Análise Complexa e Equações Diferenciais
1 Semestre 2015/2016
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Curso: MEEC
Ficha de Problemas no 7
Equações Diferenciais Lineares de 1a ordem
1. Determine todas as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias lineares
(i)
(iv)
(vii)
(x)
dy
dy
sen t
= −yet
(ii) ψ ′ = ψ − t
(iii) t2 + 3ty =
, t<0
dt
dt
t
dy
dy
dy
+ y = 2 + 2x
(v) x + 2y = (x − 2)ex
(vi) t + 2y = et , t > 0
dx
dx
dt
1
dy
dy
dy
−3y = e3x sen x
(viii)
−ytg x = 1
(ix)
= y −tg t +tcos t
dx
dx
dt
t
dx
(1 + y 2 )
= arctg y − x
dy
2. Determine as soluções dos seguintes problemas de Cauchy
dy
+ 4t3 y = t3 , y(0) = 1
dt
dy
dy 2
cos t
(iii)
+ y = sen t, y(π) = 1 (iv)
+ y = 2 , y(π) = 0, t > 0
dt
dt
t
t
dy
dy
y
(v) cos 2 x
+ y − 1 = 0, y(0) = 5 (vi)
+ = 0, y(2) = 2
dx
dx x
′
x + h(t)x − t = 0,
0 se t < 0
(vii)
, com h(t) =
x(−1) = 2
t se t ≥ 0
(i) xy ′ = 2y + x3 ex , y(1) = 0
(ii)
3. Há cinco anos, uma pequena vila tinha uma população de 1000 habitantes. Actualmente,
essa povoação tem 1052 habitantes. Admitindo que a população cresce proporcionalmente
ao seu número, determine o número de habitantes da vila no final dos próximos cinco anos.
4. Determine a intensidade da corrente, I(t), como uma função de t (em segundos), sabendo
que I verifica a equação diferencial
dI
+ RI = sen (2t)
dt
onde R e L são constantes não nulas.
L
5. Considere o seguinte problema de valor inicial:
π
2
=
y
3
6
dy
= 2xsen y − 1
x cos y
dx
2
Determine a solução geral, na forma implı́cita, da equação diferencial e resolva o problema.
Sugestão: Efectue a mudança de variável v = sen y.
6. Considere a equação diferencial
t2
dy
+ 2ty − y 3 = 0
dt
(i) Determine a solução geral da equação efectuando a mudança de variável v = y −2 .
(ii) Determine a solução que verifica y(1) = 1, indicando o seu intervalo máximo de
existência.
(iii) No caso geral, considere a equação diferencial de Bernoulli
dx
= α(t)x + β(t)xn
dt
onde α e β são funções definidads e contı́nuas em I ⊂ R. Mostre que a mudança de
variável y(t) = (x(t))1−n transforma a equação numa equação linear.
7. Resolva os seguintes problemas de valor inicial, envolvendo equações de Bernoulli:
y
√
(i) y ′ + 3x2 y = x2 y 3 , y(0) = 1
(ii) y ′ + = x y, y(1) = 1
x
8. Considere a equação de Ricati escalar
dx
1
= − x − x2
dt
t
(1)
(i) Mostre que a função ϕ(t) = 1t + ψ(t) é solução da equação de Ricati sse ψ é solução
de uma certa equação de Bernoulli.
(ii) Determine a solução da equação (1).
9. Dada a equação diferencial
dy
+ a(t)y = f (t)
dt
onde a e f são funções contı́nuas em R que verificam
a(t) > c > 0 ∀t ,
lim f (t) = 0
t→∞
Mostre que quaquer solução da equação diferencial satisfaz
lim y(t) = 0
t→∞
2
Soluções
1. (i) y(t) = ce−e
t
(ii) ψ(t) = t + 1 + cet
ex (x−2)2 +c
x2
sen x+c
= cos x
(v) y(x) =
(viii) y(x)
et (t−1)+c
t2
(vi) y(t) =
c−cos t
(iv) y(x)
t3
y(x) = e3x (−cos x + c)
(iii) y(t) =
(vii)
= 2x + ce−x
(ix) x(y) = (t + c)tcos t
(x) x(y) = arctg y − 1 + ce−arctg y
(com c ∈ R, em todas as alı́neas).
4
(iii) y(t) = 21 sen t − cos t + eπ−t
(ii) y(t) = 14 (1 + 3e−t )
2. (i) y(x) = x2 (ex − e)
(iv) y(t) =
(vii) x(t) =
sen t
t2
(
(v) y(x) = 1 + 4e−tg x
se t ≤ 0
2
(vi) y(x) =
t2 +3
1+
4
x
2
e−t /2
2
se t > 0
3. A população da vila, P (t), satisfaz a equação diferencial é
R.: 1107 habitantes.
R
4. I(t) = 4L21+R2 Rsen (2t) − 2Lcos (2t) + Ce− L t
dP
dt
= kP ,
1
5. A solução geral na forma implı́cita é sen y = cx2 + 3x
, onde c ∈ R. A solução do P.V.I. é
1
1
y(x) = arcsen 3x , para x ∈] 3 , +∞[.
q
q
q
i
h
5t
5t
5t
6. (i) y(t) = 2+5ct
(ii)
y(t)
=
e
I
=
0,
∞
Max
5 ou y(t) = −
5
5
2+5ct
2+3t
7. (i) y(x) =
8. (i)
dϕ
dt
=
1
t
(ii) ϕ(t) =
q
3
1+2e2x3
(ii) y(x) =
x2
5
+
4
√
5 x
− ϕ − ϕ2 é equivalente à equação
1
t
+ ψ(t) =
1
t
+ R
t2
e−t
e−t
t2
dt+C
3
2
dψ
dt
−
2
t
+ 1 ψ = −ψ 2