Arquivo: areafigplana.doc, 8/14/2004, 9:38 PM
Áreas de figuras planas — algumas resolvidas
1. Na figura abaixo, determinar a área da parte sombreada em função do raio r do
círculo, sendo AB e BC os lados de um quadrado inscrito nesse círculo.
2. Calcular a área da parte sombreada.
3. Calcular a área da figura sombreada.
a)
b)
4. Calcular a área da figura sombreada.
Areafigplana.doc – Page 2/10
a)
d)
b)
c)
e)
5. Determinar a área da figura sombreada, em função de m.
6. As figuras ABCD abaixo são quadrados de perímetro 16 cm. Determinar as áreas
sombreadas.
a)
b)
Areafigplana.doc – Page 3/10
7. Determinar a área sombreada, na figura sabendo-se que o lado do losango tem
medida igual à sua diagonal menor e que ambos medem 10 cm. Os arcos descritos
têm centros nos vértices do losango e raio igual à metade do lado do losango.
8. Determinar a área da figura sombreada ao lado, em função do raio r do círculo
inscrito no triângulo eqüilátero ABC.
9. Determinar a área sombreada na figura abaixo, sabendo que a hipotenusa do
triângulo retângulo ABC mede 10 cm.
10. Determinar a área e o perímetro da figura BED, inscrita no triângulo retângulo
ABC, sabendo que o segmento AC mede 10 cm, o ângulo C mede 450 e que os
arcos BD e ED tem seus centros, respectivamente, nos C e A.
Areafigplana.doc – Page 4/10
11. Na figura, ABCD é um quadrado de lado a e o segmento AE=b. Determine a área
do triângulo AEB, sabendo que o segmento CE é congruente ao segmento BC.
12. Na figura, o segmento AP é congruente ao segmento AC e a distância AB mede r.
Calcule a área sombreada em função de r.
13. Na figura, ABCD é um quadrado. Determine a área sombreada em função de a,
1
sendo a a medida de um segmento tomado sobre o lado do quadrado, a do vértice
3
C.
14. Calcular a área da parte sombreada sendo AB = t e r o raio do círculo maior.
Areafigplana.doc – Page 5/10
15.
Calcule a área da região hachurada,
sabendo que A e B são pontos médios dos
lados do quadrado cujo perímetro é
16cm.(Use π = 3,14 )
Respostas:
Areafigplana.doc – Page 6/10
1. r2
2π − 3 3 .a 2
2.
12
(
3.
4.
)
(
9.
)
πR 2
a) 18. π + 2 3 ; b)
3
2
3 − 2 2 .a .π
a)
; b)
16
25
100.(4 − π ) ; c)
. 2 3 − π ; d)
2
16
12. 2π − 3 3 ; e)
. 4π − 3 3
3
3π
. 4m − m 2 + 12
4
a) 8.(4 − π ) cm2; b) 4.(4 − π ).cm 2
(
)
(
(
5.
6.
)
(
(
(
)
)
)
10.
11.
12.
13.
14.
(
(
)
25
. 6 3 − π .cm 2
12
25
. 2 + π . 2 − 2π .cm 2
2
ab. 2
4
πr 2
4
a2
.(π + 14 )
8
πt 2
8
)
15.
)
7. 25. 2 3 − π .cm 2
8.
(3
)
3 − π .r 2
Resolução:
Questão 01
Ah=Asemicírculo-Asegmento circular
AC = 2r = BC 2 → BC =
2r
=r 2
2
( ) ( )
2
π / 2. r 2
r 2
−
Asg = As − At =
2
2
2
π .r
Asg =
− r2
2

π .r 2  π .r 2
Ah =
− 
− r 2  = r 2
2
 2

Questão 02
2
Ah=área sombreada; As=área
do setor; At=area do
triângulo; Asg =área do
segmento circular
Areafigplana.doc – Page 7/10
A interseção das duas curvas com a base a
formam um triângulo eqüilátero:
Ah = As + Asg = As + ( As − At ) = 2. As − At
π / 6.a 2 a 2 . 3
−
2
4
2
2
π .a
a . 3 2πa 2 − 3a 2 . 3
Ah =
−
=
6
4
12
2
a 2π − 3 3
Ah =
12
Ah = 2.
(
)
Ah=área
sombreada; As=área do setor; At=área do
triângulo; Asg =área do segmento circular
Questão 03
a) Ah=Ac+At-2.As
12 2 x 3
π / 3x 6 2
12 x12 x 3 πx 6 x6
Ah = πx 6 2 +
− 2.
= 36π −
−
4
2
2 x2
3
Ah = 36π + 36 3 − 12π = 24π + 36 3 = 12 2π + 3 3
2R
R
b) O diâmetro do círculo médio é d = 4. e seu raio
;
3
3
2
2
πR 2
 2R 
R
Ah = Acirculo medio − Acirculo pequeno = π .
 −π  =
3
 3 
3
questão 04
a) Chame o raio do círculo interno de x e trace o triângulo retângulo formado pelos
centros do círculos pequeno e pelos dois centros dos círculos de baixo. Esse
a
a
a
triângulo retângulo que tem lados: + x; + x e . Veja que o lado a/2 é a
4
4
2
a a
a 2. 2 − 2

= raio do
diagonal de um quadrado d = l. 2 = =  + x . 2 → x =
2 4
8

(
)
(
)
(
)
 a. 2 . 2 − 2 

círculo sombreado. A área do círculo sombreado é: A = π .x = π .

8


2
2
A = Aquadrado − Acirculo = 20 − π .10 = 400 − 100π
b) A área sombreada é:
A = 100.(4 − π )
2
c) A área sombreada é:
A = Atriangulo − 3. Asetor =
d) A área sombreada é um segmento circular:
π / 3 x12 2 12 2 x 3
A = Asetor − Atriangulo =
−
2
4
2
10 2 3
π / 3x5 2
25.π
− 3.
= 25 3 −
4
2
2
Areafigplana.doc – Page 8/10
( )
2
8 3 . 3 
1 
1
2
e) A área sombreada é: A = ( Acirculo − Atriangulo ) = . π . x8 −

4
3
3


Questão 05.
2
2
Área da coroa circular: A = π . (m + 6 ) − (2m )
[
]
Questão 06
a) Área do quadrado menos duas vezes a área do segmento circular.
 π .4 2 4 2 
A = 4 2 − 2 x
− 
2 
 4
( )
2
π. 4 2
b) Área do quadrado menos a área do semicírculo: A = 4 −
2
Questão 07
10 2 3
π / 3x5 2
− 3.
) = 50 3 − 25π
A área sombreada é: A = 2.( Atriangulo − 3.Asetor ) = 2.(
4
2
Questão 08
Num triângulo eqüilátero a altura=mediana: h=r+2r=3r.
l 3
6r
Calculo do lado do triângulo h =
= 3r → l =
= 2r 3
2
3
2
(2r 3 ) .
A área sombreada é área do triângulo menos a área do círculo: A =
2
4
Questão 09
Cálculo do lado BC:
BC 1
cos 60 0 =
= → BC = 5 = AD
10 2
A área sombreada:
A = Atriangulo − Asetor − Asetor
5 x5 3 π / 3 x5 2 π / 6 x5 3
A=
−
−
2
2
2
Questão 10
Cálculo dos segmentos BC e AD:
BC
2
cos 45 0 =
=
→ BC = 5 2 e
10
2
AD = 10 − 5 2
A área sombreada é igual a área do triangulo ABC menos
a área do setor EAD, menos a área do setor BCD:
(5 2 )
A=
2
2
(
π / 4 x 10 − 5 2
−
2
)
2
−
π / 4 x (5 2 ) 2
2
3
− π .r 2
Areafigplana.doc – Page 9/10
Questão 11
A diagonal do quadrado é d = a 2 e AE = b = a 2 − a
(
)
A área sombreada é:
a.b. 2
1
A = .a.b.sen 45 0 =
ou
2
2
a. a 2 − a . 2 a 2 . 2 − 1
A=
=
2
2
(
)
(
)
Questão 12
π .r 2
r
Cálculo da área sombreada: A =
− π . 
2
 2
Questão 13
A sombreada é igual a área de dois quadrados de lado a mais a área de um segmento
circular de raio r.
a 2
Cálculo do raio r do círculo sombreado: d = l 2 = a 2 = 2r → r =
2
2

 a 2  



 π / 4 xa 2 .2  2  
 
Cálculo da área sombreada: A = 2.a 2 + 
−
2
2








Questão 14
s
t2
t t
Da figura temos: . = 2a.(2r − 2a ) à
= 4a.(r − a ) à
2 2
4
t2
2
4a − 4r.a + = 0 , resolvendo essa última equação:
4
2
2r ± 4r − t 2
a=
.
4
2
 A = área hachurada
 A = área do círculo grande
 cg
Fazendo 
, temos:
 Acm = área do círculo médio
 Acp = área do círculo pequeno

 2r − 2a 
2
A= π .r − π .
 − π .a
2


2
2
A=Acg-Acm-Acp
Areafigplana.doc – Page 10/10
(
)
A= π .r 2 − π .(r − a ) − π .a 2 = π .r 2 − π . r 2 − 2.ra + a 2 − π .a 2
A= π .r 2 − π .r 2 + 2π .ra − πa 2 − π .a 2 = 2π .ra − 2π .a 2
 4r 2 + 4r 4r 2 − t 2 + 4r 2 − t 2 
2r + 4r 2 − t 2

A= 2π .r
− 2π 


16
4


2
2
2
2
2
2
2
 4r + 4r 4r − t + 4r − t 
2. 2r + 4r − t

−π 
A= 2π .r


8
8


 4r 2 + 4r 4r 2 − t 2 + 4r 2 − t 2 
4π .r. 2r + 4r 2 − t 2

A=
−π


8
8


2
(
(
)
)
8π .r 2 + 4π .r 4r 2 − t 2 − 4π .r 2 − 4π .r 4r 2 − t 2 − 4π .r 2 + π .t 2
8
2
π .t
A= +
à c.q.d.
8
Questão 15
4 x 2 π / 2 x2 2
Ah = Aquadrado − 2. At − Asetot = 4 2 − 2 x
−
2
2
A=