MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Geometria
Analítica no
Plano: Elipse,
Hipérbole e
Parábola
I. Pontos principais:
A2, A1, B2 e B1
– vértices
F2 e F1
– focos
C – centro
Elipse
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano,
tais que, F2F1 = 2c 0, chamamos elipse o lugar
geométrico dos pontos desse plano, cuja soma das
suas distâncias aos dois pontos F2 e F1 é a constante
2a > 2c.
Elementos da elipse
B1
(d2)
M
(d1)
N
P
F1
II. Segmento:
A2A1
– eixo maior
– m(A2A1) = 2a
B2B1
– eixo menor
– m(B2B1) = 2b
F2F1
– distância focal – m(F2F1) = 2c
Os vetores de origem num dos focos e extremidade em qualquer ponto da elipse são chamados
raios vetores: F2P,F1P etc.
Da definição, decorre:
F2M + F1M = F2N + F1N = F2A + F1A = F2P
+ F1P = ... =
= F2A1 + F1A1 = F2A1 + F2A2 = 2a
m(A2A1)
= 2a
III. Relações:
A1
e= c <1 Excentricidade
a
EM_V_MAT_021
a2=b2+c2
B2
Relação notável tirada do triângulo retângulo B1CF1
p=
b2
Parâmetro.
a
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1
“Parâmetro de uma cônica é a semicorda focal
mínima.”
p=
b2
a
Equações
Equação espontânea ou natural
Da definição tiramos:
F2P + F1P = 2a
I. Equação reduzida: Como u=dF2P e v=dF1P , a
dedução é imediata:
(x – c)2+y2=2a
x2+2cx+c2+y2 = 2a – x2–2cx+c2+y2
x +2cx+c +y =4a – 4a x –2cx+c +y
+x2–2cx+c2+y2
2
2
2
2
+
(y–n)2
b2
=1
e se C(m, n) e A2A1 paralelo ao eixo y:
IV. Retas
Diretrizes da elipse são duas retas, (d1) e (d2),
a
perpendiculares ao suporte do eixo maior, distando
e
do centro da curva.
(x+c)2+y2+
(x–m)2
a2
2
2
(x–m)2
b2
+
(y–n)2
=1
a2
IV. Equação geral: A equação geral é obtida pelo
desenvolvimento das formas reduzidas.
Consideremos a elipse:
(x–m)2
E1
+
(y–n)2
=1
E2
com E1 E2 e ambos positivos.
Desenvolvendo e ordenando:
E2x2 + E1y2 – 2E2mx – 2E1ny + E2m2 + E1n2 –
E1E2 = 0
Hipérbole
2
a x2–2cx+c2+y2 = a2– cx
a2x2– 2a2cx+a2c2+a2y2=a4–2a2cx+c2x2
a2x2 – c2x2+a2y2=a4– a2c
(a2– c2)x2+a2y2=a2(a2– c2)
b2x2+a2y2=a2b2
Dividindo ambos os membros por a2b2
x2 y2 = 1
+
a2 b2
Uma das propriedades das hipérboles acontece
em óptica geométrica. Um raio de luz que se aproxima
de uma hipérbole, em direção a um foco, se reflete
para fora da mesma em direção ao outro foco.
Dados 2 pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais
que, F2 F1 = 2c ≠ 0, chamado hipérbole o lugar geométrico dos pontos desse plano, cujo módulo da
diferença de suas distâncias aos dois pontos F2 e F1
é a constante 2a < 2c.
Elementos da hipérbole
As diretrizes terão, nesse caso, as equações:
a
x=± e
II. Se C = 0, porém, A 2A1 y’y, a equação
difere da inicial na colocação do a2 e do b2. Então,
decorre:
III. Quando a elipse tem seu centro no ponto
C(m, n) e A2A1 paralela ao eixo x.
2
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EM_V_MAT_021
x2 + y2 =1
b2 a2
I. Pontos principais:
A1 e A2 – vértices
F2 e F1 – focos
C
– centro
II. Segmentos:
A2A1 – eixo real ou transverso – m(A2A1)
= 2a
j
B2B1 – eixo imaginário ou não–transverso
– m(B2B1) = 2b
F2F1 – distância focal – m(F2F1) = 2c
Os vetores de origem num dos focos e extremidade em qualquer ponto da hipérbole são chamados
raios vetores: F2P, F1P etc.
Da definição de hipérbole, concluímos que:
| F2Q – F1Q | = | F2P – F1P|= ... = | F2A2 – F2A1
| = |F2A1 – F1A1 | = 2a → m(A2A1) = 2a
III. Relações:
c
> 1 (Excentricidade)
a
2
2
c ­= a + b2 (Relação notável tirada do triângulo retângulo CA1M)
e=
2
p = b (Parâmetro)
a
IV. Retas:
Diretrizes são duas retas, (d1) e (d2), perpendiculares ao suporte do eixo real, distando a
e
do centro da hipérbole.
Assíntotas são duas retas, (a1) e (a2), que passam pelo centro da hipérbole e posições–limite das
tangentes a ela, quando os pontos de contato se
afastam indefinidamente.
Equações
Decorre da definição que:
|F2P |– F1P| = 2a ou u – v =
equação espontânea.
I. Equação reduzida:
2a
(x+c)2 +y2 – (x – c)2 +y2 = 2a
(x+c)2 +y2 = 2a + (x – c)2 +y2
2
x + 2cx + c2 + y2 =
= 4a2 4a x2 – 2cx + c2 + y2
+x2– 2cx + c2 + y2
4cx – 4a2 = 4a x2 – 2cx + c2 + y2
cx – a2 =
x2 – 2cx + c2 + y2
c2x2 – 2a2cx + a4 = a2x2 – 2a2 cx + a2c2 + a2y2
c2x2 – a2x2 – a2x2 – a2y2 = a2c2 – a4
(c2 – a2) x2 – a2y2 = a2 (c2 – a2)
b2x2 – a2y2 = a2y2
Dividindo ambos os membros por a2b2, temos:
y2
x2
–
=1
a2
b2
Para y = 0, temos: x = a, abscissas dos vértices A1 e A2.
Para x = 0, temos: y = bi, o que significa que
a curva não é interceptada pelo eixo dos y.
As equações das diretrizes (d1) e (d2) são
EM_V_MAT_021
Seja a hipérbole de eixos real A2A1 e imaginário
B2B1, referida num sistema x O y, de tal modo que seu
centro C = 0 e A2A1 está contido em x’x. Consideremos P(x, y) o ponto genérico da curva.
Equação espontânea ou natural
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3
a
, pois são retas paralelas ao eixo y’y.
e
As equações das assíntotas, retas que passam
pelo centro e, neste caso C = 0, serão do tipo y = tg
b
.x y=
x
a
II. Se C = 0 e A2A1 contido em y’y, como na
elipse, a equação da hipérbole assumirá a
forma:
x=
y2
x2
+
=1
a2
–b2
As diretrizes são, agora, paralelas ao eixo
x’ x e suas equações:
Parábola
A interseção de um plano com um cone dá origem às cônicas. Neste módulo veremos uma dessas
cônicas, a parábola.
Elementos da parábola
Parábola é o lugar geométrico dos pontos de um
plano, situados a igual distância de uma reta fixa (d)
e de um ponto fixo F não pertencente a (d), do plano
considerado.
a
e
a
e as assíntotas: y =
x
b
III. Quando a hipérbole tem seu centro no ponto
C (m, n) e A2A1 // x’x
y=
Aplicando a translação de eixos x’ = x – m e
y’ = y – n logo,
(x–m)2 – (y–n)2 = 1
a2
b2
As equações das diretrizes são
x=m
a
e
a das assíntonas
b (x – m)
a
e C 0, com A2A1//y’ y
(x–m)2 + (y–n)2 = 1
–b2
a2
As equações das diretrizes assumem a forma y = n a e as das assíntonas y = n a
e
b
(x – m)
IV. Equação geral: A equação geral é obtida pelo
desenvolvimento das formas reduzidas.
Consideramos a hipérbole
(x–m)2 + (y–n)2 = 1
E1
E2
tendo E1 e E2 sinais contrários.
Se E1 > 0 e E2 < 0, sabemos que E1 = a2 e E2
= –b2 então, o eixo real é horizontal.
Se E1 < 0 e E2 > 0, E2 = a2 então, o eixo real
é vertical.
4
I. Pontos principais:
F – foco
V – vértice
II. Segmentos:
V’F = p – parâmetro (semicorda focal mínima)
FP – raio vetor
III. Relação:
Relação notável VF = p
2
IV. Reta e eixo:
A reta fixa (d) é a diretriz e e, eixo que passa
pelo foco é perpendicular à diretriz, eixo de
simetria da parábola.
Da definição da parábola, concluímos que:
FT = UT, FP = MP, FR = SR = p, FQ = NQ etc.
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EM_V_MAT_021
y= n
Equações
Seja a parábola de foco F e diretriz (d), referida
num sistema x O y, de tal modo que V = 0, o eixo de
simetria coincida com o eixo x. Seja P(x, y) o ponto
genérico.
Equação espontânea ou natural: no sistema
foco–diretriz a equação espontânea da parábola é
FP = MP ou u = v
(1)
III. Quando a parábola tem V(m, n), portanto,
V ≠ 0 e o eixo de simetria paralelo ao eixo 0x,
vem
(y’)2 = 2px
e aplicando a translação de eixos de I resulta
(y – n)2 = 2p(x – m) ou (y – n)2 = –2p(x – m)
(x – m)2 = 2p(y – n) ou (x – m)2 = –2p(y – n)
e as equações das diretrizes, respectivamente,
y=n± p
2 .
IV. Equação geral: a equação geral é obtida,
como vimos, desenvolvendo as reduzidas.
Assim: (y – n)2 = 2p(x – m), parábola com eixo
horizontal,
j
y2 – 2ny + n2 = 2px – 2mp ⇒
⇒x=
1 y2 – n y + n2 + 2mp
(1)
2p
p
2p
1 <0
1 >0
, concavidade à direita e
,
2p
2p
concavidade à esquerda.
Se
I. Equação reduzida: o ponto F tem coordenap,0
das
2
calculemos u e v
2
u = dFP =
x– p + y2 e v = p + x
2
2
Igualando, conforme (1), vem:
2
x– p + y2 = p + x
2
2
2
2
x2 – px + p + y2 = p + px + x2
4
4
y2 = 2px
p
2
II. Se V = 0 e o eixo de simetria coincidir com o
eixo dos y as coordenadas do foco passam a
p
ser 0 , , então a equação da parábola toma
2
a forma
Equação da diretriz x=–
EM_V_MAT_021
x2 = 2py
e a da diretriz
y=–
p
2
De (x – m)2 = 2p(y – n), parábola com eixo
vertical,
x2 – 2mx + m2 = 2py – 2np ⇒
1
m x + m2 + 2np
(2)
⇒ y = x2 –
2p
p
2p
1
1
Se > 0 , concavidade para cima e < 0,
2p
2p
concavidade para baixo.
Uma equação do 2.º grau com duas variáveis
representa uma parábola com eixo horizontal
ou vertical se, e somente se, for redutível às
formas:
x = ay2 + by + c, com a ≠ 0
(3)
ou
y = ax + bx + c, com a ≠ 0
2
(4)
Comparando (1) e (3):
1
a= 1 ⇒ p=
2a
2p
n ⇒ n = – bp ⇒ n= – b
b= – p
2a
2
n
+2mp
c=
⇒ 2cp = n2 = 2mp ⇒
2p
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5
c2 = a2 – b2 = 100 – b2
c 3
3
3
c = . a = . 10 = 6
=
a 5
5
5
2
2
2
⇒ c = b 2+ m ⇒ m = 4ac – b ou m = b – 4ac
a 4a a
4a
4a
–Δ , – b
então, o vértice é e V
o parâmetro
4a 2a
1
p=
2a .
De modo análogo, comparando (2) e (4),
concluímos que o vértice é V
parâmetro p = 1 .
2a
Assim, :
b2 = 64
(y–1 )2
(x+2)2
=1
+
100
64
–b , –
e o
2a 4a
1. Escreva a equação da elipse de C = 0, A2A1 sobre y’y,
eixo maior 10 e distância focal 8.
``
Então, c2 = 36 =100 – b2
Solução:
A equação procurada é do tipo
2
x 2 + y =1
2
2
a b
4. A segunda Lei de Kepler mostra que os planetas
movem-se mais rapidamente quando próximos ao
Sol do que quando afastados dele. Lembrando que
os planetas descrevem órbitas elípticas nas quais o
Sol é um dos focos, podemos afirmar que, dos pontos
assinalados na figura, aquele no qual a velocidade da
Terra é maior, é o ponto:
e
2x = 8
a=5
c=4
a) A
Da relação notável a2 = b2 + c2
a equação procurada é:
x2 + y2 =1
9 25
b = 25–16=3 logo,
b) B
c) C
d) D
2. Escreva a equação da elipse de eixos 20 e 16, tendo
C =(0, 0) e eixo maior pertencente ao eixo x.
``
Solução:
2a = 20 a = 10
2b = 16
6
``
Solução: E
Velocidade maior
está mais próximo do Sol.
dSol , A = a + c
b=8
e a elipse tem por equação
2
2
x 2 + y =1, logo x 2 + y =1
2
2
100 64
a b
3. Determine a equação da elipse de centro (–2, 1), excentricidade 3 e eixo maior horizontal de comprimento
5
20.
``
e) E
Solução:
Elipse C(–2, 1)
C= 3
5
(x–xC )2 (y–yC )2
+
=1
=
a2
b2
Eixo maior horizontal de comprimento 20 2a = 20,
a = 10, pois a é o comprimento do semieixo maior.
dSol , B = a
2
dSol , C = a – c
a
dSol , D dSol, C
dSol , E = a – c
x2 + 4c2 = 4a2 – 4ax + x2
c2 = a2 – ax
ax = a2 – c2
2
x=a–c
a
Logo, a menor distância é (E).
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EM_V_MAT_021
2a = 10
5. Determine as coordenadas do centro e dos vértices
da hipérbole x2 – 4y2 + 6x – 8y + 21 = 0, verificando a
direção do eixo real e determinando as equações das
diretrizes e assíntotas.
7.
Determine as coordenadas dos focos e dos vértices, as equações das diretrizes, as equações das
assíntotas e as equações paramétricas da hipérbole
9x2 – 16y2 – 144 = 0.
``
``
Solução:
Solução:
x2 + 6x + 9 – 4y2 + 8y – 4 + 4 + 21 = 0
Escrevamos a equação dada na forma reduzida
(x2 + 6x + 9) – (4y2 – 8y + 4) = –16
x 2 – y 2 = 1 (eixo real horizontal)
16 9
(x + 3) – (2y – 2) = –16
2
2
(x–3)2
[2(y –1)]2
–
=1
–16
–16
Então, a2 = 16 ⇒ a = 4 e b2 = 9 ⇒ b = 3
(x+3)2
4(y –1)2
+
=1
–16
16
Os focos são: F( 5;0)
Da relação notável, c2 = a2 + b2, resulta c = 16 + 9 = 5
As equações das diretrizes: x =
(x+3)2
4(y –1)2
+
=1
–16
16
(x+3)2
(y –1)2
+
=1
–16
4
As equações das assíntotas: y =
b2 = 16 e a2 = 4
As equações paramétricas:
b=4ea=2
4
5
4
16
5
x=
b x
a
y=
3 x
4
x = 4 sec
y = 3 tg
C (–3, 1); A1 (–3, 3) e A2 (–3, –1)
O eixo real é vertical.
a
e
As diretrizes (d) y = n
c2 = 16 + 4 = 2 5
c2 = a2 + b2
= 5
2
5
As assíntotas (a) y = n
c= 2 5
2
3 , 15 é um ponto da hipérbole x2-y2/3 = 1,
2 2
cujos focos são F1 e F2 , então o triângulo AF1F2 é :
8. A
logo, y = 1
2 . (x+3) x
4
y=1
a) retângulo e isósceles.
a (x – m)
b
c) acutângulo e isósceles.
(x+3)
2
y=1
6. O gráfico da equação x² – y² = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são:
a) (1/2, 0) e (–1/2, 0)
b) (2, 0) e (–2, 0)
d) acutângulo e escaleno.
``
Solução: C
A 3 , 15
2 2
d) (0, 2 ) e (0,– 2 )
Solução: C
AF1 =
–2 – 3
2
AF2 =
2– 3
2
x2 – y2 = 4
C = (0, 0)
a=b=2
c =a +b =8
EM_V_MAT_021
2
2
2
2
F1
F1 = (–2, 0) F2 = (2, 0)
e) (0, 1/2) e (0, –1/2)
a2 = b2 = 4
x 2– y = 1; c2 = a2 + b2 = 1 + 3 = 4
3
c=2
c) (2 2 , 0) e (–2 2 , 0)
``
b) obtusângulo e escaleno.
c=2 2
2
2
+ 15 = 4
4
F1F2= (2 +2) 2 = 4
Como o sinal positivo está no x , a hipérbole tem seu eixo
real sobre o eixo x, ou seja, os focos serão:
2
(–2 2 , 0) e (2 2 , 0)
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4
4
+ 15 = 2
4
A
2
F2
7
Logo, o triângulo já é isósceles. Vejamos se é retângulo:
2p (x – xV) = (y – yV)2 xv = 2 + p = 3
2
42 = 42 + 22 (F)
22 = 42 + 42 (F)
Logo, o triângulo AF1F2 é isósceles e acutângulo.
9. Determine o vértice, o parâmetro, o foco e a equação
da diretriz da parábola y = x2 – 6x + 8.
``
Solução:
O eixo é vertical e como
1
Δ = 36 – 32 = 4 ⇒ V(3, –1) e p =
2
A equação da diretriz é y = –1–
Então, 4(x – 3) = (y – 3)2
1=– 5
e F 3, - 3 .
4
4
4
10. D
etermine a equação da parábola de foco F(3, 3) e diretriz
y = 1.
``
Solução:
F (3, 3)
diretriz: y = 1
Sabemos que a equação da reta diretriz é yd = yf – p
⇒ p = 2 e que corresponde a uma parábola com a concavidade na direção vertical. A equação da parábola é:
2|p|(y – yV) = (x – xV)2
yV = 1 +
|p|=2
2
12. A figura a seguir representa uma nave espacial que
se desloca numa região do espaço onde as forças
gravitacionais são desprezíveis. A nave desloca-se
de X para Y, em linha reta, com velocidade constante.
No ponto Y, um motor lateral da nave é acionado,
exercendo sobre ela uma força constante, perpendicular à sua trajetória inicial. Depois de um certo
intervalo de tempo, quando a nave se encontra em
Z, o motor é desligado.
O diagrama que melhor representa a trajetória da
nave entre os pontos Y e Z é:
a)
b)
Logo, ficamos com: 4(y – 2) = (x – 3)
2
11. O foco de uma parábola é o ponto F(4, 3) e sua diretriz
é a reta x = 2. Determine sua equação reduzida.
Solução:
F(4, 3) diretriz ⇒ x = 2
O eixo é horizontal, p = 2
8
p=1.
2
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EM_V_MAT_021
``
c)
a) Mostre que o ponto P = (3,12/5) pertence à elipse
e calcule a distância de P ao eixo das abscissas.
d)
b) Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abscissas e calcule a área do triângulo PQR, onde P = (3,12/5).
e)
4. Uma elipse que passa pelo ponto (0,3) tem seus focos
nos pontos (–4,0) e (4,0). O ponto (0,–3) é interior,
exterior ou pertence à elipse? Mesma pergunta para o
ponto (5/2, 13/5). Justifique sua resposta.
y
5. Se z = x + iy é um número complexo, o número real x
é chamado “parte real de z” e é indicado por Re(z), ou
seja, Re(x + iy) = x.
0
y
x
a) Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem à equação Re [(z + 2i)/(z – 2)] = 1/2, ao qual
se acrescenta o ponto (2, 0), é uma circunferência.
Z
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto
(–2, 0) e é tangente àquela circunferência.
B.
No caminho de Y para Z, temos, no eixo x, um
movimento uniforme, com velocidade constante.
No eixo y, temos uma força constante, logo, uma
aceleração constante, para baixo. Logo, a trajetória
é uma curva.
6. A equação 9x² + 4y² – 18x – 27 = 0 representa, no plano
cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale:
a) 36
Como a aceleração é negativa, a concavidade é para
baixo (⇓) (B). Em “contas”:
2
|a| 2
Δ Sy = vot o + at = - t
2
2
b) 24
(parábolas com concavidade para baixo)
e) 12
ΔS x= vt ⇒ t =
Δ Sx
v
⇒ ΔSy =
| a | Δ Sx 2
2v 2
constante > 0
c) 18
d) 16
7.
O cometa Halley tem uma órbita elíptica com eixo maior e
eixo menor iguais a 540 x 107 km e 140 x 107 km, respectivamente. Sabendo que o Sol está em um dos focos da
elipse, calcule o valor d/107, em que d é a menor distância
entre o Sol e o cometa, medida em quilômetros. Desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
8. O gráfico da equação x² – y² = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são:
a) (1/2, 0) e (–1/2, 0).
EM_V_MAT_021
1. Sabe–se que uma elipse de equação (x²/a²) + (y²/b²) = 1
tangencia internamente a circunferência de equação
x² + y² = 5 e que a reta de equação 3 x+ 2y = 6 é tangente à elipse no ponto P. Determine as coordenadas
de P.
2. Sejam F1 e F2 os pontos do plano cartesiano de coordenadas F1= (– 3, 0) e F2= ( 3, 0). Determine as
coordenadas dos pontos da reta r de equação x–y = 1,
cujas somas das distâncias F1 e F2 sejam iguais a 4 (isto
é: determine as coordenadas dos pontos P sobre a reta
r que satisfazem PF1+ PF2= 4).
3. Considere a elipse de equação (x²/25)+(y²/9)=1.
b) (2, 0) e (–2, 0).
c) (2 2, 0) e (–2 2, 0).
d) (0,
2)
e (0, – 2).
e) (0, 1/2) e (0, –1/2).
9. (UFF) As equações y–2x=0, y+x2 = 0 e y2–x2+1=0
representam no plano, respectivamente:
a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola.
b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta.
c) uma reta, uma parábola e uma elipse.
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9
d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole.
e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole.
10. Assinale V se ela for verdadeira e F se a sentença for
falsa. Caso assinale F, justifique a resposta.
a) x2/9 + y2/4 = 1, no plano cartesiano, é a equação
de uma elipse com excentricidade igual a 0,6.
b) No plano cartesiano, a equação x2 – y2 = 0 representa uma hipérbole equilátera.
c) No plano cartesiano, a equação x2+ y2 – 2x – 4y +
6 = 0 representa uma circunferência.
e) elipse, uma circunferência e uma reta.
12. O produto de duas variáveis reais, x e y, é uma constante.
Portanto, dentre os gráficos abaixo, o único que pode
representar essa relação é:
a) a) y
e) da reta y = – x.
a) y
b) y
x
b)b) y
b) y
d) y
0
0
a) y
x
x
e) y
0
x
0
x
d) y
0
0
a) y
c)c) y
e) y
0
0
0
b) y
d)d) y
0
0
0
x
0
x
c) y
e) y
d) y
x
c) y
x
x
x
x
x
x
x
0
0
b) y
0
x
x
x
c) y
e) y
0
0
x
x
c) y
0
x
16. Considere os pontos:
P1 (0, 0), P2 (1, 1) e P3 (2, 6).
a) Determine a equação da parábola que passa por
P1, P2 e P3 e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y
das ordenadas.
b) Determine outra parábola que passe pelos pontos P1,
P2 e P3.
17. São dadas as parábolas p 1: y = –x² – 4x – 1 e
p2: y = x² – 3x + 11/4 cujos vértices são denotados,
respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que
contém V1 e V2, então a distância de r até a origem é:
a) 5/
26
b) 7/
26
c) 7/
50
d) 17/
50
e) 11/
74
18. Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram
no mesmo dia, foram tratadas desde o início com adubos
diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetros, destas plantas. Após 10 dias de
observação, ele notou que o gráfico que representa o
crescimento da planta A é uma reta passando por (2,3),
e o que representa o crescimento da planta B pode ser
descrito pela lei matemática y=(24x–x²)/12. Um esboço
desses gráficos está apresentado na figura.
altura y (centímetros)
e)e) y
x
0
planta A
planta B
x
3
2
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x (dias)
EM_V_MAT_021
0
10
d) de duas retas concorrentes.
15. Determine as coordenadas do centro e dos focos da
cônica 2x2–7y2–4x+14y–19=0.
d) elipse, uma circunferência e uma parábola.
0
c) de uma hipérbole.
11. ( U n i r i o ) A s e q u a ç õ e s x 2 – 9 y 2 – 6 x – 18 y – 9 = 0 ,
x2+y2–2x+4y+1=0 e x2–4x–4y+8=0 representam, respectivamente, uma:
c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola.
x
b) de uma parábola.
14. Determine as coordenadas do centro e dos vértices da
hipérbole x2 – 3y2 – 4x + 6y – 5 = 0.
b) hipérbole, uma circunferência e uma reta.
x
a) de uma elipse.
d) No plano cartesiano, a equação |2x – y| = 3 representa um par de retas paralelas.
a) hipérbole, uma elipse e uma parábola.
0
13. (ITA)Considere a família de circunferências com centros
no segundo quadrante e tangentes ao eixo 0y. Cada uma
destas circunferências corta o eixo 0x em dois pontos,
distantes entre si de 4cm. Então, o lugar geométrico dos
centros destas circunferências é parte:
eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de e1
e cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de e1.
Sabendo que e2 está inteiramente contida no primeiro
quadrante, o centro de e2 é:
Determine:
a) a equação da reta;
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma
altura e qual foi essa altura.
a) (7,3)
19. O foco de uma parábola é o ponto F(4, 3) e sua diretriz
é a reta x=2. Determine sua equação reduzida e suas
equações paramétricas.
b) (8,2)
c) (8,3)
20. Determine as coordenadas do foco do vértice e a equação da diretriz da parábola y2 – 6y – 8x + 17 = 0.
21. Determine a equação da parábola que tem eixo de
simetria vertical e passa pelos pontos A(0, 0), B(2, 2)
e C(–4, 20).
22. Determine k para que a reta 2x – y + k = 0 seja tangente
à parábola x2 = 5y.
23. Do ponto (2, 3) traçam–se as tangentes à parábola
y2 + 8x = 0. Determine a equação destas retas.
d) (9,3)
e) (9,2)
4. Determine a equação da elipse de centro (–2, 1), excentricidade
20.
Determine as equações das retas tangentes à elipse
2
20
+
y
2
=1
5
e perpendiculares à reta 2x–2y–13=0.
8. Determine a equação da elipse de excentricidade
2
2
,
cujos focos são pontos da reta (r) y+6=0 e sendo
B1(3, 1) um dos extremos do seu eixo menor.
9. Determine as equações das retas tangentes à hipérbole
−
x
2
16
+
y
2
4
=1
e paralelas à reta x – 5y = a.
10. O eixo real de uma hipérbole é horizontal e suas assíntotas são as retas 2x + y – 3 = 0 e 2x – y – 1 = 0. Ache
a equação da hipérbole, sabendo–se que o ponto (4,
6) pertence a ela.
c) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus focos.
11. Os focos de uma hipérbole são F2(6, 2) e F1(6, 12) e o
comprimento de seu eixo imaginário é 6. Determine a
equação reduzida da hipérbole.
d) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro.
12. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole xy = 8.
e) circunferência, e o ponto marcado é seu centro.
13. Determine a equação da hipérbole equilátera que passa
pelo ponto P0(13, 12) e que tem por eixos de simetria
os eixos coordenados, as coordenadas dos focos e dos
vértices.
b) parábola, e o ponto marcado é seu foco.
2. A elipse x² + (y²/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano
cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode–se,
pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:
14. Determine a equação da reta tangente à hipérbole
x2 – 3y2 – 2x + 36y – 116 = 0 no seu ponto T(7, 9).
a) (–2/3, –1/3)
b) (2/3, –7/3)
15. Os eixos, real e imaginário, de uma hipérbole de eixo
real horizontal têm, respectivamente, os comprimentos
8 e 6. Determine a equação desta hipérbole e da sua
conjugada, sendo seu centro o ponto C(1, –3).
c) (1/3, –5/3)
d) (–1/3, 1/3)
EM_V_MAT_021
e eixo maior horizontal de comprimento
6. Determine para que valores de k a reta x+y–k=0 é
secante, tangente, exterior à elipse x2+4y=20.
x
A borda da mesa tem a forma de um arco de:
a) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos.
5
5. Determine os pontos em que a reta x+y–5 = 0 intercepta
a elipse 3x2+7y2–115=0.
7.
1. Uma montagem comum em laboratórios escolares de
Ciências é constituída por um plano inclinado, de altura
aproximadamente igual a 40cm, com quatro canaletas
paralelas e apoiado em uma mesa forrada de feltro, cuja
borda é curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado
no qual se coloca uma bola de gude. A experiência
consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra bola
de gude, a qual, depois de rolar por uma das canaletas,
cai na mesa e colide sucessivamente com a borda da
mesa e com a primeira bola.
3
e) (–1/4, 1/2)
3. Tangenciando externamente a elipse e1, tal que e1:
9x²+4y²–72x–24y+144 = 0, considere uma elipse e2 de
16. Determine as coordenadas dos focos da cônica
(x – 2)2 (y – 1)2
–
– 4.
16
9
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17. Demonstre que o paralelogramo limitado pelas assíntotas
x2 y2
da hipérbole 2 – 2 = 1 e as retas traçadas de qualquer
a b
um de seus pontos, paralelamente às assíntotas, é a
ab
constante
2
18. O eixo real de uma hipérbole tem o comprimento igual
a 12, sendo seus focos os pontos F2(4, –9) e F1(4, 11).
Determine a equação das tangentes à hipérbole, conduzidas do ponto P1(0, 1).
19. Determine a equação da tangente à parábola y2 = 8x
paralela à reta 2x–y+4 = 0.
20. Demonstre que a equação da reta tangente à parábola y2 = 2px e paralela à reta y = ax+b, para a ≠ 0 ,
p
y = ax +
2a
21. Sejam A e B os pontos de interseção da parábola y = x²
com a circunferência de centro na origem e raio 2 .
a) Quais as coordenadas dos pontos A e B?
b) Se C é um ponto da circunferência diferente de A e
de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos
A Ĉ B.
22. Determine a equação da parábola de vértice (6, –2), cujo
eixo é y + 2 = 0 e que passa pelo ponto (8, 2).
23. Uma parábola tem o eixo de simetria vertical e passa
pelos pontos (–2, 0), (6, 0) e (2, –4), determine sua
equação, seu vértice e seu parâmetro.
24. Determine a equação da família de parábolas de eixo de
simetria vertical e foco comum (2, 6).
25. Determine as equações das tangentes à parábola
x = – y2 conduzidas pelo ponto P(5, 0).
26. Um alvo de altura 1,0m encontra a certa distância x do ponto
de disparo de uma arma. A arma é, então, mirada no centro
do alvo e o projétil sai com velocidade horizontal 500m/s.
Supondo nula a resistência do ar, adotando g =10m/s2, qual
a distância máxima que se deve localizar a arma do alvo, de
modo que o projétil o atinja?
27. Um menino andando de skate com velocidade v = 2,5m/s
num plano horizontal, lança para cima uma bolinha de
gude com velocidade v = 4,0m/s e a apanha de volta.
Considere g = 10m/s2.
a) Esboçe a trajetória descrita pela bolinha em relação
à Terra.
b) Qual é a altura máxima que a bolinha atinge?
28. Mostre que a corda dos contatos das tangentes, à parábola (y–2)2=8(x–4), traçadas do ponto (1, 2), passa
pelo foco da mesma.
12
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EM_V_MAT_021
c) Que distância horizontal a bolinha percorre?
= (x²–2x+y²+2y)/(x²+y²–4x+4) = 1/2
Logo, x²+y²+4y–4 = 0 (z ¹ 2).
A condição z ≠ 2 exclui o ponto (2,0) da circunferência de equação x²+y²+4y–4=0, que tem centro
(0,–2) e raio 2 2 .
1. P (8/9, 5/3)
2. Os pontos são (0,–1) e (8/5, 3/5).
Portanto, se acrescentarmos o ponto (2,0) a esse conjunto de pontos, obteremos a circunferência de centro
(0,–2) e raio 2 2 .
3.
a) 12
5
b) Q(–5, 0), R(5,0) e A = 12
4. (0, –3) pertence e (5/2, 13/5) é exterior à elipse.
É o conjunto dos números complexos cujos afixos são
os pontos externos à elipse representada acima.
5. Sendo z = x + iy um número complexo com (x,y) Ì IR e
i = −1 .
a) Substituindo z por x + iy, temos;
EM_V_MAT_021
(z+2i)/(z–2) = (x+iy+2i)/(x+iy–2) com z ¹ 2 =
[x+(2+y)i/
b) x – y + 2 = 0
6. B
7.
9
8. C
9. E
10. F, F, F, V
11. C
12. C
(x–2)+iy]
13. C
Efetuando–se a divisão, temos que:
14. C(2, 1) e os vértices A(2
Re [(z+2i)/(z–2)] =
15. C (1;1); e focos F1(–2;1) e F2 (4;1)
6 ,1)
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13
16.
17. Demonstração
a) y = 2x2 – x
b) x = –2/15 y2 + 17/15 y
 1± 41
18. y = 
 x −1
 10 
17. E
19. y = 2x + 1.
18.
20. Demonstração
21.
3x
2
b) 6º dia e 9 cm
a) y =
a) A (1; 1) e B (–1; 1)
y = 3 + t

19. (y–3)2 = 4(x–3) e  t 2 + 12
x = 4 .
20. V (1, 3), F (3, 3) e (d) x + 1 = 0.
21. y = x2 – x.
22. k = – 5.
23. 2x – y – 1 = 0 e x + 2y – 8 = 0
b) 45° ou 135°
22. (y+2)2 = 8(x–6):
A equação da parábola é do tipo (y + 2)2 = 2p(x – 6),
pois o eixo de simetria é horizontal (y = –2).
Da pertinência do ponto (8, 2), resulta
16 = 2p . 2 ⇒ 2p = 8
23. A parábola é (x – 2)2 = 4(y + 4); v(2;–4); p = 2
Sugestão: Tente resolver este problema tomando a
equação da parábola sob a forma y = ax2 + bx + c.
(
)
p
24. y = ( x − 2) 2 2p + 6 − 2 ; P ∈
1. B
25. As tangentes têm por equações
2. E
26. dmáx = 50 10 m
3. D
(x + 2)2 (y – 1)2
4.
+
=1
100
64
27.
( x − 5)
b) 0,8 m
tan gente
678
−54
<2
K4
<35 , K = ± 5 e K > 5 ouK < −5
1
144244
43
sec ante
5
10
a) gráfico
5. (6, –1) e (1, 4)
6.
y=±
c) 1,0 m
28. Demonstração.
exterior
7.
x+y±5=0
8.
(x – 3)2 (y + 6)2
+
=1
98
49
9. x − 5 y ± 2 21 = 0
10. 4x2 – y2 – 8x + 2y – 8
11.
(x – 6)2 (y – 7)2
+
=1
9
16
12. F2(–4, –4) e F1(4, 4).
13. x2 – y2 = 25
c = 25 + 25 = 5 2
F ( 5 2,0 )
A( ±5, 0)
15. +
14
(x – 1)2 (y + 3)2
(x – 1)2 (y + 3)2
+
=1 e +
+
=1
9
9
16
16
16. F1 (12;1); F2 (–8;1)
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EM_V_MAT_021
14. 2x – 3y + 13 = 0
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