Trabalho e EP
Calculando EP
Energia Mecânica
Trab. Forças Externa e Cons. Energia
ENERGIA POTENCIAL E
CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
Fı́sica Geral I (1108030) - Capı́tulo 04
I. Paulino*
*UAF/CCT/UFCG - Brasil
2012.2
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Sumário
Trabalho e EP
Energia potencial
Forças conservativas
Calculando EP
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Elástica
Energia Mecânica
Conservação de Energia Mecânica
Curva de energia potencial
Trab. Forças Externa e Cons. Energia
Trabalho devido à forças externas
Conservação de Energia
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Trabalho e Energia Potencial
A energia potencial U é o tipo de energia que pode ser associada à
configuração (arranjo) de um sistema que exercem forças entre si.
Se a configuração do sistema se alterar, a energia potencial
também será alterada.
Um tipo especial de energia potencial é a
energia potencial gravitacional que deve-se
ao estado de separação entre objetos.
Outro tipo de energia potencial que será
bastante discutido neste curso é a energia
potencial elástica que está associada ao
estado de compressão e estiramento de um
objeto elástico tipo uma mola.
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Trabalho e Energia Potencial
No movimento do tomate ao lado, durante a subida, sabe-se
que o trabalho realizado pela força gravitacional é negativo, ou
seja, a força gravitacional retira energia da energia cinética do
tomate. Isto acontece até que toda a energia seja transferida
completamente. Quando o tomate chega ao topo da sua
trajetória, este possui apenas energia potencial gravitacional. O
processo contrário acontece quando o tomate realiza o
movimento de descida.
Durante a descida, sabe-se que o trabalho realizado pela força
gravitacional é positivo. A energia potencial, que o tomate
adquirira quando chegou ao topo da trajetória, é
completamente transferido para a forma de energia cinética.
Desta maneira, tanto na subida, quanto na descida, a variação
da energia potencial pode ser escrita por:
∆U = −W .
(1)
Embora, o exemplo tomado se diz respeito à energia potencial
gravitacional, a Equação 1 pode ser aplicada também para um
sistema de uma massa presa a uma mola.
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Forças conservativas e não-conservativas
~ puder ser escrito como ± gradiente
Sempre que um campo vetorial qualquer G
de uma campo escalar φ, diz-se que este campo vetorial é um campo
conservativo. Matematicamente, tem-se:
~ = ±∇φ ,
G
neste caso, ∇ é o operador gradiente e pode ser escrito, em coordenadas
cartesianas, por:
∂ ∂
∂
ŷ
+ ẑ
.
∂x ∂y
∂z
~.
O campo escalar φ é dito campo potencial de G
∇ = x̂
Em analogia a essa definição matemática, pode-se escrever a seguinte
expressão:
~ = −∇U ,
F
~
neste caso, F é a força que atua sobre o sistema. Sempre que isto for possı́vel,
~ e a força F
~ é dita
diz que U é a energia potencial associada à força F
conservativa.
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Forças conservativas e não-conservativas
~ mude apenas em uma única
Admitindo que a força variável F
~ pode ser calculado por:
direção, o módulo do campo vetorial F
F (x) = −
dU
dx
Quando apenas forças conservativas atuam sobre um sistema, a
solução do problema pode ser significantemente simplificada,
utilizando-se os conceitos de energia
Seja W1 o trabalho realizada sobre o sistema e W2 o trabalho
realizado pelo sistema. Numa situação em que W1 = −W2 , a força
resultante que está realizando trabalho é conservativa. Exemplos
de forças conservativas: força gravitacional, força elástica (lei de
Hooke), força eletrostática, etc. Um tı́pico exemplo de uma força
não conservativa é a força de atrito.
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Independência do percurso para forças conservativas
O principal teste para saber se uma força é
conservativa é o seguinte:
O Trabalho resultante realizado por uma força
conservativa sobre um sistema que se move ao
longo de qualquer percurso fechado é igual a
zero.
O exemplo dado anteriormente sobre a subida e
descida do tomate é justamente sobre um
percurso fechado, no qual a tomate sai de um
ponto inicial e retorna aquele mesmo ponto.
Um resultado importante do teste do caminho
fechado é que: O trabalho realizado por uma
força conservativa sobre um sistema em
movimento entre dois pontos independe do
percurso seguido.
Em termos matemáticos, pode-se se escrever:
Wab,1 = Wab,2
(2)
Para demostrar a Equação 2, faz-se o seguinte: Sabe-se que o
trabalho realizado por uma força conservativa ao longo de um
percurso fechado é nulo, logo
Wab,1 + Wba,2 = 0 ,
portanto,
Wab,1 = −Wba,2 ,
ou seja, o trabalho realizado ao longo da trajetória de ida deve
ser igual ao trabalho realizado pela trajetória de volta.
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Energia Potencial Gravitacional
Sabendo que a variação da energia
potencial pode ser escrita por:
∆U = −W
Por outro lado, o trabalho de uma força
variável qualquer que atua em apenas uma
direção pode ser encontrado da seguinte
forma:
Z xf
W =
F (x)dx .
xi
Desta maneira, a variação da energia
potencial pode ser calculada por:
Z xf
∆U = −
F (x)dx .
xi
Para o caso da energia potencial gravitacional
tem-se que F (y ) = −mg , em que g é o módulo
do campo gravitacional que está atuando sobre
o sistema. Substituindo na Equação 3, tem-se
que:
R
R
∆U = − yyf mgdy = mg yyi dy
i
f
(4)
∆U = mg (yf − yi ) = mg ∆y .
Tomando um ponto de referência como sendo
yi = 0 correspondente a um valor de energia
potencial inicial Ui = 0, pode-se se escrever a
enrgia potencial para um yf = y como
U(y ) = mgy .
(5)
Isto quer dizer que a energia potencial
(3) gravitacional depende apenas da posição
vertical y do sistema em relação à um nı́vel de
referência arbitrário.
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Energia Potencial Elástica
Da mesma maneira, pode-se utilizar a lei de HooKe, ou seja,
F (x) = −kx ,
para calcular a energia potencial elástica, i.e.,:
Rx
Ry
∆U = − xi f −kxdx = k yfi xdx
(6)
∆U =
1
2
2 kxf
−
1
2
2 kxi
.
Escolhendo o valor de Ui = 0 em x = 0 e fazendo xf = x tem-se
que
1
U(x) = kx 2 .
(7)
2
O que quer dizer que a energia potencial elástica é proporcional ao
quadrado da distância de deslocamento do sistema preso à mola.
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Conservação de Energia Mecânica
A energia mecânica de um sistema pode ser
considerada como a soma da energia cinética e
a energia potencial. Ou seja,
Em = U + K .
(8)
Quando apenas forças conservativas atuam
sobre o sistema e não há transferência de
energia mecânica para uma outra forma de
energia. Ou seja, quando nehuma força atua
sobre o sistema. Sabe-se que neste caso a
variação da energia cinética pode ser calculada
por:
Comparando as Equações 10 e 9, pode-se
escrever que:
∆U = −∆K
Uf − Ui = Kf − Ki
Kf + Uf = Ki + Ui
Emf = Emi
∆Em = 0 .
(11)
Isto implica que, num sistema isolado (sem
a ação de uma força externa), a energia
mecânica se conserva. Portanto, pode-se
∆K = W
(9)
relacionar a soma da energia cinética e a
energia potencial em instantes distintos sem
e ainda, a variação da energia potencial pode
ser estimada por:
se preocupar com o movimento
intermediário que o sistema foi submetido.
∆U = −W .
(10)
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Leitura da curva de Energia Potencial
Olhando para curva de energia potencial pode-se facilmente
escrever a curva da força variável que está atuando sobre o
sistema considerando a seguinte equação:
F (x) = −
dU
dx
.
No painel (c) desta figura, o ponto x1 é conhecido como ponto
de retorno. Os pontos x2 e x4 são conecidos como pontos de
equilı́brio estável. O ponto x3 é o ponto de equilı́brio instável e
todos os pontos à direita de x5 são pontos de equilı́brio neutro.
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Equilı́brio neutro, estável e instável
Na prática, os pontos de equilı́brio podem ser melhor visualizados
na esquema da figura abaixo.
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Trabalho realizado por uma força externa
Trabalho é a energia transferida para um sistema ou retirada dele por meio de
uma força externa que age sobre este sistema
Quando a energia é tranferida para o sistema, o trabalho é
positivo.
Quando a energia é retirada do sistema, o trabalho é negativo.
Como tática para solução de problemas, é sempre necessário escolher
adequadamente o sistema que pretende-se estudar. Para o caso de um sistema
livre de forças dissipativas, pode-se calcular o trabalho devido a uma força
externa por:
W = ∆K + ∆U
(12)
W = ∆Em ,
isto é, o trabalho devido à força externa sem a presença de atrito pode ser
calculado a partir da variação da energia mecânica do sistema.
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Trabalho realizado por uma força externa
Considere uma força ~
F constante que puxa um bloco ao longo de um eixo
x deslocando por uma distância d e fazendo a velocidade aumentar de v~0
para ~
v . Durante este deslocamento, o piso exerce uma força de atrito
cinético constante fk sobre o bloco. Aplicando a segunda lei de Newton,
pode-se escrever que:
F − fk = ma ,
em que m é a massa do bloco e a é o módulo da aceleração que atua
sobre o bloco. Utilizando a equação de Toricelli, pode-se reescrever a
equação acima por:
Fd =
1
2
2
mv −
1
2
2
mv0 + fk d ,
Para uma situação mais geral (por exemplo, obloco subindo numa rampa)
pode-se também considerar a energia potencial, ou seja:
Fd = ∆K + ∆U + fk d
Fd = ∆Em + fk d .
(13)
Porém, o termo fk d que é o trabalho realizado pala força de atrito serve,
por exemplo, para aquecer a superfı́cie enquando to bloco desliza, logo
este termo pode ser considerado como sendo uma energia térmica (ETe ),
portanto,
W = ∆Em + ∆ETe ,
(14)
que é o trabalho de uma força externa na presença do atrito.
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Conservação de Energia
A energia total E de uma sitema deve obedecer
ao princı́pio de conservação de energia que diz
que:
Desta maneira pode-se escrever que:
∆Em + ∆ETe + ∆Eint = 0 .
A energia total de um sistema pode variar
apenas através de quantidades de energia que
são transferidas para o sistema ou retiradas
dele.
O trabalho foi a única forma de transferência de
energia estudada, sendo assim,
De onde pode-se concluir que:
Em,f = Em,i − ∆ETe − ∆Eint .
(15)
Ou seja, em um sistema isolado pode-se relacionar a energia
total em um instante qualquer com a energia em outro instante
sem considerar valores da energia em instantes intermediários.
W = ∆E = ∆Em + ∆ETe + ∆Eint ,
A potência média devida à força que atua
aqui ∆Eint é a variação de energia interna do
durante um intervalo ∆t, de uma forma mais
sistema. Esta é uma lei fı́sica formulada a partir geral pode ser escrita por:
de inúmeras experimentações e nunca foi
encontrado exceções à essa lei.
∆E
Pmed =
,
(16)
Se o sistema estiver isolado de sua vizinhaça, a
∆t
lei de conservação de energia estabelece que:
analogamente, a potência instantânea fica:
A energia total E de um sistema isolado não
pode variar.
P=
dE
.
dt
(17)
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