O TEOREMA DE PITÁGORAS
Introdução
O Teorema de Pitágoras é o mais célebre de todos os teoremas da geometria plana e
existem maior número de demonstrações do teorema de Pitágoras do que de qualquer outra
proposição matemática. O professor Elisha Scott Loomis publicou o livro The Pythagorean
Proposition, em 1927 com uma segunda edição em 1940, contendo 367 demonstrações do Teorema
de Pitágoras e esse número não é definitivo porque continua aumentando com novas provas que são
divulgadas.
Teorema de Pitágoras. Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados.
Geometricamente, o enunciado do teorema de Pitágoras é o seguinte:
A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é
igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos
catetos, como representado na figura.
Se a é a medida da hipotenusa e b e c são as medidas dos catetos então o
teorema de Pitágoras afirma que
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 .
Uma antiga demonstração grega do teorema de Pitágoras para o
caso particular de triângulo retângulo isóscele é a representada na figura,
onde os dois quadrados sobre os catetos estão formados por quatro
triângulos congruentes que juntos formam o quadrado sobre a hipotenusa.
As duas ilustrações seguintes representam uma demonstração do
teorema de Pitágoras por decomposição, atribuída ao próprio Pitágoras. Os
quatro triângulos retângulos da figura são congruentes. O quadrado maior
tem área igual à soma das áreas dos quatro triângulos congruente mas a
área do quadrado central.
Na segunda ilustração são representados os mesmos quatro triângulos
retângulos congruentes e dois quadrados. Cada um dos quadrados têm lados
congruentes com os respectivos catetos dos triângulos retângulos. O
quadrado maior, é igual ao da figura acima, tem área igual à soma das áreas
dos quatro triângulos mais a área dos dois quadrados. Logo, a área do
quadrado central, com lados congruentes a hipotenusa do triângulo retângulo, é igual à soma das
áreas dos dois quadrados com lados iguais aos dos catetos desse triângulo.
O matemático Bhaskara é o autor da seguinte demonstração do teorema de Pitágoras. Esta é
uma demonstração por decomposição onde o quadrado construído sobre a
hipotenusa do triângulo retângulo é seccionado em quatro triângulos, cada
um deles congruente ao triângulo retângulo dado, mais um quadrado com
lado igual a diferença das medidas dos catetos do triângulo retângulo dado.
Com essas cinco peças são formados facilmente dois quadrados com lados
congruentes aos catetos do triângulo retângulo.
Logo, a área do quadrado sobre a hipotenusa do triângulo
retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos.
Aplicando álgebra, se a, b e c são os comprimentos respectivos, da
hipotenusa e dos catetos do triângulo retângulo, e o quadrado menor tem
lados de comprimento (c – b) então
𝑎2 = 4
𝑏.𝑐
2
+ (𝑐 − 𝑏)2 = 2 b.c + 𝑐 2 – 2 b c + 𝑏 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2