Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
10 Semestre de 2013
Matemática Discreta 1 – MD 1
Prof. Lineu Mialaret
Aula 9: Quantificadores, Predicados e Validade (1)
Matemática Discreta 1
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Introdução
 Fbfs proposicionais tem uma possibilidade limitada de
expressão.
 A expressão “Para todo x, x>0” pode ser considerada uma
proposição verdadeira sobre os inteiros positivos (ela tem
valor lógico verdadeiro).
 Porém ela não pode ser simbolizada adequadamente
usando-se apenas letras, parênteses e conectivos lógicos.
 Para
se representar expressões
incorporados dois novos conceitos:
 Quantificador.
 Predicado.
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desse
tipo
são
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Quantificadores e Predicados (1)
 Quantificadores representam frases do tipo “para todo”,
“para cada”, “qualquer que seja”, “para qualquer” ou
“para algum”, que dizem quantos objetos têm ou
possuem uma determinada propriedade (ou atendem
uma dada condição) em um dado conjunto de objetos,
denominado Universo de Discurso (UoD) ou Conjunto
Universo.
 O Quantificador Universal é simbolizado por  (que se lê:
“para todo” ou “para cada”, etc.)
 A sentença “Para todo x, x>0”, fica representada por
(x)(x>0) ou x(x>0).
 O quantificador atua sobre a expressão dentro do segundo
parênteses.
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Quantificadores e Predicados (2)
 Exemplo:
 Considere A ={a,b,c,d} o conjunto universo e uma
propriedade p(x) qualquer.
 Dizer que (x  A)p(x) (ou opcionalmente (x)p(x) ou
xp(x) é verdade equivale a dizer que
 p(a) ^ p(b) ^ p(c) ^ p(d) é verdade.
 Outro Exemplo:
 Considere A ={3,5,7,11,12} e p(x) é a propriedade “x é
primo”.
 Dizer que (x  A)p(x) é verdade equivale dizer que
 3 é primo ^ 5 é primo ^ 7 é primo ^ 11 é primo é verdade.
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Quantificadores e Predicados (3)
 Outro Exemplo:
 Seja o conjunto universo de x:
 “vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba” e
 Seja p(x) o predicado:
 “está cheia”.
 Logo a quantificação universal de p(x), (x)p(x), é uma
proposição (possui um valor lógico).
 Todas
as vagas de estacionamento
Caraguatatuba estão cheias.
do
IF
de
 Toda vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba
está cheia.
 Para
cada vaga de estacionamento do IF de
Caraguatatuba, o espaço de estacionamento está cheio.
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Quantificadores e Predicados (4)
 Outro Exemplo:
 Seja a proposição (n  N)(n + 5 > 3)
 Seu valor lógico é verdadeiro.
 Seja a proposição (n  N)(n + 5 > 7)
 Seu valor lógico é falso.
 Um outro exemplo:
 Seja a proposição (x  F), onde F é o conjunto de todas
as flores e a propriedade p(x) é que x é amarelo.
 Qual é o valor lógico de (x)p(x)?
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Quantificadores e Predicados (5)
 A frase “x>0” descreve uma propriedade (uma condição)
da variável x, a de ser positiva.
 Uma propriedade é chamada de predicado.
 A notação P(x) é usada para representar alguma
propriedade ou predicado, não explicitada, que a variável x
possa ter.
 Dessa forma, a expressão anterior “Para todo x, x>0”
assume a seguinte forma geral:
 (x)P(x) ou (x)p(x).
 Ou sem o parêntesis,
 xP(x) ou xp(x).
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Quantificadores e Predicados (6)
 O valor lógico da expressão (x)(x>0) depende do
domínio dos objetos sobre os quais se está referindo, ou
seja, a coleção de objetos das quais pode-se escolher x.
 Essa coleção ou domínio é chamada de Conjunto
Universo (ou UoD).
 Exemplo:
 Se o conjunto universo for o conjunto dos inteiros
positivos, a expressão (x)(x>0) tem valor lógico
verdadeiro.
 Se o conjunto universo for o conjunto de todos os
inteiros, a expressão tem valor lógico falso.
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Quantificadores e Predicados (7)
 O Quantificador Existencial é simbolizado por , o qual se
lê: “existe”, “existe algum”, “há pelo menos um” ou “para
algum”:
 Dessa forma, a expressão (x)(x>0) é lida como:
 Existe um x tal que x é maior que zero.
 O valor lógico da expressão (x)(x>0) depende do
domínio (conjunto universo) dos objetos envolvidos (que
está-se referenciando).
 Exemplo:
 Se o domínio (conjunto universo) contiver um número
inteiro positivo, a expressão tem valor lógico verdadeiro.
 Caso contrário, a expressão terá valor falso.
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Quantificadores e Predicados (8)
 Exemplo:
 Considere A ={a,b,c,d} e uma sentença p(x) qualquer.
 Dizer que (x  A)p(x) é verdade equivale a dizer que
 p(a) ∨ p(b) ∨ p(c) ∨ p(d) é verdade.
 Exemplo:
 Considere A ={3,4,5,7} e p(x) é a propriedade “x é par”.
 Dizer que (x  A)p(x) é verdade equivale a dizer que
 3 é par ∨ 4 é par ∨ 5 é par ∨ 7 é par é verdade.
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Quantificadores e Predicados (9)
 Exemplo:
 Seja o conjunto universo de x:
 “vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba”
 p(x) o predicado:
 “está ocupada”.
 Logo a quantificação existencial de P(x), (x)P(x), é uma
proposição (possui um valor lógico).
 Alguma
vaga de estacionamento
Caraguatatuba está ocupada.
 Existe
uma vaga de estacionamento
Caraguatatuba que está ocupada.
do
IF
do
IF
de
de
 Pelo menos uma vaga de estacionamento do IF de
Caraguatatuba está ocupada.
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Quantificadores e Predicados (10)
 Exemplo:
 Seja a proposição (n  N)(n + 4 < 8)
 Seu valor lógico é verdadeiro.
 Seja a proposição (n  N)(n + 5 < 3)
 Seu valor lógico é falso.
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Quantificadores e Predicados (10)
 Exercício1 - Forneça uma interpretação para a qual
(x)p(x) tem valor lógico falso.
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Quantificadores e Predicados (10)
 Exercício1 - Forneça uma interpretação para a qual
(x)p(x) tem valor lógico falso.
 Resposta:
 O conjunto universo é o conjunto de todos os peixes; e p(x)
é a propriedade que x pesa mais de um quilo e meio.
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Quantificadores e Predicados (10)
 Exercício 2 – Será possível encontrar uma interpretação
na qual, ao mesmo tempo, (x)p(x) tem valor lógico
verdadeiro e (x)p(x) tem valor lógico falso?
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Quantificadores e Predicados (10)
 Exercício 2 – Será possível encontrar uma interpretação
na qual, ao mesmo tempo, (x)p(x) tem valor lógico
verdadeiro e (x)p(x) tem valor lógico falso?
 Resposta:
 Não, se todos os objetos no conjunto universo satisfazem a
propriedade p(x), então (como o conjunto universo deve
conter no mínimo um objeto) existe um objeto no conjunto
universo com a propriedade p(x).
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Quantificadores e Predicados (10)
 Exercício 3 – Será possível encontrar uma interpretação
na qual, ao mesmo tempo, (x)p(x) tem valor lógico falso
e (x)p(x) tem valor lógico verdadeiro?
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Quantificadores e Predicados (10)
 Exercício 3 – Será possível encontrar uma interpretação
na qual, ao mesmo tempo, (x)p(x) tem valor lógico falso
e (x)p(x) tem valor lógico verdadeiro?
 Resposta:
 Seja o conjunto universo constituído do conjunto de todas
as pessoas que vivem em Caraguatatuba; seja p(x) a
propriedade que x é do sexo masculino. Observe que nem
todo mundo que vive em Caraguatatuba é do sexo
masculino, mas existe alguém que é.
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Quantificadores e Predicados (11)
 Os predicados vistos até agora envolvem apenas uma
variável.
 São denominados de predicados unários.
 Eles podem ser binários, ternários, etc.
 Exemplo:
 (x)(y)Q(x,y)
 A expressão (x)(y)Q(x,y) é lida como “para todo x
existe um y tal que Q(x,y)”.
 Se o conjunto universo é o dos números inteiros e Q(x,y) é
a propriedade x<y, a expressão é verdadeira.
 Seja a expressão (y)(x) Q(x,y)
 Qual é seu valor lógico?
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Quantificadores e Predicados (12)
 Em expressões do tipo (x)P(x) ou (x)P(x), a variável x
é chamada de variável muda ou aparente, ou seja, o
valor da expressão permanece o mesmo, em uma dada
interpretação, se as expressões forem escritas como
(y)P(y) ou (z)P(z).
 Exemplo:
 (x)(x é mortal) e (Fulano)(Fulano é mortal).
 (x) (x foi à Lua) e (Fulano) (Fulano foi à Lua).
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Quantificadores e Predicados (13)
 Pode-se ter constantes (a,b,c,1,2,...) nas expressões
(qualquer que seja o número de variáveis envolvidas),
como um objeto específico do domínio.
 Exemplo: seja a expressão (x)Q(x,a)
 Ela é falsa
– no caso em que o domínio (ou conjunto universo) é o
conjunto dos números inteiros,
– e o predicado Q(x,y) é a propriedade x<y e a
constante a tem o valor de 7.
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Quantificadores e Predicados (14)
 Definição - uma Interpretação para uma expressão lógica
envolvendo predicados consiste em:
 Uma coleção de objetos, chamada de conjunto universo ou
domínio da interpretação, incluindo pelo menos um objeto.
 A especificação de uma propriedade dos objetos do
domínio para cada predicado da expressão.
 A atribuição de um objeto particular no conjunto universo
para cada símbolo constante na expressão.
 Expressões
podem ser construídas combinando-se
predicados com qualificadores, parênteses, e conectivos
lógicos.
 Devem obedecer regras de sintaxe.
 Fbfs com predicados e quantificadores são fbfs predicadas.
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Quantificadores e Predicados (15)
 Exemplo de uma fbf não predicada:
 P(x)(x) ^ (y).
 Exemplos de fbfs predicadas:
 P(x) ∨ Q(y).
 (x)(P(x) → Q(x)).
 (x)S(x) ∨ (y)T(y).
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Quantificadores e Predicados (16)
 Escopo:
 Os símbolos de agrupamento (parênteses e opcionalmente
os colchetes) identificam o escopo de um quantificador, a
parte da fbf predicada à qual o quantificador se aplica.
 Em (x)(P(x) → Q(x)), o escopo do quantificador x é
P(x) → Q(x).
 Em (x)S(x) ∨ (y)T(y), o escopo de (x) é S(x) e o escopo
de (y) é T(y).
 Na expressão (y)(x)(R(y,b,t)  (z)P(z,a)) tem-se os
seguintes quantificadores e seus respectivos escopos  (y): (x)(R(y,b,t) → (z) P(z,a)).
 (x): (R(y,b,t) → (z) P(z,a)).
 (z): P(z,a).
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Quantificadores e Predicados (17)
 Variável Livre:
 Se alguma variável ocorre numa fbf predicada onde ela
não faz parte de um quantificador e nem está no escopo de
um quantificador envolvendo a variável, ela é denominada
de variável livre.
 Se há um quantificador que incide sobre a variável, diz-se
que ela é uma variável aparente ou muda.
 Exemplo:
 Na expressão (x)(Q(x,y) → (x)R(x,y))
 A variável y é uma variável livre (pois a sua primeira
ocorrência não é como variável de quantificador e nem
está no escopo de um quantificador envolvendo y.)
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Quantificadores e Predicados (18)
 Outro Exemplo:
 Na expressão (x)(3x – 1 = 14)
 A variável x é uma variável aparente ou muda, pois ela faz
parte de um quantificador.
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Quantificadores e Predicados (10)
 Exercício 4 – Encontrar o valor lógico da fbf predicada
abaixo,
 (x)(A(x) ∧ (y)(B(x,y) → C(y))
 Com a seguinte interpretação:
 O conjunto universo é o conjunto dos inteiros
 A(x) significa x>0
 B(x,y) significa x>y
 C(y) significa y ≤ 0
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Quantificadores e Predicados (10)
 Exercício 4 – Encontrar o valor lógico da fbf predicada
abaixo,
 (x)(A(x) ∧ (y)(B(x,y) → C(y))
 Com a seguinte interpretação:
 O conjunto universo é o conjunto dos inteiros
 A(x) significa x>0
 B(x,y) significa x>y
 C(y) significa y ≤ 0
 Resposta:
 Seja x = 1; então x é positivo, e qualquer número inteiro
menor do que x é ≤ 0, de modo que o valor lógico da
expressão é verdadeiro.
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