Universidade de Lisboa
Faculdade de Ciências, Departamento de Fı́sica
Electromagnetismo e Óptica
Série-3: Potencial Electrostático e Energia
Outubro de 2009
1. Duas cargas estão colocadas ao longo do eixo do xx; 5 µC a 10 cm, e −3µC
a 25 cm. Determine os pontos do eixo do xx onde o potencial eléctrico criado
pelas duas cargas é nulo.
R : x1 = 19, 4 cm x2 = 47, 5 cm.
2. Uma carga de 3 µC é trazida do infinito e fixada na origem dum sistema de
coordenadas. (a) Calcule o trabalho realizado neste processo. (b) Uma segunda
carga de 5 µC é trazida do infinito e colocada a 10 cm da primeira carga. Quanto
trabalho realiza o campo eléctrico da primeira carga durante o transporte da
segunda carga? Qual é o trabalho do agente externo que traz a segunda carga,
supondo que o transporte se faz com energia cinética constante?
R : a) W = 0 J; b) W = −1.35 J; c) WE = −W = +1.35 J
3. Qual é o trabalho necessário para transportar a carga +5q do infinito até ao
ponto onde está colocada na Fig1. ao longo da linha a tracejado? Assuma que
d = 1.40 cm e q = +1.6 × 10−19 C.
+4q
2d
o
43
+5q
o
60
d
-2q
infinito
Figura 1: Problema 3.
R : W = 0 J.
4. É estabelecida uma diferença de potencial entre duas placas condutoras planas
de 3000 V . Se uma pequena bola com 2 mg de massa e transportando uma carga
q = 10−7 C parte do repouso de um dos planos, com que velocidade chegará ao
outro plano?
R : vf = 17 m/s.
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5. Uma carga positiva q = 3.0 × 10−6 C é colocada 5 cm acima da origem dum
sistema de coordenadas, e uma carga negativa da mesma grandeza é colocada
5 cm abaixo da origem, ambas no eixo dos zz. Qual é a energia potencial de
uma carga positiva de grandeza 0.20 × 10−6 C colocada no ponto (30, 0, 50) cm?
R : U = 1.36 × 10−3 J
6. Considere um fio fino semi-circular de raio R, centrado na origem, com uma
distribuição uniforme de carga λ. Determine o potencial na origem.
R : V = λ/4ε0
7. Obtenha o potencial eléctrico devido a um anel carregado de raio a, com uma
distribuição uniforme de carga total Q, num ponto do eixo do anel. Partindo da
expressão do potencial obtenha a expressão do vector campo eléctrico ao longo
do eixo do anel.
R : Ex = Qx/[4πε0 (a2 + x2 )3/2 ].
8. O campo eléctrico no interior de um corpo esférico de raio R, com carga uniformemente distribuı́da em todo o volume, está dirigido radialmente e tem a
seguinte grandeza
Qr
E=
.
4πε0 R3
Aqui Q (que pode ser positiva ou negativa) é a carga total da esfera, e r é a
distância ao centro.
(a) Tomando V = 0 no centro da esfera, obtenha o potencial V (r) no interior
da esfera.
(b) Qual é a diferença de potencial electrostático entre um ponto da superfı́cie
e o centro?
(c) Se Q > 0, qual desses pontos tem um potencial mais elevado?
(d) Qual deve ser o potencial no centro para que o potencial à superfı́cie
seja V (R) = Q/4πε0 R, e obtenha o potencial no interior com estas novas condições.
R : a)Vdentro = (Q/8πε0 R)[−(r/R)2 ]. b) V (R) = −Q/8πε0 R c) O centro.
d) Vdentro = (Q/8πε0 R)[3 − (r/R)2 ], logo V (R) = /4πε0 R
9. Uma carga Q está distribuı́da uniformemente sobre a superfı́cie duma esfera
oca de raio R. Qual é o trabalho necessário para transportar com velocidade
constante esta carga para a superfı́cie duma esfera com metade do raio? Admita
que as cargas também ficam uniformemente distribuı́das na segunda esfera.
R : W = Q2 /8πε0 R.
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10. A partir da lei de Gauss, mostra-se que o campo eléctrico devido a uma distribuição linear, ilimitada de carga é dado por
~ =
E
λ
~er
2πε0 r
em que ~er é o vector unitário apontando radialmente para fora da linha de carga
e λ é a densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento). Derive
uma expressão para a diferença de potencial entre r = r1 e r = r2 a partir deste
resultado.
11. Considere três cargas pontuais Q1 , Q2 e Q3 colocadas nos vértices de um quadrado de lado 1 m (ver figura). A distância entre Q2 e o ponto P3 é 2 m.
(a) Qual é o potencial eléctrico, V , nos pontos P2 e P3 ? (Considere que o
potencial é V = 0 no infinito).
(b) Haverá pontos do espaço onde V = 0 (além do infinito)? Justifique a
resposta.
(c) Qual é a energia potencial electrostática do sistema?
(d) Calcule o vector campo eléctrico no ponto P1 .
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