Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
10 Semestre de 2013
Matemática Discreta 1 – MD 1
Prof. Lineu Mialaret
Aula 8: Lógica Proposicional
Matemática Discreta 1
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Introdução
 A alegação do advogado apresentada na aula 2 consistiu
de uma série de declarações (supostamente
verdadeiras), seguido de um pedido ao júri para se
chegar numa conclusão específica com base nessas
declarações.
 Já se aprendeu a usar a notação da Lógica Matemática
para representar proposições. As formas simbólicas como
fbfs em lógica formal para representar proposições são
chamadas fbfs proposicionais.
 Será usado agora ferramental da Lógica Matemática para
ver como chegar a conclusões a partir de proposições
dadas.
 O sistema formal que usa fbfs proposicionais é chamado
de Lógica Proposicional, Lógica Declarativa ou Cálculo
Proposicional.
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Argumentos Válidos (1)
 Um argumento pode ser representado simbolicamente como:
 P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ... ∧ Pn → Q
 onde,
 P1, P2, ..., Pn são proposições dadas, denominadas de
hipóteses (ou premissas) do argumento.
 Q é a conclusão do argumento.
 Argumento Válido:
 Informalmente, um argumento é válido quando Q é uma
conclusão lógica de P1, P2, ..., Pn sempre que a verdade
das proposições P1, P2, ..., Pn implicarem a verdade de Q.
 Ou seja,
 quando o condicional P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ... ∧ Pn → Q for
verdadeiro.
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Argumentos Válidos (2)
 Exemplo - Seja o seguinte argumento :
 George Washington foi o primeiro presidente dos EUA.
Thomas
Jefferson
escreveu
a
Declaração
da
Independência dos EUA.
Portanto, todo dia tem 24 horas.
 O argumento tem duas hipóteses:
 George Washington foi o primeiro presidente dos EUA.
 Thomas
Jefferson escreveu a Declaração da
Independência dos EUA.
 E a conclusão é:
 Todo dia tem 24 horas.
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Argumentos Válidos (3)
 Embora cada hipótese individual, bem como a conclusão,
sejam proposições verdadeiras, o argumento não deve
ser considerado válido.
 A conclusão é meramente um fato verdadeiro isolado, que
não está relacionado com, nem segue de, as hipóteses.
 Um argumento válido deve portanto ser verdadeiro
baseado inteiramente em sua estrutura interna.
 Definição: Argumento Válido
 A fbf proposicional P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ... ∧ Pn → Q é um
argumento válido quando for uma tautologia.
 Exemplo:
no caso anterior
simbolizar o argumento como
 a ∧ b → c,
 o que não é uma tautologia.
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apresentado,
pode-se
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Argumentos Válidos (4)
 Para se verificar se P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ... ∧ Pn → Q
representa uma tautologia, será usado um sistema de
regras de dedução, que modificam uma fbf de modo a
preservar seu valor lógico.
 Começa-se com as hipóteses P1, P2, ..., Pn (que se supõe
verdadeiras) e tenta-se aplicar as regras de dedução de
modo a se terminar com a conclusão Q (que então tem que
ser verdadeira).
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Seqüencia de Demonstração
 Uma seqüência de demonstração é uma seqüência de
fbfs nas quais cada uma é uma hipótese ou o resultado
de se aplicar regras de dedução do sistema formal as
fbfs anteriores na seqüência.
 Usando lógica matemática para provar que Q é uma
conclusão válida de P1, P2, ..., Pn , deve-se produzir uma
seqüência de demonstração no seguinte formato:







P1
P2
...
fbf1
fbf2
...
Q
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(hipótese)
(hipótese)
(obtida aplicando-se regra de dedução)
(obtida aplicando-se regra de dedução)
(obtida aplicando-se regra de dedução)
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Regras de Dedução (1)
 As regras de dedução para a lógica proposicional são de
dois tipos:
 Equivalências e Inferências.
 As regras de equivalência permitem que fbfs individuais
sejam reescritas mantendo o mesmo valor lógico.
 As regras de inferência permitem a dedução de novas
fbfs a partir de fbfs anteriores na seqüência de
demonstração.
 As regras de equivalência dizem que determinados
pares de fbfs são equivalentes (R  S, onde R ↔ S é
uma tautologia).
 A proposição R pode ser substituída por S sem mudança
do valor lógico. As regras preservam os valores.
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Regras de Dedução (2)
 As regras de equivalência dizem que determinados pares
de fbfs são equivalentes:
 Lembrar que R  S,
 Significa que R ↔ S é uma tautologia.
 A proposição R pode ser substituída pela proposição S sem
mudança do seu valor lógico.
 As regras de equivalência preservam os valores lógicos, pois
uma fbf verdadeira continua verdadeira, se for feita uma
substituição numa de suas proposições componentes.
 A seguir, na próxima transparência é apresentado uma
síntese das principais regras de equivalência já apresentadas.
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Regras de Dedução (3)
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Regras de Dedução (4)
 Exercício: Mostrar que a expressão proposicional abaixo
é uma tautologia.
 (P  Q) ↔ (¬P ∨ Q)
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Regras de Dedução (5)
 Exemplo: Suponha que uma hipótese de um argumento
proposicional seja expressa da seguinte forma:
 (¬A ∨ ¬B) ∨ C
 Então
uma seqüência de demonstração para o
argumento poderia começar com os seguintes passos:
 1. (¬A ∨ ¬B) ∨ C
hipótese.
 2. ¬(A ∧ B) ∨ C
1, De Morgan.
 3. (A ∧ B)  C
2, cond.
 Obs.:
 Tem-se
então na seqüência de demonstração a
substituição da proposição (¬A ∨ ¬B) ∨ C pela proposição
(A ∧ B)  C sem nenhuma perda de informação.
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Regras de Dedução (6)
 As regras de inferência dizem que se uma ou mais fbfs,
contidas na primeira coluna da Tabela de Regras de
Inferência (apresentada na próxima transparência),
fazem parte de uma seqüência de demonstração, então
pode-se adicionar uma nova fbf na seqüência,
substituindo as anteriores pelas fbfs correspondentes na
segunda coluna da tabela.
 A idéia básica de usar inferência é a da dedução de novas
proposições, a partir de proposições já conhecidas.
 Ao contrário das regras de equivalência, elas não
funcionam em ambas as direções.
 A Tabela de Regras de Inferência (ou Tabela de
Inferência ou Regras de Inferência) é apresentada a
seguir na próxima transparência.
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Regras de Dedução (7)
*
* P → Q, P
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Regras de Dedução (8)
 Silogismo:
 O silogismo é uma forma de raciocínio dedutiva. Na sua
forma padronizada é constituído por três proposições,
sendo que as duas primeiras denominam-se de premissas
e a terceira de conclusão.
 Silogismo Condicional:
 Silogismo em que a premissa maior não afirma nem nega de
modo absoluto, mas sim a título condicional.
 Exemplo
 Se chover, não vamos ao futebol.
 Chove.
 Portanto não iremos ao futebol.
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Regras de Dedução (9)
 Modus Ponens:
 (em latim: modo de afirmar) é um dos modos dos
silogismos condicionais, (normalmente abreviado para
mp).
 Se P, então Q.
 P.
 Portanto Q.
 O argumento tem duas premissas.
A
primeira premissa é a condição
nomeadamente que P implica em Q.
"se,
...,
então",
 A segunda premissa é que P é verdadeiro. Destas duas
premissas pode ser logicamente concluído que Q tem de ser
também verdadeiro.
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Regras de Dedução (10)
 Exemplo:
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Regras de Dedução (11)
 Exemplo:
 Se aquele animal for um gato, então aquele animal é
preguiçoso.
 Aquele animal é um gato.
 Logo, aquele animal é preguiçoso.
 Outro Exemplo:
 Se Maria ou Juliana vier então a festa será alegre e
divertida.
 Ou Maria ou Juliana virá a festa.
 Portanto, a festa será alegre e divertida.
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Regras de Dedução (12)
 Modus Tollens:
 (em latim: modo que nega) é o nome formal para a prova
indireta. Normalmente abreviado para mt.
 É um argumento comum, simples:
 Se P, então Q.
 Q é falso.
 Logo, P é falso.
 O argumento tem duas premissas.
A
primeira premissa é a condição "se, ..., então",
nomeadamente que P implica Q.
 A segunda premissa é que Q é falso. Destas duas premissas
pode ser logicamente concluído que P tem de ser falso. (Por
quê? Porque se P fosse verdadeiro, então Q seria verdadeiro,
pela premissa 1, mas não é, pela premissa 2).
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Regras de Dedução (13)
 Exemplo:
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Regras de Dedução (14)
 Exemplo:
 Se meu carro estiver no estacionamento, então estou no
IFSP.
 Eu não estou na IFSP.
 Logo, meu carro não está no estacionamento.
 Outro Exemplo:
 Se meu animal de estimação for um gato ou um cão, então
ele será um mamífero.
 Meu animal de estimação não é um mamífero.
 Portanto, meu animal de estimação não é nem um gato
nem um cão.
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Regras de Dedução (15)
 Exemplo: Suponha duas hipóteses (ou premissas) de um
argumento proposicional sejam expressas da seguinte
forma:
 A  (B ∧ C)
 A
 Então
uma seqüência de demonstração para o
argumento poderia começar com os seguintes passos:
 1. A  (B ∧ C)
hipótese.
 2. A
hipótese.
 3. B ∧ C
1,2, mp.
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Regras de Dedução (16)
 Exemplo: Suponha duas hipóteses de um argumento
proposicional sejam expressas da seguinte forma:
 (A ∧ ¬B)  C
 ¬C
 Então
uma seqüência de demonstração para o
argumento poderia começar com os seguintes passos:
 1. (A ∧ ¬B)  C
hipótese.
 2. ¬C
hipótese.
 3. ?
1,2, ?.
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Regras de Dedução (17)
 Exemplo: Suponha duas hipóteses de um argumento
proposicional sejam expressas da seguinte forma:
 (A  B) ∨ C
 A
 Então
uma seqüência de demonstração para o
argumento poderia começar com os seguintes passos:
 1. (A  B) ∨ C
hipótese.
 2. A
hipótese.
 3. ?
mp não se aplica.
 Para se aplicar regras de inferências, as fbfs tem que ter
a mesma forma apresentada na tabela de inferência.
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Regras de Dedução (18)
 Exemplo: Usando lógica proposicional, provar que o
argumento abaixo é valido.
 A ∧ (B  C) ∧ ((A ∧ B)  (D ∨ ¬C)) ∧ B  D
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Regras de Dedução (19)
 Exemplo: Usando lógica proposicional, provar que o
argumento abaixo é valido.
 A ∧ (B  C) ∧ ((A ∧ B)  (D ∨ ¬C)) ∧ B  D
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Regras de Dedução (20)
 Exemplo: Usando lógica proposicional, provar que o
argumento abaixo é valido.
 ((A ∨ ¬B)  C) ∧ (C  D) ∧ A  D
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Regras de Dedução (21)
 Exemplo: Usando lógica proposicional, provar que o
argumento abaixo é valido.
 ((A ∨ ¬B)  C)) ∧ (C  D) ∧ A  D
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Regras de Dedução (22)
 Sugestões para a dedução:
 Modus ponens é a regra de inferência mais intuitiva e deve
ser usada muitas vezes.
 Expressões (fbfs) da forma ¬(P ∧ Q) e ¬(P ∨ Q) dificilmente
são úteis em uma seqüência de demonstração.
 Usar as leis de De Morgan para convertê-las em
¬P ∨ ¬Q e ¬P ∧ ¬Q.
 Expressões (fbfs) na forma P ∨ Q também não são úteis
em seqüência de demonstração.
 Usar a dupla neg.para converter P ∨ Q em ¬(¬P) ∨ Q; e
 Depois usar a prop. condicional para obter ¬P  Q.
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Método Dedutivo (1)
 Suponha que o argumento que se deseja provar tenha o
seguinte formato,
 P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ... ∧ Pn → (R → S),
 onde a conclusão é uma implicação.
 Em vez de se usar P1, ..., Pn como hipóteses e inferir a
condicional R → S, o método dedutivo permite que se
adicione a proposição R como uma hipótese adicional e
depois se faça a inferência de S.
 Ou seja, deve-se provar
 P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ... ∧ Pn ∧ R → S
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Método Dedutivo (2)
 Exemplo: Usando lógica proposicional, provar que o
argumento abaixo é valido.
 (A  (A  B))  (A  B)
 equivale a
 (A  (A  B)) ∧ A  B
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Método Dedutivo (3)
 Exemplo: Usando lógica proposicional, provar que o
argumento abaixo é valido.
 (A  B) ∧ (B  C)  (A  C)
 equivale a
 (A  B) ∧ (B  C) ∧ A  C
 A demonstração acima descreve o que se denomina de
Silogismo Hipotético (sh).
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Método Dedutivo (4)
 No Silogismo Hipotético, a regra é:
 de P  Q  R, pode-se deduzir P  R.
 O que essa regra diz é que:
 (P  Q) ∧ (Q  R)  (P  R) é um argumento válido.
 Exemplo:
 Se o pássaro está perdido, então a porta da gaiola está
aberta.
 Se a porta da gaiola está aberta, então ele pode retornar a
gaiola.
 Logo, se o pássaro está perdido, então ele pode retornar a
gaiola.
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Método Dedutivo (4)
 Outro Exemplo:
 Se meu time jogar bem, então ele vencerá suas partidas.
 Se meu time vencer suas partidas, então ele se classificará
para as finais.
 Se meu time jogar bem, então ele se classificará para as
finais.
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Método Dedutivo (5)
 Exemplo: Usando lógica proposicional para demonstrar
que o argumento abaixo é valido:
 (¬A ∨ B) ∧ (B  C)  (A  C).
 A seguinte seqüência de demonstração
resultado:
prova
o
 Obs.:Pode-se demonstrar a validade do argumento sem
remover a proposição condicional da conclusão, ou seja,
 sem transformar (¬A ∨ B) ∧ (B  C)  (A  C) em
(¬A ∨ B) ∧ (B  C) ∧ A  C.
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Método Dedutivo (6)
 Exemplo: Usando lógica proposicional para demonstrar
que o argumento abaixo é valido, sem usar o silogismo
hipotético.
 (¬A ∨ B) ∧ (B  C)  (A  C).
 (¬A ∨ B) ∧ (B  C) ∧ A  C.
 A
seguinte
resultado.
 1. ¬A ∨ B
 2. B  C
 3. A
 4. A  B
 5. B
 6. C
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seqüência
de
demonstração
prova
o
hipótese.
hipótese.
hipótese
1, cond.
3,4, mp.
2,5, mp.
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Argumentos Verbais (1)
 Um argumento verbal em português, (por exemplo o
resumo de um advogado num tribunal, um discurso
político, etc.), formado por declarações simples, pode ser
testado logicamente por um processo de duas etapas:
 1. Simbolizar cada declaração usando fbfs proposicionais.
 2. Provar a validade do argumento, construindo uma
seqüência de demonstração por meio das regras de
dedução.
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Argumentos Verbais (2)
 Exemplo - Considere o seguinte argumento:
 Se a taxa de juros cair, o mercado imobiliário vai melhorar.
A taxa federal de descontos vai cair, ou o mercado
imobiliário não vai melhorar. A taxas de juros vai cair.
Portanto, a taxa federal de descontos vai cair.
 Simbolizando para lógica proposicional:
 J: A taxa de juros vai cair.
 I: O mercado imobiliário vai melhorar.
 F: A taxa federal de descontos vai cair.
 (J  I) ∧ (F ∨ ¬I) ∧ J  F
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Argumentos Verbais (3)
 O argumento fica da seguinte forma:
 (J  I) ∧ (F ∨ ¬I) ∧ J  F
 Uma seqüência de demonstração para se estabelecer a
validade desse argumento é:
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Argumentos Verbais (4)
 Exemplo - Considere o seguinte argumento:
 Meu cliente é canhoto mas, se o diário não tiver sumido,
então meu cliente não é canhoto; portanto, o diário sumiu.
 Simbolizando para lógica proposicional:
 C: Meu cliente é canhoto.
 D: O diário sumiu.
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Argumentos Verbais (5)
 O argumento fica da seguinte forma:
 C ∧ (¬D  ¬C)  D
 Uma seqüência de demonstração para se estabelecer a
validade desse argumento é:
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Argumentos Verbais (6)
 Exercício 1 da Lista 7 – Verifique a validade do seguinte
argumento:
 Se a segurança é um problema, então o controle será
aumentado. Se a segurança não é um problema, então os
negócios na internet irão aumentar. Portanto, se o controle
não for aumentado, os negócios na internet irão aumentar.
 Simbolize para lógica proposicional usando as letras
proposicionais S, C e N.
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Argumentos Verbais (7)
 Exercício 2 da Lista 7 – Verifique a validade do seguinte
argumento:
 Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou
a faca não estava na gaveta ou José viu a faca. Se a faca
não estava lá no dia 10 de outubro, então José não viu a
faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro,
então a faca estava na gaveta e o martelo estava no
celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no
celeiro. Portanto, senhoras e senhores, meu cliente é
inocente.
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