Apostila preparatória para o concurso da Polícia Federal - Agente Administrativo 2013/2014
Triângulo retângulo
Classificamos o triângulo retângulo como um dos
triângulos especiais. E, de fato, ele é especial. O motivo
ficará claro nos próximos parágrafos.
Em um triângulo retângulo, o lado aposto ao ângulo de
90 é denominado hipotenusa e usualmente denotado
por . E os outros dois lados são ditos catetos e
denotados por e .
confusão por causa da notação, sugerimos que você se
lembre do teorema de Pitágoras escrito na seguinte
forma:
1
2
É mais prático e ajuda a evitar equívocos.
Outro fato importante a respeito de triângulos retângulos
é observado quando consideramos um dos catetos como
base. Nesse caso, a altura relativa a essa base coincide
com o outro cateto. Desse modo, a área de um triângulo
retângulo pode ser obtida a partir das medidas dos
catetos.
Questões de concursos comentadas
Com essa notação, podemos enunciar o famoso teorema
de Pitágoras:
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, isto
é:
Atenção! A fórmula só vale se
hipotenusa.
for a medida da
Exemplo: Quanto mede a hipotenusa do triângulo
figura a seguir?
Solução: Denotando por
temos:
4
3
Logo:
√25
9
A área do triângulo retângulo mencionado no texto é
igual a 12.150"# .
Comentário:
Considere que cada cidade seja um dos pontos
no esquema a seguir.
,
e
da
a medida da hipotenusa,
16
13.
(CESPE/CBM-ES/Oficial
Bombeiro
Militar
Combatente/2011) As distâncias entre 3 cidades,
medidas em quilômetros, são os comprimentos dos lados
de um triângulo retângulo. Considerando que essas
medidas estão em progressão aritmética, com razão 45,
julgue o item que se segue.
25
Segundo o enunciado, os lados estão em $. . de razão
45. Quer dizer que se uma das distâncias mede % #,
então a distância menor que esta medirá será % & 45 #,
enquanto a distância maior medirá % 45. Como o
triângulo é retângulo, sabemos que a maior distância
corresponde à hipotenusa e, além disso, podemos usar o
teorema de Pitágoras.
5
Nesse caso, as medidas dos três lados são números
inteiros. Isso não é muito comum. Aliás, quando isso
acontece, o triângulo é dito pitagórico. Esse que tem
lados 3, 4 e 5 é um dos mais clássicos. Outro exemplo de
triângulo pitagórico é aquele cujos lados medem 9, 12 e
15. Verifique isso. E procure outros, existem infinitos.
Frequentemente, aplicamos o teorema de Pitágoras a
triângulos que fazem parte de outras figuras. E muitas
vezes os lados do triângulo retângulo que consideraremos
já estão denotados com outras letras. Para evitar
% 45
Daí, resulta:
%
90% 45
90%
%
% & 45
%
% & 90%
% & 90%
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45
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% & 180% 0
Poderíamos determinar % usando a fórmula:
& (√ &4
%
2
Mas, como
0, podemos resolver essa equação de um
jeito mais eficiente. Basta colocar % em evidência para
obter:
% ⋅ % & 180
0
Ora, se dois números multiplicados resultam em zero,
então um deles tem que ser igual a zero. Isto é, ou temos
% 0 ou temos % & 180 0. Como % é a medida de um
cateto, a primeira igualdade não faz sentido. Portanto,
devemos ter:
% & 180 0 ⇒ % 180
Logo, os lados do triângulo são 180 & 45 135"#,
180"# e 180 45 225"#.
180 . Resumindo, os três ângulos do triângulo medem
30 , 60 e 90 .
A afirmativa que devemos julgar diz que a soma de dois
deles é 135 . No entanto, veja que:
30
60
90
30
90
120
90
60
150
Sendo assim, é impossível que dois dos ângulos desse
triângulo resultem 135 .
Gabarito: Errado
Agora, resta apenas calcular a área do triângulo, que, por
ser retângulo, podemos considerar os catetos como base
e altura. O resultado é o seguinte:
- . ,
180 ⋅ 135
Á,
90 ⋅ 135
2
2
12.150"#
Portanto, a afirmativa está correta.
Gabarito: Certo
Usamos o fato que o menor ângulo opõe-se ao menor
lado, que neste caso mede 1 #, conforme dado no
enunciado.
(CESPE/PC-ES/Perito Criminal/2011) A soma de dois
ângulos internos de um triângulo retângulo é igual a 120°.
Sabendo que o lado menor desse triângulo mede 1 #,
julgue os itens seguintes.
14. A soma de dois ângulos internos desse triângulo é
igual a 135°.
Comentário:
A primeira coisa a fazer é descobrir todos os ângulos do
triângulo retângulo.
15. O perímetro desse triângulo é inferior a 5 #.
Comentário:
Vimos na questão anterior que o triângulo retângulo dado
é da seguinte forma:
Para descobrir o perímetro desse triângulo, precisamos
saber quanto mede cada lado. Para tanto, vamos usar os
senos dos ângulos. Veja que, de acordo com a nossa
figura: Â 90 e é oposto ao lado
(hipotenusa do
triângulo); 1 60 e é oposto ao lado ; 2 30 e é
oposto ao lado
1 #.
Considerando o ângulo 2
sin6 2 7
sin 30
1
2
1
2 #
Para achar o lado do cateto , usaremos o teorema de
Pitágoras:
2
4
A informação que o enunciado nos deu é que a soma de
dois dos ângulos internos desse triângulo é 120 . Como a
soma dos três ângulos internos deve ser 180 , podemos
constatar que a medida do terceiro ângulo é 180 &
120
60 . Contudo, o triângulo é retângulo. Então, um
dos ângulos mede 90 . Logo, o ângulo que ainda falta só
pode medir 30 , para que a soma dos três ângulos seja
30 , temos:
1
1
3
(√3
Como representa medida, ficamos com:
√3 #.
O perímetro desse triângulo é a soma de todos os seus
lados, logo:
$ ,í# ,
2 √3 1 3 √3
Como √3 é menor que 2, concluímos que o perímetro é
inferior a 5 #.
Gabarito: Certo
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