Matemática Superior - UVB
Aula 13
Técnicas de Integração
Objetivos da Aula
Estudar técnicas especiais de integração: integração por
substituição e por partes, mostrando que estes processos são
ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla
classe de funções.
Regra da Substituição
É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas
nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular
integrais do tipo
Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x
+ 4) 5 e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo.
Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo
uma mudança de variáveis:
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Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ], obtemos
Assim resolvendo esta integral teremos:
Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos
Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está
correto calculando
e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ].
Regra da Substituição [ 2 ]
Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo
I e f for contínua em I, então
Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada
usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se
u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra
da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais.
Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com
dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais.
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Método de Integração por Substituição
Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral
foi bem-sucedido, escrevamos
Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de
é precisamente a composta de f e g. De fato
Portanto,
pode ser escrita como
Mostraremos em seguida que uma integral da forma
pode ser escrita como
Suponhamos que F é uma antiderivada de f. Pela regra da
cadeia temos
Portanto,
Fazendo F ’ = f e efetuando a substituição u = g(x), temos
como queríamos mostrar. Assim, se a integral transformada pode ser
diretamente calculada, como é o caso da integral
, então o método da substituição será bem-sucedido.
Podemos, agora, resumir os passos envolvidos na integração
por substituição.
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Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em
geral “a função interna” da função composta f (g(x)).
Passo 2. Calcule du = g’(x) dx.
Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter
a integral em uma outra envolvendo apenas u.
Passo 4. Calcule a integral resultante.
Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como
função de x.
Observação:
Ás vezes é necessário considerarmos diferentes escolhas de g para
a substituição u = g(x) para podermos executar os passos 3 e/ou 4.
Exemplo 1:
Calcule
Solução:
Passo 1. Observemos que o integrando envolve a função composta
com “função interna”
Assim, escolhemos
Passo 2. Calculamos du = 2x dx.
Passo 3. Fazendo a substituição
, obtemos
uma integral envolvendo de apenas a variável u.
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Passo 4. Calculamos
Passo 5. Substituindo u por
, obtemos
Exemplo 2:
Calcule
Solução:
Passo 1. O integrando contém a função composta
“função interna”
Assim, seja
Passo 2. Calculamos
Passo 3. Fazendo a substituição
uma integral envolvendo apenas a variável u.
Passo 4. Calculamos
Passo 5. Substituindo u por
obtemos
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Aplicação
Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia
Universal Instruments projeta que, após a nova linha de computadores
pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à
taxa de
unidades por mês. Encontre uma expressão que forneça o número
total de computadores que serão vendidos t meses após se tornarem
disponíveis no mercado. Quantos computadores a Universal venderá
no primeiro ano em que eles estiverem no mercado?
Solução:
Denotemos por N(t) o número total de computadores que se espera
que sejam vendidos t meses após sua introdução no mercado. Então,
a taxa de crescimento de vendas é dada por N ‘(t) unidades por mês.
Assim,
Calculando a segunda integral pelo método de substituição, obtemos
Para determinarmos o valor de C notemos que o número de
computadores vendidos ao final do mês 0 é nulo, donde N(0) = 0.
Isto fornece
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O número de computadores que a Universal espera vender no
primeiro ano á dada por
Integração por Partes
Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de
integração. Por exemplo, a Regra da Substituição para integração
corresponde à Regra da Cadeia para diferenciação. A regra que
corresponde à Regra do Produto para diferenciação é chamada de
integração por partes.
A Regra do Produto estabelece que se f e g são funções
diferenciáveis, então
Na notação para integrais indefinidas essa equação torna-se
Podemos rearranjar essa equação como
A fórmula [ 1 ], chamada fórmula de integração por partes, é mais
facilmente lembrada com a seguinte notação: seja u = f (x) e v = g
(x). Então as diferenciais são du = f ‘(x) dx e dv = g’(x), e assim, pela
Regra da Substituição, a fórmula da integração por partes torna-se
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Exemplo 1:
Calcule
Solução:
Nenhum método de integração desenvolvido até agora nos
permite calcular uma integral indefinida desta forma. Portanto,
tentaremos escrevê-la em termos de uma integral indefinida
mais fácil de ser calculada. Vamos usar a fórmula de integração
por partes [ 2 ] fazendo
Portanto,
O sucesso do método de integração por partes depende da escolha
apropriada de u e dv. Por exemplo, se tivéssemos escolhido
no exemplo anterior, então
Logo, [ 2 ] teria resultado em
Como a integral indefinida no lado direito desta equação não é
facilmente calculada (ela é de fato mais complicada que a integral
original), a escolha de u e de dv feita não nos ajudou a calcular a
integral indefinida dada.
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Em geral, podemos usar as seguintes diretrizes
Diretrizes para a escolha de u e dv
Escolha u e dv, tais que
1. du é mais simples que u;
2. dv é mais fácil de integrar
Exemplo 2:
Calcule
Solução:
Fazendo
O próximo exemplo mostra que a aplicação repetida da técnica
de integração por partes é às vezes necessária para calcular
uma integral.
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Exemplo 3:
Calcule
Solução:
Para completar a solução do problema, é necessário calcular a integral
Mas esta integral pode ser obtida usando-se integração por partes.
Usando os resultados obtidos neste exercício, encontramos
Aplicação
A taxa estimada de produção de petróleo de um certo poço t anos
após a produção ter começado é dada por
milhares de barris por ano. Encontre uma expressão que descreva a
produção total de petróleo ao final do ano t.
Solução:
Seja T(t) a produção total de petróleo do poço ao final do ano
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Então, a taxa de produção de petróleo será dada por T’(t) barris de
petróleo por ano. Logo,
Usando a técnica de integração por partes para calcular esta integral.
Sejam
Referências Bibliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:
Thomson, 2001.
MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de
Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo:
Atlas, 1999 .
LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São
Paulo: Harbra, 1988.
STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2003.
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