Capı́tulo 3
D in âm ic a
E x e rcı́c io 3.1 : Um homem de massa 90 kg está dentro de um elevador. Determine a forç a q ue o p iso ex erc e sob re o homem em c ada um dos seguintes c asos:
a) O elevador sob e c om veloc idade c onstante.
b ) O elevador desc e c om veloc idade c onstante.
c ) O elevador desc e c om movimento uniformemente retardado de ac eleraç ão
igual a 3 m/ s2 .
d) O c ab o do elevador p arte.
E x e rcı́c io 3.2 : Uma sonda meteorológic a c om a massa de 2 0 kg enc ontra-se
susp ensa de um b alão de hélio, p or meio de uma c orda.
a) S e, na sua viagem estratosféric a, o b alão sub ir c om uma ac eleraç ão máx ima
de grandez a 3 .5 m/ s2 , q ual é a tensão mı́nima q ue a c orda deverá sup ortar?
b ) E m q ue c ondiç ões seria a tensão na c orda igual ao p eso da sonda?
c ) S e a sonda e o b alão c aı́rem vertic almente c om ac eleraç ão de grandez a
4 .9 m/ s2 , q ual é a forç a q ue a c orda ex erc e sob re a sonda?
R ep resentar, num diagrama, as forç as q ue ac tuam na sonda p ara c ada uma das 3
situaç ões.
27
Dinâmica
Exercı́cio 3.3: Dois blocos A e B, de massas mA = 2 kg e mB = 1 kg respectivamente, estão em contacto e sobre uma mesa plana sem atrito. Uma força
horizontal é aplicada a um dos blocos:
F
A
B
F ig u ra 3 .1 : E x e rc´ıcio 3 .3 .
a) Se a força, com intensidade 3 N , for aplicada com o sentido indicado na
fi gura 3.1 , determinar a força de contacto entre os dois blocos.
b) M ostrar que, se uma força com igual grandeza mas sentido oposto for aplicada não no bloco A mas no bloco B, a força de contacto entre os dois blocos
será 2 N (de valor diferente do encontrado na alı́nea anterior).
Exercı́cio 3.4 : Um bloco A com 3 kg de massa é colocado sobre um bloco B de
massa igual a 5 kg, como mostra a fi gura 3.2. Admita que não há atrito entre o
bloco B e a superfı́cie sobre a qual está colocado. Os coefi cientes de atrito estático
e cinético entre os dois blocos são 0.2 e 0.1 , respectivamente, e todas as superfı́cies
em contacto são horizontais.
A
F
B
F ig u ra 3 .2: E x e rc´ıcio 3 .4 .
a) Q ual a força máxima que, aplicada paralelamente à superfı́cie, sobre o bloco
B, movimenta o sistema sem que os blocos se desloquem um em relação ao
outro?
b) Q ual a aceleração dos blocos na situação da alı́nea anterior?
c) Q ual a aceleração do bloco A, se a força aplicada no bloco B exceder o valor
calculado na primeira alı́nea?
28
Dinâmica
Exercı́cio 3.5: Dois blocos A e B, de massas m e 10 m, respectivamente, estão
colocados ao lado um do outro, sobre uma mesa plana e horizontal. Os coeficientes
de atrito estático e cinético entre os blocos e a mesa são µe e µc . Estando o conjunto
dos blocos inicialmente em repouso, aplica-se-lhes uma força horizontal como se
indica na figura 3.3.
B
F
A
B
A
F
Figura 3.3: Exercı́cio 3.5 .
a) Determinar a função F1 (m, µe ) que representa a intensidade máxima da
força F~1 , aplicada sobre o corpo A, de modo a que o sistema se mantenha
em repouso.
b) Obter a função F2 (m, µe ), intensidade máxima da força horizontal F~2 , aplicada sobre o corpo B, para a qual o sistema ainda se mantém em repouso.
c) C omparar os valores das intensidades das forças exercidas por um bloco
sobre o outro, em cada um dos casos anteriores.
d) Determinar a função a(F10 , m, µc ), aceleração do movimento dos blocos, se
a intensidade da força F~10 aplicada em A for maior que a de F~1 referida na
primeira alı́nea.
e) Retire-se a força F~10 e aplique-se F~20 = −F~10 em B; qual será a aceleração do
movimento de cada um dos blocos?
f) P ara as situações descritas nas duas alı́neas anteriores, quais serão as intensidades das forças que cada um dos blocos exerce sobre o outro?
Exercı́cio 3.6 : Os blocos A e B representados na figura 3.4 têm massas de 1 kg
e 2 kg, respectivamente. O bloco A está preso à parede por uma corda horizontal e
sobre B está a ser exercida uma força F~ horizontal de intensidade 12.5 N. Sabendo
que o coeficiente de atrito estático entre A e B vale 0.25 e que o corpo B está na
eminência de se mover, determine:
a) O coeficiente de atrito estático entre B e a superfı́cie em que está apoiado.
b) A tensão na corda.
29
Dinâmica
A
B
F
Figura 3.4: Exercı́cio 3.6 .
c) Sabe-se que o coeficiente de atrito cinético entre A e B é 10% inferior ao
coeficiente de atrito estático. Se o corpo B entrar em movimento, quanto
passará a valer a tensão no fio?
Exercı́cio 3.7: O bloco representado na figura 3.5 está prestes a cair! Sabendo
que as massas da esfera e do bloco são iguais, e que o coeficiente de atrito estático
entre todas as superfı́cies em contacto é µ, determine:
m
m
Figura 3.5: Exercı́cio 3.7.
a) o ângulo θ(µ);
b) a grandeza da tensão no fio T (m, µ).
Exercı́cio 3.8 : Um corpo de massa 50 g desce um plano inclinado, de altura
1 m e inclinação 30◦ , partindo do repouso da posição mais elevada do plano. O
coeficiente de atrito cinético entre o corpo e a superfı́cie do plano é 0.4.
a) Representar num esquema todas as forças aplicadas no corpo e calcular a
velocidade com que o corpo atinge a base do plano.
b) Calcular a velocidade com que o corpo atingiria a base do plano se não
houvesse atrito.
30
Dinâmica
Exercı́cio 3.9: Um bloco de 60 N de peso está apoiado num plano inclinado sem
atrito, que forma um ângulo de 20◦ com a horizontal. O bloco é empurrado para
cima por uma força de 30 N paralela ao plano. Qual é a aceleração do bloco?
Exercı́cio 3.10 : Supondo que os dois blocos, de massas m1 = 200 g e m2 = 130 g,
representados na figura 3.6 podem deslizar sobre as superfı́cies em que assentam
sem atrito, determine a aceleração de cada um e a tensão no fio.
m
m
6
0
º
3
0
º
Figura 3.6: Exercı́cio 3.10.
Exercı́cio 3.11: Dois blocos, de iguais dimensões, mas feitos de materiais distintos, encontram-se sobre um plano inclinado. F azendo variar a inclinação θ do
plano, verifica-se que o bloco B começa a deslizar para uma inclinação θ1 , enquanto
que o bloco A só começa a deslizar para um ângulo θ2 = 2θ1 .
Determinar, em cada um dos casos representados na 3.7 , o valor do ângulo
θ para o qual o conjunto começa a deslizar, considerando que, em qualquer dos
casos, os blocos são apenas justapostos e que não há movimento relativo entre eles.
A
B
I
B
A
B
II
A
III
Figura 3.7: Exercı́cio 3.11.
Exercı́cio 3.12:
a) Qual a força paralela ao plano que deverá ser aplicada a uma partı́cula de
massa m = 50 g, para que se encontre em repouso sobre um plano inclinado
que faz um ângulo de 20◦ com a horizontal? Suponha que o atrito entre o
plano e a partı́cula é desprezável.
31
Dinâmica
b) Se a mesma partı́cula for colocada sobre um outro plano com a mesma
inclinação, sendo o coeficiente de atrito estático entre o plano e a partı́cula
µ = 0.5, calcule a força máxima que se lhe pode aplicar, paralelamente ao
plano, no sentido ascendente e no sentido descendente sem que ela se mova.
Qual é o valor da força de atrito se a força aplicada paralelamente ao plano
for nula?
Exercı́cio 3.13: Um bloco de massa M = 500 g desliza sem atrito sobre uma
superfı́cie horizontal, unido por um fio a um corpo de massa m = 200 g (ver figura
3.8 ). No instante t = 0 s o bloco movia-se para a esquerda e passados 5 s volta a
passar pela posição inicial, movendo-se em sentido contrário. Calcule a velocidade
inicial e o espaço percorrido pelo bloco durante os primeiros 5 s do movimento.
M
A
Figura 3.8: Exercı́cio 3.13.
Exercı́cio 3.14: Nos extremos de uma corda, que passa por uma roldana com
eixo fixo, estão penduradas, a uma altura h = 2 m do chão, dois corpos cujas
massas são m1 = 100 g e m2 = 200 g (ver figura 3.9). No momento inicial os
corpos estão em repouso. Determinar a tensão da corda, quando os corpos se
movem e o tempo ao fim do qual o corpo de massa m2 atinge o chão.
m1
m2
h
Figura 3.9: Exercı́cio 3.14.
32
Dinâmica
Exercı́cio 3.15: Os corpos A e B representados na figura 3.10 têm massas iguais
a 3 kg e 2 kg, respectivamente. O corpo B está ligado ao chão pelo fio 2 e ao corpo
A pelo fio 1, que passa pela gola de uma roldana fixa presa ao tecto. Despreze o
atrito e a massa da roldana e considere os fios inextensı́veis e sem massa (roldana
e fios ideais).
1
A
B
2
Figura 3.10: Exercı́cio 3.15.
a) Calcule a tensão no fio 2.
b) Se cortar o fio 2, ao fim de quanto tempo os corpos A e B estão afastados
entre si de 2 m, medidos na vertical?
Exercı́cio 3.16: Nos extremos de um fio que passa por duas roldanas fixas,
foram suspensos dois pratos de balança; em cada um dos pratos foram colocados
corpos de peso total P , tal como indica a figura 3.11.
Se de um dos pratos da balança se retirarem alguns corpos, ficando o peso nesse
prato reduzido a 23 P , qual deverá ser o peso P 0 que se deve adicionar ao outro
prato, para que a tensão no fio continue a ter o mesmo valor?
Figura 3.11: Exercı́cio 3.16.
33
Dinâmica
Exercı́cio 3.17: No eixo de uma roldana móvel foi pendurado o corpo A de peso
P~ (como mostra a figura 3.12). Com que força F~ é necessário puxar o extremo
da corda, passando por uma segunda roldana, para que o corpo A se mova com
aceleração ~a no sentido ascendente? E para que o corpo fique em repouso? A
massa das roldanas e da corda são desprezáveis e o fio considerado inextensı́vel.
F
A
Figura 3.12: Exercı́cio 3.17.
Exercı́cio 3.18: O sistema representado na figura 3.13 está inicialmente em repouso, sendo as massas dos corpos A, B e C, respectivamente, iguais a m, 2 m e
1.6 m. As massas das roldanas e dos fios podem ser desprezados, e estes considerados inextensı́veis. Se o sistema for libertado, calcular:
C
A
B
Figura 3.13: Exercı́cio 3.18.
a) A aceleração de cada um dos corpos.
b) As intensidades das forças que os fios exercem sobre cada um dos corpos.
34
Dinâmica
Exercı́cio 3.19: Qual é a força com que é necessário empurrar o bloco de massa
M (figura 3.14) para que os corpos de massas m1 e m2 não se movimentem em
relação ao bloco de massa M ? Despreze todos os atritos, bem como as massas da
roldana e do fio, que se pode considerar inextensı́vel.
m
M
m
Figura 3.14: Exercı́cio 3.19.
Exercı́cio 3.20: Considere a situação representada na figura 3.15, em que não
h á atrito em nenh uma superf´ıcie. Q ual dev erá ser a relação entre as massas para
que m3 não se mov imente em relação a m2 ? Q ual é, neste caso, a aceleração do
conjunto?
m3
m2
α
m1
Figura 3.15 : Exercı́cio 3.2 0 .
Exercı́cio 3.21 : U ma curv a de raio 12 0 m é projectada para uma v elocidade de
circulação de 18 m/ s.
a) Q ual será o ângulo correcto para a inclinação da estrada se suposermos que
não h á atrito entre os pneus e a estrada?
b ) S e a curv a não for inclinada, qual é o coeficiente m´ınimo de atrito entre os
pneus e a estrada de modo que àquela v elocidade não h aja derrapagens?
35
Dinâmica
Exercı́cio 3.22: Um carro desloca-se numa estrada a 80 km/h, entrando numa
curva de 300 m de raio.
a) Se a superfı́cie da estrada estiver coberta com uma fina camada de gelo, qual
deve ser a inclinação mı́nima da curva para que o carro possa descrevê-la?
b) Quando o gelo funde, deix ando a descoberto a superfı́cie rugosa da estrada,
o coeficiente de atrito entre esta e os pneus do carro é 0.4 . Qual é então a
máx ima velocidade com que o automóvel pode dar a curva (cuja inclinação
é a calculada na alı́nea anterior) sem derrapar? O valor encontrado depende
da massa do carro?
Exercı́cio 3.23: Uma curva de uma estrada forma um arco de circunferência de
135 m de raio.
a) Se a curva tiver 7 .4 ◦ de inclinação, para que velocidade foi projectada?
Considere o atrito desprez ável.
b) Se o coeficiente de atrito entre o piso e os pneus de um carro que se encontre
a dar a curva for 0.4 , qual é a máx ima velocidade com que este poderá dar
a curva (sem se despistar)?
Exercı́cio 3.24 : Um fio de comprimento L, que se encontra preso a um ponto
fix o, tem numa ex tremidade uma massa m que gira em torno de um eix o vertical
com velocidade angular constante ω. D eterminar o ângulo θ que a corda faz com
a vertical.
Exercı́cio 3.25 : Um avião desloca-se horiz ontalmente com uma velocidade constante de 36 0 km/h arrastando um objecto com massa igual a 20 kg, o qual se
encontra suspenso do avião por meio de uma corda que forma com a vertical um
ângulo de 6 0◦ .
a) D etermine a força de resistência do ar ex ercida sobre o objecto.
b) P assando o avião a descrever circunferências de raio tal que a trajectória
do objecto suspenso é uma circunferência de raio 500 m, descrita com a
velocidade mencionada inicialmente, determine a tensão da corda.
36
Dinâmica
Exercı́cio 3.26: Uma pequena esfera encontra-se dentro de um tubo de vidro
que roda com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical (ver
figura 3.16). O atrito da esfera com o tubo de vidro é desprezável. Qual deverá
ω
h
θ
Figura 3.16: Exercı́cio 3.26.
ser a frequência de rotação do tubo para que a esfera permaneça em ” equilı́brio”
na posição indicada?
Exercı́cio 3.27 : Um corpo que serve de suporte a um foguete assenta sem atrito
sobre um plano horizontal, preso por um fio de comprimento 0.5 m a um ponto
fixo O, como mostra a figura 3.17. O conjunto, cuja massa pode considerar-se
constante e igual a 0.5 kg, parte do repouso no instante t = 0 s, com o fio esticado
e passa então a descrever uma trajectória circular, centrada em O. O foguete
ligado ao corpo tem uma direcção tangente à trajectória e comunica ao corpo uma
aceleração tangencial constante de módulo 2 m/s2 . O combustı́vel do foguete dura
apenas 10 segundos e tem massa desprezável.
O
Figura 3.17 : Exercı́cio 3.27 .
a) R epresentar num esquema a posição, a velocidade e a aceleração do conjunto
no instante t = 5 s, indicando a posição inicial escolhida.
b) Se o fio não suportar tensões superiores a 50 N , verificar se ele parte ou não,
antes de o combustı́vel acabar.
c) Se for usado um fio que não parte, caracterizar o movimento do conjunto a
partir do momento em que acaba o combustı́vel do foguete.
37
Dinâmica
Exercı́cio 3.28: Um bloco de 10 kg de massa repousa sem atrito, sustentado
por uma corda com 2 m de comprimento, sobre um plano inclinado que pode girar
em torno do eixo A B como mostra a figura 3.18.
A
3
0
º
B
Figura 3.18 : Exercı́cio 3.28 .
a) Determine a tensão na corda quando a velocidade de rotação do conjunto
constituı́do pelo plano inclinado e pelo bloco for igual a 10 rot/minuto.
b) Determine a velocidade angular a partir da qual o bloco começa a elevar-se
e abandona o plano.
Exercı́cio 3.29 : O carrocel de cadeiras suspensas representado na figura 3.19
roda com uma velocidade angular de 1.25 rad/s.
4m
2m
θ
Figura 3.19: Exercı́cio 3.29.
a) Se o peso de cada cadeira for 10 N, calcular o ângulo θ quando na cadeira
se senta uma pessoa que pesa 500 N.
b) E ste ângulo aumenta ou diminui se na cadeira estiver uma pessoa mais
pesada? E a tensão do fio?
38
Dinâmica
Exercı́cio 3.30: Um jovem encontra-se sobre uma balança-dinamómetro que,
por sua vez, se encontra sobre uma plataforma que desliza, sem atrito, sobre um
plano inclinado (ver figura 3.20). Se o peso habitual do jovem for 50 kgf quanto
marcará a balança dinamómetro nesta situação?
30º
Figura 3.20: Exercı́cio 3.30.
39
Dinâmica
3.1
Soluções da dinâmica
Solução 3.1:
a) F~ = 882 N.
b) F~ = 882 N.
c) F~ = 1152 N.
d) F~ = 0 N.
Solução 3.2:
a) Tmı́n ima = 266 N.
b) Se o movimento for rectilı́neo e uniforme.
c) F orça vertical, de baixo para cima, com intensidade igual a 98 N.
Solução 3.3:
a) 1 N.
Solução 3.4:
a) F~ = 15.68 N.
b) |~a| = 1.96 m/s2 .
c) |~a| = 0.98 m/s2 .
Solução 3.5:
a) F1 = 11µe mg .
b) F2 = 11µe mg .
(1)
c)
NA B = 10µe mg
(2)
NA B = µe mg
d) |a| =
40
F10
11m
− µc g.
Dinâmica
e) |a| =
f)
F10
11m
− µc g.
10
11 F1
1
11 F1
0(1)
B =
0(2)
NA B =
NA
Solução 3.6:
a ) µe = 0 .3 4 .
b ) T = 2 .4 5 N .
c ) T 0 = 2 .2 1 N .
Solução 3.7 :
1
3µ .
a ) tan (θ) =
b) T =
mg
2
9+
1
.
µ2
Solução 3.8 :
a ) |~v | = 2 .4 5 m / s.
b ) |~v | = 4 .4 3 m / s.
Solução 3.9 : |~a| = 1 .5 5 m / s 2 .
Solução 3.1 0 : a = 0 .3 7 m / s 2 ; T = 1 .0 5 N .
Solução 3.1 1 : θ =
i) θ1
ii) 2 θ1
iii) a rc ta n
mA ta n (2θ1 )+mB ta n (θ1 )
mA +mB
Solução 3.1 2 :
a ) F~ = 0 .1 6 8 N .
b)
Fm á x im a a sc e n d e n te = 0 .3 9 8 N
Fm á x im a d e sc e n d e n te = 0 .0 6 3 N
N ã o se a p lic a n d o n en h u m a fo rç a , a fo rç a d e a trito é 0 .1 6 8 N .
41
Dinâmica
Solução 3.13: |~vo | = 7 m/s; O bloco percorre 17.5 m nos primeiros 5 s.
Solução 3.14 : T = 1.31 N; ∆t = 1.11 s
Solução 3.15 :
a) T~ = 9.8 N.
b) ∆t = 1.01 s.
Solução 3.16: P 0 = P .
Solução 3.17:
M ov endo-se para cima : F = m g+a
2
E m repouso :
F = mg
2
Solução 3.18:
a)
aA = 0 m/s2
aB = −4.9 m/s2
aC = 2.45 m/s2
b)
FA = mg
FB = mg
FC = 2mg
2
Solução 3.19: F = (M + m1 + m2 ) m
m1 g.
Solução 3.20:
Solução 3.21:
a) θ = 15.4◦
b) µ = 0.28.
Solução 3.22:
a) θ = 9.5◦ .
42
m1
tan α = m1 +m
2 +m3
a = g tan α
Dinâmica
b) vmáxima = 42.3 m/s = 152 k m/h.
Solução 3.23:
a) |~v | = 13.1 m/s = 47 k m/h.
b) |~v | = 27.2 m/s = 98 k m/h.
Solução 3.24: θ = arccos
g
ω2 L
Solução 3.25:
a) F = 339 N.
b) T = 560 N.
Solução 3.26: f =
1
2π
g
h tan2 (θ)
Solução 3.27:
a) D iag rama.
b) P arte.
c) Movimento circular uniforme, com velocidade escalar ig ual a 20 m/s.
Solução 3.28:
a) 65.4 N.
b) 3.13 rad/s.
Solução 3.29:
a) θ = 41◦ .
b) O âng ulo não varia, enq uanto q ue a tensão no fi o é proporcional ao peso da
pessoa.
43
Dinâmica
Solução 3.30: Pmedido = 34 50 kgf.
44