Determinante
Determinante de uma matriz quadrada
É um escalar pertencente ao corpo Ω de definição dos elementos
da matriz.
O cálculo do determinante de uma matriz de ordem n pode
ser calculado com base:
. no Teorema de Laplace
. no cálculo das permutações pares e ímpares de n objectos
ÁLGEBRA
Determinantes - 1
Determinante
Determinante de uma matriz quadrada
O determinante uma matriz A de ordem n sobre um corpo Ω é um
escalar pertencente Ω, denotado por det(A) ou |A|, calculado por:
1.
se A tem dimensão 1, det(A) = A11;
2.
se A tem dimensão 2, det(A) = A11 A22 -A12 A21;
3.
se A tem dimensão n, o determinante de A pode exprimir-se como
a soma dos produtos de cada um dos elementos de uma fila de A
(linha ou coluna) pelo determinante de uma matriz (n-1)×(n-1)
obtida eliminando em A a linha e a coluna contendo o elemento em
questão; antes da soma ser efectuada, as parcelas produto são
afectadas de um sinal positivo ou negativo.
ÁLGEBRA
Determinantes - 2
Desenvolvimento Laplaciano
Cofactor ou complemento
algébrico do elemento A21
A=
A11
A21
A2 " A1n
A22 " A2 n
#
An1
# % #
An 2 " Ann
+ A22 (−1) 2+ 2
= A21 (−1) 2+1
A11
A21
A2 " A1n
A22 " A2 n
#
An1
# % #
An 2 " Ann
A11
A21
A2 " A1n
A22 " A2 n
#
An1
# % #
An 2 " Ann
+ ... + A2 n (−1) 2+ n
+
A11
A21
A2 " A1n
A22 " A2 n
#
An1
# % #
An 2 " Ann
Desenvolvimento Laplaciano ao longo da 2ª linha da matriz
ÁLGEBRA
Determinantes - 3
Regra de Sarrus
Cálculo de determinantes de matrizes de ordem 3
a1
b1
c1
A = a2
b2
c2 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − c1b2 a3 − c2b3a1 − c3b1a2
a3
b3
c3
A regra de
Sarrus só é
válida para
determinantes
de 3ª ordem
ÁLGEBRA
+ a1
+ a2
b1
b2
c1 −
c2 −
+ a3
b3
c3 −
a1
a2
b1
b2
c1
c2
+
+
+
a1
b1
c1 a1
b1
a2
a3
b2
b3
c2 a2
c3 a3
b2
b3
−
−
−
Determinantes - 4
Propriedades dos determinantes
D1 – Se a matriz B resulta da matriz A por troca de duas filas paralelas
(linhas ou colunas), então
|B| = - |A|
D2 – Se a matriz B resulta da matriz A por multiplicação de cada um dos
elementos de uma fila (linha ou coluna) por um escalar λ, então
|B| = λ |A|
D3 – Se a matriz B resulta da matriz A por adição à fila (linha ou coluna) j
de um múltiplo da fila (linha ou coluna) i, então
|B| = |A|
Operações elementares alteram de forma controlada os
valores dos determinantes das matrizes
ÁLGEBRA
Determinantes - 5
Propriedades dos determinantes
D4 – |In| = 1
D5 – Se A tem duas filas paralelas iguais, |A| = 0
D6 – Se A tem uma fila com elementos todos nulos, |A| = 0
D7 – As filas paralelas de uma matriz A são linearmente independentes
se e só se o determinante da matriz é não nulo
D8 – O determinante de uma matriz triangular (diagonal) é o produto dos
elementos da diagonal principal
D9 – |A| = |At|
D10 – Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, |AB|=|A||B|
ÁLGEBRA
Determinantes - 6
Cálculo da matriz inversa
Cálculo da matriz inversa usando determinantes
Uma matriz A, quadrada de ordem n, tem inversa A-1 se e só se o seu
determinante é diferente de zero.
São afirmações equivalentes:
- a matriz tem característica n;
- as linhas/colunas da matriz são linearmente independentes;
- a matriz tem determinante não nulo;
- a matriz tem inversa.
O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz.
A−1 =
1
A
ÁLGEBRA
Determinantes - 7
Cálculo da matriz inversa
Matriz dos cofactores
A matriz dos cofactores da matriz A, C(A), é a matriz que se obtém
substituindo cada elemento Aij pelo respectivo cofactor. Esta matriz
também é designada por matriz dos complementos algébricos.
 C11 C12
C
C22
 21
#
 #
C ( A) = 
 Ci1 Ci 2
 #
#

Cn1 Cn 2
ÁLGEBRA
" C1 j " C1n 
" C2 j " C2 n 

% #
#
# 

" Cij " # 
#
# % # 

" Cnj " Cnn 
Cij = (−1)i + j
A11
A12
A21
#
A22
#
Ai1
#
Ai 2
#
An1
An 2
" A1 j " A1n
" A2 j " A2 n
% #
#
#
"
#
"
Aij
#
Anj
" #
% #
" Ann
Determinantes - 8
Cálculo da matriz inversa
Matriz adjunta clássica
A matriz adjunta clássica da matriz A, Adj(A), é a matriz transposta
da matriz dos cofactores.
 C11 C21
C
C22
t
12

Adj( A) = [C ( A) ] =
#
 #

C1n C2 n
" Cn1 
" Cn 2 

% # 

" Cnn 
Matriz inversa
A matriz inversa pode ser calculada pela fórmula
A −1 =
ÁLGEBRA
1
1
t
Adj( A) = [C ( A) ]
A
A
Determinantes - 9