Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 10 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos.
I.
PONTO e PONTO:
Sejam, no espaço,
considerar:
os pontos A=(x1,y1,z1)
e
B=(x2,y2,z2). Temos duas posições relativas a
i.
A≡B, os pontos são coincidentes. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será igual
a zero e teremos então: |B-A|= √ (x2− x1)2+ (y2−y1) 2 +(z2−z1) 2 = 0.
ii.
A≡B, os pontos são distintos. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será diferente
de zero e teremos então: |B-A|= √ (x2− x1)2+ (y2−y1) 2 +(z2−z1) 2 ≠ 0.
Assim ao calcularmos a distância entre dois pontos identificamos sua posição relativa e no caso
de serem distintos, esta distância os identificará.
Exemplificando: Dados A=(1,-2,3) e B=(-1,1,-3), temos (B-A)=(-2,3,-6), calculando sua
distância teremos |B-A|= √ (-2)2+ (3) 2 +(-6) 2 = √ 49 = 7 ≠ 0, portanto os pontos são distintos.
II.
PONTO e RETA:
→
Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e a reta r:(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c). Sendo (a,b,c)=V, o
vetor da direção da reta e (x0,y0,z0) = A um ponto conhecido da reta, temos duas posições
relativas a considerar:
i.
ii.
Q∈r, o ponto está na reta. Neste caso a distância entre A e r será igual a zero.
Q∉r, o ponto não está na reta. Neste caso a distância entre A e r será diferente de zero.
Assim ao calcularmos a distância entre o ponto e a reta identificaremos sua posição relativa e no
caso do ponto não pertencer à reta, esta distância os identificará.
→
A distância entre um ponto Q =(x1,y1,z1) e uma reta r: P= A + t V, pode ser determinada como
segue:
•Q
→
|(Q−A) ∧ V |
DQr
Distância entre Q e r DQr = 
→
V
→
→
→
Exemplificando: Dados Q=(1,-2,3) e r:P=A+tV, sendo A=(-1,1,-3) e V=(1,-1,1), temos |V|=√3
e (Q-A)=(2, -3, 6). Calculando a distância entre Q e r teremos :
|V|
•
A
|(2,−3, 6) ∧ (1, -1, 1)|
|(3, 4, 1)|
√26
Distância entre Q e r DQr =  =  =  = √
|(1,-1,1)|
√3
√3
26
/3 u.c.
Concluimos assim que Q∉r, o ponto não está na reta, pois DQr ≠ 0. Neste caso a distância entre Q
e r é de √ 26/3 ≅ 8,66 u.c (Unidades de Comprimento).
III. PONTO e PLANO:
Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e o Plano π: ax + by +cz + d = 0. Temos duas posições
relativas a considerar:
i. Q ∈ π, o ponto pertence ao plano. Neste caso a distância entre Q e π será igual a zero.
ii. Q ∉ π, o ponto não pertence ao plano. Neste caso a distância deles será diferente de zero.
Assim ao calcularmos a distância entre o Ponto e o Plano identificaremos sua posição relativa e no
caso do ponto não pertencer ao Plano, esta distância os identificará.
A distância entre um ponto Q =(x1,y1,z1)
e um Plano π: ax + by +cz + d = 0, pode ser
determinada como segue:
|a x1+by1+cz1+d|
DQπ = 
Distância entre Q e π :
√a2 + b2 + c2
IV.
RETA e RETA:
Sejam no espaço as retas r1:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e r2:(x,y,z)=( x2,y2,z2)+t(a2,b2,c2).
→
→
Sendo (a1,b1,c1)=V1 e (x1,y1,z1) = A1 , (a2,b2,c2)=V2 e (x2,y2,z2) = A2, os vetores da direção e os
pontos conhecidos das retas r1 e r2 respectivamente, temos quatro posições relativas a
considerar:
i. r1 ≡ r2 : r1 coincide com r2, isto é as retas são coincidentes.
→
→
Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a
distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0).
ii.
iii.
iv.
r1
∥ r2 : r1 é paralela
à r2, isto é as retas são paralelas.
→
→
Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a
distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2 ≠ 0).
r1╳ r2: r1 intercepta r2, isto é as retas são concorrentes.
→
→
Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, um único ponto comum e a
distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0).
r1
ℵ r2: r1 não é paralela nem intercepta r2, isto é as retas são reversas.
→ →
Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, nenhum ponto comum e a
distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2 ≠ 0).
Verificamos portanto que para determinar a posição relativa entre duas retas é necessário
comparar suas direções, através da verificação da Dependência Linear dos vetores de suas
direções, e ainda, calcular a distância entre as mesmas. A dependência linear verificamos através
da comparação das coordenadas dos vetores, enquanto que a distância determinamos como
segue:
a) As retas são Paralelas: Calculamos a distância de um ponto de uma das retas (r1) até a
outra (r2), isto é o cálculo da distância é o mesmo de um ponto e reta e a formula será:
→
|(A2−A1) ∧ V1 |
Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = 
|V1|
b) As retas são Reversas:A distância é o módulo segmento de reta perpendicular comum a
ambas as retas dadas. Assim basta calcular o módulo do vetor projeção do vetor (A2−A1) na
→
→
direção do vetor V1 ∧ V2, isto é, a formula do cálculo da distância ente as retas será:
→ →
|(A2−A1) X (V1∧ V2 )|
Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = 
|(V1∧ V2 )|
Observamos que:
1. Para o caso de retas concorrentes e reversas é necessário calcular o ângulo ϕ formado pelas
direções das mesmas. Este cálculo, já conhecido, será:
→
→
V1 x V2
ϕ = arco cos 
→
→
|V1|•|V2|
2. Para o caso das retas serem concorrentes é necessário calcular o ponto P =(x,y,z) de
intersecção das retas. Este ponto será determinado através da solução do sistema de
equações formado pelas equações das retas na forma simétrica isto é:
x-x0
y-y0
z-z0
 =  = 
a
b
c
V.
RETA e PLANO:
Sejam no espaço a reta r:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e o Plano π: ax + by +cz + d = 0 .
→
→
Sendo W=(a,b,c) o vetor normal do plano , V=(a1,b1,c1), o vetor da direção da reta e A=(x0,y0,z0)
um ponto conhecido da reta. Temos duas posições relativas a considerar:
i.
ii.
r ⊂ π, a reta está contida no plano. Neste caso a distância entre r e π será igual a zero e os
→ →
→ →
vetores W e V serão ortogonais, isto é o produto escalar W x V = 0.
r ⊄ π, a reta não está contida no plano. Neste caso teremos duas posições a considerar:
→ →
a) r // π, a reta é paralela ao plano. Neste caso o produto escalar W x V = 0, a distância
entre r e π será diferente de zero e é calculada como a distância do ponto A à π, isto é:
Distância entre r e π :
|a x1+by1+cz1+d|
Drπ = 
√a2 + b2 + c2
b) r ╳ π, a reta é concorrente, isto é, intercepta o plano. Neste caso W x V ≠ 0, isto é, o
produto escalar dos vetores será diferente de zero, a distância entre r e π será igual a
zero e devemos calcular o ângulo de incidência da reta ao plano e o ponto de intersecção
P= r ∩ π, entre o plano e a reta.
Determinação do ângulo ϕ de incidência da reta no plano:
→
→
w
V
θ
•
ϕ
A
P
→
→
V xW
ϕ= 90o - θ  , sendo θ = arco cos 
→ →
|V|•|W|
r
Para determinar o ponto de intersecção P= r ∩ π, entre o plano e a reta, determinamos a
solução do sistema das equações na forma simétrica da reta e na forma geral do plano, isto é:
x-x1
y-y1
z-z1
 =  = 
b1
c1
a1
VI.
e
ax + by + cz + d =0
PLANO e PLANO:
Sejam no espaço os Planos π1: a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e π2: a2x + b2y +c2z + d2 = 0
→
→
Sendo W1=(a1,b1,c1) o vetor normal do plano π1 e W2=(a2,b2,c2), o vetor normal do plano π2.
Temos três posições relativas a considerar:
i.
π1 ≡ π2 : π1 coincide com π2, isto é os planos são coincidentes.
ii.
π1 ∥ π2 : π1 é paralela à π2, isto é os planos são paralelos.
→
→
Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a
distância entre π1 e π2 igual a zero ( Dπ1π2 = 0).
→
→
Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a
distância entre r e s diferente de zero (Dπ1π2 ≠ 0).
π1╳ π2: π1 intercepta π2, isto é os planos são concorrentes, isto é se interceptam segundo
uma reta r.
→
→
Neste caso teremos W1 e W2 com direções diferentes, isto é LI, uma única reta comum, a
distância entre π1 e π2 igual a zero (Dπ1π2 = 0) e um ângulo ϕ entre os dois planos.
iii.
Distância entre dois planos paralelos: Calculamos a distância de um ponto qualquer de π1 á
π2 isto é:
Distância entre π1 e π2 :
|a2 x1+b2y1+c2z1+d2|
Dπ1π2 = 
√a22 + b22 + c22
Ângulo ϕ entre dois planos Concorrentes: Calculamos o ângulo entre π1 á π2 como segue:
π1
W1
θ
π2
r
ϕ
W2
→
→
W1 x W2
ϕ= 180o - θ  , sendo θ = arco cos 
→
→
| W1|•| W2|
Reta r de intersecção dois planos Concorrentes: Podemos determinamos a reta de
intersecção entre π1 á π2 de duas formas como segue:
1. Determinando dois pontos comuns A e B, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e
a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos π1 e π2, escrevendo em seguida a equação vetorial da
reta:
→
→
P = A + t V, sendo V = (B-A).
2. Determinando um ponto comum A, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e
a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos π1 e π2 e o vetor que tem a direção da reta através de
→ →
→
→
V = W1 ∧ W2 , obtendo assim a equação vetorial da reta: P = A + t V.
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.