Inequação Logarítmica
1. (Fuvest 2015) Resolva as inequações:
a) x3  x2  6x  0;


b) log2 x3  x2  6x  2.
2. (Uerj 2015) Ao digitar corretamente a expressão log10 (2) em uma calculadora, o retorno obtido no
visor corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse logaritmo não é um número real.
Determine todos os valores reais de x para que o valor da expressão log0,1(log10 (log0,1(x))) seja um
número real.
1 x
, então os valores de
1 x
x para os quais f(x)  1 são todos os valores que estão no domínio de f e são
3. (Uece 2014) Se a função f : (1,1)  R, é definida por f(x)  log10
9
.
11
9
b) maiores que  .
11
9
c) menores que
.
11
9
d) maiores que
.
11
a) menores que 
4. (Upf 2014) As populações de duas cidades, M e N, são dadas em milhares de habitantes
pelas funções
M(t)  log8 (1  t)6
N(t)  log2 (4t  4)
Onde a variável t representa o tempo em anos. Após certo instante t, a população de uma
dessas cidades é sempre maior do que a da outra. O valor mínimo desse instante t é:
a) 1
b) 0
c) 2
d) 3
e) 4
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5. (Uepb 2012) A equação x2  4x  log2 (m  3)  0 não admite solução real quando
a) m  12
b) m  13
c) m  10
d) m  5
e) m  13
6. (Uepb 2012) A solução da inequação logarítmica log 1 x  log 1 (x  2)  3 é
a) S  x 
/ x  0
b) S  x 
/ x  4
c) S  x 
/ 0  x  4
d) S  x 
/ 2  x  4
e) S  x 
/ 0  x  2
2
2
7. (Mackenzie 2011) Assinale, dentre os valores abaixo, um possível valor de x tal que
log 1 x  log4 7.
4
1
14
14
b)
15
1
c)
5
a)
2
2
3
e)
5
d)
8. (Fuvest 2011) Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a
desigualdade


log16 1  x 2  log4 1  x  
1
.
2
9. (Ufrgs 2010) Um número real satisfaz somente uma das seguintes inequações.
I) log x  0.
II) 2log x  log (4x)
2
III) 2x 8  26x
Então, esse número está entre
a) 0 e 1.
b) 1 e 2.
c) 2 e 3.
d) 2 e 4.
e) 3 e 4.
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10. (Fuvest 2006) O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log 2(2x + 5) log2(3x - 1) >1 é o intervalo:
a) ]- ∞, - 5/2[
b) ]7/4, ∞[
c) ]- 5/2, 0[
d) ]1/3, 7/4[
e) ]0, 1/3[
11. (Pucpr 2005) Os valores de x que satisfazem à inequação log 4(x + 3) ≥ 2 estão contidos no
intervalo:
a) x ≥ 2
b) - 2 ≤ x ≤ 2
c) 0 ≤ x ≤ 20
d) 2 ≤ x ≤ 15
e) 13 ≤ x < ∞
12. (Mackenzie 1999) O menor valor inteiro de x tal que
é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 9
13. (Mackenzie 1996) Relativamente às afirmações a seguir, assinale:
a) se somente III estiver correta.
b) se somente I e III estiverem corretas.
c) se somente II e III estiverem corretas.
d) se somente I e II estiverem corretas.
e) se somente II estiver correta.
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14. (Puccamp 1995) As soluções reais da inequação a seguir são todos os números tais que
a) -3 < x < -2
b) x > -3
c) x > -2
d) x < -2
e) 0 < x < 3
15. (Fuvest 1994) É dada a função f definida por:
f(x) = log2x - log4(x-3)
a) Determine os valores de x para os quais f(x) ≤ 2.
b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2.
16. (Unesp 1993) Resolva a inequação (16 - x2) . log3 (x - 2) > 0.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) x3  x2  6x  0  x  (x2  x  6)  0
Sabendo que as raízes da equação x  (x2  x  6)  0 são 2, 0 e 3, temos o estudo do
sinal da expressão x3  x2  6x e, assim, resolver a inequação x3  x2  6x  0.
Portanto, o conjunto solução da inequação é:
S  x  / 2  x  0 ou x  3
b) Condição de existência do logaritmo: x  (x2  x  6)  0  2  x  0 ou x  3


log2 (x3  x2  6x)  2  log x3  x2  6x  log2 4  x3  x2  6x  4  0
Sabendo que x  1 é raiz da expressão x3  x2  6x  4, temos:
x3  x2  6x  4  0  (x  1)  (x2  2x  4)  0
As raízes da equação (x  1)  (x2  2x  4)  0 são 1  5, 1 e 1  5.
Daí, temos o estudo do sinal da expressão x3  x2  6x  4  0
Fazendo agora a intersecção destes intervalos com a condição de existência, temos:
Portanto, a solução da inequação logarítmica será dada por:
S   2, 1  5    1, 0   3, 1  5 




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Resposta da questão 2:
I) x > 0
II) log0,1 x  0  log0,1 x  log0,11  x  1
III) log10 log0,1 x   0  log10 log0,1 x   log10 1  log0,1 x  1  log0,1 x  log0,1 0,1  x  0,1
Portanto, x 
/ 0  x  0,1 é a condição para que log0,1(log10 (log0,1(x))) seja real.
Resposta da questão 3:
[C]
Domínio da função:
f(x)  1  log
1 x
 0  x 
1 x
/ 1  x  1
1 x
1 x
9  11x
9
 log10 
 10 
0x
ou x  1.
1 x
1 x
1 x
11
Devemos então considerar a alternativa [C] como verdadeira.
Resposta da questão 4:
[D]
Supondo M(t)  N(t), para algum t real positivo, vem
log8 (1  t)6  log2 (4t  4)  log 3 (1  t)6  log2 4  log2 (1  t)
2
6
  log2 (1  t)  log2 (1  t)  log2 4
3
 log2 (1  t)  log2 4
 t  3.
Portanto, após 3 anos, a população da cidade M será sempre maior do que a da cidade N.
Resposta da questão 5:
[E]
A equação não possui solução real se, e somente se, seu discriminante for negativo, ou seja,
( 4)2  4  1 log2 (m  3)  0  log2 (m  3)  4
 log2 (m  3)  log2 24
 m  3  16
 m  13.
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Resposta da questão 6:
[D]
Pelas condições de existência dos logaritmos, devemos ter x  2. Logo,
log 1 x  log 1 (x  2)  3
2
2
x2
 1
log 1 x  (x  2)  log 1  

2
2
2
3
x2


x 2  2x  8  0
x2
2  x  4
x2
 {x 
| 2  x  4}.
Resposta da questão 7:
[A]
log 1 x  log4 7
4
log 1 7
log 1 x 
4
4
log 1 4
4
log 1 x  log 1
4
4
1
7
1
x
7
Logo, x é igual a
1
.
14
Resposta da questão 8:
1  x 2  0
Condição de existência 
 1 x  0
Escrevendo na base 4, temos:
1 x  1
log4 (1  x 2 )
1
 log4 1  x  
2
2
Multiplicando a desigualdade por 2, temos:
1  x2
1  x2
log4 (1  x2 )  log4 1  x   1  log4

1


1

4
(1  x 2 )
1  x2
Resolvendo, temos:
3
3

S  x  R /   x  
5
5

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Resposta da questão 9:
[B]
logx  0  logx  log1  x  1 considerando a condição de existência temos 0  x  1.
2logx  log(4x)  logx2  log4x  x2  4x  x2  4x  0  0  x  4, considerando a
condição de existência temos 0  x  4.
2
2x 8  26x  x2  8  6x  x2  6x  8  0  2  x  4
Região que pertence a apenas um dos intervalos.
Resposta da questão 10:
[D]
Resposta da questão 11:
[E]
Resposta da questão 12:
[B]
Resposta da questão 13:
[C]
Resposta da questão 14:
[A]
Resposta da questão 15:
a) V = {x ∈ IR │ 4 ≤ x ≤ 12}
b) V = {x ⊂ IR │ 3 < x < 4 ou x > 12}
Resposta da questão 16:
v = ]3;4[
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