Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear I
Profa Yane Lísley
2a Lista
Álgebra Linear, BOLDRINI, COSTA,
Resolver as seguintes questões do livro:
FIGUEIREDO e WETZLER. 3a edição.
PÁGINA
EXERCÍCIOS
130
11
133
29,30
134
35
171
2,3,4
172
9,11
173
14,17,19
Resolver também as questões a seguir:
Nas questões que seguem, todo espaço vetorial real tem dimensão nita.
1) Mostre que as seguintes funções são transformações lineares:
a) Sejam a ∈ R e Ta : R → R dada por Ta (x) = ax, ∀ x ∈ R.
b)
T :
R3
−→
M2×2 (R)
(a, b, c) 7−→ T (a, b, c) =
a+b
0
0
c−b
.
c) Sejam a1 , . . . , an ∈ R e
T :
Rn
−→
R
(x1 , . . . , xn ) 7−→ T (x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + · · · + an xn
d) T : M2×2 (R) → M2×2 (R) dada por T (X) = M X + X, onde
M=
1 0
0 0
.
e) T : M2×2 (R) → M2×2 (R) dada por T (X) = M X − XM, onde
M=
1 2
0 1
.
f) T : R2 → P2 (R) dada por T (a, b) = ax2 + bx + (a + b).
2) Quais das funções abaixo são transformações lineares?
a) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x, 2y , 2z ).
174
21,23
b) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (3x, a, 5z), onde a ∈ R.
c) T : R4 → R3 dada por T (x, y, z, w) = (x − w, y − w, x + z).
d) T : M2×2 (R) → R dada por T
a b
c d
= ad − bc.
3) Considere uma transformação linear T : V → W , onde V, W são R-espaços vetoriais tais que
dimR W < dimR V < ∞.
a) Mostre que existe um elemento não-nulo v ∈ V tal que T (v) = 0.
b) Se A é uma base arbitrária de V , existe sempre um vetor v ∈ A tal que T (v) = 0? Mostre ou
dê um contra-exemplo.
4) Mostre que a composta de transformações lineares é linear.
5) Sejam V um R-espaço vetorial e T : V → V uma transformação linear tal que T ◦ T = T . Seja
W = {v ∈ V | T (v) = v} e U = {u ∈ V | T (u) = 0}. Mostre que:
a) V = W ⊕ U ;
b) T (V ) = W ;
c) T (U ) = {0}.
6) Determine quatro transformações lineares de R3 em R3 cujos núcleos tenham dimensões 0, 1, 2
e 3, respectivamente.
7) Determine o núcleo e a imagem da seguinte transformação linear:
a) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x − y, x + y).
8) Seja V um R-espaço vetorial de dimensão n.
a) Se n for ímpar, mostre que não existe transformação linear T : V → V tal que Im(T ) = Ker(T ).
b) Mostre que armação a) é falsa se n for par.
9) Sejam U, V espaços vetoriais sobre R e T : U → V uma transformação linear.
a) Mostre que T é injetora se, e somente se, T leva cada subconjunto linearmente independente
de U em um subconjunto linearmente independente de V .
b) Mostre que T é sobrejetora se, e somente se, T leva cada conjunto de geradores de U em um
conjunto de geradores de V .
2
10) Mostre que se T : V → W é uma transformação linear injetora, então dimR V ≤ dimR W .
11) Mostre que a inversa de uma transformação linear bijetora é também linear.
12) Mostre que cada uma das transformações lineares de R3 em R3 a seguir é invertível e determine
a transformação linear inversa:
a) T (x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z, −z).
b) T (x, y, z) = (x, x − y, 2x + y − z).
13) Seja T : R2 → R2 o operador linear dado por T (a, b) = (a + b, a), ∀ (a, b) ∈ R2 . Mostre que
T é um isomorsmo e exiba T −1 .
14) Sejam V, W espaços vetoriais sobre R de dimensão nita e T : V → W uma transformação
linear injetora. Mostre que W tem um subespaço isomorfo a V .
15) Seja T : R3 → R3 tal que


1 2 1
 0 1 1 ,
[T ]C
C =
−1 3 4
onde C denota a base canônica do R3 . Encontre uma base de Im(T ) e uma base de Ker(T ).
16) Determine a matriz do operador de derivação D : Pn (R) → Pn (R) relativamente à base
{1, t, t2 , . . . , tn }.
17) Sejam V um R-espaço vetorial e T : V → V um operador linear. Mostre que T 2 = 0 se, e
somente se, Im(T ) ⊆ Ker(T ).
18) Mostre que se V e V 0 são isomorfos e que se W e W 0 são isomorfos, então L(V, W ) é isomorfo
a L(V 0 , W 0 ).
3