O TEOREMA DE PITÁGORAS – UMA EXPERIENCIA UTILIZANDO O
SOFTWARE GEOGEBRA COM ALUNOS DO PROGRAMA VIVA ESCOLA
Loreni Aparecida Ferreira Baldini1
Colégio Est. Pe. José de Anchieta - [email protected]
RESUMO
Este relato de experiência apresenta uma atividade realizada no Colégio Estadual Padre
José de Anchieta, de Apucarana, com os alunos participantes do projeto de apoio à
aprendizagem do Programa Viva Escola. Desenvolveram-se as atividades na perspectiva da
Investigação Matemática, apoiadas nos recursos das Mídias, mais especificamente no
software Geogebra. Esta atividade teve como finalidade verificar as contribuições do
Geogebra na construção do Teorema de Pitágoras. Pode-se observar que o software muito
contribuiu, pois favoreceu, com os movimentos que possibilita, a visualização de
propriedades que auxiliam à construção do conceito e à demonstração do Teorema.
PALAVRAS-CHAVE: Viva Escola; Geogebra; Teorema de Pitágoras.
1. INTRODUÇÃO
Atuando no Colégio Estadual Padre José de Anchieta há mais de dez anos, podese observar, por meio das atividades desenvolvidas, que os alunos ingressam no Ensino
Médio com grandes dificuldades em Matemática e, além disso, têm apresentado um baixo
desempenho nas avaliações, como na Prova Brasil. Por isso, apresentou-se um projeto de
apoio à aprendizagem para alunos do Ensino Médio, a fim de contribuir para uma
formação de maior qualidade, uma vez que grande parte dos alunos é oriunda de famílias
de baixa renda, de baixa formação escolar e sem condições de apoiar seus filhos, tanto na
construção de conhecimentos, quanto na busca de fontes que possibilitem novos
conhecimentos.
Apresentou-se um projeto a um programa da Rede Publica Estadual de Ensino,
denominado de Programa Viva Escola, que visa o desenvolvimento de atividades
1
Licenciada em Matemática, especialista e mestre em Educação Matemática. Professora da Rede
Publica do Estado do Paraná.
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pedagógicas vinculadas ao Projeto Político Pedagógico e que podem complementar o
currículo do Ensino Médio. Entre os seus objetivos, destaca-se o apoio aos profissionais
para o desenvolvimento de atividades pedagógicas diferenciadas no cotidiano da sala de
aula.
O Programa compreende quatro núcleos de conhecimento, entre eles, o científicocultural, que abrange a história e a memória, a cultura regional, as atividades literárias, as
artes visuais, as músicas, a investigação científica, a divulgação científica e as mídias. O
trabalho que está sendo desenvolvido no Colégio Estadual Padre José de Anchieta, de
Apucarana-PR, contempla este núcleo e, entre as atividades, optou-se por trabalhar com as
mídias.
D’Ambrosio (1988, p. 34) salienta que uma prática pedagógica norteada pelas
tendências da Educação Matemática pode contribuir para que o ensino da Matemática não
recaia num ensino obsoleto e inútil, possibilitando ao aluno uma aprendizagem atualizada e
significativa.
As DCEs – Diretrizes Curriculares de Matemática (2008, p.36), propõem que o
ensino da Matemática seja abordado por meio das tendências metodológicas da Educação
Matemática: Resolução de Problemas; Investigação Matemática; Modelagem Matemática;
Mídias Tecnológicas; Etnomatemática e História da Matemática.
Assim, optou-se em desenvolver atividades na perspectiva da Investigação
Matemática e das Mídias Tecnológicas, por meio do Geogebra, enfocando os conteúdos
estruturantes propostos para o Ensino Médio, articulados com seus conteúdos específicos.
A Investigação Matemática tem sido apontada por diversos pesquisadores, como
uma tendência metodológica que favorece uma melhor compreensão da Matemática. O
principal objetivo da Investigação Matemática é encontrar regularidades, refletir sobre as
questões, justificá-las e testá-las, generalizando os conteúdos. Para Ponte (2006, p.13),
“investigar é buscar, procurar o que não se sabe”, e ainda, “investigar é descobrir relações
entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as
respectivas propriedades”. O quadro abaixo, baseado em Ponte (2006, p.21), destaca fases
importantes na realização de uma Investigação Matemática.
Exploração e formulação de
questões
Conjecturas
Testes e reformulação
•
•
•
•
•
•
Reconhecer uma situação problemática
Explorar a situação problemática
Formular questões
Organizar dados
Formular conjecturas
Realizar testes e refinar uma conjectura
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Justificação e avaliação
•
•
Justificar uma conjectura
Avaliar o raciocínio ou o resultado do
raciocínio.
Sabe-se que o envolvimento do estudante numa tarefa é condição fundamental para
sua aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e
afetivos, com vistas a atingir um determinado objetivo. Ponte (2006, p.21) destaca,
também, a importância da interação que deve ocorrer entre os estudantes e o professor
durante o processo de investigação para a divulgação e a confirmação dos resultados
obtidos. Numa Investigação Matemática é possibilitado ao estudante agir como um
matemático, não apenas porque é solicitado a propor questões, mas, principalmente,
porque formula conjecturas a respeito do que está investigando, assim ele faz matemática
(PONTE, 2006, 22).
Por outro lado, os computadores estão cada vez mais presentes no cotidiano das
pessoas. Sua presença cultural aumenta a cada dia e pesquisadores como Gravina (1998,
p.2) destacam que quando o computador é utilizado no desenvolvimento de atividades, que
permitem ao estudante representar ideias, conjecturar, comparar resultados, refletir e
resolver problemas, pode favorecer o processo de construção do conhecimento.
Borba e Penteado (2003, p. 16) destacam que “A função da escola já não é mais
unicamente a de ensinar, mas sim, a de ensinar a aprender, escolher, organizar-se e ser
capaz de lidar cada vez mais com a diversidade e preparar o cidadão para viver em
sociedade”.
As discussões sobre informática educativa e suas implicações no processo
educativo são questões que devem ser discutidas nos currículos escolares.
O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas
públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no
momento atual inclua, no mínimo, uma ‘alfabetização tecnológica’. Tal
alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como
um aprender a ler essa nova mídia (BORBA, PENTEADO, 2003, p.17).
Optou-se, neste projeto, no trabalho com mídias, pelo software Geogebra. Este
software está disponível nos laboratórios de informática do Paraná Digital e, além disso, é
um software livre, facilitando, assim, o acesso aos alunos que possuem computador, para
que possam estudar em horários extraclasse. Outro fato que se considerou de grande
relevância para a escolha do Geogebra, é que no Viva Escola uma atividade de Mídias é
compreendida como um processo de investigação, de representação, de reflexão e de
construção do conhecimento, aspectos que o software Geogebra favorece com muito êxito.
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2. O SOFTWARE GEOGEBRA
O Geogebra é um software de matemática dinâmica, gratuito e disponível na
internet, que pode ser utilizado para realização de atividades no Ensino Fundamental,
Médio e Superior. Este software possibilita desenvolver atividade de geometria e álgebra.
Na Geometria, o Geogebra permite realizar construções com pontos, vetores, segmentos,
retas, entre outras. Além disso, proporciona condições para alterações nas figuras, de forma
dinâmica, mantendo suas propriedades.
Na Álgebra, ele permite inserir equações e
coordenadas, pois tem a habilidade de tratar variáveis como as de funções, oferecendo
vários comandos como raízes.
Uma característica importante do Geogebra são as duas janelas: geométrica e
algébrica. Possibilita verificar que uma expressão na janela algébrica corresponde a um
objeto na janela geométrica e vice-versa. Sua interface é de fácil acesso e não requer
conhecimentos prévios de informática, o estudante é quem determina o que vai ser
executado na tela, ou seja, de acordo com suas estratégias, escolhem-se as ferramentas. A
seguir, apresenta-se a interface do Geogebra.
A barra de ferramentas do Geogebra possui 9 ícones. Cada ícone possui várias
ferramentas. Para poder visualizar essas ferramentas, basta clicar na parte inferior do ícone,
que o programa abre as opções de cada janela, como as figuras apresentadas a seguir.
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Pode-se observar que cada janela possui uma imagem que contribui para lembrar as
suas funções. Para desenvolvimento de atividades deve-se escolher a ferramenta que será
utilizada e executar determinada operação com o que se pretende realizar. Destaca-se, a
seguir, algumas das ferramentas desse software. Veja as figuras a seguir:
Assim, para a realização das atividades o estudante é quem busca as ferramentas.
Vale ressaltar que este software é de geometria dinâmica e que pode muito
contribuir na percepção de regularidades que favorecem as generalizações. Neste relato,
apresenta-se uma das atividades realizadas no projeto Viva Escola, utilizando o software
Geogebra e o Teorema de Pitágoras.
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3. O TEOREMA DE PITÁGORAS
Um dos teoremas mais conhecidos dentro da Matemática é o Teorema de Pitágoras,
tanto por ser considerado uma ferramenta de grande relevância na resolução de certos tipos
de problemas matemáticos, quanto pelos fatos e lendas que envolvem a historia de
Pitágoras. Garbi (2007, p.27) destaca que:
Existem muitos e belíssimos teoremas na Matemática mas a aura de surpresa,
originalidade, estética, e importância que cerca o Teorema de Pitágoras faz dele algo
realmente incomparável em relação aos demais: todos os caminhos da Rainha das
Ciências conduzem a ele.
Existem pelo menos 367 modos diferentes de demonstrar este teorema, ou seja,
que em qualquer triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos.
4.
A EXPERIÊNCIA
Num dos encontros do Viva Escola, abordou-se as propriedades do triângulo
retângulo com o auxilio do software Geogebra, a fim de possibilitar a visualização da
relação entre as áreas das figuras construídas em cada lado do triângulo retângulo que
embasam o Teorema de Pitágoras.
Para iniciar a construção do conceito na busca da generalização e demonstração do
Teorema de Pitágoras, foram propostas três atividades aos alunos.
ATIVIDADE 1:
• Construir um triângulo retângulo.
• Medir os ângulos internos utilizando o Geogebra.
Os alunos, em duplas, fizeram a construção e apresentaram figuras como as
seguintes:
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Analisando o triângulo ao lado,
percebeu-se que estes alunos não
conheciam as propriedades dos
triângulos
e,
portanto,
não
construiu um triângulo retângulo
como foi solicitado.
Outro
grupo
construíram
de
um
alunos
triângulo
retângulo, mas ao solicitar que se
movimentasse um dos vértices, da
figura A, observou-se que tratavase de um desenho, ou seja, não
manteve as propriedades e o
ângulo de 90º, foi modificado, e o
triângulo, obtendo a figura B, a
qual deixou de ser triangulo
retângulo como o solicitado.
Esses quatro triângulos foram
obtidos
construção,
de
apenas
pois
construiu
um
esta
uma
dupla
triângulo
retângulo, que ao movimentar
qualquer vértice, não perdeu a
propriedade que garante que é
um
triângulo
retângulo,
um
ângulo de 90º. Assim, pode-se
obter vários triângulos a partir
de apenas uma construção com o
movimento dos vértices.
Após as construções, levantaram-se discussões de quais ferramentas seriam
necessárias para construir um triângulo retângulo. Um aspecto importante e que muito
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contribui para verificar as ferramentas utilizadas nas construções foi a Protocolo de
Construção, que possibilitou verificar que um dos alunos usou retas perpendiculares e com
isso garantiu que o triângulo fosse retângulo. Veja, a seguir, imagem do Protocolo de
Construção.
Assim, foram apresentadas várias estratégias para a construção do triângulo
retângulo, algumas utilizando apenas a ferramenta Polígonos, do Geogebra, que não
garantiu que o triângulo fosse triângulo retângulo, e outras utilizando ferramentas como
retas perpendiculares, que garantem o ângulo reto, propriedade que caracteriza o triângulo
como triângulo retângulo.
Na sequência, foram realizadas as classificações do triângulo, tanto com relação aos
seus lados, quanto aos seus ângulos, e, a seguir, sistematizou-se que um triângulo retângulo
é aquele que possui um ângulo reto (90º) e apresentou que dois de seus lados são chamados
de catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa.
ATIVIDADE 2:
• Construir um triângulo retângulo.
• Um quadrado sobre cada um dos seus lados.
• Medir a área de cada quadrado.
• No Campo de Entrada do Geogebra, somar as áreas dos quadrados sobre os catetos.
• Comparar com a área do quadrado feito sobre a hipotenusa.
• Movimentar a construção e registrar sua conclusão.
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Os alunos já familiarizados com o software e com o conhecimento de várias
propriedades geométricas, discutidas em atividades anteriores, não tiveram dificuldades em
realizar esta atividade. Apresentaram figuras como as seguintes:
Essa
construção
favoreceu
a
compreensão de que u a área do
quadrado feito sobre a hipotenusa
é igual a soma das áreas dos
quadrados construídos sobre os
catetos.
Para maior compreensão foi apresentada a imagem ao lado
construída no Geogebra. A partir desta figura, tomou-se
um “quadradinho” como unidade de área e visualizaram
que 25 = 9+16.
Assim, formulou-se que se a hipotenusa for o lado a do
triângulo, b e c forem os catetos, tem-se que o teorema
pode ser representado por: a2= b2+c2
A partir da atividade 2 e das discussões, apresentou-se
aos
alunos a figura ao lado, que representa um quadrado
JKLM com o quadrado NOPQ inscrito, solicitou-se que
construíssem uma figura semelhante, utilizando o software.
Os alunos apresentaram algumas dificuldades em decidir a distância dos pontos
NOPQ sobre os lados do quadrado JKLM, testaram, utilizando medidas, e a maioria
decidiu utilizar o conceito de ponto médio para obter o quadrado inscrito. Na sequência, foi
solicitado que determinassem as área dos quadrados JKLM e NOPQ e, ainda, dos 4
triângulos formados e que comparassem a partir dos movimentos da figura. Porém, para a
sistematização do teorema, apresentou-se as figuras abaixo e, numa perspectiva
investigativa – participação ativa dos alunos, calcularam-se as áreas algebricamente, para,
assim, realizar a demonstração do teorema:
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Assim,
algebricamente
concluíram:
ATIVIDADE 3
•
Construir um triângulo retângulo e, em cada um dos seus lados, construir um
triângulo equilátero, um hexágono e um semicírculo.
•
Calcular a área de cada polígono e compará-las.
Entre as construções dos alunos, apresentam-se as figuras a seguir:
Observando que o hexágono pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros,
toma-se o hexágono construído sobre a hipotenusa como de lado a e os dos catetos como
lados b e c, pode-se verificar a seguinte relação entre as áreas:
Para calcular a área dos hexágonos construídos sobre
os lados do triângulo retângulo, basta calcular a área
dos seis triângulos de cada hexágono, assim tem-se:
Simplificando os elementos comuns, tem-se que:
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De modo análogo:
Calculando a área dos triângulos equiláteros construídos
sobre os lados do triângulo retângulo, obtém-se a mesma
relação entre as áreas:
Simplificando os termos comuns, tem-se:
O mesmo acontece com as áreas dos semicírculos
construídos sobre os lados do triângulo.
Simplificando os termos comuns, tem-se que:
Dessa forma, sistematizou-se que no triângulo retângulo podem ser construídos
polígonos regulares e também outras figuras que respeitem a proporcionalidade, que
poderá ser verificada na relação entre as áreas das figuras construídas nos catetos e na
hipotenusa.
5. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Vale ressaltar que no decorrer das atividades percebeu-se um grande empenho dos
alunos em descobrir as relações e propriedades que estavam em discussão. Notou-se,
também, pelo entusiasmo, que estes alunos experimentavam uma outra relação com a
Matemática - prazerosa. É de grande relevância destacar, que os alunos manifestaram uma
boa compreensão das atividades, observou-se estes aspectos tanto pelos argumentos
apresentados nas discussões, quanto pelas estratégias e ferramentas utilizadas nas
construções de figuras. Assim, percebeu-se que o software Geogebra pode contribuir com
o processo de ensino e aprendizagem, se utilizado adequadamente.
Por outro lado, observando as figuras construídas pelos alunos, percebeu-se que o
Geogebra pode favorecer o desenvolvimento da criatividade, o uso do pensamento
intuitivo, a experimentação e a exploração de ideias na formulação de conjecturas, na fase
em que o rigor matemático ainda não está presente. Assim, percebeu-se que no momento
de sistematizar ou formalizar os conteúdos, os alunos tem um enfretamento mais ativo e
menos exaustivo, o que pode contribuir para a construção dos conceitos.
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É oportuno dizer que o Geogebra deixou os alunos fascinados e os poucos que
possuem computador em casa, baixaram este software e argumentam que muitas atividades
que são solicitadas pelos professores são resolvidas por eles utilizando o software.
REFERÊNCIAS
BORBA, Marcelo de C. e PENTEADO, Miriam G. Informática e Educação
Matemática. 2.ed., Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
D’AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1988.
GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso
mundo da matemática. 2.ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007. 468 p.
GRAVINA, Maria Alice e SANTAROSA, Lucila. Aprendizagem da Matemática em
Ambientes Informatizados. Anais,IV Congresso Ribie, Brasília 1998.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes
Curriculares de Matemática. Curitiba: SEED, versão preliminar, 2008.
PONTE, J. P.; Brocardo, J. & Oliveira, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula.
Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
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