COLÉGIO ISAAC NEWTON
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
(P.G.)
PROF. LUCIANO VIEIRA
Fonte: Trabalho de Prática IV - UFMS
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
Definição: é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo
é igual ao produto do termo anterior com uma constante q . O número q é
chamado razão da progressão geométrica.
A P.G. também é um tipo de seqüência bastante presente no nosso
cotidiano.
Observe a situação:
“Em 2007, uma empresa produziu 200.000 peças de um produto. A
empresa fez uma previsão que a cada ano, sua produção deve aumentar
em 10% em relação ao ano anterior. Quantas peças serão produzidas a
cada ano até 2012?”.
(200.000, 220.000, 242.000, 266.200, 292.820, 322.102)
REPRESENTAÇÃO
CLASSIFICAÇÃO
P.G. (a1, a2, a3, ..., an)
P.G. FINITA: nº finito de termos

a1 é o 1º termo da P.G.;
Exemplo:

n é o nº de termos da P.G.;


an é o último termo da P.G. ou o termo
procurado ou o enésimo termo;

q é a razão da P.G.
O CÁLCULO DA RAZÃO
Podemos
usar
duas
fórmulas
para
encontrarmos a razão de uma P.G.
a 2 a3
q=
=
a1 a2

a1 = 3

a4 = an = 24

n=4

q=2
P.G. INFINITA: nº infinito de termos
Exemplo:
Vejamos:

(3, 6, 12, 24)
...
an
,n ≥ 3
• q = n-1
a1

(2, 8, 32, 128, 512, ...)

a1 = 2

q=4
P.G. CRESCENTE: o termo posterior é maior que o anterior. Para que isso
aconteça, é necessário e suficiente que a1  0 e q  1, ou a1  0 e 0  q  1.
Exemplos:

(2, 4, 8, ...); q = 2

(-4, -2, -1, -1/2, ...); q = 1/2
P.G. DECRESCENTE: o termo posterior é menor que o anterior. Para que isso
aconteça, é necessário e suficiente que a1  0 e 0  q  1, ou a1  0 e q  1.
Exemplos:

(8, 4, 2, 1, ½, ...); q = ½

(-1, -2, -4, -8, ...); q = 2
P.G. CONSTANTE: todos os termos da P.G. são iguais, ou seja q = 1
Exemplo:

(5, 5, 5, 5, ...); q = 1
P.G. OSCILANTE: todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos
consecutivos quaisquer têm sinais oposto. Para que isso aconteça, é
necessário e suficiente que a1  0 e q  0.
Exemplo:

(3, -6, 12, -24, 48, -96, ...); q = -2
P.G. QUASE NULA: o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais
são iguais a zero, isto é, a1  0 e q = 0.
Exemplo:

(9, 0, 0, 0, 0, ...); q = 0
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G.
Voltando
P.G.
a
(200.000,
podemos
calcular
situação
220.000,
a
da
empresa,
242.000,
quantidade
de
266.200,
onde
temos
292.820,
a
322.102),
peças produzidas ano
a
ano
multiplicando a produção inicial por potências 1,1 (110%).
Assim, se quiséssemos saber a produção no ano de 2010, teríamos:
a1 = 200.000 q = 1,1
Logo, a produção do ano de 2010 seria:
a2010 = a1 . q3  a2010 = 200.000 . (1,1)3  a2010 = 200.000 . 1,331  a2010 = 266.200
Observem que 266.200, corresponde ao 4º termo da P.G.
Assim,
podemos
todos os termos da P.G. da
seguinte maneira:
Portanto, qualquer termo an é
escrever
igual
ao
produto
de
a1
pela
potência q(n – 1), ou seja, a fórmula
do termo geral da P.G. é expressa
por:

a1 = a1 . q0

a2 = a1 . q1

a3 = a1
.q2

a4 = a1 . q3

a5 = a1 . q4

a6 = a1 . q5
an = a1 . q(n - 1)
onde,

an é o último termo da P.G. ou
o
termo
desejado
ou
o
enésimo termo;

a1 é o primeiro termo da P.G;

n é o número de termos da
P.G.

q é a razão da P.G.
A fórmula do termo geral da P.G. nos permite calcular a lei de
formação de uma P.G., a razão (q), o número de termos (n), o primeiro
termo (a1) e o último termo ou o termo desejado (an).
Exemplos:
Dê a fórmula do termo geral ou lei de formação da P.G. (2, 4, ...).
1.

an = a1 . q(n – 1)  an = 2 . 2(n – 1)  an = 2(n)
Qual o quarto termo da P.G. (2, 8, ...)?
2.

a4 = 2 . 4(4 – 1)  a4 = 2 . 43  a4 = 128
Quantos elementos tem a P.G. ( 3, 6, ..., 192)?
3.

192 = 3 . 2(n – 1)  192  3 = 2(n – 1)  64 = 2(n – 1)  n = 8
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.G.

Três termos:


x

2
 q , x , xq  , com razão q, se q  0 ou x , xq, xq , com razão q




Cinco termos:
 x
x
2 
,
,
x
,
xq,
xq

 ou
2
q
q



 x , xq, xq
2
, xq3 , xq4

Para P.G. com número par de termos, ou seja, sem termo central,
usamos uma notação diferente em que o q da razão é em função de outro
número qualquer, ou seja, q = y2.

Dois termos:

x

,
xy
y



Quatro termos:



 x x
3
x, xq, xq , xq com razão q ou  3 , , xq, xq  com razão q2 se q  0
q q

2
3

PROPRIEDADES DA P.G.

P1 – Média Geométrica
Uma seqüência de três termos em que o primeiro é diferente de zero, é
P.G. se, e somente se, o quadrado do termo médio (am) é igual ao produto
dos outros dois, isto é, sendo a  0, temos:
(a, b, c) é P.G.  b2 = a .c
Demonstração:
Vamos analisar duas hipóteses: b  0 ou b = 0
1ª hipótese: b  0
2ª hipótese: b = 0
Como a  0 e b  0, temos:
Como a  0 e b = 0, temos:
b c

a,
b,
c
é
P.G




a b

e
b c
   b 2  ac
a b
Logo: (a, b, c,) é P.G.  b2 = ac
 a, b, c  é P.G.  c  0

e

2
c

0

b
 ac

Logo: (a, b, c,) é P.G.  b2 = ac

P2 – Produto dos termos eqüidistantes
Numa P.G finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos
é igual ao produto dos extremos.
Seja a P.G. (a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an), temos:
a1 . an = a2 . an – 1 = a3 . an – 2 ...
Exemplo:
(2, 4, 8, 16, ..., 32, 64, 128, 256)
16.32  512
08.64  512
04.128  512
02.256  512
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolar, inserir ou intercalar meios geométricos entre dois
números dados (extremos) é obter uma P.G. na qual os números dados
sejam o primeiro e o último termo. Para isso devemos calcular a razão
dessa P.G.
Exemplo:
1.
Interpolar 4 meios geométricos entre 1 e 243.
Observemos que a1 = 01, an = 243 e n = 06 (04 meios + 02 extremos).
Então, falta calcular a razão da P.G. para que possamos inserir os meios.
Logo,
q  n1
an
a1
243
q  6 1
1
q  5 243
q3
P.G. 1, 3, 9, 27, 81, 243 
Assim, an é igual a a6 .
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.
A soma dos n termos de uma P.G. (an) de razão q  1 é dada pelas
fórmulas:
1 q 

a 
n
S
n
S
n
1 q
1

a 
 Sn
1
Onde,

qn  1
q1
an  q  a1


q1
Sn = soma dos n termos da P.G.;
a1 = 1º termo da P.G;
n = número de termos da P.G;
q = razão da P.G.
an = enésimo termo da P.G.
Exemplo:

qn 1

=3

Dada a P.G. (3, 6, ...), determine
1.
a soma de seus 4 primeiros
termos.

Sn = a1

q 1
Primeiro vamos retirar os
dados que o exercício nos
fornece:

a1 = 3

n=4

q = a2  a1  q = 2

P.G. até o 4º termo (3, 6,
12, 24)

an = a4 = 24
Agora é só aplicar a fórmula da
soma.
S4
24  1
21
16  1

S4 = 3 
1
S 4 = 3  15
S 4 = 45
SOMA DOS INFINITOS TERMOS DA P.G.
Nas progressões geométricas em que -1 < q < 1, a soma dos n
primeiros termos tem um limite finito quando n   . Neste caso, qn
aproxima-se de zero para n suficientemente grande, ou seja,
Sabemos que
1 q 

a 
,q  1
n
Sn
1
1 q
Logo,
lim S n  a1
n
Isto é:
1  0


1 q
a1
lim Sn 
, 1  q  1
n 
1 q
lim qn  0
n
Exemplo:
1.
Calcule o limite da soma dos termos da P.G.  1 , 1 , 1 , 1    


 2 4 8 16

Neste caso,
1
2
1
q
2
a1 
Então:
1
2
1
a
lim Sn  1 
 2 1
n
1 1
1 q
1
2 2
Logo, lim Sn  1
n
Isso significa que quanto maior for n, a soma 1  1  1  1      1    
n
será mais próxima de 1.
2
4
8
16
2
PRODUTO DOS TERMOS DA P.G.
O produto Pn dos n termos de uma P.G. pode ser obtido por duas
maneiras:
•
Primeira maneira:

Pn 
n n  1 
a1n  q 2
Segunda Maneira:
Pn  
 a1  an 
n
Exemplo:
Determine o produto dos 04 primeiros termos da P.G. (3, 6, ...).
1.

Pela primeira maneira
P4  3 
4
4. 4  1
2 2
•
Pela segunda maneira
P4  
 3  24 
P4  81  26
P4   724
P4  81  64
P4  722
P4  5184
P4  5184
4
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA P.G.
an = a0 . qn
an
a4

a3

a2

a1
a0 

n
0
1
2
3
4
COMO DIFERENCIAR P.A DE P.G
Não existe outra maneira senão calculando a razão da seqüência
apresentada.
Exemplo:
1.
Dada a seqüência (1, 2, 4, 8, 16, 32,...), verifique se é P.A. ou P.G.
Resolução: de cara vemos que não se trata de P.A., pois:
2 – 1 = 1;
4 – 2 = 2;
8 – 4 = 4.
Verifiquemos se é P.G.
2  1 = 2;
4  2 = 2;
8  4 = 2.
Portanto, temos que a seqüência dada é uma P.G.
COMPARAÇÃO DOS GRÁFICOS DE P.A. E P.G.
Thomas Malthus
“A produção de alimentos cresce
em progressão aritmética
enquanto a população cresce
em progressão geométrica”.
Conclusão: Fome Mundial
BIBLIOGRAFIA

Dante, Luiz Roberto. Matemática Contextos e Aplicações Volume Único. São Paulo. Ática.
2009.

Paiva, Manoel. Matemática Volume Único. São Paulo. Moderna. 2003.

Silva, Claudio Xavier da; Filho, Benigno Barreto. Matemática Aula por Aula. São Paulo.
FTD. 2005;

Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo. Atual.
2004;

Souza, Maria Helena de. Spinelli, Walter. Matemática. São Paulo: Ática, 1999.

http://www.seufuturonapratica.com.br/intellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/Artigo_Valer
ia.pdf - Consultado em 06/10/2009 às 11:46;

http://www.somatematica.com.br/emedio2.php. Consultado em 06/10/2009;

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/progressao.htm.
06/10/2009;

http://images.google.com.br/;
Consultado
em
JOGANDO COM A P.A.

Objetivos: estruturar seqüências lógicas, na forma de uma Progressão
Aritmética, onde exista:

- uma razão (r)

- um 1º termo (a1)

- o número de termos (n)

- o último termo da seqüência (an).

O número de termos será fixo em todos os jogos, pois equivale ao número
de cartas, seis.

Diante disso, para a confecção do jogo será utilizado: tesoura; régua;
lápis; pincel atômico ou caneta; papel cartão ou cartolina da cor desejada.

O número de participantes do jogo pode variar entre 3 a 5, a critério do
professor e da disponibilidade da sala.

Seguiremos os seguintes passos para a confecção do material a ser
utilizado durante o jogo:

Primeiro passo: Riscamos no papel cartão ou cartolina retângulos 6 cm x 8
cm, que serão as cartas.

Segundo passo: Enumeramos as cartas de 1 a 30, duas vezes, totalizando
60 cartas.

Terceiro passo: Recortamos os retângulos.

Quarto passo: Depois de pronto, embaralhamos e iniciamos o jogo.

O desenvolvimento do jogo “Jogando com a P. A.” acontece da seguinte
forma:

Um dos jogadores distribui seis cartas a cada participante, uma a uma.

De acordo com as cartas em mãos, cada jogador raciocina de maneira
lógica, e define qual será a razão de sua seqüência. Essa razão deve variar
de dois a cinco, impreterivelmente. Essa razão pode ser modificada de
acordo com a estratégia do jogador e o andamento do jogo. A razão
escolhida deve ser mantida sobre sigilo.

O jogador à direita de quem distribuiu as cartas, pega uma carta e
descarta outra que não é compatível à sua seqüência.

As cartas descartadas só podem ser adquiridas pelo jogador à direita do
descartante.

Esse movimento continua até o final do jogo, em sentido anti-horário.

O jogador que errar a seqüência ou os termos da P.A. sai do jogo e os
outros participantes continuam.

Caso as cartas acabem sem nenhum dos participantes ter completado sua
seqüência, todas as cartas que foram descartadas serão embaralhadas e
adquiridas novamente até uma seqüência ser completada.

Será considerado vencedor do jogo, quem completar primeiro sua
seqüência, com a razão escolhida, e falar aos outros participantes qual é a
razão, e os termos, a1, an e n.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1.
Dada a P.A. (-19, -15, -11, ...), calcule o seu enésimo termo.
2.
Encontre o valor de x para que a seqüência (2x, x + 1, 3x) seja um P.A..
Escreva a P.A. e dê o valor da razão.
3.
A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Quantos termos
tem a P.A.?
4.
Qual a soma dos termos da P.A. (-16, ___, -12, ___, ..., 84)?
5.
Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em P.A..
Determine o termo am dessa seqüência.
6.
Qual é o vigésimo termo da P.A. (2, 8, ...)?
7.
Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual a razão da
P.A. obtida?
8.
Três números estão em P.A; o produto deles é 66 e a soma é 18. Calcule
os três números, e escreva as P.A..
9.
No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma
montadora esta em P.A. crescente. Em janeiro, a produção foi de 18.000
carros, e em junho, de 78.000 carros. Qual foi a produção dessa
montadora nos meses de fevereiro, março, abril e maio?
10.
O jardim de uma praça pública possui 60 roseiras plantadas ao lado de
um caminho reto e separadas a uma distancia de um metro uma da
outra. Para regá-las, o jardineiro enche um regador em uma torneira
que também esta ao lado do caminho e a 15 metros antes da primeira
roseira. A cada viagem, ele rega três roseiras. Começando e terminando
na torneira, qual a distancia total que ele terá de caminhar até regar
todas as roseiras?
11.
Três números estão em P.G.; o produto deles é 729 e a soma 39. Quais
são esses números? Escreva as P.G.?
12.
Numa P.G. (2, 1, ...), qual o seu enésimo termo?
13.
Numa P.G. crescente, o primeiro termo é 3 e o quinto termo é 30.000.
Qual a razão da P.G.?
2 eq= 2 ?
14.
Qual o oitavo termo de uma P.G. na qual a1 
15.
Quantos meios geométricos existe entre 1/16 e 64 com razão 4?
16.
Determine x de modo que (5, 2x + 4, 6x + 2) seja uma P.G.
17.
Obtenha o 11º termo da P.G. (1/27, 1/9, 1/3, ...) e a soma dos 11
primeiros termos.
18.
Na P.G. (a1, a2, a3, ...) de razão q = 2, sabe-se que a soma dos 08
primeiros termos é 765. Determine o valor de a1.
19.
Qual a soma dos infinitos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4, ...)?
20.
No primeiro semestre de 2007, a produção mensal de uma indústria
cresceu em P.G.. Em janeiro, a produção foi de 1.500 unidades e em
junho foi de 48.000 unidades. Qual foi a produção dessa indústria nos
meses de fevereiro, março, abril e maio?
21.
Dê o produto dos n termos da P.G. (1, -3, 9, -27).
22.
Calcule a soma dos 30 primeiros múltiplos positivos de 3.
23.
Calcule x e y, para que a sucessão (2, x, 2x +6, y) seja uma P.G.
crescente.
24.
Sabe-se que (x, 3x – 1, 8x – 4) é uma P.G.. Calcule x e a razão.
25.
A sucessão (1, a, b) é uma P.A., e a sucessão (1, a, b + 1) é uma P.G..
Calcule a e b.
26.
São dados três números inteiros em P.G. cuja soma é 26. Determine
esses números sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do
terceiro formam uma P.A..
27.
Na P.G. (2, 4, 8, ...), qual é a posição do termo 1024?
28.
Complete a P.G. (9/4, ___, ___, ___, ___, 8/27).
29.
Determine a soma de todos os naturais múltiplos de 4 que possuem 02
algarismos.
30.
Verifique se a sucessão é uma progressão, classifique-a e dê a razão.
 2, 2
2, 4, 4 2, 8, 8 2, 16
