APERFEIÇOANDO DECISÕES DE INVESTIMENTO
COM O CRYSTAL BALL
Roberto Brazileiro Paixão
Adriano Leal Bruni
Heitor Marback
Anais do 1º Encontro Norte Nordeste de Finanças, Recife – PE – Brasil – 08 e 09 de setembro de 2004
APERFEIÇOANDO DECISÕES DE INVESTIMENTO COM O CRYSTAL BALL
Resumo
Em geral, a análise de investimentos, sejam estes financeiros ou de capital, é realizada
através do estudo dos fluxos de caixa por ele gerado. A mesma pode ser feita utilizando-se
modelos determinísticos, modelos de sensibilidade e modelos que envolvam o risco
associado. No uso de modelos determinísticos a análise pode ficar comprometida tendo em
vista que as previsões futuras são inflexíveis. Nas análises de sensibilidade as previsões já não
são mais inflexíveis, contudo apenas os efeitos de uma variável são analisados. Nos casos
onde a variável risco está inserida, pode-se utilizar um modelo estatístico, como a Simulação
de Monte Carlo, para encontrar a probabilidade do investimento gerar um retorno positivo, ou
seja, gerando um Valor Presente Líquido maior do que zero e uma Taxa Interna de Retorno
superior à taxa mínima de aceitação de projetos. No intuito de identificar ferramentas que
facilitem a aplicação da Simulação de Monte Carlo, faz-se uso do software Crystal Ball,
destacando a parametrização do modelo estatístico e os passos para a simulação. O estudo das
variáveis e das probabilidades resultantes da simulação traz informações relevantes ao
processo decisório relativo ao investimento.
Palavras-chave: Avaliação de investimentos, Fluxo de caixa descontado, Simulação de
Monte Carlo e Crystal Ball.
Abstract
In general, the investments analysis, whether financial or cash, is done by the study of
its generated cash flows .The same can be done by the use of deterministic models, sensibility
models and models involving the associated risk. In using deterministic models the analysis
can be wrong regarding to the inflexibility of future predictions. In the sensibility analysis the
predictions have flexibility, nevertheless only the effects of one variable are analyzed. In the
cases where the risk variable is inserted one can use a statistical model, like the Monte Carlo
Simulation, in order to finding the investment probability in generating a positive return, that
is, generating a Net Present Value greater than zero and a Internal Return Rate greater than
the minimum rates accepted for projects. In order to identify tools which help the use of the
Monte Carlo Simulation, one can make use of the Crystal Ball software, emphasizing
parametrically the statistical model and the steps for the simulation. The studies of the
variables and the simulation resulting probabilities brings relevant information to the decision
process related to the investment.
Key-words: Investment analysis, Discounted cash flows, Monte Carlo Simulation and
Crystal Ball.
Área: Finanças
Subárea: Finanças Empresariais
Codificação JEL: G3; G31.
2
Introdução
Na avaliação de investimentos diversos métodos podem ser utilizados. Dentre os
métodos de avaliação disponíveis aos analistas, Ferreira de Souza, Bastos e Martelanc (2003)
destacam três abordagens. Uma delas é a avaliação por fluxo de caixa descontado, que será
utilizada neste trabalho. Outra abordagem é a da avaliação relativa, que determina o valor de
um ativo comparando-o com outro semelhante, utilizando uma variável relativa comum. Uma
terceira abordagem é a da avaliação de direitos contingentes, que utiliza modelos de
precificação de opções para avaliar ativos que possuam características de opções. Pode-se
adicionar ainda uma quarta abordagem, a avaliação por valor contábil ajustado, também
denominada abordagem patrimonialista.
De acordo com Kelliher e Mahoney (2000), praticamente todas as abordagens de
avaliação de ativos e investimentos falham em pelo menos uma das três categorias: no método
de desconto dos fluxos de caixa, na definição dos métodos ou na parte empírica do método.
No método dos fluxos de caixa descontados, todos os fluxos futuros são descontados no
intuito de encontrar um valor presente para o projeto. A definição dos métodos corresponde a
técnicas analíticas que substituem os termos do lado direito de uma equação e prova que o
lado direito equivale ao lado esquerdo. Em fim, métodos empíricos são baseados na noção de
que o valor de uma equação é suportado por evidências empíricas de mercados específicos.
Para fins deste trabalho, será utilizado o modelo do fluxo de caixa descontado (FCD).
Damodaran (1997) salienta que para a avaliação de investimentos através deste método é
necessário: (a) avaliar o grau de risco do mesmo sob a forma de uma taxa de desconto e (b)
estimar os fluxos de caixa esperados para o investimento. Depois de estimadas as variáveis do
projeto, deve-se utilizar técnicas de avaliação de investimentos, tais como o Valor Presente
Líquido (VPL), a Taxa Interna de Retorno (TIR) ou o Payback.
Algumas dificuldades surgem em um processo de avaliação de investimentos de longo
prazo, destacando-se: estimar o total dos fluxos de caixa e o tempo de geração desses fluxos,
estimar a taxa de desconta a ser utilizada para trazer os fluxos a valor presente, estimar a taxa
de mudança, caso ocorra um aumento ou decréscimo nos fluxos e o período total dos fluxos.
Para tornar a análise ainda mais complexa, podem-se ter casos em que as variáveis sejam
inter-relacionadas ou até mesmo dependentes.
As técnicas usadas para se avaliar investimentos em condições de risco e incerteza
podem então: ignorar o risco e realizar a avaliação de forma determinística; tentar captá-lo
através de análises de sensibilidade; ou analisar as probabilidades usando algum modelo
estatístico, como a simulação de Monte Carlo.
O Método de Monte Carlo pode ser usado como uma ferramenta para se quantificar a
incerteza que é inerente a qualquer projeto de longo prazo. A simulação pode ser feita em
modelos personalizados desenvolvidos em uma planilha eletrônica qualquer ou através de
softwares específicos1, como o Crystal Ball2 (CB) ou o @Risk3.
O objetivo do artigo é mostrar a relevância da análise de risco, com o uso da simulação
de Monte Carlo, para o tomador de decisões, bem como mostrar, passo a passo, a
parametrização de entrada dos dados para gerar uma simulação com o auxílio do software
Crystal Ball. Sendo assim, na primeira parte do artigo desenvolve-se o referencial teórico
3
acerca dos fluxos de caixa descontados, da taxa de desconto, das avaliações determinísticas e
de sensibilidade, e do Método de Monte Carlo. Segue-se com a descrição da simulação, bem
como da parametrização das variáveis, e análise de resultados. Por fim, são feitas algumas
considerações finais, acerca do estudo e dos resultados, bem como destacados novos desafios
para este tipo de análise.
A avaliação do fluxo de caixa descontado (FCD)
Os fluxos de caixa devem ser estimados após o valor dos impostos, e são compostos
por entradas menos saídas de caixa (DAMODARAN, 1997).
Na projeção de fluxo de caixa, Copeland, Koller e Murrin (2000) dividem a avaliação
de um ativo em duas partes, sendo uma o período de previsão explícito e outra o valor do
fluxo após a previsão explícita. Sendo assim, o valor de um investimento corresponde à
seguinte fórmula:
Valor =
t =n
t =1
FCt
(1 + CMPC )t
+ Valor Re sidual
(1)
Na qual:
FCt = fluxo de caixa da empresa no período t;
CMPC = Custo médio ponderado de capital;
É necessário determinar os fluxos de caixa futuros após o período de estimação
explícito. Este valor, denominado valor residual, evita que se projete detalhadamente os
fluxos por um longo período de tempo (COSTA; MANDARINO, 200?). Obviamente, quanto
maior for a projeção, menor será o valor residual, e vice-versa. Sendo assim, o valor residual
pode ser definido como:
Valor Re sidual =
FC n +1
(CMPC − g )
(2)
Na qual:
FCn+1 = fluxo de caixa do n+1;
CMPC = custo médio ponderado de capital;
g = taxa de crescimento esperado do fluxo.
Para estimar o crescimento dos fluxos de caixa ao longo do tempo, corrobora-se com
Damodaran (1997) de que em mercados concorridos a taxa de crescimento pode ser maior do
que a inflação e vice-versa, contudo em mercados estáveis a estimativa deve ser próxima da
inflação.
Costa e Mandarino (200?) salientam que em mercados estáveis, após o período de
horizonte explícito dos fluxos de caixa, as empresas só conseguirão retornos iguais ao seu
custo de capital. Sendo assim, a variável g deve ser considerada zero. O fato de g ser zero não
significa que os fluxos futuros são iguais, mas sim que os fluxos não afetaram o valor da
empresa, ou seja, o seu valor presente líquido será zero.
4
No caso de projetos de investimentos com tempo pré-determinado o valor residual
geralmente é caracterizado pela possível venda das máquinas utilizadas no projeto, em seus
fluxos livres, ou seja, já descontado os impostos.
A taxa de desconto pela qual os fluxos de caixa futuros deverão ser trazidos a valor
presente deve refletir o custo do financiamento da empresa. Esta taxa é denominada custo
médio ponderado de capital, e consiste em uma ponderação entre o custo do capital próprio da
empresa e o custo do capital de terceiros. Este custo médio ponderado de capital corresponde
à taca mínima de corte na avaliação de investimentos.
Para se avaliar investimentos, pode-se utilizar a técnica do Valor Presente Líquido
(VPL), que é calculado de acordo com a seguinte fórmula:
VPL =
t =n
t =1
FC t
(1 + CMPC )t
+ Valor Re sidual − II
(3)
Na qual:
FCt = fluxo de caixa da empresa no período t;
CMPC = Custo médio ponderado de capital;
II = Investimento inicial.
Utilizando-se o Valor Presente Líquido, tanto as entradas como as saídas de caixa são
traduzidas para valores monetários atuais. O investimento inicial está automaticamente
expresso em termos monetários atuais. Se não for esse o caso, o Valor Presente Líquido de
um projeto deverá ser obtido subtraindo-se o valor presente das saídas do valor presente das
entradas de caixa.
Outra técnica bastante difundida é o cálculo da Taxa Interna de Retorno (TIR), que
corresponde à taxa que remunera o investimento. O seu cálculo é feito com base no Valor
Presente Líquido, sendo a taxa encontrada igualando-se o VPL a zero, conforme fórmula
abaixo:
TIR =
t =n
t =1
FCt
(1 + i )t
+ Valor Re sidual − II = 0
(4)
A taxa Interna de Retorno é definida como a taxa de desconto que iguala o valor
presente das entradas de caixa ao investimento inicial referente a um projeto.
Em geral, a regra básica é: se o Valor Presente Líquido for maior que zero, deve-se
aceitar o projeto; e se a Taxa Interna de Retorno for maior que a Taxa Mínima de Corte, devese também aceitar o projeto.
Algumas variações e dificuldades nas análises com base nestas técnicas, como, por
exemplo, quando ocorre mais de uma inversão de sinal dos fluxos, são discutidas na literatura
de finanças, não sendo alvo do presente trabalho.
A taxa mínima de corte
5
Uma empresa pode ser financiada parte com capital próprio e parte com capital de
terceiros, sendo assim, o custo de capital será uma média ponderada entre o custo de capital
de terceiros, ponderado pela sua participação no financiamento total, e o custo do capital
próprio, ponderado também pela sua participação no financiamento total. Este custo é
denominado Custo Médio Ponderado de Capital (CMPC). No caso específico da empresa ser
totalmente financiada através de capital próprio, o CMPC será o próprio custo do capital
próprio, denominado custo do patrimônio líquido.
Damodaran (1999) salienta que a taxa mínima de corte deve refletir o mix de
financiamentos utilizado (capital próprio e capital de terceiros) e deve ser maior para projetos
com risco maior.
A expressão do CMPC pode ser vista na equação 5:
CMPC = Ke
E
D
+ Kd
D+E
D+E
(5)
Na qual:
Ke = custo do capital próprio;
Kd = custo líquido das dívidas;
E = valor de mercado do capital próprio;
D = valor de mercado das dívidas.
O custo da dívida é expresso pelo valor de mercado da dívida deduzido do imposto de
renda, face que os juros pagos nos empréstimos da empresa são dedutíveis para efeito de
tributação (BRUNI; SOUZA; LUPORINI, 1997). As ações preferenciais também são
consideradas como dívida, contudo têm uma determinação de custo própria, não sendo alvo
desta pesquisa. Sendo assim, o custo da dívida da empresa, expressa no capital de terceiros,
pode ser representado pela expressão:
Kd = K (1 − IR )
(6)
Na qual:
K = taxa de juros de mercado do endividamento;
IR = alíquota do Imposto de Renda.
Dentre os modelos para determinação do custo de capital próprio, Damodaran (1997)
destaca o modelo CAPM (Capital Assets Pricing Model, ou Modelo de Precificação de Ativos
Financeiros) e o modelo APM (Arbitrage Pricing Model, ou Modelo de Precificação por
Arbitragem). Existe ainda um outro modelo, denominado modelo de crescimento de
dividendos, ou modelo de Gordon e Shapiro.
De acordo com Modelo de Precificação de Ativos Financeiros, existem dois tipos de
risco em um ativo: o risco sistemático, que afeta a maioria dos ativos; e o risco não
sistemático ou específico, que afeta um pequeno número de ativos. No modelo do CAPM,
apenas o risco que não pode ser diversificável, o risco sistemático, também denominado risco
não-diversificável, deve ser recompensado.
Visto que o risco é medido pela variância, o risco de uma carteira é menor do que o
risco dos ativos separadamente, o que justifica a diversificação e, por conseqüência não
6
justifica a recompensa. Na visão de Ross, Westerfield e Jordan (2000), em função da
eliminação quase que total do risco não sistemático com a diversificação, não pode haver uma
recompensa por assumi-lo. Para estes autores, o mercado não recompensa riscos
desnecessários.
Ross, Westerfiel e Jordan (2000) afirmam que a quantidade de risco sistemático
presente em um ativo ou uma carteira de ativos é determinado pelo coeficiente beta. Assim
como em outros ativos, nos ativos imobiliários, o risco, pelo modelo CAPM, deveria estar
refletido no seu beta.
O modelo CAPM corresponde à taxa livre de risco adicionada ao prêmio de risco
ajustado pelo multiplicador beta, que corresponde à variância do ativo em relação a um índice
do mercado. A fórmula pode ser expressa da seguinte maneira:
Ke = Rf + β (Rm − Rf )
(7)
Na qual:
Ke = retorno esperado do capital próprio ou custo do capital próprio;
Rf = taxa livre de risco;
(Rm – Rf) = prêmio pelo risco de mercado;
Beta (β) = coeficiente de risco não-diversificável.
É relevante ressaltar que o Custo Médio Ponderado de Capital deve ser a taxa mínima
de corte para a avaliação de projetos de investimento. Ou seja, qualquer projeto com retorno
abaixo do CMPC, ou taxa mínima de corte, deve ser rejeitado.
Avaliações determinísticas e de sensibilidade
Levando-se em consideração uma avaliação baseada nos fluxos de caixa futuros, podese utilizar algumas técnicas para se lidar com o risco e a incerteza: (a) ignorá-los e utilizar
uma única estimativa determinística; (b) utilizar uma análise de sensibilidade; (c) ou acessálos quantitativamente, utilizando um modelo estatístico de simulação, como o Método de
Monte-Carlo.
Na avaliação determinística, o investimento é avaliado descontando-se os fluxos de
caixa a valor presente associados com o estado real do projeto. Este estado real corresponde à
melhor estimativa de fluxos de caixa, taxa de desconto e qualquer outra variável envolvida.
Obtendo-se um valor presente negativo dos fluxos de caixa, o investimento deveria ser
rejeitado, e quando o resultado fosse positivo, o mesmo seria recomendado.
O problema com os métodos determinísticos refere-se a sua inflexibilidade na previsão
dos fluxos de caixa futuros. Ou seja, existe, mesmo que não seja levada em consideração, uma
probabilidade dos fluxos futuros variarem e não se realizarem como previsto.
Logo, questões podem ser levantadas a respeito do resultado via modelo
determinístico, destacando-se:
a) E se os fluxos de caixa forem maiores/menores?
b) E se as despesas forem superiores/inferiores ao previsto?
c) E se a taxa desconto sofre uma variação?
7
Na tentativa de melhorar as avaliações determinísticas, podem ser criados cenários
para determinadas alterações nas variáveis-chave. Esta avaliação de cenários é chamada de
análise de sensibilidade e indica exatamente o quanto o resultado vai variar, em resposta a
uma mudança em uma variável de entrada, mantendo-se as outras constantes (KELLINHER;
MAHONEY, 2000). Esta análise pode ser usada para responder às questões do tipo “e se?”
elaboradas anteriormente.
Cada variável de entrada pode ser ajustada para uma variação positiva ou negativa de
5%, 10% ou 20% acerca do valor base. Observa-se que quando uma determinada variável
sofre uma variação, as outras devem permanecer constantes (condição ceteris paribus).
O Método de Monte Carlo (MMC)
De acordo com Smith (1994), o tipo de simulação adequada para se fazer análises de
risco é a simulação de Monte-Carlo. Por simulação entenda-se o processo de construção de
um modelo de sistema, matemático ou lógico, e a experimentação deste modelo, a fim de
obter informações que auxiliem na resolução de problemas (EVANS; OLSON, 2002).
Kelliher e Mahoney (2000) argumentam que, apesar de ter recebido muita atenção na
década de 80, o Método de Monte-Carlo (MMC) era considerado pela comunidade acadêmica
como uma prática limitada, porque para rodar as simulações era necessário ter acesso a um
computador de grande porte (mainframe), possuir conhecimento de sofisticadas linguagens de
programação e tempo para processar as informações, visto que o processo era lento.
Atualmente, pode-se rodar simulações com uma simples planilha e alguns softwares de
suplementos, como o @RISK ou o Crystal Ball. Pode-se ainda criar pequenas macros que
tornam o processo de simulação mais fácil e rápido, modelagem esta que será usada neste
trabalho. Logo, o MMC está disponível para qualquer usuário que queira analisar e interpretar
melhor a incerteza e o risco associados a um investimento.
A criação de modelos de para a prática de simulações requer o emprego de números
aleatórios, em geral gerados por computador. Shimizu (1975), salienta que feitas as ressalvas
matemáticas adequadas, jamais seria possível a obtenção de aleatórios genuínos por meio de
computadores, mas sim números pseudo-aleatórios ou quase-aleatórios. Isto porque para que
se possa garantir seu caráter de aleatoriedade seria preciso efetuar infinitos testes gerados por
um mesmo processo e seguidos por uma infinidade de testes estatísticos.
Ehrlich (1998) ressalta que os critérios de aleatoriedade dos números pseudoaleatórios gerados em computador envolvem a obtenção de valores: (a) uniformemente
distribuídos; (b) estatisticamente independentes; (c) reprodutíveis, a fim de permitir
comparação entre programas; (d) não repetibilidade da série no intervalo de interesse; (e)
velocidade de geração; e (f) utilização de memória mínima de computador na geração. O uso
de números aleatórios gerados eletronicamente viabiliza a realização de simulações em
computadores.
O Método de Monte Carlo (MMC) é uma técnica de amostragem que busca a seleção
aleatória de componentes ou números e suas correspondentes aproximações para as
distribuições de probabilidade, facilitando a análise de risco (CORREIA NETO; MOURA;
FORTE, 2002).
8
Na simulação de Monte Carlo, cada variável de um modelo de avaliação é
representada por uma função densidade de probabilidade, ou por um intervalo de valores
possíveis, e não por um simples valor, como na avaliação determinística. As distribuições
mais comuns são: a normal, a uniforme, a logarítmica e a triangular.
Na distribuição normal, ou gaussiana, os valores estão distribuídos de forma simétrica
à média e existe uma probabilidade de estarem mais próximos dela do que distantes. A
distribuição uniforme se caracteriza por possuir valores com probabilidades iguais de serem
escolhidos, entre um valor mínimo e um valor máximo. Em uma distribuição logarítmica os
valores estão positivamente inclinados, representados por uma longa cauda à direita. Os
valores mais prováveis se apresentam próximo ao valor mínimo ou ao menor valor da faixa. E
na distribuição triangular os valores estão entre um valor mínimo e um máximo, sendo que os
valores próximos aos extremos têm menor probabilidade de serem escolhidos (ATKINSON;
KELLINHER; LeBRUTO, 1997).
Abaixo segue o algoritmo de uma simulação de Monte Carlo:
Início
Distribuição de
Probabilidade para o
fluxo de caixa do ano
Todos os ano
completos?
Não
Sim
Calcule e
armazene o
Não
Todas as
iterações
completas?
Sim
Sumarize os resultados
e gere uma distribuição
para os resultados.
Fim
Figura 1: A lógica de uma simulação simples de Monte-Carlo.
Fonte: SMITH (1994, p. 21).
9
De acordo com Kelliher e Mahoney (2000), existem alguns passos para se determinar
qual distribuição se enquadra mais perfeitamente para cada variável. O primeiro passo é
identificar e listar tudo o que se sabe sobre cada variável de entrada. Para estes autores, muita
informação pode ser conseguida em publicações de pesquisas de levantamento de marketing
sobre taxas de retorno e índices de operações. Informações valiosas podem ser ainda inferidas
a partir de dados históricos, tantos internos quanto externos. No caso de existirem dados
históricos válidos, existe a possibilidade de que seja encontrada a distribuição que mais se
adequa àquela variável, utilizando o auxílio de softwares específicos de simulação. Contudo,
mesmo com dados históricos à disposição, grande parte da seleção de distribuições de
freqüências é dirigida pela subjetividade e experiência do analista.
Depois de definida a função densidade de probabilidade de cada variável inicia-se a
simulação. Cada geração de valor está associada a uma probabilidade diferente de zero de
acontecer. As variáveis geradas de acordo com o MMC irão determinar o valor presente
líquido (VPL) do projeto de investimento. Novas iterações são feitas e seus resultados devem
ser guardados para posterior análise. O processo deve ser repetido tantas vezes quantas forem
necessárias. Com o auxílio de softwares específicos é comum análises com 3.000 simulações,
ou mais.
Pelo Teorema do Limite Central, quando utilizam-se muitos números aleatórios, os
valores da amostra tendem a uma distribuição normal, em forma de sino, ou gaussiana. Ou
seja, a média e o desvio padrão da amostra convergem para a média o desvio padrão
populacional (STEVENSON, 1981).
De acordo com Correia Neto, Moura e Forte (2002), a concentração em torno da
média encontrada é a propriedade estatística mais aplicável ao MMC. Sendo assim, tem-se
que, em uma distribuição normal, 68% das ocorrências encontram-se entre mais um e menos
um desvio padrão. Para 95% de confiança, as ocorrências estão entre mais dois e menos
desvios padrões e as ocorrências se encontrarão entre mais três e menos três desvios padrões
em 99,5% dos casos.
A simulação
Na figura abaixo tem-se o projeto de investimento a ser analisado, bem como suas
variáveis e o resultado do VPL, em uma abordagem determinística.
O projeto refere-se à aquisição de uma máquina pelo valor de $200.000 que gerará
uma receita no primeiro ano de $100.000, com crescimento de 7% ao ano. Os custos fixos são
da ordem de $6.000 e os custos variáveis correspondem a 25% da receita. A depreciação
ocorre linearmente em um período de cinco anos. A máquina é vendida ao final do projeto por
$20.000, o que representa uma entrada líquida após Imposto de Renda de $13.200. Para
iniciar o projeto é necessário um investimento em capital de giro no valor de $25.000. A taxa
mínima de corte é determinada em 12% e a alíquota do Imposto de Renda em 34%.
10
Taxa Mínima de Corte
Alíquota de Imposto de Renda
Investimento na máquina
Investimento em capital de giro
Valor da venda da máquina
Vida útil da máquina (anos)
Crescimento anual das receitas
Período
Receita
(-) Despesas
Custos fixos
Custos variáveis
Depreciação
= Lucro Operacional Tributável
(-) Imposto de Renda
= Lucro Líquido Operacional
(+) Depreciação
= Fluxo de Caixa Operacional
(+/-) Investimento ou desinvestimentos líquidos em equipamentos
(+/-) Investimentos ou desinvestimentos em capital de giro
= Fluxo de Caixa Livre
= Valor Presente Líquido (VPL)
= Taxa Interna de Retorno (TIR)
==========================================>
==========================================>
200.000
25.000
20.000
5
7%
0
(200.000)
(25.000)
(225.000)
12%
34%
1
100.000
2
107.000
3
114.490
4
122.504
5
131.080
(6.000)
(25.000)
(40.000)
29.000
(9.860)
19.140
40.000
59.140
59.140
(6.000)
(26.750)
(40.000)
34.250
(11.645)
22.605
40.000
62.605
62.605
(6.000)
(28.623)
(40.000)
39.868
(13.555)
26.313
40.000
66.313
66.313
(6.000)
(30.626)
(40.000)
45.878
(15.599)
30.280
40.000
70.280
70.280
(6.000)
(32.770)
(40.000)
52.310
(17.785)
34.524
40.000
74.524
13.200
25.000
112.724
==========================================>
==========================================>
Figura 2: Projeto de investimento com abordagem determinística.
Fonte: Elaborado pelos autores.
33.539
17,28%
Se todas as premissas ocorrerem conforme descrito na análise acima, o VPL do projeto
será de $33.539 e a TIR de 17,28%, indicando que o mesmo deve ser aceito. Contudo, se
considerarmos que algumas variáveis podem sofrer alterações ao longo do tempo, o VPL e a
TIR deverão mudar, podendo variar também a aceitação do projeto.
Neste caso, três variáveis serão simuladas: a taxa mínima de corte, o crescimento anual
das receitas e a receita inicial (ano 1). As simulações serão realizadas com o auxílio do
software Crystal Ball (CB).
O primeiro passo é definir as funções densidade de probabilidade para cada uma das
variáveis a serem geradas de forma aleatória. A figura 2 mostra as possíveis funções
densidade de probabilidade que podem ser utilizadas no Crystal Ball.
Figura 3: Opções de funções densidade de probabilidade no Crystal Ball.
Fonte: Crystal Ball.
11
Observa-se que existe um comando nesta janela denominado “fit...”, que corresponde
a uma ferramenta do CB, cuja função é analisar dados históricos de uma variável e, a partir de
testes estatísticos automáticos, sugerir a função densidade de probabilidade que mais se
encaixa para aquela variável. Na falta de dados históricos, a experiência do analista, apesar de
ser um fator subjetivo, se torna fator diferencial da análise.
Para a taxa mínima de corte a função densidade de probabilidade escolhida foi a
triangular, com um valor mínimo de 9% e máximo de 15%. Esta mesma função foi escolhida
para o crescimento anual das receitas, modificando os valores para um mínimo de 5% e
máximo de 9%. No caso das receitas, foi utilizada uma função normal, gaussiana, com média
de $100.000 e desvio-padrão de 10%, bloqueando a possibilidade da mesma ser menor do que
zero, ou seja, fazendo que a probabilidade da receita no ano 1 ser menor do que zero seja nula.
Abaixo seguem as figuras das configurações das funções densidade de probabilidade das
variáveis escolhidas.
Taxa Mínima de Corte
9%
11%
12%
14%
15%
Figura 4: Configuração da função densidade de probabilidade da Taxa Mínima de Corte.
Fonte: Crystal Ball.
Crescimento anual das receitas
5%
6%
7%
8%
9%
Figura 5: Configuração da função densidade de probabilidade do Crescimento anual das
receitas.
Fonte: Crystal Ball.
12
Receita Inicial
70.000
85.000
100.000
115.000
130.000
Figura 6: Configuração da função densidade de probabilidade da receita inicial.
Fonte: Crystal Ball.
Planilhas eletrônicas como o Excel tornam possível construir equação para a geração
de simulações de distribuições probabilidades triangulares simétricas, no caso de optar-se pela
não utilização de um software específico. A variável aleatória empregada no modelo de
simulação pode ser apresentada como:
x0 = a +
(b − a ) .(NA
0
2
+ NA0 )
(8)
Onde:
X0 = valor simulado
b = limite superior da distribuição
a = limite inferior da distribuição
NA= número aleatório gerado
Em distribuições triangulares simétricas, a média e o desvio podem ser apresentados
algebricamente como:
x=
a+b
2
a 2 − 2ab + b 2
sx =
24
(9)
12
(10)
No caso de uma distribuição normal é necessário fornecer a média e o desvio-padrão
associado à distribuição que se deseja simular. A variável a ser empregada no modelo de
simulação vai ser:
x0 = s x
Onde:
12
i =1
aleatórioi − 6 + x
(11)
13
X0 = valor simulado
sx = desvio-padrão da distribuição
x = média da distribuição
Com as variáveis definidas e os dados devidamente introduzidos no CB, é necessário
gerar iterações para que seja construída uma freqüência acumulada de resultados. Observa-se
que a parametrização sem o auxílio de um software específico é mais trabalhosa, complexa e
sujeita a erros.
Seguindo a análise com o CB, o próximo passo é definir a célula de saída das
iterações. No caso, o que interessa é verificar o impacto das simulações na projeção do VPL e
na TIR. Logo, tanto a célula do VPL, quanto a da TIR, deverão ser definidas como a previsão
de saída, conforme figura abaixo.
Figura 7: Definição da célula de saída (VPL).
Fonte: Crystal Ball.
Em seguida, pode-se rodar as simulações. O número de iterações vai depender do
analista, sendo que em média asApós as simulações é apresentado um diagrama de
freqüência. Este pode ser modificado para mostrar estatísticas, gráfico acumulado, dentre
outras opções.
Foram geradas 3.000 iterações com o auxílio do Crystal Ball. O VPL variou entre $37.496 e 111.118, sendo encontradas 22 variáveis consideradas outliers. O VPL médio foi de
$ 34.214, bem próximo do encontrado com o modelo determinístico. O desvio-padrão
encontrado foi de $ 22.192. Já a TIR variou entre 7,23% e 27,60%, sendo encontradas 19
outliers. A TIR média foi de 17,27%, também bastante próxima à taxa encontrada com o
modelo determinístico. O desvio-padrão da TIR foi de 3,19%. Seguem abaixo as distribuições
de freqüências do VPL e da TIR:
14
Forecast: VPL
3.000 Trials
Frequency Chart
22 Outliers
,025
76
,019
57
,013
38
,006
19
Mean = 34.214
,000
-22.868
5.759
34.386
63.012
Certainty is 93,80% from 0 to +Infinity $
0
91.639
Figura 8: Diagrama de freqüência do VPL.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Forecast: TIR
3.000 Trials
Frequency Chart
19 Outliers
,025
75
,019
56,25
,013
37,5
,006
18,75
Mean = 17,27%
,000
9,24%
13,30%
17,37%
21,44%
Certainty is 94,73% from 12,00% to +Infinity %
0
25,51%
Figura 9: Distribuição de freqüências acumulada da TIR.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Quando a distribuição de probabilidades simulada corresponder a uma distribuição
gaussiana, ou normal, é possível, com a utilização de uma tabela padronizada para valores de
Z e com base na média e no desvio-padrão dos resultados encontrados, encontrar a
probabilidade associada a valores presentes líquidos maiores que zero ou taxas internas de
retorno superiores à taxa mínima de corte.
Testes estatísticos para checar a normalidade dos resultados encontrados podem ser
feitos pela opção Overlay Chart, adicionando uma distribuição de freqüência por vez e
utilizando-se a ferramenta fit. Analisados os resultados, utilizou o teste do Qui-quadrado, pelo
qual pode-se aceitar ou rejeitar a hipótese de normalidade das distribuições de freqüências. No
caso da TIR, a hipótese de normalidade pode ser aceita (p-value = 0,0820). Para o VPL,
utilizou-se o mesmo teste anterior e também a normalidade foi aceita (p-value = 0,1148). As
figuras abaixo demonstram a adequação das distribuições à curva normal.
15
Overlay Chart
Frequency Comparison
,030
Normal Distribution
Mean = 34.214
Std Dev = 22.192
,023
,015
,008
VPL
,000
-40.000
-5.000
30.000
65.000
100.000
Figura 10: Adequação da curva normal à Distribuição de freqüências acumulada do VPL.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Overlay Chart
Frequency Comparison
,031
Normal Distribution
Mean = 17,27%
Std Dev = 3,19%
,023
,015
,008
TIR
,000
7,50%
12,50%
17,50%
22,50%
27,50%
Figura 11: Adequação da curva normal à Distribuição de freqüências acumulada da TIR.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Com as distribuições de freqüência encontradas, ambas similares à gaussiana, pode-se
chegar à conclusão que o projeto tem 93,8% de chances de ter um VPL positivo, e 94,73% de
probabilidade de ter uma TIR superior à Taxa Mínima de Corte, o que torna a decisão de
investimento muito mais aperfeiçoada. Especificamente neste caso o resultado da aceitação do
projeto envolve testes estatísticos e uma probabilidade quanto ao seu retorno.
O CB possui uma outra ferramenta de análise ainda mais avançada. Através da opção
Open Sensitivy Chart, pode-se notar quais das variáveis simuladas exercem maior impacto nas
variáveis de saída, no caso a TIR e o VPL. Abaixo seguem as figuras das análises de
sensibilidade da TIR e do VPL.
16
Sensitiv ity Chart
Target Forecast: TIR
Re ce it a Inicial
,99
Cre sc imento anu al das receitas
,14
T ax a Mín ima de Co rte
,04
G2
,03
C1 1
-,03
Cre sc imento anu al das receitas
-,03
-1
-0 ,5
0
0,5
1
0,5
1
Me asured by Rank Correlation
Figura 12: Análise de sensibilidade da TIR.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Sensitiv ity Chart
Target Forecast: VPL
Re ce it a Inicial
, 90
T ax a Mín ima de Co rte
-,34
Cre sc imento anu al das receitas
, 14
C1 1
-,03
G2
, 02
Cre sc imento anu al das receitas
-,02
-1
-0 ,5
0
Me asured by Rank Correlation
Figura 13: Análise de sensibilidade do VPL.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Através das análises de sensibilidade pode-se perceber que, no caso da TIR, o seu
resultado é influenciado diretamente pela receita inicial, correlação positiva, e em segundo
plano pela Taxa Mínima de Corte. O VPL também possui correlação positiva mais elevada
com a receita inicial, contudo a Taxa Mínima de Corte correlaciona-se negativamente com o
seu resultado.
Considerações finais
As análises de projetos de investimentos de longo prazo, quando em condições de
risco e incerteza, se analisadas pela abordagem determinística, que assume as variáveis como
sendo exatas, pode levar a uma decisão viesada.
No intuito de tentar minimizar este problema o Método de Monte Carlo, tenta, através
de uma série de simulações de resultados possíveis, encontrar uma probabilidade para a
17
viabilidade do investimento. As variáveis escolhidas têm suas funções densidade de
probabilidade definida e verifica-se o impacto na variável de saída, no caso o VPL.
Um modelo probabilístico pode auxiliar na analise das interações entre variáveis
incertas, representadas por uma faixa de valores possíveis, distribuídos em uma função
densidade de probabilidade.
Corroborando com as conclusões de Kelliher e Mahoney (2000), a simulação de
Monte Carlo pode ajudar os analistas a entender melhor o impacto da incerteza em suas
estimativas de valor, tornando as decisões de investimento muito mais acuradas, eficientes e
efetivas.
Neste trabalho, procurou-se utilizar o Método de Monte Carlo como uma ferramenta
adicional ao processo de tomada de decisão referente a um investimento. As probabilidades
encontradas no estudo, bem como as análises de sensibilidade das variáveis de saída (VPL e
TIR), contribuem para enfatizar a aceitação do investimento proposto.
Para tornar o modelo ainda mais eficiente é interessante que mais variáveis sejam
geradas de forma aleatório, e não apenas algumas conforme modelo descrito anteriormente.
No entanto, possuir informações suficientes das variáveis de modo que seja possível
enquadrá-las dentro de uma função probabilidade de densidade da forma mais eficiente
possível pode ser considerado um desafio.
Uma alternativa à utilização de softwares específicos para a simulação, como o
utilizado no modelo acima, é a criação de planilhas automatizadas com o auxílio de macros.
Referências
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‘Crystal Ball’. Cornell Hotel and Restaurant Administration Quarterly, Ithaca, v. 38, Iss. 5, p.
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n.3, p. 1-15, 2002. Disponível em: <http://read.adm.ufrgs.br/anterior/anterior.htm>. Acesso
em: 18 set. 2003.
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COSTA, L. G. A.; MANDARINO, D. Análise fundamentalista e análise das demonstrações
financeiras. FGV: Rio de Janeiro, 200?.
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EHRLICH, P. J. Pesquisa operacional. São Paulo: Atlas, 1988.
FERREIRA DE SOUZA; A.; BASTOS, D. D.; MARTELANC, R. Avaliação de empresas
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2003, São Paulo. Anais do VI SemeAd – Seminários de Administração da FEA/USP, São
Paulo:
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mar.
2003.
Disponível
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<http://www.ead.fea.usp.br/Semead/6semead/index.htm>. Acesso em: 18 set. 2003.
KELLIHER, C. F.; MAHONEY, L. S. Using Monte Carlo Simulation to improve long-term
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SMITH, D. J. Incorporating risk into capital budgeting decisions using simulation.
Management Decision, London, v. 32, Iss. 9, p. 20-26, 1994.
STEVENSON, W. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Harper & Row do Brasil,
1981.
1
Apesar das análises serem feitas com o uso de um software específico, outros softwares e abordagens feitas
com modelagem de dados são citadas, excluindo o artigo de qualquer caráter comercial.
2
Crystal Ball é oferecido pela Decisioneering Inc., Aurora, Colorado, USA.
3
@RISK é oferecido pela Palisade Corporation, Newfield, New York, USA.