QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS
Fundamentos da Matemática II
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
Alguns Lugares Geométricos
(Entregar todos os exercı́cios até o dia 18/05/2004)
1
Exercı́cios de revisão
Um lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfazem a uma ou
mais condições.
[01] Qual é o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a distância
de P até um ponto O (fixo) seja sempre igual a uma constante r?
[02] Dados dois pontos A e B, qual é o lugar geométrico dos pontos P do
plano tais que a distância de P até A seja igual a distância de P até B?
Analise os casos em que A e B sejam coincidentes ou não.
[03] Dadas duas retas r e s paralelas, qual é o lugar geométrico dos pontos P
do plano tais que a distância de P até r seja igual a distância de P até s?
Analise os casos em que r e s são coincidentes ou não.
[04] Dadas duas retas r e s concorrentes, qual é o lugar geométrico dos
pontos P do planos tais que a distância de P até r seja igual a distância
de P até s?
[05] Dados três pontos A, B e C, qual é o lugar geométrico dos pontos P do
plano que mantêm a mesma distância até A, B e C? Analise os vários
casos: A, B e C não-colineares, colineares e coincidentes.
[06] Dadas três retas r, s e t, qual é o lugar geométrico dos pontos P do
plano que mantém a mesma distância até r, s e t? Analise os vários
casos que advêm das várias posições relativas das três retas.
1
2
O arco capaz
Dados dois pontos A e B distintos, queremos encontrar o lugar geométrico
dos pontos P do plano com a propriedade de que a medida do ângulo ∠AP B
seja igual a uma constante pré-estabelecida. Veremos que este lugar geométrico é um arco de circunferência que passa por A e B, denominado arco
capaz do segmento AB (figura (1)).
Q
µ
O
P
µ
2µ
B
A
Figura 1: Para todo ponto P no arco capaz do segmento AB, vale que
m(∠AP B) = θ = m(∠AOB)/2.
Para construir o arco capaz de um segmento AB, trace a sua mediatriz e
o ângulo ∠ABC = θ dado (figura (2)). A perpendicular a AX traçada por A
encontra a mediatriz de AB em O, centro do arco capaz. O arco de centro O
e extremidades A e B situado no semi-plano (determinado por AB) oposto
a X é o arco capaz de ângulo θ sobre AB.
[07] Mostre que, seguindo as instruções de construção do arco capaz dadas
acima (veja a figura (2)), o ângulo central ∠AOB tem medida 2 θ.
Resta mostrar que, de fato, dado um ponto P qualquer no arco de centro O e extremidades A e B situado no semi-plano (determinado por AB)
oposto a X, tem-se sempre m(∠AP B) = θ = m(∠AOB)/2. Isto será feito
considerando-se três casos: quando P B é um diâmetro do arco capaz, quando
o centro O do arco capaz está no interior do ângulo ∠P AB e quando o centro O do arco capaz está no exterior do ângulo ∠P AB.
2
O
A
B
µ
µ
X
Figura 2: Construção do arco capaz do segmento AB usando régua e compasso.
[08] Na figura (3), P B é um diâmetro do arco capaz do segmento AB. Mostre que m(∠AP B) = m(∠AOB)/2.
[09] Na figura (4), o centro O do arco capaz do segmento AB está no interior
do ângulo ∠AP B. Mostre que m(∠AP B) = m(∠AOB)/2. Dica: use o
exercı́cio anterior.
[10] Na figura (5), o centro O do arco capaz do segmento AB está no exterior
do ângulo ∠AP B. Mostre que m(∠AP B) = m(∠AOB)/2. Dica: use o
exercı́cio anterior.
Como corolário importante, temos o seguinte resultado: se AB é um
diâmetro de uma circunferência, então m(∠AP B) = 90◦ para qualquer
ponto P desta circunferência..
3
P
O
A
B
Figura 3: P B é um diâmetro do arco capaz do segmento AB.
P
O
A
B
D
Figura 4: O centro O do arco capaz do segmento AB está no interior do
ângulo ∠AP B.
4
P
O
D
A
B
Figura 5: O centro O do arco capaz do segmento AB está no exterior do
ângulo ∠AP B.
Q
P
A
O
B
Figura 6: Se AB é um diâmetro de uma circunferência, então m(∠AP B) =
90◦ para qualquer ponto P desta circunferência.
5
3
Construção de alguns ângulos notáveis com régua e
compasso
[11] Como construir um ângulo de 90◦ usando régua e compasso? Justifique
a sua resposta.
[12] Como construir um ângulo de 45◦ usando régua e compasso? Justifique
a sua resposta.
[13] Como construir um ângulo de 60◦ usando régua e compasso? Justifique
a sua resposta.
[14] Como construir um ângulo de 30◦ usando régua e compasso? Justifique
a sua resposta.
4
Construção de triângulos com régua e compasso
[15] Como construir um triângulo ∆ABC tal que m(AB) = 4 cm, m(BC) =
3 cm e m(AC) = 2 cm? Justifique a sua resposta.
[16] É construir um triângulo ∆ABC tal que m(AB) = 5 cm, m(BC) =
3 cm e m(AC) = 1 cm? Justifique a sua resposta.
[17] (A desigualdade triangular) Que condição devemos impor sobre os
números a, b e c a fim de que seja possı́vel construir um triângulo ∆ABC
tal que m(AB) = a cm, m(BC) = b cm e m(AC) = c cm?
[18] Como construir um triângulo ∆ABC com as seguintes especificações:
m(AB) = 5 cm, m(∠ABC) = 45◦ , e m(BC) = 4 cm? Justifique a sua
resposta.
[19] Como construir um triângulo ∆ABC com as seguintes especificações:
m(∠CAB) = 45◦ , m(AB) = 4 cm, e m(∠CBA) = 30◦ ? Justifique a
sua resposta.
[20] Como construir um triângulo ∆ABC com as seguintes especificações:
m(AB) = 4 cm, m(∠CBA) = 60◦ e m(∠ACB) = 45◦ ? Justifique a sua
resposta.
[21] Como construir um triângulo ∆ABC com as seguintes especificações:
m(AB) = 4 cm, m(BC) = 5 cm e m(∠ACB) = 45◦ ? Quantos triângulos você encontrou com estas especificações?
6
5
Exercı́cios extras
[22] Mostre que as três mediatrizes de um triângulo sempre se cruzam em
um mesmo ponto.
[23] Mostre que as bissetrizes de um triângulo sempre se cruzam em um
mesmo ponto.
[24] Considere o mapa da figura (7). Deseja-se construir uma torre de transmissão T que tenha a mesma distância até as seguintes três cidades:
Itabuna, Ilhéus e Itajuı́pe. Indique, no mapa, onde construir tal torre
de transmissão.
Figura 7: Uma porção de um mapa do estado da Bahia.
7
Texto composto em LATEX2e, HJB, 11/05/2004.
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