Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Análise de Sensibilidade 2ª Edição Capítulo 4 © Gerson Lachtermacher,2005 Conteúdos do Capítulo Análise de Sensibilidade Interpretação Econômica do Problema Dual Preço de Sombra – Shadow Price Custo Reduzido – Reduced Cost Caso Motorela Celulares Caso Agropecuária Coelho Capítulo 4 Conteúdos do Capítulo Continuação Intervalos de validação Preço Sombra ( Shadow Price ou Dual Price ) Custo Reduzido (Reduced Cost) Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Solução Gráfica Análise dos Coeficientes da Função Objetivo A Análise do Lindo A análise do Excel Capítulo 4 Conteúdos do Capítulo Continuação O Limite dos coeficientes das Restrições Lindo Excel Analisando todas as respostas do Excel Answer Report Análise Econômica Sensitivity Report Limits Report Solução Degenerada Capítulo 4 Interpretação Econômica do Problema Dual Cada variável yi do Dual está diretamente relacionada com a restrição i do problema Primal; O valor ótimo desta variável, yi* recebe diversas denominações, entre elas: Preço-Sombra (Shadow Price); Preço-Dual (Dual Price); Portanto, cada restrição i possui um preço-sombra yi* Capítulo 4 Preço de Sombra O preço-sombra para o recurso i (yi*) mede o valor marginal deste recurso em relação ao lucro total; Isto é, a quantidade que o Lucro Total (Z) seria melhorado, caso a quantidade do recurso i (bi) fosse aumentado de uma quantidade igual à unidade. Capítulo 4 Preço de Sombra Solução Gráfica Max Z = 40 x1 + 30 x2 Solução Ótima s.r. 40 x1 + 30 x2 = 1600 2 1 (0;25) (18,75;25) 5 x1 + 2 x2 20 1 (25;20) 5 x2 5 3 3 + x 5 1 10 x2 21 x1 , x2 0 (0;0) (35;0) Vamos medir o efeito de aumentar essa constante em 3 unidades, até 24? Capítulo 4 Preço de Sombra Solução Gráfica MaxZ = 40x1+ 30x2 MaxZ = 40x1+ 30x2 s.r. 2 x + 1 x 20 5 1 2 2 1 x 5 5 2 s.r. 2 x + 1 x 20 5 1 2 2 1 x 5 5 2 3 + x 5 1 10 x2 21 x1, x2 0 3 Capítulo 4 x + 310 x2 24 x1, x2 0 3 5 1 Preço de Sombra Solução Gráfica O conjunto de soluções viáveis foi alterado A solução ótima também foi alterada Max Z = 40 x1 + 30 x2 s.r. 2 x + 1 x 20 5 1 2 2 1 x 5 5 2 x1 + 310 x2 24 x1 , x2 0 3 Solução Ótima 40 x1 + 30 x2 = 5200 (18,75;25) (25;20) 5 ; 100 (0;25) 3 3 40 3 (0;0) (35;0) (40;0) Capítulo 4 Preço de Sombra Solução Gráfica Na primeira situação tínhamos Z = 1600 Dado o acréscimo de 3 unidades na segunda restrição obtivemos: Z= 5200 3 Portanto: 5200 400 - 1600 = Alteração da Função-objetivo: 3 3 Logo, preço de sombra : 400 3 Capítulo 4 3 = 44,44 Preço de Sombra Solução Gráfica Max Z = 40x1 + 30x2 Max Z = 40 x1 + 30 x2 s.r. 2 1 + x 5 1 2 x2 20 1 5 x2 5 s.r. 2 1 5 x1 + 2 x2 20 1 5 x2 6 3 + x 5 1 10 x2 21 x1 , x2 0 3 Capítulo 4 x1 + 310 x2 21 x1 , x2 0 3 5 Preço de Sombra Solução Gráfica MaxZ = 40x1 + 30x2 s.r. 2 x + 1 2 x2 20 (0;25) 1 5 x2 6 40 x1 + 30 x2 = 1600 5 1 x + 310 x2 21 x1 , x2 0 3 (0;30) Solução Ótima (18,75;25) (25;20) 5 1 (0;0) (35;0) O conjunto de soluções viáveis foi alterado Essa restrição não limitava à solução ótima inicial, que não foi alterada. Qual é o preço de sombra desta restrição? ZERO Capítulo 4 Interpretação Econômica do Problema Dual Custo Reduzido Cada variável de folga/excesso do Dual está diretamente relacionada a uma determinada variável original do problema Primal; Esse valor é chamado de Custo Reduzido ou Reduced Cost; Portanto, cada variável do problema original possui um determinado custo reduzido. Capítulo 4 Custo Reduzido O custo reduzido de uma variável é: o total que o seu coeficiente na função-objetivo deve melhorar para que ela deixe de ser zero na solução ótima; quanto a função-objetivo irá piorar para cada unidade que a variável aumente a partir de zero; O custo reduzido só se aplica a variáveis que, na solução ótima, assumem o valor zero. Capítulo 4 Exemplo A tabela abaixo sintetiza o problema de um pecuarista: São três alimentos diferentes que contribuem com alguns nutrientes para a alimentação do gado. Qual é o custo mínimo diário para estabelecer uma dieta com o requerimento mínimo? Ingrediente Quilo de Nutritivo milho carboidratos 90mg proteínas 30mg vitaminas 10mg custo ($/kg) 21 Capítulo 4 Quilo de ração 20mg 80mg 20mg 18 Quilo de alfafa 40mg 60mg 60mg 15 Requerimento mínimo diário 200mg 180mg 150mg Modelagem no Lindo Default, x1 , x2 , x3 0 Capítulo 4 A resposta A ração é muito cara! Estou fornecendo mais vitamina que o mínimo Capítulo 4 Modelagem no Excel Capítulo 4 Os Parâmetros do Solver Capítulo 4 Resultado do Excel Mesmo resultado apresentado pelo Lindo Capítulo 4 A Análise do Excel Os Reduced Costs têm os mesmos valores que os do LINDO Os preços de sombra não são negativos,como no LINDO. Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Interpretação no Excel Para o Excel, os conceitos de Preço-Sombra estão relacionados ao valor nominal do efeito na funçãoobjetivo, isto é, quanto a função-objetivo aumenta ou diminui. Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Interpretação no Lindo Para o Lindo, o conceitos de Shadow Price indica o quanto a função-objetivo melhora ou piora. Melhorar Numa Maximização significa aumentar o valor da função-objetivo Numa Minimização significa diminuir o valor da função-objetivo Piorar Numa Maximização significa aumentar o valor da função-objetivo Numa Minimização significa diminuir o valor da função-objetivo Capítulo 4 Análise de Sensibilidade As quantidades informadas pelas grandezas PreçoSombra e Custo Reduzido refletem as conseqüências de alterações unitárias; Alterações diferentes da unidade provocaram conseqüências proporcionais. Entretanto, estes valores só podem ser garantidos dentro de intervalos apontados nos relatórios, se a solução ótima não for degenerada. Capítulo 4 Preço de Sombra Limite Partindo do problema: MaxZ = 40 x1 + 30 x2 s.r. 2 x + 1 x 20 5 1 2 2 1 x 5 5 2 Solução Ótima 40 x1 + 30 x2 = 1600 (0;25) (18,75;25) (25;20) x1 + 310 x2 21 x1 , x2 0 3 5 (0;0) Capítulo 4 (35;0) Preço de Sombra Limite Max Z = 40x1 + 30x2 s.r. 2 x + 1 x 20 5 1 2 2 1 x 5 5 2 3 + x 5 1 10 x2 21 x1, x2 0 3 Capítulo 4 Max Z = 40 x1 + 30 x2 s.r. 2 x + 1 x 20 5 1 2 2 1 x 5 5 2 x + 310 x2 24 x1, x2 0 3 5 1 Preço de Sombra Limite Solução Ótima Solução Ótima 40 x1 + 30 x2 = 1600 40 x1 + 30 x2 = 5200 (0;25) (18,75;25) (0;25) (18,75;25) (25;20) (35;0) (0;0) Alteração 5200 400 da Função= - 1600 = 3 Objetivo: 3 Capítulo 4 ; 100 (25;20) (0;0) Logo, preço de sombra : 3 3 40 (35;0) (40;0) 400 3 3 = 44,44 3 Preço Sombra: Limite no Excel Problema Original Problema Alterado Capítulo 4 Preço Sombra: Limite no Excel Problema Original Problema Alterado Mesmo Preço-Sombra Capítulo 4 Preço de Sombra Limite MaxZ = 40x1 + 30x2 MaxZ = 40x1 + 30x2 s.r. 2 x + 1 x 20 5 1 2 2 1 x 5 5 2 s.r. 3 + x 5 1 10 x2 21 x1, x2 0 3 Capítulo 4 2 1 x 20 + x 5 1 2 2 1 x 5 5 2 x + 310 x2 30 x1, x2 0 3 5 1 Preço de Sombra: Limite Solução Ótima 40 x1 + 30 x2 = 1600 Solução Ótima 40 x1 + 30 x2 = 2000 (0;25) (0;25) (18,75;25) (25;20) (35;0) Alteração da Função- 2000 -1600 = 400 Objetivo: (18,75;25) (25;20) (0;0) (35;0) Logo, preço de sombra : 400 = 44,44 9 O valor do preço de sombra permaneceu constante Capítulo 4 (50;0) Preço Sombra: Limite no Excel Problema Original Problema Alterado Capítulo 4 Preço Sombra: Limite no Excel Problema Original Problema Alterado Mesmo Preço-Sombra Capítulo 4 Caso Motorela Celulares Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos diferentes, o de montagem, a configuração e a verificação. Para fabricar o celular Multi-Tics, são necessárias 0,1 h de montagem, 0,2 h de configuração e 0,1 h de verificação. O mais popular Star Tic Tac requer 0,3 h de montagem, 0,1 h de configuração e 0,1 h de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 h de montagem, 0,3 h para configuração, porém, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. A fábrica dispõe de capacidade de 290 hs/mês na linha de montagem, 250 hs/mês na linha de configuração e 110 hs/mês na linha de verificação. Os lucros unitários dos produtos Multi-Tics, Star Tic-Tac e Vulcano são R$ 100, R$ 210 e R$ 250, respectivamente e a Motorela consegue vender tudo o que produz. Sabe-se ainda que o presidente da Motorela exige que cada um dos três modelos tenha produção mínima de 100 unidades e quer lucrar pelo menos R$ 25.200/mês com o modelo Star Tic-Tac. O presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic-Tac. Resolva utilizando o Solver do Excel: Capítulo 4 Caso Motorela Celulares Variáveis de Decisão x1- Número de celulares Multi-Tics produzidos mensalmente. x2- Número de celulares Star Tic-Tacs produzidos mensalmente. x3- Número de celulares Vulcanos produzidos mensalmente. Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: Função-Objetiva Maximizar o Lucro da Motorela Max 100 x1 + 210 x2 + 250 x3 Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: Restrições Produção 0,1x1 + 0,3 x2 + 0,4 x3 290 Linha de Montagem Linha de Configuração 0,2 x1 + 0,1x2 + 0,3x3 250 Linha de Verificação Capítulo 4 0,1x1 + 0,1x2 110 Caso Motorela Celulares: Restrições Produção Mínima x1 100 ; x2 100 ; x3 100 Lucro Mínimo Star Tic-Tac 210 x2 25200 Produção Vulcano x3 2x2 Não Negatividade x1 ; x2 ; x3 0 Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: Modelo Max 100 x1 + 210 x 2 + 250 x 3 st 0 ,1 x1 + 0 , 3 x 2 + 0 , 4 x 3 290 0 , 2 x1 + 0 ,1 x 2 + 0 , 3 x 3 250 0 ,1 x1 + 0 ,1 x 2 110 x1 100 ; x 2 100 ; x 3 100 210 x 2 25200 x3 2 x 2 x 1; x 2 ; x 3 0 Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: Modelo no Excel Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: Parametrização do Solver Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: Relatórios Marcar os Relatórios Desejados Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: Solução Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios Que restrições limitam a solução ótima? Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios Quanto deve ser melhorado no lucro unitário para que se produza o modelo Star Tic-Tac? Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios Até quanto você pagaria por uma hora de verificação terceirizada? Capítulo 4 Alterando o Problema Para Verificar Resultado Problema Alterado - Mesmo Valor Ótimo Capítulo 4 Caso Motorela Celulares Análise dos Relatórios Até quanto você pagaria por uma hora de montagem terceirizada? Capítulo 4 Alterando o Problema Para Verificar Resultado =204200+480 Capítulo 4 Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios O que significa o shadow price de -20 na última restrição? Cada unidade adicional de Vulcano provoca perda de lucratividade de R$20,00, isto é, a função-objetivo diminui de 20. Capítulo 4 Alterando o Problema Para Verificar Resultado =204200-20 Capítulo 4 Caso Agropecuária Coelho O Sr. Coelho possui uma fazenda de criação de porcos para abate, e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requerimentos básicos diários de nutrientes: 200 u.m. de carboidratos, 250 u.m. de proteínas e 120 u.m. vitaminas. Considere que os alimentos disponíveis do mercado são milho, ração e alfafa, ao custo por quilo de R$20,00, R$30,00 e R$35,00, respectivamente. A tabela abaixo resume a quantidade de cada nutriente (u.m.) presente em um quilo de cada alimento: Carboidratos Proteínas Vitaminas Capítulo 4 Milho 10 10 40 Ração 20 20 30 Alfafa 20 40 20 Caso Agropecuária Coelho: Variáveis de Decisão Variáveis de decisão: x1 – quantidade de quilos de milho na alimentação diária x2 – quantidade de quilos de ração na alimentação diária x3 – quantidade de quilos de alfafa na alimentação diária Função-objetivo: minimizar custos da alimentação diária Min 20x1 + 30x2 + 35x3 Restrições do modelo: Carboidratos: Proteínas: Vitaminas: Capítulo 4 10x1 + 20x2 + 20x3 200 10x1 + 20x2 + 40x3 250 40x1 + 30x2 + 20x3 120 Caso Agropecuária Coelho: Modelo Min 20 x1 + 30 x 2 + 35 x 3 st 10 x1 + 20 x 2 + 20 x 3 200 10 x1 + 20 x 2 + 40 x 3 250 40 x1 + 30 x 2 + 20 x 3 120 x1 ; x 2 ; x 3 0 Capítulo 4 Caso Agropecuária Coelho: Modelo no Excel Capítulo 4 Caso Agropecuária Coelho: Solução no Excel Capítulo 4 Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios Que tipos de nutrientes são limitantes da dieta básica? Carboidratos e Proteínas Capítulo 4 Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios Quanto deveríamos exigir de redução no custo do milho para que ele participasse como matéria prima da alimentação diária? Capítulo 4 Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios Qual o custo marginal que uma 1 u.m. adicional de vitaminas traria à agropecuária? Capítulo 4 Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios Qual a variação de custo que uma exigência de 1 u.m. adicional de carboidratos na dieta diária? O custo adicional é de R$ 1,25 (valor positivo) Capítulo 4 Intervalos de Validação do Preço-Sombra e do Custo Reduzido A análise de sensibilidade determina os intervalos em que o Custo Reduzido e o Preço-Sombra são válidos Uma razão para se estabelecer esses intervalos está ligada a hipótese de certeza assumida em modelos de programação linear. Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Solução Degenerada A solução de um problema de Programação Linear algumas vezes apresenta uma anomalia conhecida como degeneração. Uma solução de uma PL é dita degenerada quando o valor de incremento ou decremento de uma restrição é igual a zero. A presença de degeneração altera a interpretação da análise de sensibilidade em um certo número de maneiras. Capítulo 4 Análise de Sensibilidade A análise de sensibilidade serve também para amenizar a hipótese de certeza nos coeficientes e constantes. Em uma análise de sensibilidade queremos responder basicamente a duas perguntas: Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da funçãoobjetivo? Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição? Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade: 1. Estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da função-objetivo e constantes das restrições: Lindo/Excel; Hipótese de uma alteração a cada momento; 2. Verifica se uma ou mais mudanças em um problema alteram a sua solução ótima: Mais Complicado Pode ser feito através da alteração do problema e sua nova resolução. Capítulo 4 A Análise de Sensibilidade Através de Limites Vamos nos dedicar ao primeiro tipo de análise. A análise dos limites dos coeficientes da funçãoobjetivo e das constantes das restrições do problema. Vamos entender o processo da análise dos coeficientes da função-objetivo primeiro. Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Solução Gráfica Max Z =40x1 +30x2 2 5 3 5 x2 x1 + 12 x2 20 1 5 x2 5 x1 + 310 x2 21 (0;25) Solução Ótima 40 x1 + 30 x2 = 1600 (18,75;25) (25;20) x1 0, x2 0 x1 (0;0) Capítulo 4 (35;0) Análise de Sensibilidade Solução Gráfica Max Z = 40 x1 + 30x2 2 3 5 5 x1 + 12 x2 20 1 5 x2 5 x1 + 310 x2 21 (0;25) FunçãoObjetivo (18,75;25) (25;20) x1 0, x2 0 (0;0) Capítulo 4 (35;0) Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo As três retas pertencem a 2 x + 1 x 20 5 1 2 2 uma mesma família de Funçãoretas, pois têm o ponto Objetivo (25;20) em comum. 3 x + 3 x 21 Uma diferença entre elas 5 1 10 2 é no coeficiente angular. A mudança de um (0;25) (25;20) (18,75;25) coeficiente da função objetivo causará uma alteração no coeficiente angular da funçãoobjetivo. (0;0) (35;0) Capítulo 4 Análise dos Coeficientes da Função Objetivo Portanto, enquanto o coeficiente angular da função-objetivo estiver entre os das retas limites a solução ótima não se alterará. (0;25) A 2 B 3 (18,75;25) 5 x1 + 1 2 x2 = 20 5 x1 + 310 x2 = 21 (25;20) (0;0) Declividad e Declividad e Declividad e da Linha B da Função - Objetivo da Linha A Capítulo 4 (35;0) Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo Declividade da reta B Declividade da reta A 3 3 x = 21 x + 5 1 10 2 2 1 x = 20 x + 5 1 2 2 3 3 x x = 21 10 2 5 1 1 2 x x = 20 2 2 5 1 x2 = 103 21 - 3 5 x1 x2 = 70 - 2 x1 x2 = 40 - 4 5 x1 x2 = 40 - 0,8 x1 -2 < Declividade da Função-Objetivo < -0,8 Capítulo 4 Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo A forma geral da função objetivo é dada por: z = c1 x1 + c2 x2 Que na Forma declividade-Interseção é dada por c z x2 = - Capítulo 4 1 c2 x1 + c2 Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo Estudaremos uma variação por vez, portanto manteremos constante primeiramente c2=30. Logo, podemos dizer que: c1 - 2 - -0.8 para c 2 = 30 temos c2 c1 2 c 60 1 c1 - 2 - -0.8 30 c1 30 - -0.8 c1 24 30 24 c1 60 Capítulo 4 Análise dos Coeficientes da Função Objetivo Para estudarmos as variações possíveis de c2, manteremos c1 =40. Logo, temos: c1 - 2 - -0.8 para c1 = 40 temos c2 40 -2 c2 20 40 c2 - 2 - -0.8 40 c2 -0.8 c2 50 c2 20 c 50 2 Capítulo 4 Análise dos Coeficientes da Função Objetivo Poderíamos então criar uma tabela resumindo os limites dos coeficientes das variáveis na função-objetivo: Mínimo Atual Máximo x1 24 40 60 x2 20 30 50 Mantendo esses limites, podemos garantir que a solução ótima (não degenerada) será a mesma! Capítulo 4 A Análise do Lindo Variações permitidas x1 x2 Capítulo 4 Mínimo 24=40-16 20=30-10 Atual 40 30 Máximo 60=40+20 50=30+20 A Análise do Excel Esta resposta é idêntica à do Lindo, a menos de erros de aproximação. x1 x2 Capítulo 4 Mínimo 24=40-16 20=30-10 Atual 40 30 Máximo 60=40+20 50=30+20 Caso Especial Um caso especial de limite de crescimento acontece quando a rotação da função-objetivo em torno do extremo ótimo passa pela reta vertical; Isso significará que não existirá (será infinito) ou o limite superior ou inferior para a declividade; Observemos isso graficamente Capítulo 4 Caso Especial Suponhamos que a situação ótima seja a seguinte: Função Objetivo x2 3 x + 310 x2 = 21 B 5 1 Esta reta possui declividade indeterminada! (25;20) (0;0) Capítulo 4 (35;0) x1 Coef.Angular =Tanq Explicação Matemática A declividade de uma reta é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo das abcissas, e a tangente de uma reta vertical (90o) não existe, e tende para o infinito(+/-) Ângulo em radianos Declividade da função objetivo estudada Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Constantes das Restrições As constantes das restrições também estão submetidas a limites; Esses limites dizem respeito aos Preços-Sombra, e não à solução ótima; Veja que os Preços-Sombra equivalem à solução ótima do Dual, onde as constantes das restrições são os coeficientes da Função-objetivo; O estudo dos limites é feito de maneira similar. Capítulo 4 O Limite dos Coeficientes das Restrições Lindo Variações permitidas às constantes das restrições! Capítulo 4 O Limite dos Coeficientes das Restrições Excel Variações permitidas às constantes das restrições! = infinito Capítulo 4 Analisando Todas as Respostas do Excel Modelo Max Z = 40 x1 + 30 x2 2 3 5 5 x1 + 12 x2 20 1 5 x2 5 x1 + 310 x2 21 x1 0, x2 0 Capítulo 4 Solicitando os Relatórios Marcar os relatórios desejados Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Excel Valor das variáveis na solução ótima Valor máximo da função-objetivo Capítulo 4 Relatório de Respostas Agrupar => LHS=RHS Sem Agrupar => LHSRHS, quando a variável de folga for básica e diferente de zero. Variáveis de Folga Capítulo 4 Relatório de Respostas Observação Importante O Excel determina que a restrição tem status “Sem Agrupar" quando a variável de folga daquela restrição é básica. Geralmente, isto significa que existe folga, e portanto LHS (diferente) RHS . Entretanto, é possível acontecer da variável de folga ser básica e igual a zero. Neste caso, a restrição terá status Agrupar e LHS = RHS. Capítulo 4 Análise Econômica do Excel Valores ligados ao Problema Dual Capítulo 4 Análise Econômica do Excel As interpretações para o Preço-Sombra são as seguintes: A quantidade pela qual a função-objetivo será modificada (valor nominal) dado um incremento de uma unidade na constante de uma restrição. Quanto estaríamos dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso. Capítulo 4 Análise Econômica do Excel Existem duas interpretações para o Custo Reduzido: A quantidade que o coeficiente da funçãoobjetivo de uma variável original deve ser modificada antes dessa variável se tornar básica. A quantidade de penalização que será paga se quisermos tornar uma variável básica. Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Excel Variações de incremento e decremento, aos quais cada coeficiente da Função-Objetivo, isoladamente, pode ter sem que a solução ótima (valores ótimos das variáveis) se altere. Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Excel Variações de incremento e decremento, ao qual a constante de uma Restrição, isoladamente, pode ter sem que o seu Preço-Sombra (Dual Price) se altere. Capítulo 4 Relatório de Limites A coluna Inferior Limite indica o menor valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a funçãoobjetivo assume nessa solução. Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Excel – Limits Report A coluna Superior Limite indica o maior valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a funçãoobjetivo assume nessa solução. Capítulo 4 Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Quando a solução ótima é degenerada O valor do Custo Reduzido pode não ser único. O valor de incremento e decremento dos coeficientes da função-objetivo permanecem válidos. De fato, os valores podem se alterar substancialmente acima desse valores, sem que a solução ótima se altere. O valor do Preço-Sombra e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira, contudo podem não ser únicos. Capítulo 4