APOSTILA ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS - CARLINHOS
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
ESFERAS E SUAS PARTES
PROF. CARLINHOS
NOME:
NO:
1
APOSTILA ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS - CARLINHOS
ESFERAS
Consideramos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e
raio r o conjunto dos pontos P do espaço , tais que a distância OP seja menor ou igual a
r.
A esfera é o sólido de revolução gerado pela rotação completa de um semicírculo em
torno de um eixo que contém um diâmetro.
Superfície esférica
Superfície esférica de centro O e raio r é o conjunto dos pontos P do espaço que distam
r do ponto o.
A superfície gerada pela rotação de uma semi-circunferência em torno de um eixo que
contém o diâmetro é uma superfície esférica.
Elementos da esfera
Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos:
a) Pólos são as interseções da superfície com o eixo;
b) Equador é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície;
c) Paralelo é qualquer secção (circunferência) perpendicular ao eixo;
d) Meridiano é qualquer secção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.
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Secção da Esfera
Toda secção plana de uma esfera é um círculo.
Sendo R o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e r o raio da secção,
vale a relação: R2 = r2 + d2
´
Área da secção esférica: As = π .r 2
Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo
da esfera.
Área do círculo máximo : Am = π .R 2
Área da esfera
A área de uma superfície esférica de raio R é igual a:
A = 4 R2
Volume da esfera
O volume de uma esfera de raio r é igual a:
4
V = .π .r 3
3
Exemplos:
1) Calcule a área total e volume de uma esfera de diâmetro igual a 6cm.
Resolução:
3
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2) Uma esfera de raio 5cm é seccionada por um plano distante 4cm do seu centro.
Calcule:
a) A área da secção
b) A área da esfera
Resolução:
Resolução:
Fuso Esférico
Considere uma superfície esférica de raio r e um diedro cuja aresta contém um diâmetro
dessa superfície .
A intersecção do diedro com a superfície esférica é denominada fuso esférica.
A área da superfície do fuso esférico é dada por:
α .π .r 2
AF =
( α em graus ) ou AF = 2 .α .r 2 ( α em radianos )
0
90
α → ângulo diedro
Cunha Esférica
Seja uma esfera de raio r e um diedro cuja aresta contém um diâmetro da esfera.
A intersecção do diedro com a esfera é denominada cunha esférica.
A área da cunha esférica é a soma das áreas do seu fuso com o círculo máximo da
esfera. Ac = AF + π .r 2
O volume da cunha é dado por:
α .π .r 3
2.α .r 3
(
α
em
graus
)
ou
V=
( α em radianos )
V=
3
270 0
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Obs: Suponha que a esfera seja uma laranja, podemos considerar:
a) A cunha esférica é o gomo da laranja.
b) O fuso esférico é a casca do gomo da laranja.
Exemplos:
1) Calcular a área de um fuso esférico de 30o, contido numa superficie esférica da de
raio 4cm.
Resolução:
2) Calcular o volume de uma cunha esférica com 200 de ângulo equatorial e 6 cm de
raio.
Resolução:
Calota esférica e Segmento esférico
Um plano secante a uma superfície esférica a divide em duas superfícies denominadas
calotas esféricas. A esfera fica dividida por este plano em dois sólidos denominados
segmentos esféricos.
Sendo R o raio da esfera e h a altura da calota esférica, então:
Área da calota A = 2. π .R.h
Volume do segmento esférico V =
π .h 2 .(3.r − h)
3
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Exemplo:
Uma esfera de raio igual a 5 cm é seccionada por um plano distante 3 cm de seu centro.
Calcular a área da menor calota esférica obtida e o volume do segmento esférico
correspondente.
Resolução:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Uma laranja tem a forma e a medida da figura
ao lado. Qual a área aproximada da casca da
laranja ? resp: 200,96 cm2
2) A figura ao lado representa um hemisférico.
Qual é área da superfície desse hemisférico?
resp: 628 m2
3) Um plano secciona uma esfera de 10 cm de diâmetro. Determine área da secção
obtida sendo a distância do plano ao centro da esfera é de 3cm. Resp: 16π cm2
4) Um recipiente cilíndrico cujo o raio da base é 6cm contém água até certa altura.
Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente, ficando totalmente
submersa. Se a altura da água subiu 1cm, determine o raio da esfera. Resp: 3cm
5) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 10cm de aresta.
500π
Resp:
cm3
3
6) Considerando a Terra uma esfera, um paralelo de 300 é uma circunferência cujos
segmentos que unem os pontos dessa circunferência ao centro da terra formam um
ângulo de 300 com o plano do equador. Se a terra tem a medida do raio
aproximadamente 6400 km, determine:
a) o comprimento da circunferência máxima, ou seja, do Equador. Resp: 39680 km
b) o comprimento da circunferência de um paralelo de 300. ( 3 = 1,7 e π = 3,1)
Resp: 33728 km
7) Uma esfera de raio igual a 10 cm é seccionada por um plano distante 6 cm de seu
centro. Calcular a área da menor calota esférica obtida e o volume do segmento esférico
416π
correspondente. Resp: A = 80 π cm2 V =
cm3
3
8) (UMC-SP) Um joalheiro fundiu uma esfera de ouro de raio 6 mm para transformá-la
em um bastão cilindrico reto, cujo raio da base era igual ao da esfera. Calcule o
comprimento do bastão. Resp: 8 mm
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9) Calcule:
a) área do fuso resp: 25π/3 b) a área e o volume total da cunha resp: A=48π e V=24π
b) a área e o volume total da cunha resp: A = 48π e V = 24π
10) Considere uma bola de sorvete de 36 π cm3 de volume e uma casquinha cônica de 3
cm de raio. A altura da casquinha, para que o sorvete, ao derreter, ocupe todo o seu
espaço, em cm, é:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 resp: d
11) (Uel) Considere um cone circular reto e um cilindro circular reto, ambos com
diâmetro da base igual a 12 cm e também uma esfera com diâmetro de 12 cm, todos
com volumes iguais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamente
iguais a:
a) 12 cm e 4 cm b) 30 cm e 10 cm c) 24 cm e 8 cm d) 9 cm e 3 cm e)18 cm e 6 cm
resp: c
9) (Ufjf) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro
circular como mostra a figura a seguir.
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A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m.
Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por
esse reservatório é:
a) 9 π m 3 b) 18 π m 3 c) 27 π m 3 d) 36 π m 3 e) 45 π m 3
resp: e
12) (Ufu) Sabendo-se que a intersecção entre um plano II e uma esfera S de raio 10 cm
é uma circunferência de raio 6 cm, então, a distância do centro da esfera S até o plano II
é igual a
a) 4 cm. b) 5 cm. c) 7 cm. d) 8 cm. resp: d
13) O recipiente da figura é feito de madeira de densidade 0,7 g/cm3 e tem a forma de
semi-esfera com raio externo igual a 20 cm e interno 17 cm. Calcule a massa desse
recipiente, em kilogramas. resp: 4,52 kg
14) Calcule o volume, em mililitros do recipiente da figura, abaixo: Resp: 3334,68 ml
15) Uma esfera cujo volume é 36 π cm3 está circunscrita em um cilindro cuja altura é o
27π 2
dobro do raio da base. Calcule o volume do cilindro. Resp:
cm3.
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Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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