Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.7, n.1, p.71-82, 2005
ISSN 1517-8595
71
UMA EQUAÇÃO EMPÍRICA PARA DETERMINAÇÃO DE TEOR DE ÁGUA DE
EQUILÍBRIO PARA GRÃOS
Wilton P. da Silva1, Mário E. R. M. Cavalcanti Mata2, Jürgen W. Precker2,
Cleide M. D. P. S e Silva2, Cleiton D. P. S. e Silva3, Diogo D. P. S e Silva4, Antonio G. B. Lima2
RESUMO
Neste artigo é proposta uma equação empírica, com três parâmetros, para determinação de teor
de água de equilíbrio em secagem de grãos. Para tal, foi desenvolvido e utilizado um programa
de computador que ajusta, de forma automática, cerca de 500 funções contidas em sua
biblioteca, com uma e duas variáveis independentes, a dados experimentais. O programa, que
usa regressão não-linear através do método dos mínimos quadrados, classifica as melhores
funções ajustadas pelo critério do menor qui-quadrado reduzido. A equação proposta foi obtida
a partir de dados experimentais disponíveis na literatura para milho descascado de dente
amarelo, e os resultados encontrados foram comparados com os de várias outras equações
empíricas de três parâmetros comumente encontradas na literatura. Para avaliar a sua
aplicabilidade, a equação foi utilizada em estudos de diversos tipos de grãos, para os quais
foram encontrados dados na literatura. Em todas as comparações efetuadas, a equação proposta
apresenta um resultado equivalente aos melhores resultados determinados através das outras
equações empíricas testadas.
Palavras-chave: atividade de água, dessorção, modelo matemático
AN EMPIRIC EQUATION TO DETERMINE THE EQUILIBRIUM MOISTURE
CONTENT OF GRAINS
ABSTRACT
In this article, an empiric equation containing three parameters is determined for the calculation
of the equilibrium moisture content for grains. A computer program was developed and used,
which fits automatically about 500 functions of one and two independent variables, stored in its
library, to experimental data. The program uses non-linear regression by least-squares and it and
classifies the best fitted functions through their least reduced chi-square. The equation was
determined from experimental data available in the literature for shelled corn (yellow teeth), and
compared with other empirical equations that have three parameters and were, use by other
researchers. In order to evaluate its applicability, the equation was used for various types of
grains for which data were available in the literature. In all the executed tests, the obtained
equation presents equivalent or better results of the other tested empiric equations.
Keywords: drying, water activity, mathematical model, fit parameters
_____________________________________
Protocolo 100 de 10 /10 / 2005
1
2
3
4
Doutorando em Engenharia de Processos CCT/UFCG Tel +55 (0) 83 3333 2962 [email protected]
Professores da Universidade Federal de Campina Grande (DEAg, DF e DEM) Av. Aprígio Veloso 882, Bodocongó,
Campina Grande, PB, CEP 58109-970
Doutorando em Engenharia Eletrônica, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Depto. Sistemas e Controle, São José dos
Campos, São Paulo, Brasil
Mestrando em Matemática, UNICAMP, Campinas, São Paulo, Brasil
72
Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
INTRODUÇÃO
outras equações
literatura.
A secagem é uma etapa importante no
processamento e armazenagem de grãos, tanto
pelo aspecto da qualidade quanto pelo aspecto
do custo do produto final, já que o processo
requer energia. A quantidade de energia
requerida depende, dentre outros fatores, das
condições iniciais dos grãos e do teor de
umidade de equilíbrio, também denotado por
teor de água de equilíbrio. Assim, a
determinação do teor de água de equilíbrio
desempenha um papel fundamental em
processos de secagem. Para realizar esta
determinação, vários modelos teóricos têm sido
propostos e, dentre eles, podem ser citados
Kelvin (condensação por capilaridade),
Langmuir, BET, GAB (cinética de adsorção) e
Harkins-Jura (teoria de potencial). Detalhes
sobre tais modelos podem ser obtidos, por
exemplo, em Brooker, et al. (1992). Segundo os
autores citados anteriormente, destes modelos
teóricos, apenas a equação GAB é capaz de
predizer teores de água de equilíbrio, de forma
acurada, para as mais diversas situações
práticas de condições de secagem. Como as
constantes desta equação não são conhecidas
para muitos produtos, cientistas e engenheiros
utilizam equações empíricas mais simples como
as de Chung, Copace, Henderson, Halsey,
Chung-Pfost, Oswin, Sabbah, Sigma-Copace e
Cavalcanti Mata na determinação do teor de
umidade de equilíbrio. Todas essas equações
relacionam a umidade de equilíbrio com a
temperatura e a umidade relativa do ar;
envolvem apenas três parâmetros de ajuste e
são utilizadas em um grande número de
pesquisas sobre adsorção e dessorção de
produtos em geral (ver, por exemplo,
Phoungchandang e Woods, 2000; Araújo et al.,
2001; Corrêa et al., 2001; Corrêa et al., 2002;
Silva et al., 2002 e Oliveira et al., 2004). Muito
embora outros modelos possam ser encontrados
na literatura, escassos são os trabalhos
disponíveis propondo equações empíricas para
a predição de teor de água de equilíbrio para
produtos específicos.
Diante do exposto, este artigo visa a
apresentar uma equação empírica para cálculos
de teor de água de equilíbrio em secagem de
grãos, com três parâmetros de ajuste. Também
visa a testar a sua capacidade de prever o teor
de água de equilíbrio sob várias condições
ambientais e para vários tipos de grãos, e a
comparar resultados preditos por ela com os de
Silva et al.
empíricas
reportadas
na
MATERIAL E MÉTODOS
Para resolver problemas relativos à
determinação de funções empíricas para a
descrição de dados experimentais, um programa
de computador foi desenvolvido pelo primeiro e
quarto autores deste artigo, com cerca de 500
funções elementares (compactas), de até quatro
parâmetros, com uma e duas variáveis
independentes. Este programa, denominado
Finder, utiliza o método dos mínimos
quadrados para realizar regressão não-linear, de
forma automática, de todas as funções de sua
biblioteca a um determinado conjunto de dados.
O programa classifica as melhores funções
através do critério do menor qui-quadrado
reduzido, e apresenta os resultados obtidos ao
usuário. Detalhes sobre regressão não-linear e
escolha de melhor ajuste podem ser obtidos, por
exemplo, em Taylor (1997); Silva e Silva
(1998) e em Neto et al. (2003). Após vários
testes de desempenho o programa desenvolvido
foi incorporado ao LAB Fit Curve Fitting
Software, a partir da versão 7.2.18. Como é
desejável que o Finder seja rápido, posto que
deve ajustar uma grande quantidade de funções
a um conjunto de dados que pode ser
relativamente grande, o algoritmo de
Levenberg-Marquardt (Press et al., 1996),
presente em todo o restante do pacote LAB Fit,
não foi utilizado para economizar tempo
durante a execução. Embora não existam,
disponíveis no mercado, muitos programas com
a característica de descobrir funções, ainda se
podem citar dois outros: DataFit e TableCurve.
A opção pelo desenvolvimento e a utilização do
Finder no descobrimento de equações empíricas
se deve, principalmente, ao fato de ser desejável
que tais funções sejam compactas, com até
quatro parâmetros de ajuste.
Os dados utilizados nos primeiros
estudos visando à determinação de uma
equação empírica para cálculos de teor de água
de equilíbrio são referentes a milho descascado
de dente amarelo e foram extraídos de Brooker
et al. (1992), estando disponíveis na Tabela 1.
Assumiu-se que neste conjunto de dados não
devam existir erros sistemáticos significativos,
e que ele possa ser considerado típico, para
grãos, do fenômeno a ser investigado. O
planejamento para a determinação da equação
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Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
empírica obedeceu aos passos estabelecidos a
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os dados da Tabela 1 foram informados
ao LAB Fit com a temperatura T em oC, a
umidade relativa do ar ф e o teor de água de
equilíbrio M em valores percentuais. Numa
primeira abordagem, tentou-se a determinação
73
seguir.
Tabela 1. Teor de água de equilíbrio M (%, base úmida) para milho
ф
10
20
30
40
50
60
(%)
T(oC)
4
6,4
8,6
9,9
11,2
12,6
13,9
16
5,6
7,8
9,3
10,5
11,6
12,6
27
4,2
6,4
7,9
9,2
10,3
11,5
38
4,2
6,2
7,5
8,5
9,8
11,3
50
3,6
5,7
7,0
8,1
9,3
10,5
60
3,0
5,0
6,0
7,0
7,9
8,8
Fonte: Brooker et al., (1992)
Inicialmente, deve ser feita uma
varredura direta, via Finder, de todas as funções
de duas variáveis independentes de sua
biblioteca ao conjunto de dados. Caso este
procedimento não apresente bons resultados,
deve-se buscar, também, via Finder, por duas
funções de uma variável independente que
captem, separadamente, os efeitos da
temperatura e da umidade relativa do ar sobre o
teor de água de equilíbrio. A partir dos
resultados obtidos, deve-se determinar uma
função de duas variáveis independentes,
observando, neste processo de determinação, se
o possível efeito de interação entre tais
variáveis independentes pode ser descartado.
Uma vez determinada a equação
empírica, testes estatísticos devem ser usados
para a sua validação. Para avaliar a sua
aplicabilidade, a equação proposta deve ser
utilizada no modelamento do teor de água de
equilíbrio na secagem de vários tipos de grãos.
Devem ser feitas comparações entre os
resultados obtidos pela equação determinada e
os de outras equações empíricas comumente
encontradas na literatura. Dados experimentais,
para os quais as equações empíricas testadas
sejam consideradas insatisfatórias, na predição
do teor de água de equilíbrio, devem ser
informados ao Finder, na tentativa de descobrir
equações empíricas específicas, por varredura
direta das funções de sua biblioteca.
Silva et al.
70
80
90
15,6
14,2
12,9
12,5
11,9
10,3
17,7
16,2
14,8
14,4
13,8
12,1
21,4
19,8
17,5
16,9
16,3
14,6
de uma função de duas variáveis independentes
pela varredura direta de todas as funções deste
tipo, com três parâmetros, disponíveis na
biblioteca do Finder, aos dados experimentais.
Como os resultados não foram considerados
bons, foi feita uma segunda abordagem,
conforme as etapas descritas a seguir.
Primeira etapa na obtenção da equação
Numa primeira etapa, foi investigado o
comportamento do teor de água de equilíbrio
em função da temperatura, mantendo-se a
umidade relativa do ar constante. Assim, a
partir da Tabela 1, foram criados nove
conjuntos de dados, sendo um para cada
umidade relativa do ar. Cada um destes
conjuntos de dados foi informado ao LAB Fit,
e, posteriormente, analisado pelo Finder.
Numa análise preliminar, através de
inspeção gráfica, pode-se estabelecer que dois
parâmetros devem ser suficientes para
descrever o comportamento do teor de água M
em função da temperatura T, posto que o
gráfico sugere uma função simples, monótona e
decrescente (Figura 1).
O Finder indicou, para cada um dos nove
conjuntos de dados, as melhores funções de
dois parâmetros, através de seu número de
identificação na biblioteca, e os resultados
obtidos estão disponíveis no Quadro 1.
Através da análise do Quadro 1 verificase que as funções mais freqüentes e melhor
classificadas são as de número 11 e 18. Feita
uma inspeção na biblioteca, observa-se que as
funções de número 11 e 18 são,
respectivamente, dadas por:
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74
Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
Silva et al.
M e a umidade relativa do ar ф. Para tal, foram
criados, a partir da Tabela 1, seis conjuntos de
dados com pares (ф, M) relativos às
temperaturas disponíveis. O Finder foi
novamente utilizado para cada um dos seis
conjuntos de dados e, desta vez, como a
dependência entre M e ф pareceu ser mais
complexa que a de M e T (Figura 2), buscou-se
por funções com até três parâmetros de ajuste.
Os resultados obtidos estão disponíveis no
Quadro 2.
Pela análise do Quadro 2, verifica-se que
a função presente em todas as temperaturas e
que ocupa as melhores posições de classificação
é a de número 38, dada por:
Figura 1. M(T): comportamento típico para uma
dada umidade relativa do ar (ф = 50%)
Quadro 1. Melhores funções para
indicadas pelo Finder
2a
3a
Ф(%)
1a
10
16
18
11
20
121
16
11
30
18
11
121
40
18
11
121
50
11
18
6
60
6
11
18
70
11
18
16
80
18
11
16
90
16
11
18
y = ae bx
y=
1
.
a + bx + c/x
(4)
M(T)
4a
121
18
6
6
20
20
6
6
6
(1)
e
y = ab x
(2)
em que “a” e “b” são os parâmetros de ajuste.
Obviamente, tais funções são equivalentes,
embora escritas de formas diferentes, e pode-se
assumir que a dependência entre M e T seja
dada pela Equação (1) que, para o problema em
análise, pode ser escrita do seguinte modo:
M = b 'e aT .
(3)
Segunda etapa na obtenção da equação
Numa segunda etapa, foi investigada a
dependência entre o teor de água de equilíbrio
Figura 2. M(ф): comportamento típico para
uma dada temperatura (T = 50 oC)
Quadro 2. Melhores
indicadas pelo Finder
T(oC)
1a
4
184
16
184
27
38
38
38
50
38
60
34
funções para M(ф)
2a
202
202
184
202
41
38
3a
203
203
41
55
55
207
4a
38
38
55
41
202
202
Para o caso em estudo, a Equação (4) pode
ser escrita na forma:
y' =
1
.
b + cΦ + d/Φ
(5)
Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.7, n.1, p.71-82, 2005
Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
Terceira etapa na obtenção da equação
Para produzir uma função de duas
variáveis independentes a partir das Equações
(3) e (5), foi admitido que tais variáveis
independentes, T e ф, não tivessem um efeito
de sinergia muito intenso. Neste caso, este
possível efeito de interação entre as duas
variáveis independentes pode ser desprezado, o
que abre a possibilidade de separação de
variáveis na formulação da função desejada.
Assim, pode-se admitir que o parâmetro b ' da
Equação (3) possa ser substituído por y ' , dado
pela Equação (5), o que resulta em:
M=
e aT
.
b + cΦ + d/Φ
(6)
Ajustando-se a Equação (6) aos dados da
Tabela 1, obtêm-se os resultados
a = -0,00709 ± 0,00028,
b = 0,0955 ± 0,0036,
c = -0,000651 ± 0,000033,
d = 0,80 ± 0,08,
com indicadores da qualidade do ajuste muito
favoráveis. O teste de Student (teste t), que,
neste contexto, indica a probabilidade de cada
parâmetro ser zero, mesmo tendo o valor
obtido, resultou em P(t) = 0,0 para os quatro
parâmetros. Já para o qui-quadrado reduzido,
cuja raiz quadrada, para o tipo de dados
analisados, é igual ao desvio padrão associado
ao ajuste, obteve-se
χ 2red
= 0,189041. Com
relação ao coeficiente de determinação, que
indica a proporção ou o percentual de variação
explicada pela regressão, obteve-se R2 =
0,990208. Por último, com relação ao teste de
Fisher-Snedecor (teste F), que compara as
variâncias da regressão e dos resíduos
(ANOVA), foi encontrado P(1657) = 0,0.
Detalhes sobre tais testes podem ser obtidos,
por exemplo, em Bevington e Robinson (1992);
Bussab e Morettin (1995); em Silva e Silva
(1998) e em Neto et al. (2003).
Apesar de a equação determinada ajustar-se
bem aos dados, ela não atende ao requisito
imposto de início: ter apenas três parâmetros de
ajuste. Como o parâmetro “a” é o único relativo
Silva et al.
75
ao decréscimo de M com o aumento de T, tal
parâmetro não pode ser descartado. Assim, após
rápidas simulações, optou-se pelo descarte do
parâmetro “d”, de forma que o último termo no
denominador passou a ser o inverso da umidade
relativa do ar. A Equação (6) passou a ser
expressa do seguinte modo:
M=
e aT
.
b + cΦ + 1/Φ
(7)
Refeito o ajuste foram obtidos os seguintes
resultados:
a = -0,00701 ± 0,00029,
b = 0,0876 ± 0,0019,
c = -0,000585 ± 0,000021.
Neste ajuste o teste t apontou para P(t) = 0,0
para os três parâmetros. Já o qui-quadrado
reduzido
resultou
em
χ 2red
=
0,209017
enquanto que, para o coeficiente de
determinação, obteve-se R2 = 0,989032. Por
último, com relação ao teste F, foi encontrado
P(2317) = 0,0.
Embora estes indicadores já fossem
favoráveis, foi feita uma tentativa para melhorar
os valores de R2 e χ 2red . Para tal, algumas
funções matemáticas (tais como seno
hiperbólico e logaritmo, dentre outras) foram
aplicadas ao denominador da Equação (7),
tendo sido o ajuste refeito, o que possibilitou
chegar à seguinte expressão final:
M=
e aT
,
ln (b + cΦ + 1 / Φ)
(8)
com T em oC e ф em %. Para esta equação
final, refeito o ajuste, foram obtidos os
seguintes resultados:
a = -0,00706 ± 0,00027,
b = 1,0945 ± 0,0019,
c = -0,000652 ± 0,000022.
Novamente, o teste t apontou para P(t) = 0,0
para os três parâmetros. Já o qui-quadrado
reduzido resultou em
χ 2red
= 0,187365,
enquanto que, para o coeficiente de
determinação, obteve-se R2 = 0,990058. Por
último, com relação ao teste F, foi encontrado
Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.7, n.1, p.71-82, 2005
76
Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
P(2531) = 0,0. Com tais indicadores sobre a
qualidade do ajuste, a Equação (8) pode
constituir-se em uma alternativa para o cálculo
do teor de água de equilíbrio para os dados
analisados. Entretanto, a equação proposta só
teria alguma utilidade se pudesse descrever, de
forma razoável, teores de água de equilíbrio na
secagem de outros grãos, com precisão
equivalente ou superior à de outras equações
empíricas encontradas na literatura.
Algumas equações empíricas sobre teor de
água de equilíbrio são citadas por Brooker et al.
(1992); Öztekin e Soysal (2000); Mesquita et
al. (2001); Oliveira et al. (2004) e ,também, por
Menkov e Dukarova (2005). Dessa forma,
pode-se montar o Quadro 3, com a finalidade de
se fazer um estudo comparativo, entre a
equação proposta e outras disponíveis na
literatura. Neste quadro, nas equações com
Silva et al.
números de ordem de 1 a 9, a umidade relativa
do ar aparece dividida pelo fator 100 porque,
nos arquivos de dados, os valores desta variável
foram informados em percentuais, e não na
forma decimal.
Inicialmente, os dados experimentais da
Tabela 1 foram utilizados para comparar as 10
equações apresentadas no Quadro 3. Os dados
apresentados por Brooker et al. (1992) para soja
e trigo, também, foram utilizados para testar o
modelo proposto e estão disponíveis nas
Tabelas 2 e 3. Também foram usados para teste
os dados obtidos por Oliveira et al. (2004) na
secagem de feijão macassar verde (Tabela 4).
Foram utilizados, finalmente, os dados obtidos
por Mesquita et al. (2001) em dessorção de
sementes de jacarandá-da-bahia, de angicovermelho e de óleo-copaíba (Tabelas 5, 6 e 7,
respectivamente).
Quadro 3. Equações empíricas para cálculos de teor de água de grãos (T em oC e ф em %)
N0
1
Nome
Chung
2
Copace
3
Henderson mod.
4
Chung-Pfost mod.
5
Halsey mod.
M = [−e (a + bT) / ln(Φ / 100)] (1/c)
6
Oswin mod.
M = {(a + bT)[(Φ/100)/(1 - Φ/100)]}c
7
Sabbah
8
Sigma-Copace
M = a[(Φ/100) b ]/T c
M = exp[a - bT + c exp(Φ/100)]
9
Cavalcanti Mata
M = [-ln(1- Φ/100)/(aT b )] c
10
Equação proposta
M = e aT /ln(b + cΦ + 1/Φ )
Equação
M = a - bln[-(T + c)ln(Φ/100)]
(a − bT + cΦ/100)
M=e
M = {−ln(1 − Φ/100)/[a(T + b)]}c
M = -ln[-(T + b)ln(Φ/100)/a]/c
Tabela 2. Teor de água de equilíbrio M (%, base úmida) para soja
Ф (%)
10
20
T(oC)
5
5,2
6,3
15
4,3
5,7
25
3,8
5,3
35
3,5
4,8
45
2,9
4,0
55
2,7
3,6
Fonte: Brooker et al., (1992)
30
40
50
60
70
80
90
6,9
6,5
6,1
5,7
5,0
4,2
7,7
7,2
6,9
6,4
6,0
5,4
8,6
8,1
7,8
7,6
7,1
6,5
10,4
10,1
9,7
9,3
8,7
8,0
12,9
12,4
12,1
11,7
11,1
10,6
16,9
16,1
15,8
15,4
14,9
-
22,4
21,9
21,3
20,6
-
Tabela 3. Teor de água de equilíbrio M (%, base úmida) para trigo
ф (%)
10
20
T(oC)
20
5,5
7,0
40
5,3
6,0
80
2,4
3,6
Fonte: Brooker et al., (1992)
30
40
50
60
70
80
90
8,2
7,4
4,5
9,6
8,6
5,5
10,9
9,7
6,7
12,0
11,0
7,8
13,4
12,3
9,6
14,8
14,0
11,4
17,1
16,3
13,9
Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.7, n.1, p.71-82, 2005
Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
Silva et al.
77
Tabela 4. Teor de água de equilíbrio M (%, base seca) para feijão macassar verde
ф (%)
10
20
T(oC)
20
2,65
6,32
30
2,18
6,23
40
3,16
6,25
50
3,12
5,70
Fonte: Oliveira et al., (2004)
25
35
45
55
65
75
85
8,50
7,31
7,20
6,30
10,09
8,85
9,30
7,76
12,60
11,53
10,45
9,61
15,30
12,45
11,80
11,05
16,86
16,10
14,80
13,55
23,30
20,60
19,91
18,30
29,45
26,80
25,50
24,70
Tabela 5. Teor de água de equilíbrio M (%, base seca) para sementes de jacarandá
ф (%)
34,5
T(o)
5
8,71
32,5
ф (%)
T(o)
25
7,39
Fonte: Mesquita et al., (2001)
59,0
75,0
82,5
94,5
98,5
11,98
53,0
18,91
64,0
34,25
75,5
53,96
88,5
64,55
97,5
9,59
14,22
16,35
24,73
54,25
Tabela 6. Teor de água de equilíbrio M (%, base seca) para sementes de angico
ф (%)
34,5
T(o)
5
7,34
ф (%)
32,5
T(o)
25
6,68
Fonte: Mesquita et al., (2001)
59,0
75,0
82,5
94,5
98,5
16,21
53,0
21,54
64,0
47,86
75,5
88,86
88,5
107,51
97,5
14,72
18,27
18,81
35,19
84,67
Tabela 7. Teor de água de equilíbrio M (%, base seca) para sementes de copaíba
ф (%)
34,5
T(o)
5
9,64
ф (%)
32,5
T(o)
25
7,84
Fonte: Mesquita et al., (2001)
59,0
75,0
82,5
94,5
98,5
11,38
53,0
19,45
64,0
24,30
75,5
34,12
88,5
50,47
97,5
8,91
11,09
16,80
23,69
30,58
Em todos os ajustes, relativos às dez
equações aplicadas aos sete conjuntos de dados,
a tolerância imposta foi de 1x10-6. Como, em
muitos dos ajustes realizados, foi obtido P(t) =
0,0 (teste t) para os parâmetros e P(F) = 0,0
(teste F), tais indicadores foram omitidos nas
tabelas apresentadas a seguir. Na Tabela 8, são
apresentados os ajustes das dez equações
empíricas aos dados da Tabela 1. Na Tabela 9,
encontram-se os resultados dos ajustes de tais
equações aos dados da Tabela 2. Na Tabela 10,
estão os resultados dos ajustes relativos aos
dados da Tabela 3. Já os resultados dos ajustes
das equações empíricas aos dados das Tabelas
4, 5, 6 e 7 são apresentados nas Tabelas 11, 12,
13 e 14, respectivamente.
Análise dos resultados obtidos
Uma observação das Tabelas 8 (milho), 9
(soja), 10 (trigo), 11 (feijão), 12 (jacarandá), 13
(angico) e 14 (copaíba) possibilita constatar a
equivalência entre a equação de Chung (1) e de
Chung-Pfost modificada (4), para todos os
conjuntos de dados analisados. Assim, as duas
equações serão tratadas como uma só: ChungPfost modificada. Uma análise global das
tabelas de resultados possibilita, também,
montar o Quadro 4, que classifica, a partir dos
valores de χ 2red e R2, as melhores equações
empíricas para cada conjunto de dados
analisado. Com relação à soja (Tabela 9), devese considerar que a equação proposta ( χ 2red =
0,214650 e R2 = 0,992341) e a equação SigmaCopace ( χ 2red = 0,210320 e R2 = 0,992337)
estejam numa mesma posição, no quadro de
classificação, por possuírem dois indicadores de
qualidade competitivos (conflitantes).
Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.7, n.1, p.71-82, 2005
Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
78
Uma inspeção do Quadro 4 indica que a
equação proposta neste artigo é bastante eficaz
na predição de teor de água de equilíbrio para
os grãos estudados. Para todos os conjuntos de
Silva et al.
dados analisados, tal equação ou é a melhor ou
é a segunda melhor, de acordo com os
indicadores para a escolha do melhor ajuste.
Tabela 8. Resultados dos ajustes das 10 equações empíricas (Quadro 3) aos dados da Tabela 1 (grãos
de milho)
a
b
c
R2
N0
χ 2red
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
25,41 ± 0,38
1,810 ± 0,027
0,000048 ± 0,000005
418 ± 22
6,77 ± 0,27
12,27 ± 0,15
26,0 ± 1,1
1,20 ± 0,05
0,00119 ± 0,00023
-0,00706 ± 0,00027
4,21 ± 0,07
0,0071 ± 0,0004
35,5 ± 2,7
26,1 ± 2,4
-0,0204 ± 0,0018
-0,0707 ± 0,0037
0,663 ± 0,030
0,0071 ± 0,0005
0,302 ± 0,021
1,0945 ± 0,0019
26,1 ± 2,4
1,415 ± 0,034
0,432 ± 0,008
0,238 ± 0,004
2,87 ± 0,10
0,274 ± 0,006
0,130 ± 0,013
0,778 ± 0,024
0,432 ± 0,012
-0,000652 ± 0,000022
0,986534
0,978841
0,987795
0,986534
0,954770
0,982612
0,941807
0,964648
0,974868
0,990058
0,253709
0,402404
0,230069
0,253709
0,874249
0,337864
1,10654
0,676599
0,473691
0,187365
Tabela 9. Resultados dos ajustes das 10 equações empíricas (Quadro 3) aos dados da Tabela 2 (grãos
de soja)
a
b
c
R2
N0
χ 2red
1
32,2 ± 1,4
5,47 ± 0,17
75 ± 18
0,957467
1,16728
2
1,14 ± 0,05
0,0051 ± 0,0007
2,20 ± 0,05
0,979689
0,572938
3
0,00022 ± 0,00004
114 ± 26
0,695 ± 0,023
0,966194
1,00048
4
(36 ± 6) x 101
75 ± 18
0,183 ± 0,006
0,957467
1,16728
5
3,81 ± 0,11
-0,0084 ± 0,0012
1,899 ± 0,036
0,985401
0,413718
6
9,39 ± 0,16
-0,039 ± 0,004
0,421 ± 0,008
0,987923
0,332253
7
27,1 ± 2,4
1,17 ± 0,08
0,095 ± 0,029
0,895227
3,23293
8
0,225 ± 0,039
0,0047 ± 0,0004
1,191 ± 0,017
0,992337
0,210320
9
0,0230 ± 0,0039
0,118 ± 0,026
0,704 ± 0,025
0,961242
1,14425
10
-0,0046 ± 0,0004
1,177 ± 0,004
-0,00161 ± 0,00004
0,992341
0,214650
Tabela 10. Resultados dos ajustes das 10 equações empíricas (Quadro 3) aos dados da Tabela 3 (grãos
de trigo)
N0
a
b
c
R2
χ 2red
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
23,2 ± 0,5
1,74 ± 0,05
0,000058 ± 0,000014
434 ± 34
6,6 ± 0,5
11,31 ± 0,30
37 ± 5
1,13 ± 0,09
0,00055 ± 0,00025
-0,0059 ± 0,0006
3,82 ± 0,10
0,0059 ± 0,0006
32 ± 9
18 ± 4
-0,0171 ± 0,0027
-0,052 ± 0,005
0,67 ± 0,05
0,0059 ± 0,0007
0,55 ± 0,07
1,105 ± 0,005
18 ± 4
1,42 ± 0,06
0,436 ± 0,020
0,262 ± 0,007
2,87 ± 0,17
0,274 ± 0,012
0,242 ± 0,037
0,78 ± 0,04
0,434 ± 0,022
-0,00073 ± 0,00006
0,986391
0,970619
0,966541
0,986391
0,938516
0,966337
0,930483
0,955573
0,959955
0,973110
0,229502
0,507721
0,566200
0,229502
1,07582
0,588016
1,17879
0,773579
0,677444
0,458878
Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.7, n.1, p.71-82, 2005
Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
Silva et al.
79
Tabela 11. Resultados dos ajustes das 10 equações empíricas (Quadro 3) aos dados da Tabela 4 (feijão
macassar verde)
N0
a
b
c
R2
2
χ red
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
49,0 ± 2,2
1,53 ± 0,06
0,000230 ± 0,000035
(30 ± 6) x 101
3,91 ± 0,17
14,62 ± 0,38
67 ± 13
0,52 ± 0,09
0,0077 ± 0,0015
-0,0077 ± 0,0009
8,61 ± 0,25
0,0072 ± 0,0011
68 ± 13
63 ± 20
-0,0114 ± 0,0021
-0,083 ± 0,010
1,16 ± 0,06
0,0071 ± 0,0013
0,32 ± 0,04
1,093 ± 0,005
63 ± 20
2,33 ± 0,07
0,739 ± 0,019
0,1161 ± 0,0033
1,61 ± 0,05
0,480 ± 0,010
0,24 ± 0,06
1,29 ± 0,04
0,740 ± 0,019
-0,00089 ± 0,00005
0,973972
0,980884
0,985676
0,973972
0,974454
0,989295
0,953782
0,974564
0,985940
0,988234
1,45524
1,06940
0,813511
1,45524
1,48080
0,607839
2,73322
1,44343
0,798743
0,751179
Tabela 12. Resultados dos ajustes das 10 equações empíricas (Quadro 3) aos dados da Tabela 5
(sementes de jacarandá)
N0
a
b
c
R2
χ 2red
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
58 ± 9
-0,1 ± 0,4
0,00063 ± 0,00030
71 ± 37
6,4 ± 1,2
15,0 ± 2,5
85 ± 13
-0,9 ± 0,4
0,050 ± 0,019
-0,0103 ± 0,0035
13.6 ± 1,1
0,011 ± 0,004
(9 ± 5) x 101
34 ± 25
-0,018 ± 0,016
-0,10 ± 0,08
3,7 ± 0,5
0,0113 ± 0,0036
0,12 ± 0,05
1,117 ± 0,015
34 ± 25
4,4 ± 0,5
1,00 ± 0,09
0,073 ± 0,006
2,45 ± 0,29
0,38 ± 0,04
0,15 ± 0,07
1,92 ± 0,16
1,00 ± 0,09
-0,00115 ± 0,00015
0,950962
0,963226
0,963103
0,950962
0,920174
0,931430
0,950732
0,972101
0,963103
0,974310
24,6548
20,3842
18,5574
24,6548
41,6785
35,6640
31,5785
14,5202
18,5574
13,2585
Tabela 13. Resultados dos ajustes das 10 equações empíricas (Quadro 3) aos dados da Tabela 6
(sementes de angico)
N0
a
b
c
R2
χ 2red
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
94 ± 17
-0,8 ± 0,5
0,00079 ± 0,00038
55 ±35
6,1 ± 1,3
20 ± 4
155 ± 22
-1,6 ± 0,5
0,063 ± 0,026
-0,012 ± 0,004
23,5 ± 2,1
0,014 ± 0,004
(9 ± 5) x 101
36 ± 32
-0,019 ± 0,017
-0,16 ± 0,13
5,0 ± 0,6
0,0135 ± 0,0039
0,12 ± 0,05
1,082 ± 0,014
36 ± 32
5,7 ± 0,6
1,19 ± 0,11
0,0425 ± 0,0038
2,14 ± 0,28
0,44 ± 0,05
0,18 ± 0,06
2,39 ± 0,20
1,19 ± 0,11
-0,00085 ± 0,00014
0,936469
0,970973
0,960358
0,936469
0,915396
0,926067
0,964900
0,975717
0,960358
0,970789
96,4009
49,3493
60,4452
96,4009
134,690
117,324
68,2489
38,3351
60,4452
47,7843
Tabela 14. Resultados dos ajustes das 10 equações empíricas (Quadro 3) aos dados da Tabela 7
(sementes de copaíba)
N0
a
b
c
R2
χ 2red
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
37 ± 4
0,75 ± 0,33
0,00069 ± 0,00018
79 ± 31
7,5 ± 0,8
14,2 ± 1,1
60 ± 10
0,05 ± 0,33
0,022 ± 0,007
-0,0148 ± 0,0031
8,4 ± 0,7
0,015 ± 0,005
41 ± 11
19 ± 12
-0,039 ± 0,012
-0,16 ± 0,04
2,5 ± 0,4
0,0149 ± 0,0038
0,22 ± 0,05
1,120 ± 0,013
19 ± 12
3,17 ± 0,36
0,80 ± 0,05
0,119 ± 0,010
2,93 ± 0,22
0,318 ± 0,021
0,19 ± 0,07
1,43 ± 0,13
0,80 ± 0,05
-0,00112 ± 0,00014
0,950118
0,945916
0,979645
0,950118
0,962096
0,970984
0,917083
0,960955
0,979645
0,973879
10,0238
11,6238
4,18963
10,0238
7,70804
5,87734
19,5631
8,11632
4,18963
5,35124
Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.7, n.1, p.71-82, 2005
80
Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
Silva et al.
Quadro 4. Performance das equações empíricas com relação aos ajustes efetuados para os diversos
grãos analisados. Classificação a partir dos resultados detalhados nas Tabelas 8, 9, 10, 11, 12, 13 e 14
Grãos
1o
2o
3o
Milho (Tab. 1)
Equação proposta (10)
Henderson mod. (3)
Chung-Pfost mod. (4)
Soja (Tab. 2)
Equação proposta (10)
Oswin mod. (6)
Halsey mod. (5)
Sigma-Copace (8)
Trigo (Tab. 3)
Chung-Pfost mod. (4)
Equação proposta (10)
Copace (2)
Feijão (Tab. 4)
Oswin mod. (6)
Equação proposta (10)
Cavalcanti Mata (9)
Jacarandá (Tab.
Equação proposta (10)
Sigma-Copace (8)
Cavalcanti Mata (9)
5)
Henderson mod. (3)
Angico (Tab. 6)
Sigma-Copace (8)
Equação proposta (10)
Cavalcanti Mata (9)
Copace (2)
Henderson mod. (3)
Copaíba (Tab.
Cavalcanti Mata (9)
Equação proposta (10)
Oswin mod. (6)
7)
Henderson mod. (3)
Muito embora não tenha sido explicitado
nas tabelas de resultados, nenhuma das dez
equações empíricas produz bons ajustes para
os três últimos conjuntos de dados (Tabelas 5,
6 e 7). Isso poderia ser verificado pela análise
do teste t e, observando-se os resultados deste
teste para os três conjuntos de dados, fica claro
que um ou mais parâmetros de cada equação
tem uma certa probabilidade de ser zero,
mesmo tendo o valor determinado. Assim,
mesmo existindo “um melhor ajuste”, fica
implícito a necessidade de se buscar novos
modelos, mais compatíveis com tais dados
experimentais e para os quais os parâmetros de
ajuste tenham níveis de confiança aceitáveis.
O Finder na determinação de outras
equações
Embora uma varredura direta das funções
do Finder não tenha resultado em sucesso para
os dados da Tabela 1, utilizados para a
obtenção da equação empírica apresentada
neste artigo, bons resultados podem ser obtidos
para outros conjuntos de dados. Para os dados
relativos à Tabela 2 (soja), por exemplo, o uso
do Finder descobre a função
2
M = ae(bT + cΦ ) ,
(9)
cujo ajuste a coloca na segunda posição do
ranking de funções para este conjunto de
dados, com R2 = 0,988269 e χ 2red = 0,328439.
Já para os dados da Tabela 3 (trigo) é
descoberta a função
M = a + bΦ + cT2 .
(10)
O ajuste da Equação (10) aos dados da
Tabela 3, resulta em R2 = 0,985732 e χ 2red =
0,240606, o segundo melhor dentre todos os
resultados obtidos. Entretanto, os resultados
mais favoráveis no uso direto do Finder para o
descobrimento de funções são aqueles
oriundos dos três últimos conjuntos de dados,
relativos às Tabelas 5 (jacarandá), 6 (angico) e
7 (copaíba). Para todos, estes conjuntos de
dados são descobertas equações empíricas, por
varredura direta, cujos resultados são melhores
do que os melhores resultados obtidos através
das dez equações do Quadro 3. Para as Tabelas
5 e 6, a melhor função de três parâmetros é
aquela dada pela Equação (9). Para a Tabela 5
(jacarandá) são obtidos R2 = 0,974613 e χ 2red =
12,9927, enquanto que para a Tabela 6
(angico) são encontrados R2 = 0,976978 e χ 2red
= 35,7021. Com relação à Tabela 7 (copaíba),
o Finder descobriu a função
M=
1
a + bΦ + c/T
(11)
que, ajustada aos dados, resulta em R2 =
0,982409 e χ 2red = 3,53613. Para estes três
últimos ajustes há uma considerável melhora
com relação ao teste t sendo que, para a Tabela
7, foi obtido P(t) = 0,0 para todos os
parâmetros.
CONCLUSÕES
Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.7, n.1, p.71-82, 2005
Uma equação empírica para determinação de teor de água de equilíbrio para grãos
A partir da análise dos resultados obtidos é
possível concluir que:
1. para os conjuntos de dados analisados a
Equação (8), proposta neste artigo, apresenta
resultados tão bons ou, até mesmo, melhores
resultados obtidos por outras equações
empíricas examinadas, o que sugere que tal
equação possa ser útil também para outros
tipos de grãos;
2. o programa Finder foi capaz de
descobrir, por varredura direta, algumas
equações específicas dentre as tentativas para
os vários conjuntos de dados analisados,
produzindo três resultados melhores que os
obtidos até então, indicando que tal programa
pode ser útil na descoberta de equações
empíricas para outros tipos de produtos;
3. a metodologia utilizada para modelar os
sete conjuntos de dados analisados (equação
proposta + varredura direta) possibilitou a
obtenção de 5 resultados melhores que os de
outras equações empíricas examinadas e dois
resultados classificados na segunda posição.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Araújo, E. F.; Corrêa, P. C.; Silva, R. F.
Comparação de modelos matemáticos para
descrição das curvas de dessorção de
ementes de milho-doce. Pesq. Agropec.
Bras., Brasília, v. 36, n. 7, p. 991-995,
2001.
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