Resistência dos Materiais
EME311 – Mecânica dos Sólidos
Resistência dos Materiais
Objetivo do Curso:
Fornecer ao aluno os fundamentos
teóricos necessários para se calcular as
tensões e as deformações em elementos
estruturais de projetos mecânicos.
1-1
Resistência dos Materiais
EME311 – Mecânica dos Sólidos
Bibliografia:
BEER, F.P.; JOHNSTON,
E.R.;
Resistência
dos
Materiais,
Ed.
Makron
Books, 3ª ed. (1995);
Notas de aula.
1-2
Resistência dos Materiais
EME311 – Mecânica dos Sólidos
CAP.1 - Conceito de Tensão;
CAP.2 - Tensão e Deformação, Carregamento
Axial;
CAP.3 - Torção em Seções Circulares;
CAP.4 - Flexão Pura;
CAP.5 - Carregamento Transversal;
Carregamentos Múltiplos;
CAP.6 - Análise de Tensões no Estado Plano;
CAP.7 - Deflexão de Vigas por Integração;
CAP.8 - Flambagem de Colunas.
1-3
Terceira Edição
CAPÍTULO
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston Jr.
Conceito de Tensão
Resistência dos Materiais
Capítulo 1 – Conceito de Tensão
1.1 – Introdução
1.2 – Forças e Tensões;
1.3 – Forças Axiais: Tensões Normais;
1.4 – Tensões de Cisalhamento;
1.5 – Tensões de Esmagamento;
1.6 – Tensões em um plano Oblíquo;
1.7 – Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer;
1.8 – Tensões Admissíveis e Tensões Últimas;
Coeficiente de segurança.
1-5
Resistência dos Materiais
1.1 - Introdução
• O principal motivo do estudo da mecânica dos
materiais é proporcionar ao engenheiro os meios que
habilitem para a análise e projeto de várias estruturas
e elementos de máquinas, sujeitos a diferentes
carregamentos.
• A análise da estática e o projeto de uma dada estrutura
implicam na determinação das tensões e das
deformações. Neste primeiro capítulo será
apresentado o conceito de tensão.
1-6
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
Seja a estrutura da figura, formada pelas barras AB e BC.
1-7
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
Diagrama de Corpo Livre
• Condições para o equilíbrio estático:
∑ MC = 0 = Ax (0.6 m) − (30 kN)(0.8 m)
Ax = 40 kN
∑ Fx = 0 =Ax + Cx
Cx = − Ax = −40 kN
∑ Fy = 0 = Ay + C y − 30 kN = 0
Ay + C y = 30 kN
• Ay e Cy não podem ser determinados
destas equações.
1-8
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
• Para uma estrutura em equilíbrio, cada
componente também deve satisfazer as
condições de equilíbrio estático.
• Do diagrama de corpo livre da barra AB:
∑ M B = 0 = − Ay (0.8 m)
Ay = 0
Substituindo na equação de equilíbrio da
estrutura
Ay + C y = 30 kN ⇒ Cy = 30kN
• Logo:
Ax = 40 kN →
C x = 40 kN ←
C y = 30 kN ↑
1-9
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
• As barras AB e BC estão sujeitas a duas forças
que são aplicadas nas extremidades das barras.
• Para o equilíbrio, as forças dever ser paralelas a
um eixo entre os pontos de aplicação de força,
de igual intensidade, porém de sentidos
opostos.
Método dos nós: no nó B:
F
∑ B =0
FAB FBC 30 kN
=
=
4
5
3
FAB = 40 kN
FBC = 50 kN
1 - 10
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
A estrutura pode suportar com segurança a
carga de 30 kN?
• Da análise da estática:
FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tração)
dBC = 20 mm
• Esses resultados representam um primeiro
passo na análise da estrutura, mas não nos
levam á conclusão de que as barras vão
suportar as cargas com segurança.
• Além do valor encontrado para o esforço
interno, a área da seção transversal da barra e
o material com que ela foi construída devem
ser considerados.
1 - 11
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
• Em qualquer seção da barra BC, a força
interna é 50 kN.
• Esta força representa a resultante de forças
elementares que se encontram distribuídas
em toda a área da seção transversal da barra
BC.
dBC = 20 mm
• A intensidade dessas forças distribuídas é
igual à força por unidade de área.
• A força por unidade de área ou a intensidade
das forças distribuídas numa certa seção
transversal é chamada de tensão.
1 - 12
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
A estrutura pode suportar com segurança a
carga de 30 kN?
• Da análise da estática:
FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tração)
• Em qualquer seção da barra BC, a força
interna é 50 kN com uma tensão de
P
50 ×103 N
σ BC = =
= 159 MPa
A 314 ×10-6 m 2
dBC = 20 mm
• Supondo que a barra BC é de aço, com uma
tensão admissível à tração de
σ adm = 165 MPa
• Conclusão: a resistência da barra BC é
adequada.
σ <σ
BC
adm
1 - 13
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
• O projeto de novas estruturas requer a seleção de
materiais apropriados e a seleção da dimensão
dos componentes necessários.
• Por razões baseados em custo, peso,
disponibilidade, etc., optou-se em construir a
barra BC de alumínio (σadm= 100 MPa).
Qual é uma escolha apropriada para o diâmetro
da barra?
σ adm =
P
A
A=
P
σ adm
=
50 ×103 N
= 500 ×10−6 m2
6
100 ×10 Pa
2
A=π
d
4
d=
4A
π
=
4 ( 500 ×10−6 m2 )
π
= 2,52 ×10−2 m = 25,2mm
• Uma barra de alumínio de 26 mm ou mais no
diâmetro é adequado.
1 - 14
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
Observações:
• Tensão de tração (barras tracionadas)
– SINAL POSITIVO
• Tensão de compressão (barras
comprimidas) – SINAL NEGATIVO
• No Sistema Internacional de unidades:
força em N (Newton)
área em m2
tensão em N/m2 ou Pa (Pascal)
1 - 15
Resistência dos Materiais
1.2 – Forças e Tensões
Observações:
• Em unidades inglesas:
força em lb (libras) ou quilolibras
(kip)
área em pol2 (in2)
tensão em libras por polegada
quadrada (psi) ou quilolibras por
polegada quadrada (ksi)
1 kip = 103 lb = 4,448 kN
1 ksi = 103 psi = 6,895 MPa
1 - 16
Resistência dos Materiais
1.3 – Forças Axiais: Tensões Normais
• A resultante das forças internas para um membro
carregado axialmente é normal a uma seção
cortada perpendicularmente em relação ao eixo do
membro.
• A intensidade da força na seção transversal é
definida como a tensão normal e representa o
valor médio das tensões
∆F
∆A→0 ∆A
σ = lim
σ med =
P
A
• A tensão normal em um ponto particular pode não
ser igual à tensão média, mas a resultante da
distribuição de tensão deve ser satisfeita.
P = σ med A = ∫ dF = ∫ σ dA
A
1 - 17
Resistência dos Materiais
1.3 – Forças Axiais: Tensões Normais
• Uma distribuição uniforme de tensão em uma
seção só é possível se a linha de ação da
resultante das forças internas passar pelo
centróide da seção (carga centrada).
• Se um membro sob duas forças é carregado
excentricamente, então a resultante da
distribuição de tensões em uma seção deve
produzir uma força axial e um momento.
• A distribuição de tensões em membros
carregados excentricamente não pode ser nem
uniforme nem simétrica (Cap. 4).
1 - 18
Resistência dos Materiais
1.4 – Tensões de Cisalhamento
• Duas forças P e P’ são aplicadas transversalmente
ao membro AB.
• Correspondentes forças internas agem no plano da
seção C e são chamadas forças de cisalhamento.
• A resultante da distribuição de forças internas de
cisalhamento é definida como cisalhamento da
seção e é igual à carga P.
• A correspondente tensão de cisalhamento média
é,
P
τ med =
A
• A tensão de cisalhamento ocorre comumente em
parafusos, rebites e pinos que unem diversas
partes de máquinas e estruturas.
• A distribuição de tensões de cisalhamento não pode
ser assumida como uniforme (Cap. 5).
1 - 19
Resistência dos Materiais
1.4 – Tensões de Cisalhamento
Cisalhamento simples
τ med =
P F
=
A A
Cisalhamento duplo
τ med =
P F
=
A 2A
1 - 20
Resistência dos Materiais
1.5 – Tensões de Esmagamento
• Parafusos, rebites e pinos criam
tensões nos pontos de contato
ou superfícies de esmagamento
das barras.
• A resultante da distribuição das
forças na superfície é igual e
oposta à força exercida no pino.
• A intensidade média da tensão
de esmagamento é,
σ esmag. =
P P
=
A td
1 - 21
Resistência dos Materiais
Exemplo 1.1
Determinar as tensões nos elementos (barras e conexões) da
estrutura mostrada.
• Da análise da estática:
FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tração)
• Deve-se considerar a
máxima tensão normal em
AB e BC, e a tensão de
cisalhamento e a tensão de
esmagamento em cada
conexão de pinos.
1 - 22
Resistência dos Materiais
Exemplo 1.1
• Estrutura detalhada:
Barra circular BC;
Barra AB;
Extremidade A;
Extremidade B;
Extremidade C.
1 - 23
Resistência dos Materiais
Exemplo 1.1 – tensões normais nas barras
Barra BC
• sob TRAÇÃO com uma força axial de 50 kN.
• na parte circular (A = 314x10-6m2), a tensão normal
média é is σBC = +159 MPa (tração).
• nas partes achatadas, a menor área da seção transversal
ocorre na linha central do pino,
A = ( 20mm )( 40mm − 25mm ) = 300 × 10−6 m 2
σ BC =
P
50 × 103 N
=
= 167 MPa
A 300 × 10−6 m 2
Barra AB
• sob COMPRESSÃO com uma força axial de 40 kN
• área (A = 1,5x10-3m2), a tensão normal média é σAB = –26,7 MPa.
• Como a barra AB está comprimida, as seções transversais da barra de
menor área não estão sujeitas a nenhuma tensão de tração.
1 - 24
Resistência dos Materiais
Exemplo 1.1 – tensões de cisalhamento nos pinos
• Área da seção transversal para os pinos em A,
B e C,
2
 25 mm 
−6 2
A = πr = π
 = 491× 10 m
 2 
2
• A força no pino C é igual à força exercida
pela barra BC (corte simples),
τ C ,med
P
50 × 103 N
= =
= 102MPa
A 491 × 10−6 m 2
• O pino A está em corte duplo,
τ A,med =
P
20kN
=
= 40,7 MPa
A 491 × 10−6 m 2
1 - 25
Resistência dos Materiais
Exemplo 1.1 – tensões de cisalhamento nos pinos
• Divida o pino B em seções para determinar
a seção com a maior força de cisalhamento,
PE = 15kN
PG = 25kN (maior)
• Tensão de cisalhamento média,
τ B ,med =
PG
25kN
=
= 50,9MPa
A 491 × 10−6 m 2
1 - 26
Resistência dos Materiais
Exemplo 1.1 – tensões normais de esmagamento
• Para determinar a tensão de esmagamento no ponto A
da barra AB, nós temos que t = 30 mm e d = 25 mm,
σ esmag . =
P
40kN
=
= 53,3MPa
td ( 30mm )( 25mm )
• Para determinar a tensão de esmagamento nas chapas
de ligação em A, nós temos que t = 2(25 mm) = 50 mm
e d = 25 mm,
σ esmag . =
P
40kN
=
= 32,0MPa
td ( 50mm )( 25mm )
• ou t = 25 mm, d = 25 mm e P = (40kN / 2)
σ esmag . =
( 40kN 2 )
P
=
= 32,0MPa
td ( 25mm )( 25mm )
1 - 27
Resistência dos Materiais
1.6 – Tensões em um plano Oblíquo
• Forças axiais em membros sob a ação
de duas forças resulta somente em
tensões normais em um plano de corte
perpendicular ao eixo do membro.
• Forças transversais em parafusos e
pinos resulta em tensões de
cisalhamento no plano perpendicular
ao eixo do parafuso ou ao eixo do
pino.
• Mostraremos que forças axiais ou
forças transversais podem produzir ao
mesmo tempo tensões normais e de
cisalhamento em um plano que não é
perpendicular ao eixo do membro.
1 - 28
Resistência dos Materiais
1.6 – Tensões em um plano Oblíquo
• Seja passar uma seção na peça que forma um
ângulo θ com o plano normal.
• Das condições de equilíbrio, as forças
distribuídas (tensões) no plano devem ser
equivalentes à força P.
• Decompondo P nas componentes normal (F)
e tangencial (V) para a seção oblíqua,
F = P cos θ
V = P senθ
• As tensões médias normal e de cisalhamento
no plano oblíquo são
F
P co s θ
P
=
=
cos 2 θ
A0
Aθ
A0
cos θ
V
P sen θ
P
=
=
τ =
sen θ co s θ
A0
Aθ
A0
co s θ
σ =
1 - 29
Resistência dos Materiais
1.6 – Tensões em um plano Oblíquo
• Tensões normal e de cisalhamento em um plano
oblíquo
σ=
P
P
cos 2 θ τ = senθ cos θ
A0
A0
• A tensão normal máxima ocorre quando o plano de
referência é perpendicular ao eixo da peça (θ = 0o),
σm =
P
A0
τ′ = 0
• A tensão de cisalhamento máxima ocorre para um
plano em + 45o em relação os eixo,
τm =
P
P
sen45o cos 45o =
=σ′
A0
2 A0
1 - 30
Resistência dos Materiais
1.7 – Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer
• Vamos analisar as tensões em um certo
ponto Q no interior do corpo.
• Um membro sujeito a uma combinação geral
de cargas é cortado em dois seguimentos por
um plano que passa por Q
• As componentes de tensões
internas podem ser definidas como,
∆F x
∆A→0 ∆A
σ x = lim
τ xy = lim
∆A→0
∆V yx
∆A
∆Vzx
∆A→ 0 ∆A
τ xz = lim
1 - 31
Resistência dos Materiais
1.7 – Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer
Estado de tensões
• Os componentes de tensões são definidos
para os planos de cortes paralelos aos eixos
x, y e z. Pelo equilíbrio, tensões iguais e
opostas são exercidas nos planos ocultos.
• As forças geradas pelas tensões deve
satisfazer as condições de equilíbrio:
∑ Fx = ∑ Fy = ∑ Fz = 0
∑Mx = ∑My = ∑Mz = 0
• Considere o momento em torno do eixo z’:
a
a
∑ M z ' = 0 = 2 (τ xy ∆A) 2 − 2 (τ yx ∆A) 2
τ xy = τ yx
similarmente, τ xz = τ zx
e τ yz = τ zy
1 - 32
Resistência dos Materiais
1.7 – Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer
Estado de tensões
• Segue que somente 6 componentes de tensão
são necessárias para definir o estado de
tensões completo no ponto Q.
σ x , σ y , σ z , τ xy , τ xz e τ yz
• Onde:
τ xy = τ yx
τ xz = τ zx
τ yz = τ zy
1 - 33
Resistência dos Materiais
1.8 – Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de segurança
• A máxima força necessária que faz
romper ou quebrar um corpo de
prova é chamada de carga última ou
carregamento último
• Membros estruturais ou máquinas
devem
ser
projetados
com
segurança para receber um
carregamento
(carregamento
admissível ou carga de utilização
ou carga de projeto) menor que a
carga última.
CS = Coeficiente de segurança
CS =
Fatores para a escolha do CS:
• Incertezas nas propriedades dos
materiais;
• Incertezas no carregamento;
• Incertezas de análises;
• Número de ciclos do carregamento;
• Tipos de falhas;
• Necessidades de manutenção e efeitos
de deterioração;
• Etc.
σu
tensão última
=
σ adm tensão admissível
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Resistência dos Materiais
Exemplo 1.2
Para a estrutura mostrada na figura, determinar:
a)O diâmetro dAB da barra de controle AB que é de aço com tensão de
escoamento σ u = 600 MPa, usando um coeficiente de segurança CSAB = 3,3;
b)O diâmetro dC do pino C que é de aço com uma tensão última de cisalhamento τ u = 350 MPa, usando um CS ao cisalhamento igual a 2,5;
c)A espessura t das chapas de apoio em C que são de aço sabendo que a tensão
para esmagamento do aço é σ adm = 300 MPa.
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Resistência dos Materiais
Exemplo 1.3
Os parafusos B, C e D são de aço com tensão última de cisalhamento τ u = 300 MPa
e têm diâmetros dB = 8 mm, dC = 12 mm e dD = 8 mm. A barra de controle AB
tem diâmetro dAB = 9 mm, é de aço, com tensão última de tração σ u = 450 MPa .
Usando um CS igual a 3, calcular a maior força que o cilindro hidráulico pode
aplicar, de baixo para cima, no ponto C.
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Resistência dos Materiais
Exemplo 1.4
O elemento inclinado na figura está submetido a uma força de compressão de
3kN. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato
lisas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano
horizontal definido por EDB.
1 - 37
Resistência dos Materiais
Exemplo 1.4
1 - 38
Resistência dos Materiais
Proposto 1.2
A junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250 kN de
uma placa a outra. Determine as componentes da tensão de cisalhamento média e
da tensão normal média que essa carga cria na face da solda, da seção AB.
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Resistência dos Materiais
Proposto 1.3
A junta está submetida a uma força axial de 5 kN. Determine a tensão normal
média que age na seção AB e BC. Considere que o elemento é liso e tem 50 mm
de espessura.
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Resistência dos Materiais
Observações
Tipos de apoios mais encontrados em problemas bidimensionais
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Resistência dos Materiais
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