Lista 1
MA-604 Espaços Métricos
2/3/2015
1. i) Veri…que que se d : X X ! R satisfaz as propriedades de uma distância então d (x; y) 0. ii) Veri…que que a desigualdade d (x; z) maxfd (x; y) ; d (z; y)g
implica na desigualdade triangular.
2. Para cada uma das seguintes distâncias em R2 descreva a bola aberta B (0; 1),
a bola fechada B [0; 1] e a esfera S (0; 1) (onde x = (x1 ; x2 ) e y = (y1 ; y2 )):
q
b)d (x; y) = maxfjx1 y1 j ; jx2 y2 jg
a)d (x; y) = (x1 y1 )2 + (x2 y2 )2
c)d (x; y) = (x1
y1 )3 + (x2
y2 )3
1=3
d)d (x; y) = jx1
y1 j + jx2
y2 j.
3. Se d é uma distância no conjunto X, mostre que as seguintes funções também
são distâncias
p
a) d1 (x; y) = d (x; y) b) d2 (x; y) = minf1; d (x; y)g
d (x; y)
.
1 + d (x; y)
Encontre outras funções f : R+ ! R+ tais que f
é uma distância.
c) d3 (x; y) =
d seja uma distância, se d
4. Mostre que se d1 e d2 são distâncias no conjunto X então d1 + d2 e cd1 , c > 0,
também são distâncias.
5. Mostre que d (x; y) = arctan jx yj é uma distância em R. ( Para a desigualdade triangular mostre antes que arctan (x + y)
arctan (x) + arctan (y),
usando o fato de que se f; g : R ! R são funções diferenciáveis tais que a)
f (0) = g (0) e b) f 0 (x) g 0 (x) para todo x 0 então f (x) g (x) para todo
x 0.)
6. Sejam (X; d1 ) e (Y; d2 ) espaços métricos. Mostre que a expressão
d ((x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 )) = maxfd1 (x1 ; x2 ) ; d2 (y1 ; y2 )g
de…ne uma distância no produto cartesiano X Y . Mostre que, em relação à
essa distância, a esfera S ((x; y) ; r) em X Y é dada por
(B [x; r]
S (y; r)) [ (S (x; r)
B [y; r]) :
7. Generalize o exercício anterior e construa uma distância em X1
(X1 ; d1 ), . . . , (Xn ; cn ) são espaços métricos.
1
Xn se
8. Seja (X; d) um espaço métrico. Mostre as seguintes igualdades
(a) B [x; r] =
(b) B (x; r) =
T
s>r
S
s<r
B (x; s) =
B [x; s] =
T
n2N
B (x; r + 1=n).
n2N
B [x; r
S
1=n].
9. Sejam (X; d) um espaço métrico, x; y 2 X e r > 0. Mostre as seguintes
a…rmações:
(a) Se y 2
= B [x; r] então existe s > 0 tal que B [x; r] \ B [y; s] = B [x; r] \
B (y; s) = ;. Conclua que B [x; r] é um conjunto fechado.
(b) Se y 2 B (x; r) então existe s > 0 tal que B (y; s)
que B (x; r) é um conjunto aberto.
B (x; r). Conclua
Mostre com um exemplo que a segunda a…rmação não vale em geral para
B [x; r] no lugar de B (x; r). Isto é a bola fechada pode não ser um conjunto
aberto.
Dê exemplo de um espaço métrico X e uma bola fechada B [x; r]
um conjunto aberto.
X que é
10. Sejam A1 ; : : : ; An subconjuntos limitados de um espaço métrico X. Mostre
que A = A1 [
[ An também é limitado. (Um subconjunto A de um espaço
métrico X é limitado se 9M > 0, 8x; y 2 A, d (x; y) < M .
11. Sejam d1 e d2 duas distâncias no mesmo conjunto X e denote por B1 (x; r)
e B2 (x; r) as bolas abertas de centro x e raio r > 0 em relação a d1 e d2 ,
respectivamente. Suponha que para todo r > 0 e todo x 2 X, B1 (x; r)
B2 (x; r). Mostre que d2 d1 , isto é, d2 (x; y) d1 (x; y) para todo x; y 2 X.
Mostre também que nesse caso se A é um conjunto aberto em relação a d2
então A é aberto em relação a d1 .
12. Sejam (X; d1 ) e (Y; d2 ) espaços métricos. Uma isometria entre X e Y é uma
aplicação f : X ! Y que satisfaz
d2 (f (x) ; f (y)) = d1 (x; y)
para todo x; y 2 X. Mostre que toda isometria é uma aplicação injetora. Dê,
se possível, um exemplo de uma isometria que não seja sobrejetora. Mostre
que se f é uma isometria bijetora então sua inversa f 1 também é isometria.
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13. Seja (X; d) um espaço métrico e f : Y ! X uma aplicação injetora. Mostre
que a função df : Y
Y ! R de…nida por df (a; b) = d (f (a) ; f (b)) de…ne
uma distância em Y . Mostre também que, em relação às distâncias df e d, f
é uma isometria.
14. Num espaço métrico (X; d) sejam A X um subconjunto não vazio e x 2 X.
De…na
d (x; A) = inf d (x; y) :
y2A
(a) Veri…que que se x 2 A então d (x; A) = 0. Dê, se possível, exemplos em
que d (x; A) = 0 e x 2
= A.
(b) Para um subconjunto não vazio A
X de…na
e = fx 2 X : d (x; A) = 0g:
A
ee
e Mostre também que para todo x 2 A
e e para todo
Mostre que A
= A.
r > 0, B (x; r) \ A 6= ;.
15. Seja jj jj uma norma no espaço vetorial V (sobre R) e considere a distância
d (x; y) = kx yk, de…nida por essa norma. Mostre que (V; d) é um espaço
métrico não limitado. (Um espaço métrico (X; d) é limitado se d é uma função
limitada, isto é, 9M > 0, 8x; y 2 X, d (x; y) < M .)
16. Seja (V; jj jj) um espaço vetorial normado. Mostre que as bolas abertas B (x; r)
e as bolas fechadas B [x; r] são conjuntos convexos. (Um conjunto C
V é
convexo se 8x; y 2 C, 8t 2 [0; 1], tx + (1 t) y 2 C, isto é, se o segmento entre
x e y está contido em C.)
17. Mostre que se jj jj é uma norma em R então existe a > 0 tal que jjxjj = a jxj
para todo x 2 R.
18. Seja A um conjunto e use a notação L (A; R) para indicar o conjunto de todas
as funções limitadas f : A ! R. Mostre que L (A; R) é um subespaço vetorial
do espaço das funções e que a expressão
jjf jj = sup jf (a)j
a2A
de…ne uma norma em L (A).
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19. Faça o mesmo que o exercício anterior substituindo (R; j j) por um espaço
vetorial normado (V; jj jj).
20. Considere o espaço vetorial C ([0; 1] ; R) = ff : [0; 1] ! R : f é contínuag.
Mostre que se 1 p < 1 então
jjf jjp =
Z
0
1
1=p
jf (x)jp dx
de…ne uma norma em C ([0; 1] ; R). Veri…que que essa expressão não é uma
norma no espaço das funções integráveis. Mostre também que se p q então
kf kp kf kq para toda f 2 C ([0; 1] ; R) (use a desigualdade de Hölder).
21. Denote por P
`2 o conjunto de todas as sequências x = (xn )n2N em R tais
que a série n 1 jxn j2 converge. Mostre que `2 é um subespaço vetorial do
espaço de todas as sequências (com as operações naturais: x + y = (x
Pn + yn ) e
ax = (axn )). Mostre também que se x; y 2 `2 então a série hx; yi = n 1 xn yn
converge absolutamente e de…ne um produto interno em `2 cuja norma é dada
P
2 1=2
.
por kxk2 =
n 1 jxn j
22. Para 1
pP< 1 seja `p o conjunto das sequências x = (xn )n2N em R tais
que a série n 1 jxn jp converge. Mostre que `p é um subespaço vetorial e que
P
p 1=p
é uma norma em `p .
kxkp =
n 1 jxn j
23. Com a notação do exercício anterior mostre que se p
q então `p
`q .
Mostre também que se p
q então Bq;p (0; 1)
Bp (0; 1) onde Bp (0; 1) é a
bola unitária em `p e Bq;p (0; 1) = Bp (0; 1) \ `p .
24. Seja (V; jj jj) um espaço vetorial normado. Se B (x; r) denota a bola aberta de
centro x 2 V e raio r > 0, mostre (i) B (x + y; r) = y + B (x; r); (ii) se r; r0 > 0
r
então B (0; r) = 0 B (0; r0 ). Use isso para mostrar que dada uma bola B (x; r)
r
existe uma aplicação bijetora fx;r : V ! V tal que fx;r (B (0; 1)) = B (x; r).
Mostre também que dados (x; r) e (y; r0 ) existe f : V ! V , bijetora, tal que
f (B (x; r)) = B (y; r0 ).
25. Dê, se possível, exemplos das seguintes situações.
(a) Um espaço métrico X tal que 8x 2 X, S (x; 1) = ;. (Notação: S (x; r) =
fy 2 X : d (x; y) = rg).
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(b) Um espaço métrico X e x 2 X tal que S (x; r) = ; para todo irracional
r.
(c) Uma distância d em R tal que (R; d) é um espaço métrico limitado.
(d) Uma distância d em R que não é proveniente de uma norma.
(e) Um conjunto X e duas distâncias d1 e d2 em X tal que a aplicação
identidade id : (X; d1 ) ! (X; d2 ) não é contínua.
(f) Dois subconjuntos disjuntos e não vazios A e B de um espaço métrico
(X; d) tal que inffd (x; y) : x 2 A; y 2 Bg = 0.
(g) Dois pontos x e y de um espaço métrico (X; d) tais que d (x; y) = 1 e
B (x; 1) \ B (y; 1) = ;.
(h) Uma distância d de…nida num espaço vetorial V que admite bolas que
não são conjuntos convexos.
(i) Uma aplicação linear f : V ! W entre os espaços vetoriais normados
(V; jj jj) e (W; jj jj1 ), que não é contínua.
(j) Um conjunto X e duas distâncias d1 e d2 em X tal que a aplicação
identidade id : (X; d1 ) ! (X; d2 ) é um homeomor…smo, mas não é uma
isometria.
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