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Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello
UFES – Universidade Federal do Espı́rito Santo
DI – Departamento de Informática
CEUNES – Centro Universitário Norte do Espı́rito Santo
DCEL – Departamento de Computação e Eletrônica
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Uniforme
Uma VA X tem distribuição uniforme com parâmetros α e β (com
β > α), se a sua função densidade de probabilidade é dada por:
(
f (x ) =
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
1
β−α ,
0,
para x ∈ [α, β]
para x ∈
6 [α, β]
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Distribuição Uniforme
Uma VA X tem distribuição uniforme com parâmetros α e β (com
β > α), se a sua função densidade de probabilidade é dada por:
(
f (x ) =
1
β−α ,
0,
para x ∈ [α, β]
para x ∈
6 [α, β]
Distribuição acumulada:
F (x ) =


 0,
x −α
β−α ,

 1,
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
para x < α
para α ≤ x < β
para x ≥ β
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Distribuição Uniforme
Uma VA X tem distribuição uniforme com parâmetros α e β (com
β > α), se a sua função densidade de probabilidade é dada por:
(
f (x ) =
1
β−α ,
0,
para x ∈ [α, β]
para x ∈
6 [α, β]
Distribuição acumulada:
F (x ) =


 0,
x −α
β−α ,

 1,
para x < α
para α ≤ x < β
para x ≥ β
Exemplo: aula anterior, ponteiro girando num cı́rculo.
⇒ X : ângulo formado com o eixo x .
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Uniforme (cont.)
Gráficos
f (x )
F (x )
1
β−α
1
α
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
β
x
α
β
x
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Distribuição Uniforme (cont.)
Gráficos
f (x )
F (x )
1
β−α
1
α
β
x
α
β
x
Métricas
E [X ] =
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
α+β
2
V (X ) =
(β − α)2
12
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Distribuição Exponencial
Forte relação com o modelo discreto de Poisson.
Poisson: modela o número de ocorrências em um perı́odo
contı́nuo.
Exponencial: VA contı́nua representa o intervalo de tempo
entre ocorrências.
Número X de
ocorrências do ⇒ Poisson
evento em [0, t)
× ×
0
×
| {z }
t
Tempo T até
a ocorrência ⇒ Exponencial
do evento
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Exponencial (cont.)
Exemplos
a
Tempo em minutos até a próxima consulta a um BD.
b
Tempo em segundos entre requisições a um servidor.
c
Distância em metros entre defeitos de um cabo.
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Exponencial (cont.)
Exemplos
a
Tempo em minutos até a próxima consulta a um BD.
b
Tempo em segundos entre requisições a um servidor.
c
Distância em metros entre defeitos de um cabo.
Suposições
As mesmas da distribuição de Poisson:
a
Independência entre ocorrências.
b
Taxa média de ocorrência constante no intervalo considerado.
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Exponencial – Formulação
Sejam os dois eventos equivalentes:
A primeira ocorrência ser depois do tempo t.
Nenhuma ocorrência em [0, t).
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Exponencial – Formulação
Sejam os dois eventos equivalentes:
A primeira ocorrência ser depois do tempo t.
Nenhuma ocorrência em [0, t).
Sejam as VAs:
X : número de ocorrências no intervalo [0, t).
T : intervalo de tempo entre as ocorrências.
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Exponencial – Formulação
Sejam os dois eventos equivalentes:
A primeira ocorrência ser depois do tempo t.
Nenhuma ocorrência em [0, t).
Sejam as VAs:
X : número de ocorrências no intervalo [0, t).
T : intervalo de tempo entre as ocorrências.
λ: taxa média de ocorrência por unidade de tempo.
⇒ X tem distribuição de Poisson com parâmetro λt.
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Exponencial – Formulação
Sejam os dois eventos equivalentes:
A primeira ocorrência ser depois do tempo t.
Nenhuma ocorrência em [0, t).
Sejam as VAs:
X : número de ocorrências no intervalo [0, t).
T : intervalo de tempo entre as ocorrências.
λ: taxa média de ocorrência por unidade de tempo.
⇒ X tem distribuição de Poisson com parâmetro λt.
Logo
T >t ⇔ X =0
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
.
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Distribuição Exponencial – Formulação (cont.)
Usando a definição da função de probabilidade para a distribuição
de Poisson, tem-se:
P(T > t) = P(X = 0) =
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
(λt)0 · e −λt
= e −λt
0!
.
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Distribuição Exponencial – Formulação (cont.)
Usando a definição da função de probabilidade para a distribuição
de Poisson, tem-se:
P(T > t) = P(X = 0) =
(λt)0 · e −λt
= e −λt
0!
.
Usando o evento complementar, define-se para todo t ≥ 0 a
distribuição acumulada de uma VA T com distribuição exponencial:
F (t) = P(T ≤ t) = 1 − e −λt
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
.
7/19
Distribuição Exponencial – Formulação (cont.)
Usando a definição da função de probabilidade para a distribuição
de Poisson, tem-se:
P(T > t) = P(X = 0) =
(λt)0 · e −λt
= e −λt
0!
.
Usando o evento complementar, define-se para todo t ≥ 0 a
distribuição acumulada de uma VA T com distribuição exponencial:
F (t) = P(T ≤ t) = 1 − e −λt
.
Assim, a função densidade de probabilidade é dada por:
f (t) =
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
d
F (t) = λe −λt
dt
.
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Distribuição Exponencial – Formulação (cont.)
Usando a definição da função de probabilidade para a distribuição
de Poisson, tem-se:
P(T > t) = P(X = 0) =
(λt)0 · e −λt
= e −λt
0!
.
Usando o evento complementar, define-se para todo t ≥ 0 a
distribuição acumulada de uma VA T com distribuição exponencial:
F (t) = P(T ≤ t) = 1 − e −λt
.
Assim, a função densidade de probabilidade é dada por:
f (t) =
d
F (t) = λe −λt
dt
.
Para t < 0 define-se F (t) = f (t) = 0.
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Exponencial (cont.)
Gráfico
f (t) = λe −λt
λ
P(T > t) = e −λt
t
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
t
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Distribuição Exponencial (cont.)
Gráfico
f (t) = λe −λt
λ
P(T > t) = e −λt
t
t
Métricas
E [T ] =
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
1
λ
V (T ) =
1
λ2
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Distribuição Exponencial – Exemplo
T : VA indicando o tempo de resposta para uma consulta em
um BD, em segundos.
Função densidade de probabilidade:
(
f (t) =
2e −2t , para t ≥ 0
0,
para t < 0
P(2 ≤ T ≤ 3) = ?
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Exponencial – Exemplo
T : VA indicando o tempo de resposta para uma consulta em
um BD, em segundos.
Função densidade de probabilidade:
(
f (t) =
2e −2t , para t ≥ 0
0,
para t < 0
P(2 ≤ T ≤ 3) = ?
P(2 ≤ T ≤ 3) =
Z 3
2e −2t dt
2
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Exponencial – Exemplo
T : VA indicando o tempo de resposta para uma consulta em
um BD, em segundos.
Função densidade de probabilidade:
(
f (t) =
2e −2t , para t ≥ 0
0,
para t < 0
P(2 ≤ T ≤ 3) = ?
P(2 ≤ T ≤ 3) =
Z 3
2e −2t dt
2
ou
P(2 ≤ T ≤ 3) = P(T ≥ 2) − P(T ≥ 3)
= e −2(2) − e −2(3) = e −4 − e −6 = 0.0158
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Normal
Importância
Permite modelar variados fenômenos naturais.
Pode ser usada para aproximar outras distribuições de
probabilidade.
Útil para inferência estatı́stica.
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Normal
Importância
Permite modelar variados fenômenos naturais.
Pode ser usada para aproximar outras distribuições de
probabilidade.
Útil para inferência estatı́stica.
Caracterı́sticas
A função densidade de probabilidade f tem forma de sino.
⇒ Evidência de que é mais provável que uma VA assuma
valores próximos da média.
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Distribuição Normal (cont.)
Função densidade de probabilidade
1
1
f (x ) = √ e − 2
σ 2π
x −µ
σ
2
,
−∞ < x < +∞
onde µ ∈ R e σ > 0 são os parâmetros da distribuição.
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Distribuição Normal (cont.)
Função densidade de probabilidade
1
1
f (x ) = √ e − 2
σ 2π
x −µ
σ
2
,
−∞ < x < +∞
onde µ ∈ R e σ > 0 são os parâmetros da distribuição.
Métricas
E [X ] = µ
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
V (X ) = σ 2
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Distribuição Normal – Gráficos
f (x )
µ−σ
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
µ
µ+σ
x
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Distribuição Normal – Gráficos
f (x )
µ−σ
µ
µ+σ
µ1 6= µ2 e σ1 = σ2
f (x )
µ1 = µ2 e σ1 6= σ2
f (x )
x
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
x
x
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Distribuição Normal – Observações
X : N(µ, σ 2 ) ⇒ X é uma VA com distribuição normal de
média µ e variância σ 2 .
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Normal – Observações
X : N(µ, σ 2 ) ⇒ X é uma VA com distribuição normal de
média µ e variância σ 2 .
P(X < µ − α) = P(X > µ + α), ∀α ∈ R (curva simétrica).
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Normal – Observações
X : N(µ, σ 2 ) ⇒ X é uma VA com distribuição normal de
média µ e variância σ 2 .
P(X < µ − α) = P(X > µ + α), ∀α ∈ R (curva simétrica).
limx →±∞ f (x ) = 0.
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Normal – Observações
X : N(µ, σ 2 ) ⇒ X é uma VA com distribuição normal de
média µ e variância σ 2 .
P(X < µ − α) = P(X > µ + α), ∀α ∈ R (curva simétrica).
limx →±∞ f (x ) = 0.
R +∞
−∞ f (x )dx = 1.
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Normal – Observações
X : N(µ, σ 2 ) ⇒ X é uma VA com distribuição normal de
média µ e variância σ 2 .
P(X < µ − α) = P(X > µ + α), ∀α ∈ R (curva simétrica).
limx →±∞ f (x ) = 0.
R +∞
−∞ f (x )dx = 1.
Se X1 : N(µ1 , σ12 ) e X2 : N(µ2 , σ22 ) são VAs independentes,
então ∀a, b ∈ R, Y = aX1 + bX2 tem distribuição normal com
E [Y ] = aµ1 + bµ2
V (Y ) = a2 σ12 + b 2 σ22
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Distribuição Normal – Observações
X : N(µ, σ 2 ) ⇒ X é uma VA com distribuição normal de
média µ e variância σ 2 .
P(X < µ − α) = P(X > µ + α), ∀α ∈ R (curva simétrica).
limx →±∞ f (x ) = 0.
R +∞
−∞ f (x )dx = 1.
Se X1 : N(µ1 , σ12 ) e X2 : N(µ2 , σ22 ) são VAs independentes,
então ∀a, b ∈ R, Y = aX1 + bX2 tem distribuição normal com
E [Y ] = aµ1 + bµ2
V (Y ) = a2 σ12 + b 2 σ22
Afastamentos da média, em unidades de desvio padrão,
preservam a mesma área sob a curva, independente dos
valores de µ e σ: 2σ = 0.683, 4σ = 0.955, 6σ = 0.997.
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Distribuição Normal Padrão
Seja X : N(µ, σ 2 ), então a VA
Z=
X −µ
σ
tem distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário.
Z : N(0, 1) é dita distribuição normal padrão.
Qualquer probabilidade de X pode ser calculada usando a
função densidade de probabilidade de Z .
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Distribuição Normal Padrão – Exemplo
X : VA normal com µ = 170 e σ = 10.
Z : VA com distribuição normal padrão.
Transformação do evento X > 180 no evento Z > 1:
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
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Distribuição Normal Padrão – Exemplo
X : VA normal com µ = 170 e σ = 10.
Z : VA com distribuição normal padrão.
Transformação do evento X > 180 no evento Z > 1:
f (z)
f (x )
P(Z > 1)
P(X > 180)
140 150 160 170 180 190 200
z=
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x
−3
−2
−1
0
1
2
3
z
x −µ
180 − 170
=
=1
σ
10
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Distribuição Normal Padrão – Tabela
Tabela 3, pág. 377, Barbetta et al.
(área na cauda superior)
z
0.0
0.1
0.2
...
0.00
segundo decimal de z
0.01
0.02 . . . 0.09
P(Z > 0.21)
0.4168
0 0.21
P(Z > 0.21) = 1 − Φ(0.21)
onde Φ é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
⇒ Tabela 3 fornece os valores 1 − Φ(z), para z = 0.01, . . . , 3.00.
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Distribuição Normal Padrão – Tabela (cont.)
P(−0.42 < Z < 0.42) =?
=
−0.42
0
0.42
0
−0.42
0
0.42
P(−0.42 < Z < 0.42) = 1 − 2(0.3372) = 0.3256
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Aproximando a Distribuição Binomial pela Normal
Condições: n grande e p̂ não muito próximo de 0 ou 1.
Parâmetros:
q
µ = np̂
σ = np̂(1 − p̂)
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Aproximando a Distribuição de Poisson pela Normal
Condições: λ grande.
Parâmetros:
√
µ=λ
Distribuições de Probabilidade Contı́nuas
σ=
λ
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