28.03.2008
Terceira lista de exercı́cios — Álgebra linear
Depto. de Matemática – UnB
1. a) Sendo ~a, p~ ∈ Rn, ~a 6= ~0, e a reta
r:
~x := t~a + p~,
com t ∈ R variando,
forneça e depois demonstre uma condição necessária e suficiente com respeito ao ponto p~
para que a reta r permaneça invariante —ou seja, para quais pontos p~ (todos os possı́veis) a
reta r não muda!
b) O mesmo para planos.
c) E o mesmo para hiperplanos.
d) Sejam ~a ∈ Rn não-nulo, d ∈ R e o hiperplano
Ω
:=
{ ~x ∈ Rn k h~a, ~xi = d }.
Forneça e depois demonstre uma condição necessária e suficiente com respeito a d para que
o hiperplano passe pela origem ~0.
2. Sejam, no Rn, com n ≥ 3, um plano α gerado por dois vetores não-colineares ~a e ~b e que passa
por um ponto p~ e dois vetores também não-colineares ~v e w
~ contidos em α, isso é, ~v e w
~ são
gerados por ~a e ~b.
a) Se ~v é não-colinear a ~b, mostre que o plano β gerado por ~v e ~b e que passa pelo ponto p~ é
igual a α.
b) Mostre que o plano γ gerado ~v e w
~ e que passa pelo ponto p~ é igual a α.
c) Mostre que três vetores não-nulos e perpendiculares entre si não podem estar contidos no
mesmo plano.
3. Demonstre a afirmação abaixo no caso em que ela é válida e dê um contra-exemplo no caso em
que ela não é válida:
Sendo o vetor não-nulo ~a :=: (ai )i:=1..n ∈ Rn, a equação sobre a variável ~x :=: (xi )i:=1..n ∈ Rn
n
X
ai xi
=
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn
=
0
i:=1
define um plano.
4. Forneça e depois demonstre uma condição necessária para que três vetores do Rn definam um
único plano passando por estes três pontos.
5. Forneça no R4 um plano não-perpendicular a nenhuma das quatro coordenadas do R4 e três
retas contidas nesse plano dois-a-dois, ao mesmo tempo, não-paralelas e não-perpendiculares.
6. No Rn, sejam uma reta r gerada por um vetor não-nulo ~c e um plano α gerado por dois vetores
não-colineares ~a e ~b, sendo que a reta e o plano se interceptam no ponto p~. Mostre que
r⊆α
(ou seja, o plano α contém a reta r)
1
⇐⇒
~c é gerado por ~a e ~b
7. Demonstre se for verdade ou dê contra-exemplo caso contrário. Suporemos tudo em um Rn, com
n ≥ 4:
a) Se ~a, ~b e ~c são não-colineares dois-a-dois (ou seja, entre si), então eles são não-coplanares sse
nenhum é gerado pelos outros dois.
b) Se ~a e ~b são não-colineares, então ~a, ~b e ~c são não-coplanares sse ~c não é gerado por ~a e ~b.
c) Se ~a, ~b e ~c são não-colineares dois-a-dois, então eles são coplanares sse ~a é gerado por ~b e ~c.
d) Duas retas não podem se interceptar em exatamente k ∈ N pontos, se k 6= 0, 1.
e) Uma reta e um plano não podem se interceptar em exatamente k ∈ N pontos, se k 6= 0, 1.
f ) Dois planos não podem se interceptar em exatamente k ∈ N retas, se k 6= 0, 1.
g) Há pelo menos uma reta na intersecção de dois planos não paralelos.
h) Há no máximo uma reta na intersecção de dois planos distintos.
i) Dois planos, eles são paralelos (distintos ou não), ou se interceptam.
j) Se existem duas retas distintas na intersecção de dois planos, então os planos são iguais.
k) Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então eles são paralelos.
l) Existem duas retas perpendiculares entre si e passando por um ponto de um plano e ambas
as retas perpendiculares ao plano.
m) Existem três retas perpendiculares entre si contidas em um plano.
8. No Rn, com n ≥ 4, para cada um dos casos abaixo, deduza a equação da respectiva figura
geométrica, ou dê contra-exemplo mostrando que a afirmação não define uma única figura
geométrica.
a) O plano contendo duas retas (distintas) paralelas.
b) O plano contendo duas retas que se interceptam em um único ponto.
c) O plano contendo duas retas não-paralelas e não-concorrentes.
d) O plano contendo uma reta e um ponto fora da reta.
e) O plano paralelo a uma reta e contendo um ponto.
f ) O plano paralelo a uma reta e contendo outra reta.
g) O plano paralelo a um plano e contendo um ponto.
h) O plano paralelo a um plano e contendo um reta paralela a esse plano.
i) O plano perpendicular a uma reta e passando por um ponto fora da reta.
j) O plano perpendicular a uma reta e passando por um ponto dentro da reta.
k) O plano perpendicular a outro plano e passando por um ponto fora do plano.
l) O plano perpendicular a duas retas não-paralelas.
m) A reta perpendicular a outra reta e passando por um ponto dentro da reta.
n) A reta perpendicular a outra reta e passando por um ponto fora da reta.
9. Descreva (conforme a definição de reta, plano, etc) as figuras geométricas representadas pelas
equações abaixo e depois desenhe-as graficamente no R3, assumindo-se ~x :=: (x; y; z):
 
 
1
−1
a) ~x := t −2 +  1 ,
com t ∈ R variando
1
1
2


 
 
1
2
−3





b) ~x := v −2
w −2 + 4 ,
1
1
−5
com v, w ∈ R variando
c) 3x + 2y − 3z = 4
(
4z − 2x = 1
d)
2y − z = 2


x = 3v − 6w + 1
e)
y := −2v + 4w − 3


z := v − 2w + 4,
com v, w ∈ R variando
10. Descreva (conforme a definição de reta, plano, etc) as figuras geométrica representadas pelas
equações abaixo e depois descreva a relação entre elas (de continência, de intersecção (e, havendo,
forneça a descrição da intersecção também), de paralelismo e de perpendicularidade). Tome
~x := (x; y; z; u).
 
 
 
−1
−1
4
3
0
−3
 
 

com v, w ∈ R variando
a) α : ~x := v 
 2  + w −2 +  1 ,
−1
2
−1

 
2
−5
0
−3
 

~x := t 
 2  + 1,
0
5

β:


x



y
b) α :

z



u
:=
:=
:=
:=
−v + 2w + 1
2v − 4w − 2
−3v + 6w + 4
−2v + 4w − 1,
com v, w ∈ R variando

β:
c) α :

 
4
1
−3
−4

 
~x := t 
 2  +  2 ,
1
−3
com t ∈ R variando
com t ∈ R variando
(
2x − 3y + 2z − u = 1
z = 1

β:

 
 
1
2
4
−1
−2
1 

 
 
~x := v 
 3  + w −1 + 3,
2
3
0
3
com v, w ∈ R variando


−2x − y = −4
d) α : z + 3u = −2


2u + 2x = 2


x



y
β:

z



u
:=
:=
:=
:=
2t + 2
−3t
t+1
−2t − 1,


x



y
e) α :

z



u
:=
:=
:=
:=
−v + 2w + 1
2v − 4w − 2
−3v + 6w + 4
−2v + 4w − 1,
com t ∈ R variando
com v, w ∈ R variando

β:
f) α :
β:
g) α :
β:

 
 
4
−1
−1
−3
3
0

 
 
~x := v 
 2  + w −2 +  1 ,
−1
−1
2
com v, w ∈ R variando
(
2x − 3y + 2z − u = 1
z = 1
 
5
0

espaço passando pelos pontos 
6,
3


 
6
4
−1
1
  e  .
2
3
3
0
 
 
 
1
0
0
1 
1
2
 
 

espaço perpendicular aos vetores 
0 e 2 e que passa pelo ponto 0.
1
1
1
 

1

−2x − y = −4
0

espaço passando pelo ponto 
1 e paralelo à figura definida por z + 3u = −2

2u + 2x = 2
0
.
Atenção: Certifique-se que você está justificando tudo, absolutamente tudo, com muita precisão e
cuidado.
Claus
4