QUESTÕES DE ÁREAS DE CÍRCULOS E SUAS PARTES
1. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio
R e ângulo central θ.
a) Para θ  60, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R  4r.
2. (G1 - ifsp 2011) A figura representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um
quadrado. Sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 3 8 cm , a área da figura, em centímetros quadrados, é
igual a
Adote   3
a) 72.
b) 63.
c) 54.
d) 45.
e) 30.
3. (Epcar (Afa) 2011) As circunferências λ1 e λ 2 da figura abaixo são tangentes interiores e a distância entre os
centros C1 e C2
Se a área sombreada é igual à área não sombreada na figura, é correto afirmar que o raio de λ 2 , em cm, é um
número do intervalo.
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 11

 5
 11 23 
b)  ,

 5 10 
 23 5 
c) 
, 
 10 2 
 5 13 
d)  , 
2 5 
a)  2,
4. (Mackenzie 2010) Os arcos da figura foram obtidos com centros nos vértices do quadrado de lado 3.
Considerando π = 3, a soma das medidas desses arcos é
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
5. (Fgv 2010) O perímetro de um triângulo equilátero, em cm, é numericamente igual à área do círculo que o
circunscreve, em cm².
Assim, o raio do círculo mencionado mede, em cm,
3 2
a)

b)
3 3

3
6
d)

c)
e)
 3
2
6. (Fuvest 2010) Na figura, os pontos A, B,C pertencem à circunferência de centro 0 e BC = α . A reta OC é
perpendicular ao segmento AB e o ângulo A Ô B mede
π
radianos. Então, a área do triângulo ABC vale:
3
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a)
b)
c)
d)
e)
α2
8
α2
4
α2
2
3α 2
4
2
α
.
8. (Fgv 2010) A figura indica uma circunferência de diâmetro AB = 8 cm, um triângulo equilátero ABC, e os pontos
D e E pertencentes à circunferência, com D em AC e E em BC .
Em cm², a área da região hachurada na figura é igual a
a) 64.
b) 8.


c) 8  3   .
3



d) 4  3   .
3



e) 4  3   .
2


9. (Insper 2009) Um hexágono regular de lados medindo 2( 3  1)cm foi decomposto em seis triângulos
equiláteros. Em cada triângulo, foram desenhadas três circunferências de mesmo raio, tangentes entre si e aos
lados do triângulo, como mostra a figura. Se o círculo hachurado tangencia seis das outras circunferências, e seu
centro coincide com o centro do hexágono, então sua área, em cm2, vale
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3π
.
2
b) π .
c) 2π .
d) 3π .
e) 2(2  3)π .
a)
10. (Enem cancelado 2009) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões
circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade
luminosa, conforme figura.
R 2
, á em radianos.
2
A área da região S, em unidades de área, é igual a
Área do setor circular: ASC =
a)
b)
2R2
3R2

3
2
 2  3 3 R
2
12
R
R2
c)

12
8
2
R2
2
R2
e)
3
d)
11. (Ufscar 2008) A figura representa três semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de diâmetros AD ,
AC e CD .
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Sendo CB perpendicular a AD , e sabendo-se que AB = 4 cm e DB = 3 cm, a medida da área da região
sombreada na figura, em cm2, é igual a
a) 1,21 ð.
b) 1,25 ð.
c) 1,36 ð.
d) 1,44 ð.
e) 1,69 ð.
12. (Fatec 2008) Na figura, o raio do círculo de centro S é três vezes o raio do círculo de centro O e os ângulos
centrais sombreados, R Ŝ T e P Ô Q, são tais que a medida de RŜT é a metade da medida de PÔQ .
Se, no círculo de centro O, a área do setor circular sombreado POQ é igual a 4, então, no círculo de centro S, a
área do setor circular sombreado RST é:
a) 6.
b) 12.
c) 18.
d) 24.
e) 30.
13. (Unifesp 2008) Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles
você usa para formar o círculo da figura I, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da
figura II.
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Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por
a) S = 3s.
b) S = 4s.
c) S = 6s.
d) S = 8s.
e) S = 9s.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) Considere a figura.
Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC  R, OB  OC  r e BAO  30. Logo, segue
que AO  AC  OC  R  r. Portanto, do triângulo ABO, vem
senBAO 
OB
AO
 sen30 

r
Rr
r 1

R 3
Em consequência, a razão pedida é igual a
2
πr 2
2
r
 6   .
R
3
2 60
πR 
360
b) Se R  4r, então, do triângulo ABO, obtemos
sen
θ
r
θ 1

 sen  .
2 R r
2 3
Por conseguinte, vem
cos θ  1  2sen2
 1
 1 2   
3
7
 .
9
θ
2
2
Resposta da questão 2:
[B]
A área pedida é a soma das áreas do quadrado de lado

3 8
2
 6cm e do círculo de raio r 
2

6
 3cm.
2
Portanto, a área é igual a:
2
 r 2  62  3  32  63cm2 .
Resposta da questão 3:
[C]
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Seja R o raio da circunferência maior e r o raio da circunferência menor, então:
R
R
π.r 2  π.R2  π.r 2  2.r 2  R2   2 
1.41  R 1,41.r
r
r
R = r + 1.
Logo, 1,41r = r + 1.
Portanto r
2,44
Resposta da questão 4:
[B]
OABC é equilátero ,
logo x 
x
x
2 .R.30o
360 o
2.3..3.30 o
360 o
3
2
Na figura temos 8 arcos de medida x, logo 8x = 12.
Resposta da questão 5:
[B]
2
3
3a = π.( .a.
Logo, R =
3 2

) a
2
9
2  2
3
. .

3 9 2

Resposta da questão 6:
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[B]

3
rad  60 o
OC  AB  ABC é isósceles.
ACˆ B 
A=
60 o o
30 ( ângulo inscrito)
2
1
2
     sen30 o 
2
4
Resposta da questão 7:
[A]
X + 50 + 90 + 4 = 160  x = 16
A  156  8

 .42
2

(16  32).4
(fazendo  =3 )
2
A = 1176
Resposta da questão 8:
[C]
Observando a figura, notamos que:
A área pedida A será a metade da área do triângulo ABC menos área do setor circular de 60 o e raio 4cm.
A=
1 82. 3 π.42.60
8π
π


8 3 
 8 3  
2 4
360
3
3

Resposta da questão 9:
[B]
Resposta da questão 10:
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[A]
A1 =
 .R 2 .120 1
360

2
R.R.sen120 o
  .R 2 1 2 3 

S = 2.A1 = 2. 
 R .
 3
2
2 

S=
2R2
3R2

3
2
Resposta da questão 11:
[D]
Resposta da questão 12:
[C]
[POQ ]  π  PO
360
2
 PÔQ  4
[RST ] 
π  (3PO )2
360

 PÔQ  9  π  PO
2
2
360
2
 PÔQ  9  4  18.
2
Resposta da questão 13:
[E]
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