proposições é feita de forma específica (a
ser definida adiante).
 Exemplo 1:
 João é rico. (Proposição simples)
 Maria é pobre. (Proposição simples)
 João é rico e Maria é pobre. (Proposição composta)
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Proposição (6)
 Considere as seguintes proposições simples:
 Pedro está tomando suco.
 A quitanda do japonês foi roubada.
 Bruno é culpado.
 Meu cachorro fala inglês.
 Forme frases usando duas proposições, conectando-as
com e, ou, e se ..., então ....
 Exemplo 2:
 Pedro está tomando suco ou a quitanda do japonês foi
roubada.
 Se Pedro está tomando suco, então a quitanda do japonês
foi roubada.
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Operadores Lógicos (1)
 Anteriormente
foram geradas algumas proposições
compostas:
 As proposições foram ligadas usando algumas palavras
específicas (e, ou, etc.).
 No contexto da lógica matemática, estas palavras são
consideradas Operadores ou Conectivos Lógicos.
 Assim como a aritmética possui operadores básicos (soma,
subtração, multiplicação e divisão), a lógica matemática
também possui operadores lógicos básicos.
 São eles:
 Conjunção (e).
 Disjunção (ou).
 Condicional (se ..., então ...).
 Bicondicional (... se, e somente se, ...).
 Negação (não).
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Operadores Lógicos (2)
 Para unificação da representação matemática, a seguinte
terminologia será adotada:
 Letras maiúsculas do alfabeto tais como A, B, C,... são
usadas para representar proposições.
 Opcionalmente, letras minúsculas do alfabeto, tais como p,
q, r,..., podem ser usadas para representar proposições.
 Para o conectivo de conjunção, usa-se o símbolo ∧.
 Para o conectivo de disjunção, usa-se o símbolo ∨.
 Para o conectivo de condicional, usa-se o símbolo →.
 Para o conectivo de bicondicional, usa-se o símbolo ↔.
 Para o conectivo de negação, usa-se o símbolo ¬.
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Conjunção (1)
 A conjunção é um operador lógico que tem como
funcionalidade unir duas proposições:
 O significado lógico da operação é Verdadeiro (V) quando,
dado duas proposições quaisquer, ambas são verdadeiras.
 Na linguagem escrita, este operador tem o mesmo
sentido da palavra E.
 Este operador é denotado pelo símbolo ∧:
 A operação de conjunção é denotada por
 p ∧ q (é um operador binário).
 Não fazem sentido as seguintes expressões
 ∧ p, p ∧, ∧ pq, pq ∧ ou p ∧∧ q.
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Conjunção (2)
 Expressões em português equivalentes do conectivo de
conjunção ∧:
 mas, também, além disso, embora, tanto... como..., .
 Exemplo 3:
 p: O dia está ensolarado.
 q: Carlos foi pescar.
 p ∧ q: O dia está ensolarado e Carlos foi pescar.
 Exemplo 4:
 A: 2 > 0.
 B: 2 ≠ 1.
 A ∧ B: 2 > 0 ∧ 2 ≠ 1.
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Conjunção (3)
 Exemplo Intuitivo:
 Imagine que a mãe de Maria pede para ela ir ao Shibata
comprar farinha E leite para fazer um bolo. Maria vai ao
mercado e compra os produtos que encontrou.
 Quando Maria volta para casa, um dos quatro cenários
pode acontecer:
 Maria comprou farinha e não comprou leite.
 Maria não comprou farinha e comprou leite.
 Maria comprou farinha e leite.
 Maria não comprou farinha e não comprou leite.
 Neste caso, a mãe de Maria vai fazer o bolo apenas se o
terceiro cenário ocorrer.
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Conjunção (4)
 Outro Exemplo Intuitivo -
 Sejam as promessas de um pai a um filho:
 “Eu te darei uma bola E te darei uma bicicleta”.
 Pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a
promessa é para os dois presentes. Caso o pai não dê
nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não
terá sido cumprida. Terá sido falsa!
 No entanto, a promessa será verdadeira se os dois
presentes forem dados para a criança!
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Conjunção (5)
 Exercício: Faça a conjunção entre as proposições
abaixo, denotando também formalmente as conjunções
criadas (usando a simbologia já apresentada).
 p: Nove é diferente de cinco.
 q: Sete é menor que três.
 r : Quatro vezes cinco é vinte.
 s: Os cavalos são mamíferos.
 t: O Sol perde calor durante o inverno.
 Exemplo 5:
 p ∧ q.
 Nove é diferente de cinco E Sete é menor que três.
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Conjunção (6)
 Se as proposições p e q forem representadas como
conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção “p e q”
corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto
q.
 Ou seja, tem-se:
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Disjunção (1)
 A disjunção é um operador lógico cuja funcionalidade é
unir duas proposições:
 O significado lógico da operação é Verdadeiro (V) quando,
dado duas proposições quaisquer, ao menos uma delas é
verdadeira.
 Na
linguagem escrita, este operador tem sentido
semelhante ao da palavra OU.
 Este operador é denotado pelo símbolo ∨:
 A operação é denotada por
 p ∨ q (é um operador binário).
 Não fazem sentido as seguintes expressões
 ∨ p, p ∨, ∨ pq, pq ∨ ou p ∨∨ q.
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Disjunção (2)
 Expressões em português equivalentes do conectivo de
disjunção ∨:
 e/ou, ou ... ou ambos, ..., salvo quando ... .
 Exemplo 6:
 p: O dia está ensolarado.
 q: Carlos é careca.
 p ∨ q: O dia está ensolarado ou Carlos é careca.
 Exemplo 7:
 p: 10 é um número primo.
 q: 10 é um número composto.
 p ∨ q: 10 é um número primo ou um número composto.
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Disjunção (3)
 Observação:
 A sentença “Chove ou faz frio” é verdadeira nos seguintes
cenários  Só chove.
 Só faz frio.
 Chove e faz frio.
 O mesmo não ocorre com sentença “Pedro passará nos
exames ou repetirá de ano”, que só é verdadeira nos
seguintes cenários:
 Pedro passará nos exames.
 Pedro repetirá de ano.
 Sendo falsa no seguinte cenário:
 Pedro passará nos exames e repetirá de ano.
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Disjunção (4)
 Dessa forma, na linguagem natural o conectivo lógico OU
pode traduzir a idéia de mutuamente exclusivo (ou ocorre
isto ou ocorre aquilo) quanto a da ocorrência de no
mínimo uma das proposições.
 Nos exemplos anteriores, no primeiro caso tem-se a
disjunção inclusiva e no segundo caso a disjunção
exclusiva.
 O segundo caso pode ser reescrito da seguinte forma:
 Ou Pedro passará nos exames ou Pedro repetirá de ano.
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Disjunção (5)
 Exemplo Intuitivo:
 Imagine que a mãe de Maria deseja fazer suco. Ela pede
para a filha ir novamente ao Shibata e comprar laranjas OU
limões para fazer suco. Se Maria encontrar no mercado
laranjas e limões ela pode comprar ambas as frutas, senão
ela pode comprar qualquer uma das duas.
 Quando Maria volta para casa, um dos quatro cenários
pode acontecer:
 Maria comprou laranjas e não comprou limões.
 Maria não comprou laranjas e comprou limões.
 Maria comprou laranjas e limões.
 Maria não comprou nada.
 Com exceção do último cenário, Maria fez o que a mãe
pediu. Ou seja, a mãe só não vai conseguir fazer suco se
ocorrer o último dos quatro cenários.
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Disjunção (6)
 Outro Exemplo Intuitivo  Sejam as promessas de um pai a um filho:
 “Eu te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”.
 Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a
promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou
bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a
promessa do pai já valeu! É verdadeira!
 E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes?
Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A
promessa foi mais do que cumprida.
 Só haverá um caso em que a promessa não se
cumprirá:
 Se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e
nem a bicicleta. Terá sido falsa a promessa (disjunção).
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Disjunção (7)
 Se as proposições p e q forem representadas como
conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção “p ou q”
corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q.
 Ou seja, tem-se:
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Disjunção (8)
 Exercício: Faça a disjunção entre as proposições,
denotando também formalmente as conjunções criadas
(usando a simbologia já apresentada).
 p: Nove é diferente de cinco.
 q: Sete é menor que três.
 r : Quatro vezes cinco é vinte.
 s: Os cavalos são mamíferos.
 t: O Sol perde calor durante o inverno.
 Exemplo 8:
 p ∨ q.
 Nove é diferente de cinco OU Sete é menor que três.
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Condicional (1)
 O operador condicional é um operador lógico que tem
como funcionalidade unir duas proposições:
 Na lógica matemática, o condicional indica o efeito de um
fato sobre outro fato.
 Na linguagem escrita, este operador tem como sentido
“Se ..., então ...”, ou seja, “Se <isto acontecer>, então <o
resultado é este>”.
 Este operador é denotado pelo símbolo →:
 A operação é denotada por p → q (é um operador binário).
 Não faz sentido as seguintes notações
 → p, p →, → pq, pq →.
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Condicional (2)
 Exemplo 9:
 p: O dia está ensolarado.
 q: Carlos foi pescar.
 p → q: Se o dia está ensolarado, então Carlos foi pescar.
 Há outras formas de ler a proposição condicional p → q:
 se p, q.
 q, se p.
 quando p, q.
 p implica q.
 p, logo q.
 p é condição suficiente para q.
 q é condição necessária para p.
 p somente se q.
 q segue de p.
 todo p é q.
 sempre que p, q.
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Condicional (3)
 p apenas se, q.
 Exemplo 10:
 Se chove, faz frio.
 Faz frio, se chove.
 Quando chove, faz frio.
 Chover implica fazer frio.
 Chover é condição suficiente para fazer frio.
 Fazer frio é condição necessária para chover.
 Chove somente se faz frio.
 Toda vez que chove, faz frio.
 Sempre que chove, faz frio.
 Chove apenas se faz frio.
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Condicional (4)
 Na condicional p → q, a proposição p é chamada de
antecedente (também pode ser denominada de cabeça)
e a proposição q é chamada de conseqüente (também
denominada de cauda).
 Opcionalmente também se usa chamar a proposição p de
hipótese (ou premissa) e q de conclusão.
 A proposição condicional p → q só é Falsa (F) quando a
proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa.
 Uma condicional p → q não afirma que o conseqüente q
se deduz ou é conseqüência do antecedente.
 O que uma proposição condicional afirma é unicamente
uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do
conseqüente, de acordo com sua tabela verdade.
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Condicional (5)
 Sejam as proposições condicionais:
 7 é um número impar → Brasília é uma cidade.
 3 + 5 = 9 → Santos Dumont nasceu no Ceará.
 Essas proposições não afirmam, de modo algum:
 que o fato de “Brasília ser uma cidade” se deduz do fato de
“7 ser um número impar” ou que a proposição “Santos
Dumont nasceu no Ceará” é uma conseqüência da
proposição “3 + 5 = 9”.
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Condicional (6)
 Exemplo intuitivo:
 Hoje a mãe da Maria esta irritada, pois Maria não para de
fazer bagunça, daí, ela determina que SE a Maria não
parar com a bagunça, ENTÃO ela vai lhe bater.
 Maria decide ou não parar de fazer bagunça, então um dos
quatro cenários pode acontecer:
 Maria continua bagunçando e a mãe irritada acaba batendo
nela.
 Maria continua bagunçando mas a mãe fica com dó e não
bate nela.
 Maria para de bagunçar, mas a mãe já estava irritada e bate
assim mesmo.
 Maria para de bagunçar e a mãe não bate nela.
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Condicional (7)
 No primeiro cenário, a mãe cumpriu aquilo que havia dito,
logo a expressão é verdadeira.
 Já no segundo cenário, ela não cumpriu, e portanto a
expressão é falsa.
 Com relação aos dois últimos cenários, não se pode dizer
que eles não são válidos, pois a mãe da Maria afirmou que
iria bater nela se a bagunça continuasse, mas não afirmou
nada se ela parasse...
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Condicional (8)
 Obs:
 Condição suficiente é aquela que basta para que X seja
verdadeiro (é introduzida pelo antecedente).
 Condição necessária é aquela que sempre deve ser
satisfeita para que X seja verdadeiro (é introduzida pelo
conseqüente).
 Exemplo 11:
 Se eu visito a torre Eiffel, então estou em Paris.
 O antecedente da condicional é uma condição suficiente
para eu estar em Paris, e evidentemente não é única. Por
outro lado, estar em Paris é condição necessária para eu
visitar a torre Eiffel, pois é impossível visitar a torre Eiffel
sem estar em Paris.
 O antecedente de uma condicional (implicação) qualquer é
sempre a condição suficiente, e o conseqüente é sempre a
condição necessária.
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Condicional (9)
 Exemplo 12:
 Se aquilo é um peixe, então aquilo é um animal.
 Ser peixe é uma condição suficiente para ser animal. Ou
seja, basta ser peixe para ser animal, aquilo que é peixe é
automaticamente animal.
 Porém, ser peixe não é uma condição necessária para se
ser animal. Não é indispensável ser peixe para ser animal,
pois há outros seres (como as ovelhas e as baleias) que não
são peixes e são animais.
 Por outro lado,
 Ser animal é uma condição necessária para ser peixe. É
indispensável ser animal para ser peixe. Não se pode ser
peixe sem ser também animal.
 Porém, ser animal não é uma condição suficiente para ser
peixe. Com efeito, pode ser-se animal e mesmo assim não
ser peixe.
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Condicional (10)
 Dito de modo mais abreviado, o fato de algo ser peixe
implica que seja animal, mas o fato de algo ser animal não
implica que seja peixe.
 Exemplo 13:
 Se ele é Juiz, então ele é advogado.
 O fato de ser juiz é suficiente para ser advogado.
 Para alguém ser juiz é necessário que seja advogado, mas
não é o suficiente.
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Condicional (11)
 A proposição condicional:
 Se chove, então a rua fica molhada.
 Pode ser lida das seguintes formas:
 Chover é uma condição suficiente para a rua ficar
molhada.
 A rua ficar molhada é uma condição necessária quando
chove.
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Condicional (12)
 Se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição
suficiente para Maria ser médica”, então pode-se
reescrever essa sentença, usando o formato da
condicional.
 Tem-se:
 “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser
médica” é igual a:
 “ Se Pedro for rico, então Maria é médica.”
 Por outro lado, se alguém disser que: “Maria ser médica
é condição necessária para que Pedro seja rico”,
também pode-se traduzir isso de outra forma:
 “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro
seja rico” é igual a:
 “Se Pedro for rico, então Maria é médica.”
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Condicional (13)
 Exercício: Faça a condicional entre as proposições,
denotando também formalmente as conjunções criadas
(usando a simbologia já apresentada).
 p: Nove é diferente de cinco.
 q: Sete é menor que três.
 r : Quatro vezes cinco é vinte.
 s: Os cavalos são mamíferos.
 t: O Sol perde calor durante o inverno.
 Exemplo 14:
 p → q.
 SE Nove é diferente de cinco, ENTÃO Sete é menor que
três.
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Condicional (14)
 Se as proposições p e q forem representadas como
conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição
condicional “Se p então q” corresponderá à inclusão do
conjunto p no conjunto q (p está contido em q).
 Ou seja, tem-se:
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Bicondicional (1)
 O bicondicional, assim como os demais conectivos, tem
como funcionalidade unir duas proposições:
 O bicondicional pode ser considerado um caso mais
restrito do condicional.
 O bicondicional indica o efeito de um primeiro fato sobre
um segundo fato, e por sua vez, o efeito do segundo fato
no primeiro.
 Na linguagem escrita, este operador tem como sentido
“... se, e somente se, ...”
 Ou seja:
 “<isto é verdade> se <aquilo também for verdade>” ao
mesmo tempo que
 “<aquilo é verdade> se <isto também for verdade>”.
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Bicondicional (2)
 Este operador é denotado por ↔:
 A operação bicondicional é denotada por p ↔ q.
 Outras maneiras de se ler o bicondicional p ↔ q:
 p se, e somente se, q.
 p se, e só se, q.
 se p então q e se q então p.
 p somente se q e q somente se p.
 p é condição necessária e suficiente para q.
 q é condição necessária e suficiente para p.
 se p, então q e reciprocamente.
 p é equivalente a q.
 todo p é q e todo q é p.
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Bicondicional (3)
 A proposição bicondicional p ↔ q só é Verdadeira (V)
quando os valores verdades de p e q são iguais.
 A expressão p ↔ q é uma abreviação de:
 (p → q) ∧ (q → p)
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Bicondicional (4)
 Exemplo 15:
 p: Perereca se transforma em sapo.
 q: Sapo se transforma em príncipe.
 p ↔ q: Perereca se transforma em sapo se, e somente se,
Sapo se transforma em príncipe.
 Exemplo 16:
 p: O dia está ensolarado.
 q: Carlos foi pescar.
 p ↔ q: O dia está ensolarado se, e somente se, Carlos foi
pescar.
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Bicondicional (5)
 Exemplo intuitivo:
 Numa outra vez em que a mãe da Maria estava irritada
também por causa da bagunça, ela determinou que iria
bater na Maria SE, E SOMENTE SE, Maria não parasse
com a bagunça.
 Como já visto, um de quatro cenários pode acontecer:
 Maria continua bagunçando e a mãe irritada acaba batendo
nela.
 Maria continua bagunçando mas a mãe fica com dó e não
bate nela.
 Maria para de bagunçar, mas a mãe já estava irritada e bate
nela assim mesmo.
 Maria para de bagunçar e a mãe não bate nela.
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Bicondicional (6)
 No caso da bicondicional a frase pode ser vista do seguinte
ponto de vista:
 Se Maria bagunça, então sua mãe lhe bate e ...
 Se a mãe bate, então Maria continua bagunçando.
 Logo, a expressão só tem sentido verdadeiro se:
 Maria apanhou porque estava bagunçando.
 Maria não apanhou porque parou de bagunçar.
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Bicondicional (7)
 Obs.:
 Se alguém disser:
 “Eduardo fica alegre se, e somente se, Mariana sorri”.
 É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas
proposições condicionais:
 “Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri
somente se Eduardo fica alegre”.
 Ou ainda, dito de outra forma:
 “Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana
sorri, então Eduardo fica alegre”.
 São construções do mesmo sentido!
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Bicondicional (8)
 Exercício: Faça o bicondicional entre as proposições,
denotando também formalmente as conjunções criadas
(usando a simbologia já apresentada).
 p: Nove é diferente de cinco.
 q: Sete é menor que três.
 r : Quatro vezes cinco é vinte.
 s: Os cavalos são mamíferos.
 t: O Sol perde calor durante o inverno.
 Exemplo 17:
 p ↔ q.
 Nove é diferente de cinco SE, E SOMENTE SE, Sete é
menor que três.
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Bicondicional (9)
 Se as proposições p e q forem representadas como
conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição
bicondicional “p se e somente se q” corresponderá à
igualdade dos conjuntos p e q.
 Ou seja, tem-se:
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Negação (1)
 A negação é um operador lógico que tem como
funcionalidade inverter o sentido (lógico) da proposição.
 Este operador é comumente denotado por: ¬ ,~, ou `.
 A operação é denotada por: ¬p (operador unário).
 Exemplo 18:
 p: Pedro comprou banana.
 ¬p: Pedro não comprou banana.
 q: Bruno é culpado.
 ¬q: Bruno não é culpado.
 Observe que:
 r : A garrafa é de plástico.
 s: A garrafa é de vidro.
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Negação (2)
 ¬r não equivale a s.
 “A garrafa não é de plástico” significa que a garrafa pode ser
de qualquer coisa, como por exemplo alumínio ou vidro,
com exceção de plástico.
 Expressões em português equivalentes do conectivo de
negação:
 Não p.
 É falso que p... .
 Não é verdade que p ... .
 Exemplo 19:
 p: Vai chover amanhã.
 ¬p: Não vai chover amanhã.
 ¬p: É falso que vai chover amanhã.
 ¬p: Não é verdade que vai chover amanhã.
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Negação (3)
 Exemplo 20:




p: Pedro é alto e magro.
¬p: Pedro não é alto ou magro.
¬p:É falso que Pedro seja alto e magro.
¬p: Não é verdade que Pedro seja alto e magro.
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Negação (4)
 Exercício: Negue as seguintes proposições abaixo.
 p: Nove é diferente de cinco.
 q: Sete é maior que três.
 r : Quatro vezes cinco é igual a vinte.
 s: O Brasil é hexacampeão mundial de futebol.
 t: Todo número é divisível por um.
 u: Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil.
 v: O Sol perde calor durante o inverno.
 Exemplo 21:
 ¬p
 Nove NÂO é diferente de cinco.
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Tabela Verdade - TV
 As proposições (simples ou não) possuem valores
lógicos (V ou F):
 As operações realizadas sobre as proposições também
possuem valores lógicos.
 A Tabela Verdade – TV é uma ferramenta útil para
avaliar o valor verdade resultante da aplicação dos
operadores lógicos sobre as proposições:
 Ela mostra o resultado das operações lógicas, supondo
diferentes valores
componentes.
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verdade
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para
as
proposições
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TV - Conjunção
 A conjunção é um conectivo lógico que relaciona duas
proposições:
 O valor verdade da expressão p ∧ q depende do valor
verdade das proposições p e q, isto é, o resultado da
operação é Verdadeiro (V) somente se ambas proposições
são verdadeiras.
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TV - Disjunção
 A disjunção também é um conectivo lógico que relaciona
duas proposições:
 Ao contrário da conjunção, para que a operação de
disjunção resulte verdadeira, basta que ao menos uma (ou
no mínimo uma) das duas proposições componentes
analisadas tenha valor lógico Verdadeiro (V).
 Ou seja, o valor verdade V da expressão p ∨ q depende
do valor verdade V de apenas uma das proposições p e q.
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TV - Condicional
 O operador condicional tem como função descrever a
conseqüência que uma proposição tem sobre outra
proposição:
 Na condicional p → q, a proposição p é chamada
antecedente e q de conseqüente.
 O valor verdade da operação condicional será Falso (F)
somente quando o valor verdade do antecedente é
Verdadeiro (V) e do o conseqüente é Falso (F).
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TV – Bicondicional
 O operador bicondicional tem como função descrever a
conseqüência que cada proposição exerce sobre a outra.
 Lê-se p ↔ q como: “p se, e somente se, q” ou “p é
condição necessária e suficiente para q” ou ainda “se p,
então q reciprocamente”;
 O valor verdade da operação bicondicional é Verdadeiro
(V) quando ambas proposições possuem o mesmo valor
verdade.
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TV - Negação
 A negação tem a função de alterar o valor verdade de
uma dada proposição:
 Sendo p uma proposição qualquer
 Se p tem valor verdade V, então ¬p tem valor verdade F.
 Se p tem valor verdade F, então ¬p tem valor verdade V.
 Exemplo 22:

p: As pedras são seres vivos. (Valor Verdade F).
 ¬p: As pedras não são seres vivos. (Valor Verdade V).
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TV – Disjunção Exclusiva (1)
 A disjunção exclusiva também é um conectivo lógico que
relaciona duas proposições:
 Este operador é denotado por p ∨ q ou p  q.
 Para que esta operação resulte em Verdadeiro (V),
somente uma das proposições pode ser verdadeira (ou
seja ter valor verdade V).
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TV – Disjunção Exclusiva (2)
 Considerando duas proposições p e q quaisquer, este
operador produz resultado verdadeiro se:
 p é Verdadeiro E q é Falso,
 ou
 p é Falso E q é Verdade.
 Reescrevendo em símbolos lógicos:
 (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).
 Exercício:
 Faça a tabela verdade da expressão (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) e
compare com o resultado de p ∨ q.
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TV - Resumo (1)
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TV - Resumo (2)
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Exercícios de Fixação (1)
 . Considere as seguintes proposições:
 p: Carlos é bom aluno.
 q: Maria é bonita.
 Transcreva da lógica matemática para o português as
seguintes proposições abaixo:








p∧q
p→q
¬p → q
p ∧ ¬q
¬p ∨ q
p↔q
¬¬q
p ↔ ¬q
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Exercícios de Fixação (2)
 Transcreva do português para a lógica matemática:
 Se o cavalo estiver descansado, então o cavaleiro vencerá.
 O
cavaleiro vencerá apenas se
descansado e a armadura for forte.
o
cavalo
estiver
 O cavaleiro vencerá se, e somente se, a armadura for forte.
 Se o cavalo estiver descansado ou a armadura for forte,
então o cavaleiro vencerá.
 O cavalo estará descansado se, e somente se, a armadura
for leve.
 Se o cavaleiro não perder, então o cavaleiro vencerá.
 O cavaleiro vencerá se a armadura for forte ou o cavalo
estará descansado se a armadura for leve.
 O cavalo está cansado e o cavaleiro será derrotado.
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