DIFICULDADES NA COMPREENSÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS
INTEIROS E O PROCESSO OPERATÓRIO
Bianca Elisa Costa
Francisca Tiesley Soares Monteiro
Renata Roel Rodrigues Moreira Dutra
UFTM - Universidade Federal do Triângulo Mineiro
No presente trabalho analisamos o processo de ensino aprendizagem dos números
inteiros subsidiado pela intervenção realizada através de atividade reforço, com intuito
auxiliar a compreensão do conjunto dos números inteiros, em uma turma do 7º ano na
escola parceira do PIBID - Escola Estadual Paulo José Derenusson com a participação
de 26 alunos. A atividade foi desenvolvida pelos alunos bolsistas, professor supervisor e
coordenador do subprojeto de Matemática do PIBID - Projeto Institucional de Bolsas de
Iniciação a Docência. A apresentação do conceito dos números inteiros é imprescindível
para a construção do conhecimento, desta forma o aluno necessita ter entendimento
deste processo histórico e dos obstáculos encontrados no decorrer da evolução. Segundo
Teixeira (1993 p.61), o conjunto dos números inteiros foi construído a partir da
ampliação do conjunto dos números naturais, deste ponto de vista “as leis dos sistemas
de numeração seguem sendo cumpridas”. O conteúdo é apresentado atualmente de
forma lógica e organizado, portanto é do nosso conhecimento que a ampliação se
deparou com diversas dificuldades e obstáculos no decorrer da história ou evolução.
Diante toda a complexidade no que se refere o conteúdo dos números inteiros, a
dificuldade de alguns alunos em assimilarem operações matemáticas envolvendo-os,
pode estar relacionada ao processo de ensino aprendizagem desenvolvido nas series
iniciais, onde por vezes no conjunto dos números naturais é dado ênfase aos conceitos e
operações de forma concreta. Posteriormente no 6º ano o aluno se depara com um novo
conjunto numérico, o conjunto dos números inteiros, gerando a necessidade da
habilidade de abstração. Conforme ressalta Mariano e Matos (2013, p.6) “uma das
maiores dificuldades no entendimento das propriedades de números inteiros esta na
representação dos números negativos, pois exige um nível de abstração que, para grande
parte dos alunos, não foi satisfatoriamente trabalhada”. Estes fatores sugerem a
importância de se dedicar a ampliação do campo numérico, auxiliando o aluno na
construção de habilidades de abstração e entendimento dos conteúdos. A aplicação da
atividade indicou que será necessário fazer uma retomada da construção do conjunto
dos números naturais tendo em vista as dificuldades apresentadas pelos alunos,
principalmente operação de subtração no conjunto dos números.
Palavras-chaves: Números inteiros, campo numérico, operações com números inteiros.
Introdução:
Neves (2010, p.12), destaca que “em todas as épocas da evolução humana,
mesmo nas mais retrógadas, encontra-se no homem o sentido de número.” Isso nos
remete ao fato de que mesmo o homem não conhecendo a soma, quando se acrescenta
um objeto em certa quantidade de objetos já estabelecida, ele percebe que algo está
diferente, percebe o aumento de quantidade. O ser humano possui o sentido de número
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em relação ao aumento dos objetos, usando conscientemente ou não artifícios tais como
comparação, isso ocorre devido, “o sentido visual direto de número possuído pelo o
homem civilizado” (NEVES, 2010, p.12).
Morais (2010, p.18), destaca que “[...] o conhecimento matemático é um
produto do homem e, portanto, seu desenvolvimento se dá em função das necessidades
culturais de seu tempo”. A partir do momento em que o homem desenvolveu a
necessidade de contar e registrar as quantidades das coisas ao seu redor, ele deu início a
criação dos símbolos para representar essas quantidades. No entanto para que se
conseguisse interpretar os números, o homem necessitou representá-los por símbolos, “a
simbologia talvez tenha começado da seguinte maneira: as asas dos pássaros podiam
simbolizar o número dois, as folhas de um trevo, o número três [...]” (NEVES, 2010,
p.14). Talvez seja por esse motivo, que um símbolo para representar o “nada” compôs
um dos atos mais audazes da história do pensamento, não conseguir atribuir o valor
zero, para nenhum objeto.
Chegou um momento em que os números naturais já não eram suficientes para
representar todas as situações do cotidiano, dando origem a ampliação do campo
numérico.
A história dos números negativos amplia-se reciprocamente com a ampliação
da Álgebra, segundo Sá e Anjos (2011) apud Struik (1992), citado por, na antiguidade:
problemas ligado ao dia a dia dos matemáticos chineses conduziria os a
sistemas de equações lineares que era escrito na forma de matriz dos
coeficientes. A solução era dada pelo que nós chamamos hoje de
transformação de matrizes. É nestas matrizes que encontramos pela primeira
vez na história da matemática a presença dos números negativos. (p.3)
Entretanto, os chineses não concebiam o número negativo como ente
matemático isolado neste período, foi “[...] somente no século XIV que os matemáticos
passaram a aceitar os negativos como números válidos” (MORAIS, 2010, p. 20). No
entanto, ainda existia matemáticos no inicio do século XIX que não acreditavam na
existência real dos números negativos. A produção conceitual dos números inteiros foi
surpreendentemente lenta. O problema de legitimar os números negativos devia-se,
ainda, à tradição grega que avaliava como boa matemática tudo aquilo que pudesse ser
representado geometricamente. Algo semelhante ocorreu com a não aceitação do
número zero, tendo em vista a atribuição do valor “nada” a algum objeto.
Logo após os matemáticos passaram a discutir outros problemas que abrangiam
os números positivos e negativos. Uma seria o duplo significado do sinal menos, que
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poderia significar a operação de subtração, e o número inteiro negativo, sendo o sinal
menos atributo do número (MORAIS, 2010).
Segundo Meister (2009), os números inteiros só ganharam a atenção dos
matemáticos com a construção dos números complexos. Até então os números
negativos serviam para representar dívidas. O autor destaca ainda o fato do conceito de
número está muito atrelado ao conceito de grandeza, o que faz com que haja dificuldade
na compreensão dos números negativos, uma vez que tais grandezas estão associadas a
quantidades positivas. Portanto, os números inteiros encontraram diversas barreiras
antes que fossem aceitos de forma que hoje estudamos.
Ensinar nas series iniciais para muitos professores esta relacionado a
contextualização, a trabalhar com o concreto, esquecendo da importância do papel da
abstração e a generalização na construção do conhecimento. Sendo assim, isso em um
determinado momento os alunos tem dificuldades de compreender como podem existir
quantidades negativas, ou como as faltas podem ser apresentadas por números assim
como as quantidades, visto que estas já eram concebidas pelos números naturais
(MARIANO e MATOS, 2013). Para Costa (2007, p.67), “aprender adição e subtração
não se restringe a fazer contas de mais ou de menos. Essas operações são da mesma
natureza e podem ser usadas para resolver problemas que envolvam ganhar, perder, tirar
e comparar [...].
Várias situações de aprendizagem estão vinculadas a regras e memorizações,
conforme destaca Garcia (1997, p. 15l): Vários professores questionam porque as
crianças devem tomar posse do objeto de conhecimento matemático, reiventando e
recontruindo, quando para muitos professores é possível simplismente ensiná-las, no
significado restrito da palavra, ensinando a contar a somar, a subtrair, a multiplicar e a
dividir, somente. A autora destaca, ainda, que diversos elementos do processo de
aprendizagem foram esclarecidos pela psicologia cognitiva, mostrando que formulas,
regras, exercicios repetitivos e treino de algoritmo, não estabelem uma aprendizagem
significativa, visto que esta é construida essencialmente pela ação e reflexão da
criança.
De acordo com Teixeira (1993, p. 61) a capacidade de operar com números
naturais se constroi ao
longo do tempo, por
meio das vivências, pelo processo
aprendizagem matematica, demonstradas como formas de pensamentos, assim como
conceituar, fazer correspondências, classificar, ordenar, compor, reverter etc. A
construção dos números naturais tem diferentes níveis de compreensão, um dos níveis é
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o reconhecimento das propriedades: fechamento, comutativa, associativa, elemento
neutro e distributiva.
Conforme ressalta Mariano e Matos (2013, pg.06) “uma das maiores
dificuldades no entendimento das propriedades de números inteiros esta na
representação dos números negativos, pois exige um nível de abstração que, para grande
parte dos alunos, não foi satisfatoriamente trabalhada”.
Estes fatores sugerem a
importância de se dedicar a ampliação do campo numérico, auxiliando o aluno na
construção de habilidades de abstração e entendimento dos conteúdos.
Para um melhor entendimento da construção da aprendizagem em especial a
aprendizagem dos numero inteiros, após algumas leituras podemos perceber que a
aprendizagem é um processo que depende de vários fatores, Teixeira(1993) apud
Piaget ( 1965), ressalta que a construção dos conceitos matemáticos se baseia em um
movimento permanente de generalização completiva e de abstração reflexiva que
garante ao mesmo tempo a continuidade, bem como a novidade responsável pelos
progressos a que se chega.
No ensino aprendizagem o papel do professor como mediador é fundamental
para a construção do conhecimento, portanto suas práticas pedagógicas e didáticas
podem por vezes serem a grande responsável pelo sucesso ou insucesso do aluno.
A partir do momento que o professor do Ensino Fundamental, faz o diagnóstico
das dificuldades dos estudantes no processo de ensino aprendizagem , torna-se possível
elaborar práticas pedagógicas que contemplem a aprendizagem, possibilitando também
ao professor uma visão de como dar continuidade ao que já foi construído pelo aluno e
de fazer as devidas intervenções diante as dificuldades dos alunos.
Para alguns autores Passione (2002), Bini (2008) a compreensão dos números
inteiros devem ser relacionada com experiências e vivências do cotidiano dos alunos, a
fim de que os números inteiros esteja presente no contexto dos alunos. Passione (2002)
na perspectiva de diminuir as dificuldades dos alunos no ensino-aprendizagem sugere
atividades que privilegie este foco. Para Bini (2008), as dificuldades dos alunos devemse a ausência de harmonia entre o artifício de ensino e o de aprendizagem. A autora
sugere que se contemplem situações interativas entre professores e alunos para que se
possa ter um ensino de qualidade, contribuindo para construção dos conhecimentos do
conjunto dos números inteiros. Tais situações contribuem para a construção do
conhecimento por parte dos estudantes no campo conceitual dos números inteiros. Essas
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situações mencionadas devem decorrer de jogos, desafios, resoluções de problemas, e
discussões sobre o tema proposto.
Por meio dessas atividades o aluno se sente motivado a participar das
discussões, construindo o saber, o que por vezes não ocorre quando o professor
apresenta o conceito já estruturado como algo definido, pronto e acabado. Desta forma,
o aluno sente-se participante do processo, passa a ser visto como um ser ativo,
questionador, pensante e critico.
Desenvolvimento:
Este trabalho foi desenvolvido a partir de discussões entre o professor supervisor
e os alunos bolsistas. As discussões trouxe a tona a necessidade de trabalhar com a
dificuldades dos alunos do 7º ano, na compreensão do conjunto dos números inteiros e
suas operações. Inicialmente o professor já havia trabalhado o conteúdo em sala de aula,
portanto para entendermos as dificulades, foi elaborada pelos alunos bolsistas uma
atividade contemplando o conjunto dos números inteiros.
Dividimos a sala em 6 seis grupos, contendo de três a quatro alunos, com um
bolsista do PIBID (Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência) por grupo
auxiliando-os quanto ao desenvolvimento da atividade. A atividade era composta por
operações de adição e subtração de números inteiros, assim como multiplicação e
divisão, sendo algumas dessas operações envolvendo as propriedades associativa,
comutativa, distributiva e elemento neutro.
Iniciamos a atividade, abordando a necessidade da criação do conjunto dos
números inteiros, foi utilizada como recurso metodológico a formulação de questões
norteadoras utilizadas com o intuito desenvolverem os conteúdos paralelamente com o
desenvolvimento histórico do conjunto dos números inteiros.
Dando continuidade ao desenvolvimento da atividade um dos bolsistas do
PIBID, trabalhou com exemplos desenvolvidos no quadro negro e fez questionamentos
para os alunos referente as propriedades (associativa, comutativa, distributiva e
elemento neutro), para que pudéssemos ao mesmo tempo perceber os conhecimentos e
as dificuldades dos alunos com relação a este tema. No decorrer do desenvolvimento da
atividade os alunos foram externando suas dúvidas.
Resultados/Conclusões:
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Boa parte dos alunos apresentaram muitas dificuldades ao realizarem operações
de adição, subtração, multiplicação e divisão, dentro do conjunto dos números inteiros,
os alunos não estavam conseguindo fazer operações básicas como as citadas acima, tais
operações eram formadas inicialmente somente envolvendo números positivos.
Outra dificuldade notada, refere-se a interpretação da operação de multiplicação,
mais especificamente por parte dos alunos, quando se envolvia o sinal de menos, antes
de um número negativo. Um dos exercícios propostos solicitava para que os alunos
eliminassem os parênteses, “Elimine os parênteses”, era esperado que os alunos
conseguissem desenvolver a operação de multiplicação que estava ali implícita, tal
como -(-3), neste momento os alunos eram questionados pelos bolsistas qual sinal era
obtido eliminando os parênteses. Isso com o intuito de auxiliar na compreensão futura,
para que quando se fizesse a operação de, (5) – (-3), compreendesse que eliminando o
parêntese chegaria ao resultado 5 + 3 = 8. O exercício era formado também, por sinais
iguais positivos, tanto dentro quanto fora do parêntese, tais como, +(+8), e sinais
diferentes como, -(+9), e +(-78), neste caso para notarem que independente do sinal
estar fora do parênteses ser positivo ou negativo, sendo eles sinais diferentes, resultaram
em um sinal negativo.
Esta estratégia também foi utilizada nos exercícios que abordavam as
operações de multiplicação e divisão, sempre que houvesse dois números que
estivessem multiplicando com sinais diferentes o resultado seria um número negativo, e
se houvesse dois números com sinais iguais multiplicando ou dividindo, o resultado
seria um número positivo.
O ideal seria identificar os conhecimentos que os alunos trazem sobre números
naturais e inteiros e a partir deste pensar em estratégias que favoreçam a ampliação do
campo numérico.
A dificuldade por parte dos alunos se torna compreensível, tendo em vista a
associação dos números à noção de grandeza. Diante de toda a dificuldade observada e
dos subsídios teóricos que foram utilizados neste trabalho, entendemos que se faz
necessário trabalhar em um segundo momento utilizando recursos como situações
contextualizadas, jogos e matérias manipuláveis a fim de auxiliar o ensino
aprendizagem da matemática em relação ao conjunto dos números inteiros. Neves
(2010, p.81) fala que, “ao jogar, o aluno constrói relações quantitativas e lógicas, que se
caracterizam pela a aprendizagem em raciocinar e demonstrar [...]”, sendo possível por
parte dos alunos a aceitação dos números negativos, desde o inicio do jogo e sua
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manipulação, visualizando e acompanhando o desenvolvimento do jogo e as operações
existentes ,que resultaram em um valor final, um número negativo ou não. Toda a
interatividade relacionada a contextualização, materiais manipuláveis e jogos
contribuirá para motivar o processo de ensino aprendizagem.
Referências:
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campo conceitual da matemática. Dissertação de mestrado em Educação Matemática,
PUCRS,
2008.
Disponível
em
<tede.pucrs.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=1209>. Acesso em outubro de 2014.
COSTA, Carolina. Como se aprendem adição e subtração. Revista Nova Escola. São
Paulo: Fundação Victor Civita, 2007 p.67-78.
GARCIA, Sônia Maria dos Santos. O Conhecimento Matemático nas Séries Iniciais:
Problemas e Propostas. Ensino em Re-Vista 5(1):149-172.jul 96 jun 97.
MARIANO, Adolfo César Souza; MATOS, Fábio Alexandre de. O Ensino de
Números Inteiros no Ensino Fundamental. Trabalho de Conclusão de Curso do
Mestrado Profissional em Matemática, PROFMAT, UFSJ, 2013. Disponível em <
http://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/profmat/TCC_Adolfo.pdf >. Acesso em
outubro de 2014.
MEISTER, Julio César. Estudando Dificuldades na Compreensão de Números
Inteiros. Trabalho de Conclusão de Curso. Universidade Federal do Rio Grande do Sul
– UFRGS. Porto Alegre/RS. 2009.
MORAIS, Anuar Daian de. Fórmula (-1): Desenvolvendo Objetos Digitais de
Aprendizagem para Operações com Números Positivos e Negativos. Dissertação de
Mestrado. Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS. Porto Alegre/RS.
2010.
NEVES, Renato Silva. O Uso de Jogos na Sala de Aula para dar Significado ao
Conceito de Números Inteiros. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal de São
Carlos – UFSCar. São Carlos/SP. 2010.
PASSIONE, João Carlos. (Pré-)Álgebra: introduzindo os números inteiros negativos.
Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, PUC-SP, 2002. Disponível em
http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/principal-acad.html. Acesso em outubro de 2014.
SÁ, Pedro Franco de. ANJOS, Luis Jorge Souza dos. Números Negativos: Uma
trajetória Histórica. Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática. 2011.
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TEIXEIRA, Leny Rodrigues Martins. Aprendizagem Operatória de Números
Inteiros: Obstáculos e Dificuldades, in Proposições, vol. 4, número 1[10], março 1993.