Lista 3: Retas - Planos e Distâncias
Curso:Licenciatura em Matemática
Professora: Ivanete Zuchi Siple

½
 x = 2 + 2t
x+5
z−6
y = mt
1. Determine os valores de m para que as retas r :
e s:
=y+m=

−1
m
z = 4 + 5t
(b) paralelas
(c) coplanares.
sejam: (a) ortogonais

 x = 3 + at
y = 2 − bt seja paralela à reta que é simultane2. Calcule os valores de a e b para que a reta r :

z = 7 − 2t
amente ortogonal às retas
½
½
x−4
y+2
z−6
y = 2x − 8
r:
e
s:
=
=
.
z = −3x + 1
3
3
6
3. Determine as equações reduzidas
½ da reta r que passa pelo ponto P (3, 5, 2) e é simultaneamente
x=1
ortogonal ao eixo x e à reta s :
y−3
=z+1
−2
½
x = my + 3
seja ortogonal à reta
4. Calcule o(s) valor(s) de m para o(s) qual(is) a reta r :
z = (m + 1)y − 7
determinada pelos pontos A(4, 0, m) e B(−5, 2m, 3m).
5. Estabeleça as equações simétricas
da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r :

½
x = 4 + 2t

z−2
y = 3 + 4t e é, ao mesmo tempo, ortogonal a essas retas.
e s:
1−x=y =

2
z = 6 + 6t
6. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1, −1, 1) e é ortogonal
à reta r: x−2
=y=z
−2
7. Calcular
as equações da reta r que contém o ponto A(2, −1, 1) e que interceptam a reta s :

x
=
1
+
2t

π
y = −1
segundo um ângulo de rad

4
z=t
8. Determine a posição relativa entre:
½
½
x = −1
y = 4x + 7
e s:
(a) as retas r :
y=3
z=x

 x = 1 + 3t
y = −1 − 2t e o plano x + 2y + z + 1 = 0
(b) a reta r :

z=t
(c) os planos −2x + 3y + 4z = 9 e 3x − 2y + 3z = 10.
9. Dados os planos π1 : −4x + 4y − 4 = 0 e π2 : −2x + y + z = 0, determine:
(a) a interseção entre π1 e π2 .
1
(b) o ângulo entre π1 e π2 .
½
y = 2x + 1
z
½ =x−3
x = −z + 4
com o plano π : 2x+2y−3z+4 = 0 e que é simultaneamente ortogonal às retas r :
y = 3z − 6
½
x=4
e s:
.
z = 2y + 1
( x−1
½
z−1
x = 2y + 5
=
.
11. Estabeleça a equação geral do plano que contém as retas r :
es:
3
5
z = −2y − 1
y = −1
10. Obtenha a equação simétrica da reta que passa pelo ponto de interseção da reta t :

 x = 1 − 5t
y = 2 + 3t .
12. Determine a equação geral do plano que contém o ponto P (1, 3, 4) e a reta r :

z = 2 − 7t
13. Determinar a equação do plano que passa pela reta interseção dos planos x − 3y − z + 3 = 0 e
3x + y − 2z + 2 = 0 e é perpendicular ao plano yz.
√
14. Determinar um vetor unitário ortogonal ao plano 2x + y − z + 5 = 0.
15. O plano π : x + y − z − 2 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Determine a
área e a altura do triângulo ABC.
½
y = 2x − 3
e é perpendicular
16. Determine as equações paramétricas do plano que contém a reta
z = −x + 2
ao plano 2x + y − z + 5 = 0.
17. Determine a posição relativa entre:
(
y+1
x−1=
(a) a reta r :
−2 e o plano 2x + y − 3z − 1 = 0.
z=0
½
y = 2x − 3
(b) a reta s :
e o plano 3x − 2y − z − 2 = 0.
z = −x + 4

 x=t+3
y = 2t − 3 esteja contida no plano π :
18. Calcule os valores de m e n para que a reta r :

z = −t + 4
nx + my − z − 5 = 0.
19. Determine um ponto P de coordenadas inteiras que pertença à reta interseção dos planos: π1 :
3x − 4y + z − 3 = 0 e π2 : x + 3y − z = 0 e cuja distância ao ponto Q(1, 1, −1) é 9 unidades de
medida.
2
Respostas:
1
1. (a) m =
3
(b) não existe m
(c) m =
7±
√
829
10
2. a = 14 e b = 10
½
x=3
3. r :
z = 2y − 8
4. m = 0 ou m =
5.
3
2
x−2
y+1
z
=
= .
−2
−2
2
6. Uma das

 x
y
7. r :

z

 x
y
soluções possíveis:

z

= 2 + 3t

= −1
ou r :

= 1−t
= 1
= −1 − t
= 1+t
x = 2−t
y = −1
z = 1 − 3t
(b) r está contida no plano
8. (a) Reversas
½
π
y = z+2
9. (a)
(b) θ =
x = z+1
6
© x+5
= y+9
= z+8
10.
5
2
−1
(c) Perpendiculares
11. Estas retas são reversas.
12. 13x + 10y − 5z − 23 = 0
13. 10y + z − 7 = 0
1 √
14. ± ( 2, 1, −1)
2
√
√
15. A = 2 3 u.a. e h = 6 u.c.

 x = t + 2h
y = −3 + 2t + h
16.

z = 2−t−h
17. (a) e (b) r está contida no plano
18. m = − 43 e n =
5
3
19. P (0, −3, −9)
3