Programa Princı́pios Gerais MECÂNICA - MAC010 Profa Michèle Farage 14 de março de 2011 Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais 01 Programa Princı́pios Gerais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Programa I I I 1. Introdução: conceitos e definições básicos da Mecânica, sistemas de unidades, homogeneidade de unidades. 2. Forças e grandezas vetoriais: escalares e vetores, operações vetoriais, adição de forças vetoriais, adição de sistemas de forças coplanares, vetores cartesianos, adição e subtração de vetores cartesianos, vetores posição, vetor força orientado ao longo de uma reta, produto escalar, 3. Equilı́brio de um ponto material: condição de equilı́brio, diagrama de corpo livre, sistemas de forças coplanares, sistema de forças tridimensional; Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Programa I I 4. Resultantes de sistemas de forças : momento (formulações escalar e vetorial), princı́pios dos momentos, momento de uma força em relação a um eixo, momento de um binário, sistemas equivalentes, resultantes de sistemas de forças e momentos, reduções de sistemas de forças e momentos, redução de sistemas de cargas distribuı́das; 5. Equilı́brio de um corpo rı́gido : condições de equilı́brio, diagramas de corpo livre, equações de equilı́brio, equilı́brio em 3 dimensões, restrições para o corpo rı́gido. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Programa I I I I 6. Treliças : treliças planas, método dos nós, método das seções, treliças espaciais. 7. Esforços internos : definição de esforços internos, esforços cortante, normal, momento fletor e momento torsor, cálculo de esforços internos em seções de barras. 8. Centro de gravidade e centróide : centro de gravidade de um sistema de pontos materiais, centro de gravidade e centróide de um corpo, corpos compostos; 9. Momentos de inércia : definição de momento de inércia de áreas, raio de giração, cálculo por integração, teorema dos eixos paralelos, momentos de inércia de áreas compostas, produto de inércia, momentos de inércia em relação a eixos inclinados, momentos principais de inércia Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Bibliografia I I I I Livro-texto: Estática: mecânica para engenharia, R. C. Hibbeler, Ed. Pearson, 10a edição. Estática, A. P. Boresi e R. . Schimidt, Ed. Thomson. Mecânica vetorial para engenheiros - estática, F. Beer e E. R. Johnston, Ed. McGraw-Hill. Estática, J. L. Meriam e L. G. Kraige , Ed. LTC. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Avaliações As avaliações consistem em provas. Datas das provas: I Prova 01 − dia 14/04/2011 − até o item 4 I Prova 02 − dia 24/05/2011 − até o item 7 I Prova 03 − dia 30/06/2011 − até o item 9 Nota final = média das 3 notas. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Atendimento extra-classe I I I I e-mail: [email protected] sala: Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional (MAC), − Faculdade de Engenharia Telefone: 2102-3470 Horários de atendimento: terça e quinta-feira, de 14h00 às 16h00 I Local: MAC Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Definição de Mecânica Mecânica é o ramo das ciências fı́sicas que trata do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças, sendo subdividida em: I Mecânica dos corpos rı́gidos; I Mecânica dos corpos deformáveis e I Mecânica dos fluidos. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Definição de Mecânica Mecânica é o ramo das ciências fı́sicas que trata do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças, sendo subdividida em: I Mecânica dos corpos rı́gidos → Estática e Dinâmica I Mecânica dos corpos deformáveis e I Mecânica dos fluidos. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Definição de Estática A Estática trata do equilı́brio dos corpos. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Definição de Estática A Estática trata do equilı́brio dos corpos. Um corpo em equilı́brio encontra-se em repouso ou em movimento retilı́nio uniforme. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Desenvolvimento histórico da Mecânica O desenvolvimento dos princı́pios da Estática começou há milhares de anos. I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estática datam do século IV a.C, sendo atribuı́dos a Aristóteles; Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Desenvolvimento histórico da Mecânica O desenvolvimento dos princı́pios da Estática começou há milhares de anos. I I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estática datam do século IV a.C, sendo atribuı́dos a Aristóteles; Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princı́pio da Alavanca e estudos sobre polias, torção, entre outros; Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Desenvolvimento histórico da Mecânica O desenvolvimento dos princı́pios da Estática começou há milhares de anos. I I I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estática datam do século IV a.C, sendo atribuı́dos a Aristóteles; Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princı́pio da Alavanca e estudos sobre polias, torção, entre outros; Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizar experimentos relacionados à dinâmica (pêndulos e objetos em queda livre); Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Desenvolvimento histórico da Mecânica O desenvolvimento dos princı́pios da Estática começou há milhares de anos. I I I I Os primeiros registros relativos ao estudo da Estática datam do século IV a.C, sendo atribuı́dos a Aristóteles; Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princı́pio da Alavanca e estudos sobre polias, torção, entre outros; Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizar experimentos relacionados à dinâmica (pêndulos e objetos em queda livre); Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 Leis Fundamentais do Movimento e a Lei da Gravitação Universal. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Desmoronamento de ponte no Mississipi (2007): 9 mortos e mais de 30 feridos Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Desmoronamento de túnel em São Paulo (2007): 7 mortos, 212 desabrigados Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Desmoronamento da cobertura da Igreja Renascer em São Paulo (2009): 9 mortos e mais de 100 feridos Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Acidente ambiental Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Conceitos fundamentais I I I Grandezas básicas Idealizações Leis de Newton Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Grandezas básicas As quatro grandezas fı́sicas fundamentais são: I comprimento - descreve posição e dimensões de um corpo no espaço; I massa - caracteriza um corpo e o compara com outro corpo; I tempo - sucessão de eventos; I força - ação de um corpo sobre outro. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Idealizações Idealizações são formas simplificadas de representar fenômenos e entes fı́sicos. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Idealizações Idealizações são formas simplificadas de representar fenômenos e entes fı́sicos. Idealizações comumente empregadas na Mecânica I partı́cula ou ponto material; I corpo rı́gido; I força concentrada. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Idealizações Idealizações são formas simplificadas de representar fenômenos e entes fı́sicos. Idealizações comumente empregadas na Mecânica I partı́cula ou ponto material; I corpo rı́gido; I força concentrada. Exemplo: Para simular a trajetória de uma bola de tênis, que simplificações podem ser adotadas sem prejuı́zo da representação fı́sica? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Idealizações Idealizações são formas simplificadas de representar fenômenos e entes fı́sicos. Exemplo: Como representar o processo de contaminação do solo provocada por um derramamento de óleo? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Leis do Movimento de Newton Primeira Lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em linha reta e velocidade constante permanece nesse estado desde que não seja submetido a uma força. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Leis do Movimento de Newton Primeira Lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em linha reta e velocidade constante permanece nesse estado desde que não seja submetido a uma força. Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a ação de uma força F sofre uma aceleração a de mesma direção e sentido de F, que é descrita pela relação: F=ma Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Leis do Movimento de Newton Primeira Lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em linha reta e velocidade constante permanece nesse estado desde que não seja submetido a uma força. Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a ação de uma força F sofre uma aceleração a de mesma direção e sentido de F, que é descrita pela relação: F=ma Terceira Lei: A toda ação corresponde uma reação de mesma intensidade e direção e de sentido contrário. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Leis de Newton Lei da Gravitação: governa a atração entre dois corpos de massa m1 e m2 : m1 m2 F=G 2 r Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Leis de Newton Lei da Gravitação: governa a atração entre dois corpos de massa m1 e m2 : m1 m2 F=G 2 r Peso: força de atração exercida pela Terra mM W=G 2 r W=mg Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Leis de Newton Lei da Gravitação: governa a atração entre dois corpos de massa m1 e m2 : m1 m2 F=G 2 r Peso: força de atração exercida pela Terra mM W=G 2 r W=mg Questão: A aceleração da gravidade é um valor constante? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Unidades de Medida As grandezas básicas da fı́sica são relacionadas pela Segunda Lei de Newton: F = ma Sistema Internacional de Unidades (SI): I comprimento -m kg .m I tempo - s → força - N = 2 s I massa - kg Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Unidades de Medida As grandezas básicas da fı́sica são relacionadas pela Segunda Lei de Newton: F = ma Sistema Internacional de Unidades (SI): I comprimento -m kg .m I tempo - s → força - N = 2 s I massa - kg Nos EUA, o sistema inglês ainda é o mais empregado: I comprimento -pé → 1 pé = 0,3048m I tempo - s I força - lb → 1 lb = 4,4482N I massa - slug → 1 slug = 14,5938kg Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Operações numéricas I Homogeneidade dimensional: As relações fı́sicas observadas na Natureza independem das unidades adotadas para representação das grandezas envolvidas. at 2 s = so + vo t + 2 −1 [L] = [L] + [LT ][T ] + [LT −2 ][T 2 ] Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Operações numéricas I Homogeneidade dimensional: As relações fı́sicas observadas na Natureza independem das unidades adotadas para representação das grandezas envolvidas. at 2 s = so + vo t + 2 −1 [L] = [L] + [LT ][T ] + [LT −2 ][T 2 ] I Representação numérica: quantidade de algarismos significativos Arredondamentos I Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Problemas 1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou a massa m de uma partı́cula a sua velocidade v pela fórmula m = mo (1 − v 2 /c 2 )−1/2 , onde c = 3.108 m/s é a velocidade da luz e mo é a massa da partı́cula em repouso. 1. Qual é a porcentagem de variação da massa de uma partı́cula em relação a sua massa em repouso se a velocidade for: (i) 3.104 m/s, (ii) 3.106 m/s, (i) 3.107 m/s? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Problemas 1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou a massa m de uma partı́cula a sua velocidade v pela fórmula m = mo (1 − v 2 /c 2 )−1/2 , onde c = 3.108 m/s é a velocidade da luz e mo é a massa da partı́cula em repouso. 1. Qual é a porcentagem de variação da massa de uma partı́cula em relação a sua massa em repouso se a velocidade for: (i) 3.104 m/s, (ii) 3.106 m/s, (i) 3.107 m/s? 2. O que você acha da validade de se usar a Mecânica Newtoniana para corpos de dimensões comuns que viajam a velocidades comuns? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Problemas 1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou a massa m de uma partı́cula a sua velocidade v pela fórmula m = mo (1 − v 2 /c 2 )−1/2 , onde c = 3.108 m/s é a velocidade da luz e mo é a massa da partı́cula em repouso. 1. Qual é a porcentagem de variação da massa de uma partı́cula em relação a sua massa em repouso se a velocidade for: (i) 3.104 m/s, (ii) 3.106 m/s, (i) 3.107 m/s? 2. O que você acha da validade de se usar a Mecânica Newtoniana para corpos de dimensões comuns que viajam a velocidades comuns? 3. O que a teoria de Einstein diria da massa de uma partı́cula que pudesse viajar à velocidade da luz? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Problemas 2. Em um experimento para determinar a aceleração de uma partı́cula, um estudante registra as componentes (x, y , z) da força F que atua sobre a partı́cula e as componentes (x, y , z) da aceleração a. As medidas são: (8, 10, 30) para F (em N) e (2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s2 ). a) Qual é a sua opinião sobre a qualidade destes dados? Justificar a resposta. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Problemas 2. Em um experimento para determinar a aceleração de uma partı́cula, um estudante registra as componentes (x, y , z) da força F que atua sobre a partı́cula e as componentes (x, y , z) da aceleração a. As medidas são: (8, 10, 30) para F (em N) e (2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s2 ). a) Qual é a sua opinião sobre a qualidade destes dados? Justificar a resposta. b) O estudante verificou que o acelerômetro é preciso e que a componente z da força F está correta. Quais são os valores corretos das demais componentes de F? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Problemas 3. Uma viga engastada de comprimento L é submetida a uma força F na sua extremidade livre. A deflexão d do eixo da viga a uma distância x da extremidade livre é dada por: d= F (2L3 − 3L2 x + x 3 ) 6EI Quais são as dimensões do produto EI se esta equação for dimensionalmente homogênea? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Como são representadas as grandezas fı́sicas? Na Mecânica, as grandezas fı́sicas são representadas como: ESCALARES VETORES Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Como são representadas as grandezas fı́sicas? Na Mecânica, as grandezas fı́sicas são representadas como: ESCALARES VETORES I Escalar: possui magnitude: massa, volume, comprimento. . . I I Regra da adição: aritmética simples Vetor: possui intensidade, direção e sentido: força, momento, posição I Regra da adição: lei do paralelogramo. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Aplicação prática da soma de vetores Cálculo da força resultante no apoio onde concorrem 4 cabos: Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Representação gráfica de vetores Graficamente, um vetor é representado por uma flecha: I a intensidade é o comprimento da flecha; I a direção é definida pelo ângulo entre o eixo de referência e a reta de ação da flecha; I o sentido é representado pela ponta da flecha. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Operações vetoriais Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar O produto de um vetor A por um escalar a é um vetor de intensidade |aA|. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Adição vetorial A adição de dois vetores A e B é feita usando-se a Lei do Paralelogramo ou a Construção do Triângulo. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Adição vetorial A adição de dois vetores A e B é feita usando-se a Lei do Paralelogramo ou a Construção do Triângulo. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Operações vetoriais QUESTÕES I Como se faz a subtração vetorial? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Operações vetoriais QUESTÕES I I Como se faz a subtração vetorial? Como se obtém as componentes de um vetor em duas direções determinadas? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Operações vetoriais QUESTÕES I I I Como se faz a subtração vetorial? Como se obtém as componentes de um vetor em duas direções determinadas? Graficamente, como se faz a soma de mais de dois vetores concorrentes? Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Notação vetorial cartesiana A decomposição de vetores equivale ao inverso da lei do paralelogramo: i e j são os vetores unitários nas direções x e y. F=Fxi+Fy j Dado um vetor F, pode-se calcular as suas componentes em quaisquer direções x e y. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Adição de vários vetores 1. Decomposição de cada vetor nas direções x e y Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Adição de vários vetores 1. Decomposição de cada vetor nas direções x e y 2. Soma de todas as componentes em cada direção; Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Adição de vários vetores 1. Decomposição de cada vetor nas direções x e y 2. Soma de todas as componentes em cada direção; 3. Cálculo da magnitude e da direção do vetor resultante. P P F= Fx+ Fy Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Exercı́cios 1. Calcular a magnitude e a direção da força resultante no apoio abaixo. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Exercı́cio 1 Etapas da resolução: 1. Decompor as 3 forças nas direções x e y; Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Exercı́cio 1 Etapas da resolução: 1. Decompor as 3 forças nas direções x e y; 2. Somar as componentes em cada direção; Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Forças, vetores e operações vetoriais Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Exercı́cio 1 Etapas da resolução: 1. Decompor as 3 forças nas direções x e y; 2. Somar as componentes em cada direção; 3. Calcular a magnitude e a direção da resultante. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Exercı́cio 2 2. Calcular a intensidade e a direção da força resultante no apoio abaixo. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01 Programa Princı́pios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Exercı́cio 3 3. Determinar a magnitude da força F=F1 +F2 sendo: F1 ={10i+20j}N e F2 ={20i+20j}N. Profa Michèle Farage: MECÂNICA - MAC010 - 01
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