Cálculo I
Notas de aulas
André Arbex Hallack
Setembro/2009
Índice
1 Números reais
1
1.1
Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Relação de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 Funções
13
2.1
Definição e elementos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Construção de funções a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4
Inversão de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.5
Funções exponenciais e logarı́tmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.6
Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.7
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3 Limite de uma função e Continuidade
47
3.1
Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2
Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.3
Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.4
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.5
Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.6
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
i
4 Derivada
69
4.1
A definição da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2
Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.3
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.4
Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.5
Derivação implı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.6
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5 Aplicações da Derivada
93
5.1
Acréscimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5.2
A Derivada como razão de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
5.3
Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4
Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5
Concavidade e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6
Aplicações em problemas de máximos e/ou mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7
Aplicações em esboços de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.8
Apêndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.9
Apêndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.10 Apêndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.11 Apêndice D: Aproximações via
Polinômios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Referências
147
Capı́tulo 1
Números reais
1.1
Números reais
Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos números reais, os
quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:
Vejamos agora alguns conjuntos de números reais nessa identificação:
IN = { 1, 2, 3, . . . } (números naturais) ⊂ IR
∩
Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } (números inteiros) ⊂ IR
∩
Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q 6= 0 } (números racionais) ⊂ IR
Temos ainda números reais que não são racionais. São os chamados números irracionais.
Alguns exemplos:
(A) Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem 1:
Do Teorema de Pitágoras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .
√
√
Portanto a = 2 (e 2 não é racional).
1
2
CAPÍTULO 1
(B) Outro número irracional famoso:
FATO: A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é constante.
Essa razão é um número chamado π .
Assim, se C é qualquer circunferência, l o seu comprimento e r seu raio, temos:
l
=π
2r
π é um número irracional ( π ≈ 3, 141592 )
Obs.: Existem muito mais números irracionais do que racionais !
Operações básicas em IR
Existem em IR duas operações básicas:
ADIÇÃO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a + b ∈ IR
MULTIPLICAÇÃO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→
a · b ∈ IR
(soma)
(produto)
Essas operações possuem as seguintes propriedades:
quaisquer que sejam a, b ∈ IR.
COMUTATIVIDADE:
a+b = b+a
a·b = b·a
ASSOCIATIVIDADE:
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
EXISTÊNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS:
quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.
a+0 = a
a·1 = a
para todo a ∈ IR.
EXISTÊNCIA DE INVERSOS:
Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .
Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .
DISTRIBUTIVIDADE: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .
Números reais
3
Obs.: O número 0 é o único elemento neutro para a adição e o número 1 é o único elemento
neutro para a multiplicação.
Conseqüências: (das propriedades)
1) Duas novas operações:
Subtração: Dados a, b ∈ IR, definimos: a − b = a + (−b) ;
a
= a · b−1 .
Divisão: Dados a, b ∈ IR, com b 6= 0, definimos:
b
2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .
3) Se a · b = 0 , então a = 0 ou b = 0 .
4) Cada a ∈ IR possui um único inverso aditivo −a ∈ IR.
Cada a =
6 0 em IR possui um único inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .
5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.
6) a−1 =
1
para todo a 6= 0 em IR.
a
7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .
8) Se a2 = b2 então a = ±b .
Exercı́cio: Tente provar as consequências de 2) a 8) acima.
1.2
Relação de ordem em IR
Podemos decompor a reta IR como uma união disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} :
IR+ é o conjunto dos números reais POSITIVOS;
IR− é o conjunto dos números reais NEGATIVOS.
De modo que:
• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:
ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−
4
CAPÍTULO 1
• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;
• A soma de dois números positivos é um número positivo.
O produto de dois números positivos é um número positivo.
Exercı́cio: Prove que:
a) A soma de dois números negativos é um número negativo;
b) O produto de dois números negativos é um número positivo;
c) O produto de um número positivo por um número negativo é um número negativo.
Dados números reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a é menor do que
b (ou b é maior do que a ) quando b − a ∈ IR+ , ou seja, b − a é um número positivo:
Obs.: Escrevemos a ≤ b e dizemos que a é menor ou igual a b quando a < b ou a = b .
Propriedades da relação de ordem:
( Exercı́cio: Tente prová-las ! )
1) Para todo a 6= 0 em IR, tem-se a2 > 0 .
2) Se a < b e b < c então a < c .
3) Se a, b ∈ IR então a = b ou a < b ou a > b .
4) Se a < b então a + c < b + c para todo c ∈ IR.
5) Se a < b , temos:
c>0 ⇒ a·c < b·c
c<0 ⇒ a·c > b·c
6) Se a < b e a0 < b0 então a + a0 < b + b0 .
7) Se 0 < a < b e 0 < a0 < b0 então 0 < a · a0 < b · b0 .
8) Se a > 0 então
1
>0.
a
9) Se 0 < a < b então 0 <
1
1
<
.
b
a
Números reais
5
Intervalos: Dados números reais a < b , definimos:
(a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b }
[a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b }
(a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b }
[a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b }
(a, +∞) = { x ∈ IR ; x > a }
[a, +∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }
(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }
(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }
(−∞, +∞) = IR
• Atenção: +∞ e −∞ não são números reais ! São apenas sı́mbolos !
Exemplo: Encontre os números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo e faça a
representação gráfica na reta real:
(a) 2 + 3x < 5x + 8
(b) 4 < 3x − 2 ≤ 10
6
CAPÍTULO 1
(c)
7
> 2 , x 6= 0
x
(d)
x
< 4 , x 6= 3
x−3
(e) (x + 1)(x + 5) > 0
Conjuntos limitados:
Um subconjunto X ⊂ IR é dito LIMITADO quando existem números reais a e b tais
que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b . Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .
Um conjunto é dito ILIMITADO quando ele não é limitado. (Exemplos)
Observações:
(A) Todo conjunto finito é limitado.
(B) CUIDADO ! NÃO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !
Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.
Números reais
7
(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos números naturais NÃO É limitado.
Conseqüências importantes deste fato:
(C.1) Propriedade arquimediana: Dados números reais a e b , com a > 0 , é possı́vel obter
um número natural n ∈ IN tal que n · a > b .
⇓
(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois números reais a e b quaisquer, com a < b , é
possı́vel obter um número RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q 6= 0) tal que a < r < b
(por menor que seja a distância entre a e b ).
A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer número real x
(mesmo irracional), é possı́vel obter uma seqüência de números RACIONAIS que se aproximam
de x tanto quanto quisermos !!!
Exemplos:
1) π = 3, 141592 . . .
3
3, 1 =
31
10
3, 14 =
314
100
3, 141 =
3141
1000
3, 1415 =
31415
10000
...
−→ π
2) Tome um número racional r1 > 0 e considere:
3
1
r1 +
∈ Q (r2 > 0 , r22 > 3 )
r2 =
2
r1
↓
3
1
r3 =
r2 +
∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r32 > 3 )
2
r2
↓
1
3
r3 +
∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r42 > 3 )
r4 =
2
r3
↓
..
.
↓
rn+1
1
=
2
3
rn +
rn
2
∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , rn+1
> 3)
↓
..
.
Esta seqüência de racionais (r1 , r2 , r3 , . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo
número real. Qual ?
Tente generalizar esse processo !
8
CAPÍTULO 1
1.3
Valor absoluto
Dado qualquer número real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MÓDULO
DE x ) da seguinte forma:
(
x
se x ≥ 0
|x| =
−x se x < 0
Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um número real x é a distância de x até
o 0 (zero). (Exemplos)
Obs.: São imediatos da definição:
|x| ≥ 0 para todo x ∈ IR ;
|x| = 0 se, e somente se (⇔), x = 0 .
Propriedades:
1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x, −x} (o maior dos dois valores).
2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .
3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
1
1
.
Exercı́cio: Se b 6= 0 em IR, mostre que =
b
|b|
a |a|
Conclua que se a, b ∈ IR com b 6= 0 então =
.
b
|b|
Números reais
4) |a + b| ≤ |a| + |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
Exercı́cio: Mostre que |a − b| ≥ | |a| − |b| | ≥ |a| − |b| , para todos a, b ∈ IR .
5) Seja c > 0 :
|x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c
|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c
Exemplos:
1) Resolva as seguintes equações:
(a) |3x + 2| = 5
(b) |2x − 1| = |4x + 3|
(c) |5x + 4| = −3
9
10
CAPÍTULO 1
(d) |x| + 2 |x − 2| = 1 + 4x
2) Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:
(a) |x − 5| < 4
Números reais
3 − 2x ≤ 4 , x 6= −2
(b) 2+x (c) |3x + 2| > 5
11
12
CAPÍTULO 1
1.4
Exercı́cios
Páginas 10 e 11 da referência bibliográfica [1].
Capı́tulo 2
Funções
2.1
Definição e elementos básicos
Definição 2.1. Uma função f : X → Y é constituı́da de:
(a) Um conjunto X, não-vazio, chamado o DOMÍNIO da função (onde a função está definida)
(b) Um conjunto Y , não-vazio, chamado o CONTRA-DOMÍNIO da função (onde f “toma os
valores”)
(c) Uma correspondência que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X
um ÚNICO elemento f (x) = y ∈ Y .
Obs.: Estaremos interessados em estudar funções tais que X e Y são conjuntos de números
reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.
• Imagem: Dada uma função f : X → Y , sua IMAGEM é o conjunto
Im (f ) = f (X) = { y = f (x) ; x ∈ X } ⊂ Y
• Os elementos do domı́nio são representados por uma VARIÁVEL INDEPENDENTE.
Os elementos da imagem são representados por uma VARIÁVEL DEPENDENTE.
• Gráfico: O GRÁFICO de uma função f : X → Y é o conjunto dos pontos (x, y) do
Plano Cartesiano tais que y = f (x) , com x ∈ X .
• Funções limitadas: Uma função f : X → Y é dita LIMITADA quando sua imagem
f (X) é um conjunto limitado. Em geral, é dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f (A) é um
conjunto limitado.
13
14
CAPÍTULO 2
• Funções crescentes ou decrescentes: Uma função f : X → Y é dita ...
... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) .
... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) .
(Obs.: o mesmo tipo de definição se aplica também a subconjuntos do domı́nio - por exemplo,
podemos dizer que uma certa função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo
dentro do domı́nio).
Exemplos:
(A) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = −x2 + 4 .
(B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4 .
Obs.: Note que as funções f1 e f2 acima SÃO FUNÇÕES DISTINTAS. Apesar de possuı́rem
o mesmo contra-domı́nio e a mesma maneira de associar x 7→ y = f (x) , elas têm domı́nios
diferentes (veja a definição de função). Como consequência, possuem caracterı́sticas diferentes
(f2 é limitada, decrescente, enquanto que f1 não é limitada, não é decrescente e nem crescente).
Funções
15
(C) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = |x| .
(D) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| .
(E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5 (x) =
√
1 − x2 .
(F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x 7→ y tais que x2 + y 2 = 1 .
16
CAPÍTULO 2
(G) f7 : IR → IR dada por f7 (x) =

1



 x
se
x>
1
4



 −3
se
x≤
1
4
(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8 (x) = x .
(I) f9 : IR → IR dada por f9 (x) = −2x + 1 .
√
(J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = − x .
Funções
17
• Máximos e mı́nimos: Dizemos que uma função f : X → Y assume VALOR
MÁXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f (c) ≥ f (x) para todo
x ∈ X . Neste caso f (c) é chamado VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f .
Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f (c) ≥ f (x) para todo
x ∈ (a, b) ∩ X , então c é dito um PONTO DE MÁXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f (c)
é um VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f .
De modo análogo, definimos também MÍNIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MÍNIMOS
RELATIVOS (LOCAIS).
(Ilustração)
Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| .
Observações:
(i) Todo máximo (mı́nimo) absoluto é máximo (mı́nimo) local.
(ii) Uma função PODE NÃO ASSUMIR valores máximos ou mı́nimos.
Exercı́cio: Para cada uma das funções dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), determine seus pontos e valores máximos e mı́nimos, se existirem.
18
CAPÍTULO 2
2.2
Construção de funções a partir de outras
Via operações aritméticas:
Sejam f : X → IR e g : Y → IR funções tais que X ∩ Y 6= φ .
A partir de f e g vamos construir novas funções (f + g), (f − g), (f · g) :
(f + g) : X ∩ Y → IR dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g) : X ∩ Y → IR dada por (f − g)(x) = f (x) − g(x)
(f · g) : X ∩ Y → IR dada por (f · g)(x) = f (x) · g(x)
Exemplos:
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) =
√
por g(x) = x2 − 1 :
√
4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada
(B) Consideremos agora a função indentidade f : IR → IR dada por f (x) = x e funções
constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc (x) = c (cada c é um número real qualquer,
fixado).
Utilizando a função identidade e funções constantes, podemos construir (através das operações
de adição e multiplicação) um importante tipo de função p : IR → IR chamada FUNÇÃO
POLINOMIAL e dada por:
p(x) = an xn + an− xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
para todo x ∈ IR
an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ IR , an 6= 0
(essa é dita uma função polinomial de grau n)
(Exemplos)
Funções
19
Obs.: Alguns tipos especiais de funções polinomiais:
1) Funções constantes: f : IR → IR com f (x) = c ∀ x ∈ IR , sendo c ∈ IR fixo.
São as funções polinomiais de grau 0 (zero).
(Exemplos)
2) Funções polinomiais de grau 1: f : IR → IR com f (x) = ax + b , a, b ∈ IR e a 6= 0 .
Seus gráficos são retas, não paralelas aos eixos coordenados.
Se a > 0, f é crescente. Se a < 0, f é decrescente.
(Exemplos)
3) Funções quadráticas: f : IR → IR com f (x) = ax2 + bx + c , a, b, c ∈ IR e a 6= 0 .
São as funções polinomiais de grau 2.
Seus gráficos são parábolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade
voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.
A interseção
da parábola
(gráfico) com o eixo de simetria é o VÉRTICE da parábola, tem
−b −∆
coordenadas
,
, sendo ∆ = b2 − 4ac , e representa o máximo ou mı́nimo absoluto
2a 4a
da função, de acordo com a concavidade do gráfico (sinal de a).
(Exemplos)
20
CAPÍTULO 2
Se quisermos agora utilizar a operação de divisão para construir o quociente de duas funções
dadas, temos que tomar o cuidado para evitar “divisões por 0 (zero)”.
Assim, dadas f : X → IR e g : Y → IR , sendo Z = { x ∈ Y ; g(x) = 0 } , podemos
definir:
f (x)
(f /g) : (X ∩ Y ) − Z → IR pondo (f /g)(x) =
g(x)
Exemplos:
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) =
√
por g(x) = x2 − 1 :
√
4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada
(B) Chamamos de FUNÇÕES RACIONAIS as funções dadas pelo quociente de funções
polinomiais:
p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 }
⇓
(p/q) : IR − Z → IR dada por (p/q)(x) =
(Exemplos)
p(x)
q(x)
Funções
21
Via composição de funções:
Sejam f : X → IR e g : Y → Z funções tais que f (X) ⊂ Y
contida no domı́nio de g).
(a imagem de f está
A cada elemento de X associamos um único elemento de Z, aplicando inicialmente a função
f e depois a função g.
Podemos pensar então em uma função de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X
um único elemento g(f (x)) ∈ Z :
(g ◦ f ) : X −→ Z
x 7−→ g(f (x))
Essa nova função g ◦ f : X → Z é chamada a função COMPOSTA de g com f .
Exemplos:
(a) Se f : IR → IR é dada por f (x) = x2 + 5 e g : [0, +∞) → IR é dada por g(x) =
obtenha g ◦ f e f ◦ g , se possı́vel.
√
x ,
(b) Seja h : IR → IR dada por h(x) = (5x2 − 2x + 1)5 . Obtenha funções f e g tais que
h=g◦f .
22
CAPÍTULO 2
2.3
Exercı́cios
1) Sejam f : IR → IR dada por f (x) = 3x − 1 , g : IR → IR dada por g(x) = x − 7 e
h = f /g . Obtenha:
(a) O Domı́nio de h ;
(b)
5h(−1) − 2h(0) + 3h(5)
;
7
(d) h2 (5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ;
(c) f ◦ h ;
(e) h[h(5)] = (h ◦ h)(5) .
2) Para cada uma das funções dadas abaixo, faça um esboço do gráfico da função e obtenha:
o conjunto imagem da função, se a função é ou não limitada, máximos e mı́nimos (absolutos
ou locais), intervalos do domı́nio onde a função é crescente ou decrescente e identifique ainda
quais são polinomiais ou racionais:
(a) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x2 + 8x + 14
(b) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4x − 1
(c) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = (x − 2)2
(d) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = −(x + 2)2
(e) f5 : IR → IR dada por f5 (x) = x3
(f) f6 : IR → IR dada por f6 (x) = 4 − x3
(g) f7 : (−5, 3] → IR dada por f7 (x) = |x|
1
x−2
−2
(i) f9 : [−4, 7] → IR dada por f9 (x) =
x+5
√
(j) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = 2x
(h) f8 : IR − {2} → IR dada por f8 (x) =
3) Exprimir como função de x (não se esqueça do domı́nio e do contra-domı́nio):
(a) A área de um cubo de aresta x.
(b) A área total de uma caixa de volume V , sabendo que a base é um quadrado de lado x.
(c) O comprimento l de uma corda de um cı́rculo de raio 4 cm, sendo x a distância da
corda ao centro do cı́rculo.
4) Exprimir a função l obtida na Letra (c) do Exercı́cio 3) acima como a composta de duas
funções.
Funções
23
5) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) = x + 3 e g(x) = 5 − 2x . Faça um esboço dos
gráficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gráficos, os valores
de x para os quais f (x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequação.
6) X ⊂ IR é dito simétrico em relação à origem 0 quando x ∈ X ⇔ −x ∈ X .
Exemplos: (−6, 6), [−13, 13], {−12} ∪ (−7, 7) ∪ {12} , IR , etc.
Y = (−5, 3] não é simétrico em relação à origem, pois −4 ∈ Y mas 4 6∈ Y .
Seja f : X → IR uma função tal que X é simétrico em relação à origem.
A função f é dita...
... PAR quando f (−x) = f (x) para todo x ∈ X .
√
Exemplos: − x4 − 16 (−2 ≤ x ≤ 2) , −3x6 + x2 − 5 (x ∈ IR) ,
1
(x ∈ IR) , etc.
1 + x2
... ÍMPAR quando f (−x) = −f (x) para todo x ∈ X .
x
(x ∈ IR) , etc.
Exemplos: x3 + 2x (x ∈ IR) ,
1 + x2
Alguma observações e propriedades interessantes:
(1) O produto/quociente de duas funções pares (ou duas ı́mpares) é uma função PAR (prove);
(2) O produto/quociente de uma função par por uma função ı́mpar (ou vice-versa) é uma
função ÍMPAR (prove);
(3) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);
(4) O gráfico de uma função ı́mpar é simétrico em relação à origem O(0, 0) (ilustre);
(5) É óbvio que existem funções que não são pares nem são ı́mpares (dê exemplos);
(6) Toda função f : X → IR (X simétrico em relação ao 0) pode ser escrita como a soma de
uma função par com uma função ı́mpar (desafio = tente provar).
7) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) =
2y + 5
3x − 5
e g(y) =
.
2
3
(a) Obtenha (g ◦ f )(x) e (f ◦ g)(y) .
(b) Faça esboços dos gráficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gráficos de f e g ?
(c) Seja f : [1, 3] → [−5, 3] dada por f (x) = 4 − x2 .
Obtenha uma função g : [−5, 3] → [1, 3] que cumpre as condições da Letra (a) e faça esboços
dos gráficos de f e g.
24
CAPÍTULO 2
8) Seja f : IR → IR dada por f (x) = −x2 + 4x − 3 .
(a) Faça um esboço do gráfico de f .
(b) Dado h 6= 0, calcule m0 (h) =
para m0 (h) .
f (0 + h) − f (0)
e dê uma interpretação geométrica
h
(c) Qual o significado de m0 (h) quando h se aproxima de 0 ?
(d) Sabemos que o gráfico de f é uma parábola. Se V = (a, b) é o vértice dessa parábola,
obtenha suas coordenadas a e b.
(e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do vértice) e, dado h 6= 0, tente adivif (a + h) − f (a)
quando
nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma (h) =
h
h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas).
9) Se f : IR → IR é dada por f (x) = ax2 + bx + c , com a 6= 0 , USE O EXERCÍCIO
ANTERIOR para deduzir as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico da função f .
10) Um grupo de amigos trabalha no perı́odo de férias vendendo salgadinhos nas praias.
O aluguel do trailler e todos os equipamentos necessários para a produção custam R$ 2000,00
por mês. O custo do material de cada salgadinho é de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal
como função do número de salgadinhos elaborados.
11) Um fabricante produz peças para computadores pelo preço de R$ 2,00 cada uma.
Calcula-se que, se cada peça for vendida por x reais, os consumidores comprarão por mês
(600 − x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como função do preço. Obter
o preço ótimo de venda.
12) O preço de uma corrida de táxi é constituı́do de uma parte fixa, chamada bandeirada,
e de uma parte variável, que depende do número de quilômetros rodados. Em uma cidade X
a bandeirada é R$ 10,00 e o preço do quilômetro rodado é R$ 0,50.
(a) Determine a função que representa o preço da corrida.
(b) Se alguém pegar um táxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de
distância, quanto pagará pela corrida ?
13) Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada
passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de
passageiros que torna máxima a receita da companhia ?
Funções
25
14) Uma indústria comercializa um certo produto e tem função custo total em mil reais,
dada por CT (q) = q 2 + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A função receita
total em mil reais é dada por R(q) = 120q .
(a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.
(b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo ?
Respostas:
8x + 4
−263
(c) f ◦ h : IR − {7} → IR dada por (f ◦ h)(x) =
98
x−7
11
(d) h2 (5) = 49 (e) (h ◦ h)(5) =
7
2) (a) Im (f1 ) = [−2, +∞) , f1 não é limitada, x = −4 é ponto de mı́nimo absoluto.
f1 é decrescente em (−∞, −4] e crescente em [−4, +∞) . f1 é polinomial.
1) (a) IR − {7}
(b)
(b) Im (f2 ) = (−∞, 3] , f2 não é limitada, x = 2 é ponto de máximo absoluto. f2 é
crescente em (−∞, 2] e decrescente em [2, +∞) . f2 é polinomial.
(c) Im (f3 ) = [0, +∞) , f3 não é limitada, x = 2 é ponto de mı́nimo absoluto. f3 é
decrescente em (−∞, 2] e crescente em [2, +∞) . f3 é polinomial.
(d) Im (f4 ) = [−∞, 0] , f4 não é limitada, x = −2 é ponto de máximo absoluto. f4 é
crescente em (−∞, −2] e decrescente em [−2, +∞) . f4 é polinomial.
(e) Im (f5 ) = IR , f5 não é limitada e não possui máximos ou mı́nimos. f5 é crescente
(em todo seu domı́nio). f5 é polinomial.
(f) Im (f6 ) = IR , f6 não é limitada e não possui máximos ou mı́nimos. f6 é decrescente
(em todo seu domı́nio). f6 é polinomial.
(g) Im (f7 ) = [0, 5] , f7 é limitada, x = 0 é ponto de mı́nimo absoluto, x = 3 é ponto
de máximo local. f7 é decrescente em (−5, 0] e crescente em [0, 3] .
(h) Im (f8 ) = IR − {0} , f8 não é limitada e não possui máximos ou mı́nimos.
decrescente em (−∞, 2) e crescente em (2, +∞) . f8 é racional.
f8 é
(i) Im (f9 ) = [−2, −1/6] , f9 é limitada, x = −4 é ponto de mı́nimo absoluto, x = 7 é
ponto de máximo absoluto. f9 é crescente (em todo seu domı́nio). f9 é racional.
(j) Im (f10 ) = [0, +∞) , f10 não é limitada, x = 0 é ponto de máximo absoluto. f10 é
crescente (em todo seu domı́nio).
3) (a) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 6x2 ;
(b) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 2x2 +
4V
;
x
26
CAPÍTULO 2
√
(c) l : [0, 4] → IR dada por l(x) = 2 16 − x2 .
4) l = g ◦ f , com f : [0, 4] → IR dada por f (x) = 16 − x2 e g : [0, +∞) → IR dada por
√
g(x) = 2 x .
2
5) S = −∞ ,
3
7) (a) (g ◦ f )(x) = x e (f ◦ g)(y) = y
(b) Os gráficos de f e g são simétricos em relação à reta y = x .
√
(c) g[−5, 3] → [1, 3] dada por g(y) = 4 − y .
8) (b) m0 (h) = −h + 4 é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f , passando
pelos pontos (0, f (0)) e (h, f (h)).
(c) Como h varia, o ponto (h, f (h)) varia sobre o gráfico de f , enquanto que o ponto
(0, f (0)) permanece fixo. Assim, quando h se aproxima de 0, a reta secante se aproxima da
reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, f (0)) e m0 (h) se aproxima do coeficiente angular
dessa tangente.
(d) a = 2 e b = 1 , ou seja, V (2, 1) é o vértice da parábola.
(e) ma (h) = −h tende a 0 quando h tende a 0.
x
(x é o número de salgadinhos
10) C : IN ∪ {0} → IR dada por C(x) = 2000 +
10
elaborados)
11) l : [0, 600] → IR dada por l(x) = −x2 + 602x − 1200 . Preço ótimo de venda:
x = 301 .
x
12) (a) P : [0, +∞) dada por P (x) = 10 + .
2
(b) R$ 14,00.
13) 105 passageiros.
14) L : [0, +∞) → IR dada por L(q) = −q 2 + 100q − 475 .
(a) L(80) = R$1.125.000,00 ;
(b) Em q = 50 acontecerá lucro máximo.
Funções
2.4
27
Inversão de funções
Seja f : X → Y uma função. A cada x ∈ X está associado um único f (x) ∈ Y .
Nos interessa a situação em que a associação inversa f (x) 7→ x é uma função de Y em X.
Para isso, f deverá possuir duas caracterı́sticas:
• f (X) = Y (a imagem de f é todo o conjunto Y );
• x1 6= x2 em X ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) em Y .
Uma função f : X → Y é chamada SOBREJETORA quando f (X) = Y , ou seja, a
imagem de f é todo o contradomı́nio Y .
Uma função f : X → Y é chamada INJETORA quando elementos distintos do domı́nio
têm sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) em Y .
Exemplos:
(a)
(b)
28
CAPÍTULO 2
(c)
Uma função f : X → Y é INVERTÍVEL quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo
tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNÇÃO g : Y → X que associa y 7→ g(y) e
tal que g(f (x)) = x ∀ x ∈ X e f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y .
g é dita A INVERSA DA FUNÇÃO f e escrevemos g = f −1 .
Exemplo:
Funções
29
Exercı́cio: Para cada uma das funções dadas posteriormente, faça o que se pede:
a) Faça um esboço do GRÁFICO da função.
b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a função dada é LIMITADA ou não.
c) Em que partes de seu domı́nio a função é CRESCENTE ou DECRESCENTE ?
d) Determine pontos e valores MÁXIMOS ou MÍNIMOS (quando existirem).
e) A função é INJETORA ? Justifique.
f) A função é SOBREJETORA ? Justifique.
g) Se a função dada for INVERTÍVEL, determine sua INVERSA e faça um esboço do
GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA.
1) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 .
2) g1 : IR → [0, +∞) dada por g1 (x) = |3x − 1| .
3) h1 : IR → IR dada por h1 (x) = −x2 + 9 .
4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1 (x) = 2x .
(
5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1 (x) =
x2
−x + 2
se x < 1
.
se x ≥ 1
6) r1 : [0, +∞) → [0, +∞) dada por r1 (x) = |x2 − 3x| .
7) s1 : IR → IR dada por s1 (x) = x2 + 2 .
8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1 (x) = x2 + 2 .
9) v1 : IR+ → IR+ dada por v1 (x) = x2 .
10) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = − |x| .
11) g2 : IR → IR dada por g2 (x) = −
x
+1.
3
30
CAPÍTULO 2
12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2 (x) = −
x
+1.
3
√
13) p2 : [0, +∞) → (−∞, 0] dada por p2 (x) = − 2x .
(
14) q2 : IR → IR dada por q2 (x) =
1
0
se 1 ≤ x ≤ 3
.
se x < 1 ou x > 3
15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2 .s1 .
(
16) s2 : IR → IR dada por s2 (x) =
1/x
0
se x 6= 0
.
se x = 0
(
17) v2 : (−∞, −1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2 (x) =
18) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3 (x) = 1 −
2.5
√
−π
x2
se x < −1
.
se x ≥ 0
1 − x2 .
Funções exponenciais e logarı́tmicas
Revisão:
a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).
a 6= 0 ⇒ a0 = 1 e a−n =
n PAR e a ≥ 0 : b =
√
n
1
(n = 1, 2, 3, . . .) .
an
a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .
n ÍMPAR e a ∈ IR : b =
√
n
a ⇔ bn = a .
Definimos potências RACIONAIS de números reais positivos do seguinte modo:
a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ⇒ ap/q =
√
q
ap
Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1 +r2 e ar > 0 .
Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).
Para isso consideremos a > 0 .
Se x é racional, já temos ap/q =
√
q
ap .
Funções
31
Se x é IRRACIONAL, sabemos que é possı́vel obter uma seqüência de racionais r1 , r2 , r3 , . . .
que se aproxima de x tanto quanto quisermos:
r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , . . . −→ x
FATO: A seqüência ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um número real, o qual DEFINIMOS como ax .
Temos então a nossa função exponencial de base a:
• Fixado a > 0 em IR, a função fa : IR → IR+ dada por fa (x) = ax para todo x ∈ IR
é chamada FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE a.
Propriedades:
ax · ay = ax+y ,
(ax )y = ax·y ,
(a · b)x = ax · bx ,
a0 = 1
Gráfico:
(
Crescimento ou decrescimento: fa (x) = ax é
Inversa: Se a 6= 1 então
fa : IR → IR+
x 7→ ax
mitindo portanto uma função inversa
CRECENTE
DECRESCENTE
se
se
a>1
a<1
é SOBREJETORA e INJETORA, ad-
.
fa−1 : IR+ → IR
−1
y 7→ fa (y)
fa−1 é chamada FUNÇÃO LOGARÍTMICA DE BASE a e escrevemos fa−1 (y) = loga y .
Temos então: y = ax ⇔ x = loga y .
fa
fa−1
x 7−→ ax = y 7−→ x = loga y = loga ax
fa−1
fa
y 7−→ x = loga y 7−→ y = ax = aloga y
32
CAPÍTULO 2
• Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a função fa−1 : IR+ → IR dada por fa−1 (y) = loga y .
Propriedades:
loga (x · y) = loga x + loga y , loga (xy ) = y · loga x ,
loga 1 = 0
Gráfico:
Um número especial:
1
1
1
1
+ + + + . . . . Mostra-se que esta soma converge
2! 3! 4! 5!
(“se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos”) para um número real conhecido por
CONSTANTE DE EULER e denotado por e .
1
1
1
1
Assim, podemos escrever e = 1 + 1 + + + + + . . . .
2! 3! 4! 5!
Consideremos a soma 1 + 1 +
É fácil ver que 2 < e < 3 :
2 < 1+1+
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + + + ... < 1 + 1 + + 2 + 3 + 4 + ... = 3
2! 3! 4! 5!
2
2
2
2
O número real e acima definido irá desempenhar um importante papel ao longo do nosso
curso de Cálculo I, no que se refere às funções exponencial e logarı́tmica, na base e :
fe−1
fe : IR → IR+ dada por fe (x) = ex (função exponencial de base e) e sua inversa
: IR+ → IR dada por fe−1 (x) = loge x (função logarı́tmica de base e).
Escrevemos também loge x = log x = ln x .
Obs.: Outro modo de obter o número e :
1
2
3
1
1
1
1+
,
1+
, 1+
,
1
2
3
1
1+
4
4
,
1
1+
5
5
, . . . −→ e
Funções
2.6
33
Funções trigonométricas
• Medidas de ângulos em radianos:
Um ângulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferência (centrada
no vértice do ângulo) de comprimento igual ao raio da circunferência considerada:
Assim, um ângulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo
r o raio da circunferência considerada:
l
θ
=
1
r
⇒ l =θ·r
Desta forma, é fácil ver que a medida de “uma volta” em radianos é 2π rad :
2πr = θ · r ⇒ θ = 2π rad
• Relações trigonométricas nos triângulos retângulos:
π
Consideremos 0 < θ <
e um ângulo de θ rad em um triângulo retângulo:
2
sen θ =
b
a
cos θ =
c
a
tg θ =
sen θ
b
=
cos θ
c
cos2 θ + sen 2 θ = 1
34
CAPÍTULO 2
• O cı́rculo trigonométrico:
Relações:
cos2 θ + sen 2 θ = 1 ,
ctg θ =
1
( sen θ 6= 0) ,
tg θ
sec2 θ = 1 + tg 2 θ ,
sec θ =
1
(cos θ 6= 0) ,
cos θ
csc2 θ = 1 + ctg 2 θ
csc θ =
1
( sen θ 6= 0)
sen θ
• Ângulos notáveis:
θ (rad)
sen θ
cos θ
tg θ
0
0
1
0
π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
√
√
2
3
1
1
0
−1
0
2
√2
√2
3
2
1
0 −1
0
1
2
√2
√2
3
1
3
@
0
@
0
3
• Fórmulas de transformação:
A partir das fórmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferença de dois ângulos,
podemos deduzir (veja exercı́cios mais à frente) outras importantes fórmulas de transformação,
as quais têm utilidade no cálculo de certas integrais trigonométricas.

 cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b
cos(a − b) = cos a · cos b + sen a · sen b
 sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
sen (a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a
Funções
35
• Funções trigonométricas:
Função SENO:
sen : IR −→ IR
x 7−→
sen x
Gráfico:
Im ( sen ) = [−1, 1]
sen (−x) = − sen x (é uma função ÍMPAR)
sen (x + 2π) = sen x (é uma função PERIÓDICA de perı́odo T = 2π)
A função SENO é ...
... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k ÍMPAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z)
Assume o VALOR MÍNIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z)
1
. Assim, não é difı́cil ver que a função
sen x
csc : IR − {kπ , k ∈ Z} → IR , que associa x 7→ csc x = 1/ sen x tem gráfico:
Se sen x 6= 0 , então temos csc x =
36
CAPÍTULO 2
A função SENO NÃO É injetora e NÃO É sobrejetora, mas a quando restringimos seu
domı́nio e seu contra-domı́nio, temos uma nova função f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1] , a qual
x 7−→
sen x
é BIJETORA
e tem portanto inversa
f −1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2]
y 7−→ f −1 (y) = arc sen y
Exercı́cio: Faça um estudo semelhante ao que fizemos com a função SENO, para as funções
COSSENO e TANGENTE.
2.7
Exercı́cios
1) Sabendo que f : IR → IR é uma função polinomial do 1o grau, que f (−1) = 2
e f (2) = 3 , determine f (x) para cada x ∈ IR (uma função polinomial do 1o grau está
totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma reta
está totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos).
2) Sabendo que g : IR → IR é uma função polinomial do 2o grau, que g(1) = 3 ,
g(−1) = −1 e g(2) = 6 , determine g(x) para cada x ∈ IR (uma função polinomial do
2o grau está totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos =
uma parábola está totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos).
Funções
37
3) (Polinômios de Lagrange) Sejam x1 , x2 , x3 números reais distintos e y1 , y2 , y3
números reais não necessariamente distintos. O único polinômio p(x) do 2o grau tal que
p(x1 ) = y1 , p(x2 ) = y2 e p(x3 ) = y3 é dado por
p(x) = y1 ·
(x − x1 )(x − x3 )
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x2 )(x − x3 )
+ y2 ·
+ y3 ·
(x1 − x2 )(x1 − x3 )
(x2 − x1 )(x2 − x3 )
(x3 − x1 )(x3 − x2 )
(a) Usando o resultado acima, refaça o exercı́cio anterior.
(b) Generalize o resultado acima e obtenha a função polinomial do 3o grau que assume em
−1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0, −2 , respectivamente.
4) Sejam X ⊂ IR um conjunto simétrico em relação à origem 0 e f : X → IR uma função.
1
(a) Mostre que g : X → IR dada por g(x) = [f (x) + f (−x)] é uma função par e que
2
1
h : X → IR dada por h(x) = [f (x) − f (−x)] é ı́mpar (veja Exercı́cio 6 da pág. 23).
2
(b) Obtenha a soma g +h e tente fazer agora (se você ainda não fez) o item 6) do Exercı́cio
6 da pág. 23.
x−1
. Mostre que f não é par
(c) Seja f : IR − {−1, 1} → IR a função dada por f (x) =
x+1
e não é ı́mpar. Escreva f como a soma de uma função par com uma função ı́mpar.
5) Prove que cada uma das funções abaixo é invertı́vel (bijetora) e obtenha a inversa:
(a) f : IR → IR dada por f (x) = 3x + 4 ;
1
(a ∈ IR) ;
x−a
x+a
(c) h : IR − {a} → IR − {1} dada por g(x) =
(a ∈ IR) ;
x−a
√
(d) r : [1, +∞) → [0, +∞) dada por r(x) = x − 1 .
(b) g : IR − {a} → IR − {0} dada por g(x) =
6) (Desafio) Seja g : (−1, 1) → IR dada por g(x) =
x
. Prove que g é invertı́vel
1 − |x|
(ou seja, bijetora) e obtenha g −1 .
7) Se f : IR → IR é dada por f (x) = 2x , mostre que f (x + 3) − f (x − 1) =
1−x
8) Dada φ : (−1, 1) → IR dada por φ(x) = ln
, verifique a igualdade:
1+x
a+b
φ(a) + φ(b) = φ
1 + ab
15
.
2f (x)
38
CAPÍTULO 2
9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o rádio, o urânio
ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a
taxa de decaimento da massa desses materiais é utilizando o conceito de meia-vida.
A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua
massa seja reduzida à metade.
Denotando por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa
presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por
M = M0 e−Kt
sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material.
A equação acima é conhecida como modelo de decaimento exponencial.
Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determinar:
(a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;
(b) A quantidade de massa presente após dois perı́odos de meia-vida, se no instante t = 0
a massa era M0 ;
(c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste
é 80% da quantidade original.
10) Uma certa substância radioativa decai exponencialmente e, após 100 anos, ainda restam
60% da quantidade inicial.
(a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substância.
(b) Determinar a sua meia-vida.
(c) Determinar o tempo necessário para que reste somente 15% de uma dada massa inicial.
11) Faça esboços dos gráficos das seguintes funções:
(a) f : IR → IR dada por f (x) = 2x ;
(b) g : IR → IR dada por g(x) = e−x ;
(c) h : IR → IR dada por h(x) = −ex ;
(d) s : IR − {0} → IR dada por s(x) = ln |x| ;
(e) l : (−∞, 0) → IR dada por l(x) = ln(−x) ;
(f) m : IR+ → IR dada por m(x) = |ln x| ;
(g) n : (−1, +∞) → IR dada por n(x) = − ln(1 + x) .
Funções
39
12) Uma função f : X → IR é dita PERIÓDICA quando existe um número T > 0
(chamado o perı́odo de f ) tal que f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ X . Neste caso, seu gráfico
se repete a cada intervalo de comprimento T .
As funções trigonométricas constituem exemplos clássicos de funções periódicas:
(a) Mostre que as funções fn : IR → IR dadas por fn (x) = sen nx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) são
todas ı́mpares e periódicas de perı́odo T = 2π .
(b) Mostre que as funções gn : IR → IR dadas por gn (x) = cos nx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)
são todas pares e periódicas de perı́odo T = 2π .
13) (Fórmulas de Transformação) Prove as seguintes identidades trigonométricas:

1 − cos 2a


sen 2 a =


2



 cos2 a = 1 + cos 2a
2

1


cos a · cos b =
· cos(a + b) +


2






1
sen a · sen b =
· cos(a − b) −

2







1

 sen a · cos b =
· sen (a + b) +
2
1
· cos(a − b)
2
1
· cos(a + b)
2
1
· sen (a − b)
2
14) Seja f : IR − {x ∈ IR ; cos x = 0 } → IR dada por f (θ) = tg θ . Verifique:
f (2θ) =
2f (θ)
1 − [f (θ)]2
15) Faça esboços dos gráficos das seguintes funções:
(a) f : IR → IR dada por f (x) = sen 3x ;
(b) g : IR → IR dada por g(x) = 2 cos 2x ;
(c) h : IR → IR dada por h(x) = 1 + sen x ;
(d) s : IR → IR dada por s(x) = | sen x| ;
(e) l : IR → IR dada por l(x) = sen (x − (π/2)) .
16) Seja f : [1, 100] → IR dada por f (x) = arc sen [log10 (x/10)] . Obtenha f (1), f (100)
√
e f ( 10 ) .
40
CAPÍTULO 2
17) (Funções Hiperbólicas) Definimos as funções hiperbólicas básicas:
ex − e−x
2
x
e + e−x
• Função Cosseno Hiperbólico: cosh : IR → IR dada por cosh x =
2
• Função Seno Hiperbólico: senh : IR → IR dada por senh x =
(a) Faça um esboço do gráfico das funções senh e cosh.
(b) Prove que cosh2 x − senh 2 x = 1 para todo x ∈ IR .
(c) Prove que cosh x ≥ 1 para todo x ∈ IR .
Definimos ainda:
tgh : IR → IR dada por tgh x =
senh x
cosh x
ctgh : IR − {0} → IR dada por ctgh x =
sech : IR → IR dada por sech x =
cosh x
senh x
1
cosh x
csch : IR − {0} → IR dada por csch x =
1
senh x
(d) Obtenha (prove) relações entre as funções tgh e sech e entre ctgh e csch .
18) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 2 senh x − 3 tgh x . Obtenha f (2) , f (−1) e f (0) .
Respostas de exercı́cios:
• Exercı́cio da página 17:
(A) Máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor máximo absoluto f1 (0) = 4 .
f1 não possui nenhum ponto de mı́nimo.
(B) Máximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume o valor máximo absoluto f2 (1) = 3 .
Mı́nimo absoluto (e local) em x = 3 onde assume o valor mı́nimo absoluto f2 (3) = −5 .
(C) Mı́nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor mı́nimo absoluto f3 (0) = 0 .
(D) Máximo local em x = 0 onde assume o valor máximo local f4 (0) = 4 . Mı́nimo
absoluto (e local) no conjunto {−2, 2} , onde assume o valor mı́nimo absoluto f4 (2) = 0 .
(E) Máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor máximo absoluto f5 (0) =
1 . Mı́nimo absoluto (e local) no conjunto {−1, 1} , onde assume o valor mı́nimo absoluto
Funções
41
f5 (−1) = 0 .
(F) f6 não é função.
(G) Máximo local no conjunto (−∞, 1/4) , onde assume o valor máximo local f7 (−2) =
−3 . Mı́nimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, 1/4] , onde assume o valor mı́nimo absoluto
f7 (−4) = −3 .
(H) Máximo absoluto (e local) em x = 2 onde assume o valor máximo absoluto f8 (2) = 2 .
f8 não possui nenhum ponto de mı́nimo.
(I) f9 não possui nenhum ponto de máximo ou de mı́nimo.
(J) Máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor máximo absoluto f10 (0) = 0 .
f10 não possui nenhum ponto de mı́nimo.
• Exercı́cio da página 29:
1) Im (f1 ) = IR . f1 não é limitada. f1 é crescente em todo o seu domı́nio. f1
não possui nenhum ponto de máximo ou de mı́nimo. f1 é injetora e sobrejetora, possuindo
y+1
.
inversa f1−1 : IR → IR dada por f1−1 (y) =
3
2) Im (g1 ) = [0, +∞) . g1 não é limitada. g1 é decrescente em (−∞, 1/3] e crescente
em [1/3, +∞) . g1 possui ponto de mı́nimo absoluto (e local) em x = 1/3 onde assume
valor mı́nimo absoluto 0. g1 não possui nenhum ponto de máximo. g1 é sobrejetora mas
não é injetora e por isso não é invertı́vel.
3) Im (h1 ) = (−∞, 9] . h1 não é limitada. h1 é crescente em (−∞, 0] e decrescente
em [0, +∞) . h1 possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
máximo absoluto 9. h1 não possui nenhum ponto de mı́nimo. h1 não é injetora e não é
sobrejetora, e por isso não é invertı́vel.
4) Im (p1 ) = (0, 6] . p1 é limitada. p1 é crescente (em todo o seu domı́nio). p1 possui
ponto de máximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor máximo 6. p1 não possui
nenhum ponto de mı́nimo. p1 é injetora e sobrejetora, possuindo inversa p−1
1 : (0, 6] → (0, 3]
w
−1
dada por p1 (w) =
.
2
5) Im (q1 ) = [−3, +∞) . q1 não é limitada. q1 é crescente em [0, 1] e decrescente
em (−∞, 0] e em [1, 5] . q1 possui ponto de máximo local em x = 1 onde assume valor
máximo local 1. q1 possui ponto de mı́nimo absoluto (e local) em x = 5 onde assume valor
mı́nimo absoluto −3 e possui ponto de mı́nimo local em x = 0 onde assume valor mı́nimo
local 0. q1 não é injetora e não é sobrejetora, e por isso não é invertı́vel.
6) Im (r1 ) = [0, +∞) . r1 não é limitada. r1 é crescente em [0, 3/2] e em [3, +∞)
e decrescente em [3/2, 3] . r1 possui ponto de máximo local em x = 3/2 onde assume
42
CAPÍTULO 2
valor máximo local 9/4. r1 possui ponto de mı́nimo absoluto (e local) no conjunto {0, 3}
onde assume valor mı́nimo absoluto 0. r1 é sobrejetora mas não é injetora e por isso não é
invertı́vel.
7) Im (s1 ) = [2, +∞) . s1 não é limitada. s1 é decrescente em (−∞, 0] e crescente
em [0, +∞) . s1 possui ponto de mı́nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
mı́nimo absoluto 2. s1 não possui nenhum ponto de máximo. s1 não é sobrejetora e não é
injetora, e por isso não é invertı́vel.
8) Im (u1 ) = [2, 11] . u1 é limitada. u1 é decrescente em [−2, 0] e crescente em [0, 3] .
u1 possui ponto de mı́nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mı́nimo absoluto
2. u1 possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor máximo
absoluto 9 e possui ponto de máximo local em x = −2 onde assume valor máximo local 6.
u1 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertı́vel.
9) Im (v1 ) = IR+ . v1 não é limitada. v1 é crescente em todo o seu domı́nio. v1
não possui nenhum ponto de máximo ou de mı́nimo. v1 é injetora e sobrejetora, possuindo
√
inversa v1−1 : IR+ → IR+ dada por v1−1 (z) = z .
10) Im (f2 ) = (−∞, 0] . f2 não é limitada. f2 é crescente em (−∞, 0] e decrescente
em [0, +∞) . f2 possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
máximo absoluto 0. f2 não possui nenhum ponto de mı́nimo. f2 não é sobrejetora e não é
injetora, e por isso não é invertı́vel.
11) Im (g2 ) = IR . g2 não é limitada. g2 é decrescente em todo o seu domı́nio. g2
não possui nenhum ponto de máximo ou de mı́nimo. g2 é injetora e sobrejetora, possuindo
inversa g2−1 : IR → IR dada por g2−1 (y) = −3y + 3 .
12) Im (h2 ) = (−∞, 2) . h2 não é limitada. h2 é decrescente em todo o seu domı́nio.
h2 não possui nenhum ponto de máximo ou de mı́nimo. h2 é injetora mas não é sobrejetora
e por isso não é invertı́vel.
13) Im (p2 ) = (−∞, 0] . p2 não é limitada. p2 é decrescente em todo o seu domı́nio. p2
possui nenhum ponto de máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor máximo
absoluto 0. p2 não possui nenhum ponto de mı́nimo. p2 é injetora e sobrejetora, possuindo
t2
−1
−1
inversa p2 : (−∞, 0] → [0, +∞) dada por p2 (t) =
.
2
14) Im (q2 ) = {0, 1} . q2 é limitada. q2 não é crescente ou decrescente em intervalo
algum. q2 possui ponto de máximo absoluto (e local) no conjunto [1, 3] onde assume valor
máximo absoluto 1. q2 possui ponto de mı́nimo local no conjunto (1, 3) onde assume valor
mı́nimo local 1. q2 possui ponto de mı́nimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde
assume valor mı́nimo absoluto 0. q2 possui ponto de máximo local no conjunto IR − [1, 3]
onde assume valor máximo local 0. q2 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é
Funções
43
invertı́vel.
15) Im (r2 ) = {0} ∪ [3, 11] . r2 é limitada. r2 é crescente em [1, 3] . r2 possui ponto
de máximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor máximo absoluto 11. r2 possui
ponto de mı́nimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde assume valor mı́nimo absoluto
0. r2 possui ponto de máximo local no conjunto IR − [1, 3] onde assume valor máximo local
0. r2 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertı́vel.
16) Im (s2 ) = IR . s2 não é limitada. s2 é decrescente em (−∞, 0] e em [0, +∞) . s2
não possui nenhum ponto de máximo ou de mı́nimo. s2 é injetora e sobrejetora, possuindo
inversa s−1
2 = s2 .
17) Im (v2 ) = {−π} ∪ [0, +∞) . v2 não é limitada. v2 é crescente em [0, +∞) .
v2 possui ponto de máximo local em (−∞, −1) onde assume valor máximo local −π. v2
possui ponto de mı́nimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, −1) onde assume valor mı́nimo
absoluto −π. v2 possui ponto de mı́nimo local em x = 0 onde assume valor mı́nimo local 0.
v2 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertı́vel.
18) Im (f3 ) = [0, 1] . f3 é limitada. f3 é crescente em (−1, 0] e decrescente em [0, 1] .
f3 possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume valor máximo absoluto
1. f3 possui ponto de mı́nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mı́nimo
absoluto 0. f3 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertı́vel.
• Exercı́cio da página 36 (antes da Seção 2.7):
Função COSSENO:
cos : IR −→ IR
(Gráfico)
x 7−→ cos x
Im (cos) = [−1, 1]
cos(−x) = cos x (é uma função PAR)
cos(x + 2π) = cos x (é uma função PERIÓDICA de perı́odo T = 2π)
A função COSSENO é ...
... CRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k ÍMPAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k PAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ (k ∈ Z)
Assume o VALOR MÍNIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + π (k ∈ Z)
44
CAPÍTULO 2
Se cos x 6= 0 , então definimos sec x =
1
.
cos x
Assim, sec : IR − {kπ + π/2 , k ∈ Z} → IR associa x 7→ sec x = 1/ cos x . (Gráfico)
A função COSSENO NÃO É injetora e NÃO É sobrejetora, mas a quando restringimos seu
domı́nio e seu contra-domı́nio, temos uma nova função g : [0, π] −→ [−1, 1] , a qual é BIx 7−→ cos x
−1
JETORA (Gráfico) e tem portanto inversa g : [−1, 1] −→ [0, π]
(Gráfico)
y 7−→ g −1 (y) = arc cos y
Função TANGENTE:
tg : IR − {x ∈ IR ; cos x = 0 } −→ IR
x 7−→
tg x =
sen x
cos x
(Gráfico)
Im ( tg ) = IR
tg (−x) = − tg x (é uma função ÍMPAR)
tg (x + π) = tg x (é uma função PERIÓDICA de perı́odo T = π)
A função TANGENTE é ...
... CRESCENTE em [kπ − π/2, kπ + π/2] , k ∈ Z
NÃO ASSUME VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO EM NENHUM PONTO.
Se tg x 6= 0 , então definimos ctg x =
cos x
1
=
.
tg x
sen x
cos x
Assim, ctg : IR − {x ∈ IR ; sen x = 0 } → IR associa x 7→ ctg x = 1/ tg x =
.
sen x
(Gráfico)
A função TANGENTE É SOBREJETORA e NÃO É injetora, mas a quando restringimos
seu domı́nio temos uma nova função h : (−π/2, π/2) −→ IR
x 7−→
(Gráfico) e tem portanto inversa
, a qual é BIJETORA
tg x
h−1 : IR −→ (−π/2, π/2)
y 7−→ h−1 (y) = arc tg y
(Gráfico)
Funções
45
• Exercı́cios da Seção 2.7:
x+7
1) f (x) =
.
3
x2
2
2) g(x) =
+ 2x +
.
3
3
3) (b) h : IR → IR dada por h(x) =
4) (b) g + h = f
(c) f (x) =
−4x3 + 15x2 − 11x
.
30
x2 + 1
2x
+
.
x2 − 1 1 − x2
5) (a) f −1 : IR → IR dada por f −1 (y) =
y−4
.
3
(b) g −1 : IR − {0} → IR − {a} dada por g −1 (w) =
1 + aw
.
w
(c) h−1 : IR − {1} → IR − {a} dada por h−1 (z) =
a + az
.
z−1
(d) r−1 : [0, +∞) → [1, +∞) dada por r−1 (x) = x2 + 1 .
9) (a) K =
log 2
5730
(b) M0 /2
log 0, 6
·t
10) (a) M = M0 · e 100
(c) t =
(c) t =
(b) t1/2 =
[− log(0, 8)] · 5730
≈ 1846 anos.
log 2
−100. log 2
≈ 135, 6915448856724 anos.
log 0, 6
100. log 0, 15
≈ 371, 3830897713448167 anos.
log 0, 6
16) f (1) = −π/2 ,
f (100) = π/2 ,
√
f ( 10 ) = −π/6 .
17) (d) 1 − tgh 2 x = sech 2 x e 1 − ctgh 2 x = − csch 2 x .
18) f (2) =
e8 − 3e6 + 3e2 − 1
,
e6 + e2
f (−1) =
1 − 3e + 3e3 − e4
,
e3 + e
f (0) = 0 .
46
CAPÍTULO 2
Capı́tulo 3
Limite de uma função e Continuidade
3.1
Motivação
Seja dada uma função f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .
Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhança de x por uma
função cujo gráfico é uma reta é através da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f (x)) ,
se houver esta tangente.
Conseqüência: Podemos relacionar uma série de informações sobre o comportamento de
f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto (onde existir).
Por exemplo:
(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.
47
48
CAPÍTULO 3
(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.
f assumindo máximo ou mı́nimo local
(C)
no interior de um intervalo
)
)
(D)
Concavidade do gráfico de f
voltada para cima, em um intervalo
)
(E)
Concavidade do gráfico de f
voltada para baixo, em um intervalo
⇒ mt = 0 no ponto de máximo ou mı́nimo.
⇒ mt crescente neste intervalo.
⇒ mt decrescente neste intervalo.
Obtendo “mt ” (coeficiente angular da reta tangente)
Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o
coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)) :
Limite de uma função e Continuidade
49
Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMAÇÕES POR RETAS SECANTES”:
Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),
secante ao gráfico de f , passando pelos pontos (a, f (a)) e (x, f (x)) :
Temos então uma função
msa : I − {a} → IR
x 7→ msa (x) =
f (x) − f (a)
x−a
Nos interessa investigar o comportamento de msa (x) (coeficiente angular das secantes)
quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x → a ).
O esperado é que, quando x → a , msa (x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum
número real e teremos
msa (x) → mta ∈ IR , quando x → a
Neste caso, dizemos que a função f é derivável no ponto a, existe a reta tangente ao gráfico
de f no ponto (a, f (a)) e seu coeficiente angular mta é chamado a derivada de f no ponto
a (escrevemos f 0 (a) ).
Obs.: É fundamental, para fazermos x → a , que possamos aproximar o ponto a por uma
seqüência de pontos do domı́nio X de f , diferentes de a.
Exemplo:
50
CAPÍTULO 3
Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,
Dada uma função g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por
pontos x ∈ X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x → a
(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) → L ∈ IR quando
x→a.
3.2
Limites
Dada uma função f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f (x) quando
x se aproxima de a , x =
6 a.
Para isso, a não precisa pertencer ao domı́nio de f , mas deve ser aproximado por pontos
do domı́nio:
Definição 3.1. (Ponto de acumulação): Um ponto a é chamado um PONTO DE ACUMULAÇÃO
do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tão próximos de a
quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.
Denotamos por X 0 o conjunto dos pontos de acumulação de X.
Exemplos:
(A) A = [−1, 3)
(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)
(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}
Limite de uma função e Continuidade
51
Consideremos agora, por exemplo, a função f : IR − {1} → IR dada por
f (x) =
3x2 − 2x − 1
x−1
1 não pertence ao domı́nio de f , mas é ponto de acumulação de IR − {1} . Podemos
então observar o comportamento de f (x) quando x → 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)
Temos:
x
0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f (x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997
x
2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
f (x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003
Observemos que f (x) se aproxima cada vez mais de 4 à medida que x → 1 .
Dizemos então que 4 é o limite de f (x) quando x tende a 1 (x → 1) e escrevemos:
lim
x→1
3x2 − 2x − 1
= 4.
x−1
A definição de limite
Definição 3.2. Sejam f : X → IR uma função e a ∈ X 0 (a é ponto de acumulação do
domı́nio - não precisa pertencer a X).
Dizemos que um número real L é o LIMITE de f (x) quando x tende a a , e escrevemos
lim f (x) = L
x→a
quando ...
... podemos obter f (x) tão próximo de L quanto
desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por valores (no domı́nio de f ) diferentes de a .
m
TRADUZINDO
... para cada > 0 dado, é possı́vel obter um
δ > 0 (em geral dependendo do ) tal que :
se x ∈ X e 0 < |x − a| < δ então |f (x) − L| < .
52
CAPÍTULO 3
Alguns limites fundamentais
• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = c ∀ x ∈ IR (função constante).
Para cada a ∈ IR temos:
lim f1 (x) = lim c = c
x→a
x→a
• Seja f2 : IR → IR dada por f2 (x) = x ∀ x ∈ IR (função identidade).
Para cada a ∈ IR temos:
lim f2 (x) = lim x = a
x→a
x→a
• Seja f3 : IR → IR dada por f3 (x) = sen x ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim sen x = 0
x→0
• Seja f4 : IR → IR dada por f4 (x) = cos x ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim cos x = 1
x→0
• Seja f5 : IR − { 0} → IR dada por f5 (x) =
Temos:
lim
x→0
sen x
=1
x
• Seja f6 : IR − { 0} → IR dada por f6 (x) =
Temos:
lim
x→0
cos x − 1
∀ x 6= 0 .
x
cos x − 1
=0
x
• Seja f7 : IR − { 0} → IR dada por f7 (x) =
Temos:
lim
sen x
∀ x 6= 0 .
x
x→0
ex − 1
∀ x 6= 0 .
x
ex − 1
=1
x
Limite de uma função e Continuidade
3.3
53
Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites
Teorema 3.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X 0 . Temos:
lim f (x) = L ⇔ lim (f (x) − L) = 0 ⇔ lim |f (x) − L| = 0
x→a
x→a
x→a
Em particular, considerando L = 0 , temos: lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0 .
x→a
x→a
Exemplo: Sabemos que lim x = 0 . Então segue que lim |x| = 0 .
x→0
x→0
Teorema 3.2. (Sanduı́che) Sejam f , g , h funções tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo
x 6= a em um intervalo aberto contendo a .
Se lim f (x) = L = lim h(x) , então lim g(x) = L .
x→a
x→a
x→a
Exemplo: Vamos mostrar que lim sen x = 0 .
x→0
54
CAPÍTULO 3
Teorema 3.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X 0 e lim f (x) = L , lim g(x) = M . Então:
x→a
x→a
lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ;
x→a
lim f (x) · g(x) = L · M ;
x→a
f (x)
L
=
se M 6= 0 ;
x→a g(x)
M
(
p
√
se n é ÍMPAR e L é qualquer real
n
lim n f (x) = L
x→a
se n é PAR e L > 0
lim
Exemplos:
(A) Seja p : IR → IR dada por p(x) = cn xn + cn−1 xn−1 + . . . + c1 x + c0 ,
com cn , cn−1 , . . . , c1 , c0 ∈ IR (constantes) e cn 6= 0 ( p é uma função polinomial de grau n).
Limite de uma função e Continuidade
(B) Funções racionais (quocientes de funções polinomiais)
(C) lim cos x = 1
x→0
55
56
CAPÍTULO 3
(D) lim
sen x
=1
x
(E) lim
cos x − 1
=0
x
x→0
x→0
Limite de uma função e Continuidade
57
Teorema 3.4. Se lim f (x) = 0 e g é limitada num intervalo aberto contendo o ponto a
x→a
(sem precisar estar definida em a), então lim f (x) · g(x) = 0 .
x→a
(Exemplo)
Teorema 3.5. (Troca de variáveis) Se lim f (u) = L , lim u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e
x→a
u→b
x 6= a ⇒ u 6= b , então
lim f (u(x)) = lim f (u) = L
x→a
Exemplos:
(A) lim
sen 4x
4x
(B) lim
sen 3x
x
(C) lim
5x − 1
x
x→0
x→0
x→0
u→b
58
CAPÍTULO 3
3.4
Exercı́cios
(A) Prove que se lim f (x) = L 6= 0 e lim g(x) = 0 então @ (não existe) lim
x→a
x→a
x→a
f (x)
.
g(x)
f (x)
f (x)
Sugestão: Suponha que exista lim
= M e considere lim f (x) = lim
· g(x) .
x→a g(x)
x→a
x→a g(x)
(B) Calcule os limites abaixo, justificando:
√
√
x2 − 9
x+2− 2
3 + 2x
1) lim
2) lim
3) lim
x→3 x − 3
x→0
x→1/2 5 − x
x
x−2
x4 − 16
4) lim
x→2
5) lim
x→−3
Sugestão: use que (an − bn ) = (a − b).(an−1 + an−2 b + . . . + abn−2 + bn−1 )
x+3
(1/x) + (1/3)
3
9) lim x sen
x→0
Sugestão: racionalize o numerador
1
√
3
x
6) lim √
x→0
10) lim
|x|
x4 + 7
4−
h→0
x2 + 5x + 6
1
8) lim √
2
x→−3 x − x − 12
u→1
5−u
s
3
y3 + 8
3 2 + 5x − 3x
11) lim
12)
lim
x→3
y→−2 y + 2
x2 − 1
7) lim
√
16 + h
h
x2 − x − 2
3x2 − 17x + 20
sen 3w
1 − cos t
14) lim
15)
lim
16) lim
2
2
x→2
x→4 4x − 25x + 36
w→0 sen 5w
t→0
sen t
(x − 2)
√
3
h+1−1
1 + tg x
sen 2 2t
sen x
17) lim
18) lim
19) lim
20)
lim
x→0
t→0
x→π x − π
h→0
h
sen x
t2
13) lim
21) lim
x→0
x
cos x
22) lim
x→0
1 − cos x
x2
√
x − (1/ 2)5
√
x − (1/ 2)
23) lim
x→0
5
25)
lim√
x→1/ 2
28) lim
e7y − 1
sen y
30) lim
x2 − 6x + 9
(x + 1)(x − 3)
y→0
x→3
33) lim
x→0
sen 3 x
5x(1 − cos x)
√
3x − 3 2
35) lim
√
x6 − 8
x→ 2
26) lim
x→−2
3x − 1
x
24) lim
x→0
3x2
1 − cos2 (x/2)
s
(x − 1)(x + 2)
x2 + 4x + 4
(1 − sec x). ctg x. cos x
x→0
x
√
π 3 − πx
√
31) lim
√
x→ 3 x3 − 3 3
s
1 − e2y
34) lim 3
y→0
y
27) lim
x→3
x2 − 9
x−3
29) lim
r
36) lim
y→0
sen πy
y
32)
lim
x→π/2
37) lim
x→1
x − π/2
cos x
x2 − 1
(1 − x)3
Limite de uma função e Continuidade
1 + cos x
x→−π
x+π
r
x−3
40) lim 3
x→3
27 − x3
38) lim
39) lim
x→0
59
ex + sen 2 x − 1
x
e sen x − 1
42) lim
x→0
2x
x3 + 2x2 + x
41) lim
x→−1
x+1
1 − cos x
sen 7y + cos πy − 1
44) lim √
x→0
y→0
y
5 · x · sen x
√
e2y − 1
x3 − 3 3
√
45) lim
46) lim
√
y→0 sen (3y)
x→ 3 4x − 4 3
43) lim
47) lim
x→−1
x3 + x2 − x − 1
x3 − x
48) lim
x→π/2
1 − sen x
x − (π/2)
Teoremas adicionais sobre limites
Teorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X 0 .
O lim f (x) , quando existe, é único.
x→a
Teorema 3.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X 0 . Se existe L = lim f (x) então a função f é
x→a
LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.
Exemplo: Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) =
1
∀ x 6= 0 .
x
0 é ponto de acumulação do domı́nio IR − {0} .
1
, pois f
Podemos afirmar que NÃO EXISTE o lim
x→0 x
intervalo aberto contendo 0 .
não é limitada em nenhum
Teorema 3.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X 0 e L = lim f (x) .
x→a
Se L > M então f (x) > M para todo x 6= a do domı́nio em um intervalo aberto
contendo o ponto a .
Em particular, se lim f (x) > 0 então f (x) > 0 para todo x 6= a do domı́nio em um
x→a
intervalo aberto contendo a .
Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim f (x) = L < M .
x→a
60
CAPÍTULO 3
Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X 0 .
Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X
menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :
lim f (x)
x→a+
(limite de f (x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto é, por valores x ∈ X, com x > a)
lim f (x)
x→a−
(limite de f (x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto é, por valores x < a em X)
Temos, neste caso, que existe L = lim f (x) se, e somente se, existem e são iguais a L
x→a
ambos os limites laterais, ou seja:
lim f (x) = lim− f (x) .
x→a+
x→a
Exemplos: (a) Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) =
|x|
.
x
(b)
Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBÉM PARA LIMITES LATERAIS,
COM AS DEVIDAS ADAPTAÇÕES !
Limite de uma função e Continuidade
61
Exercı́cios:
1) Sejam f, g : IR → IR dadas por:
(
f (x) =
x3 + 3
x+1
Faça um estudo sobre os limites:
2) Mostre que
lim
x→a
(
se x ≤ 1
se x > 1
lim f (x)
x→1
g(x) =
lim g(x)
x→1
x2
2
se x ≤ 1
se x > 1
lim (f.g)(x)
x→1
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= lim
(se existirem)
h→0
x−a
h
3) Para cada função f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩ X 0 (a é ponto do domı́nio e
ponto de acumulação do domı́nio), também fornecido, obtenha
mta = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)).
(a) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 e a = −5 .
(b) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = −x2 e a = 3 .
(c) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = sen x e a = π/6 .
(d) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = cos x e a = π/6 .
(e) f5 : IR → IR dada por f5 (x) = ex e a = 2 .
(f) f6 : (0, +∞) → IR dada por f6 (x) = 1/x e a =
√
2.
Faça ainda um esboço e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboço.
Sugestões:
Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa (x) das secantes por (a, f (a)) e (x, f (x)),
fazendo x → a.
Para as letras (c),(d) e (e), use também o exercı́cio anterior.
Pode tentar também fazer antes o Exercı́cio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este exercı́cio se torna um caso particular.
4) Para cada função f : X → IR do exercı́cio anterior, tente generalizar o resultado, obtendo
mta para um a ∈ X qualquer !
62
CAPÍTULO 3
3.5
Continuidade
Definição 3.3. Consideremos uma função f : X → IR tal que X ⊂ X 0 (todo ponto do
domı́nio é ponto de acumulação).
Dado um ponto a , dizemos que f É CONTÍNUA NO PONTO a quando as seguintes
condições são satisfeitas:
1) Existe f (a) (ou seja, a ∈ X);
2) Existe lim f (x) ;
x→a
3) lim f (x) = f (a) .
x→a
Se f não é contı́nua em um ponto a pertencente a seu domı́nio, dizemos que f É
DESCONTÍNUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.
Dizemos que f : X → IR é uma FUNÇÃO CONTÍNUA EM X quando ela é contı́nua em
todos os pontos de seu domı́nio.
Exemplos: (e contra-exemplos)
(A) Toda função polinomial é contı́nua !
(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :
(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVÍVEL:
(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:
Limite de uma função e Continuidade
63
Continuidade e operações entre funções
Teorema 3.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X 0 e a ∈ X .
Se f e g são contı́nuas no ponto a ∈ X , então:
(f ± g) são contı́nuas em a ;
(f · g) é uma função contı́nua em a ;
(f /g) é contı́nua em a se g(a) 6= 0 .
Teorema 3.11. (Composição) Sejam f : X → IR (X ⊂ X 0 ) e g : Y → IR (Y ⊂ Y 0 ) de
forma que a composta g ◦ f : X → IR está bem definida
Se f é contı́nua em a ∈ X e g é contı́nua em
g ◦ f : X → IR é contı́nua no ponto a ∈ X .
b = f (a) ∈ Y
então a composta
Funções contı́nuas em intervalos
• Quando estudamos problemas sobre máximos e mı́nimos, podemos ter funções que não
assumem valores máximos e/ou mı́nimos.
Por exemplo:
f : IR → IR dada por f (x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO !
g : (−1, 2) → IR dada por g(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO !
64
CAPÍTULO 3
Existe uma situação (envolvendo continuidade) na qual estes problemas não ocorrem:
Teorema 3.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b] → IR é uma função contı́nua (em todos os pontos
do intervalo limitado e fechado [a, b]), então f assume valores máximo e mı́nimo absolutos
neste intervalo [a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que
f (cM ) ≥ f (x) para todo x ∈ [a, b]
f (cm ) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b]
• Outra boa propriedade das funções contı́nuas é a “PROPRIEDADE DO VALOR INTERMEDIÁRIO”:
Teorema 3.13. (Teorema do valor intermediário) Se f : X → IR é contı́nua no intervalo
[a, b] ⊂ X e f (a) 6= f (b) , então f assume todos os valores entre f (a) e f (b) , ou mellhor,
dado qualquer d entre f (a) e f (b) , existe x entre a e b tal que f (x) = d .
(Ilustração)
(Exemplo)
Limite de uma função e Continuidade
3.6
65
Exercı́cios
1) Seja f : [0, +∞) → IR dada por f (x) =
√
x .
√
√
x = 0 (Sugestão: Considere apenas o limite lateral lim+ x - pois 0
x→0
x→0
√
√
3
só pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare x com x para 0 < x < 1 )
(i) Mostre que lim
(ii) Conclua que f é contı́nua (em todos os pontos de seu domı́nio).
√
x
(racionalize).
(iii) Mostre que @ lim
x→0 x
√
(iv) Generalize para g : [0, ∞) → IR dada por g(x) = n x , n = 2, 4, 6, 8, . . .
2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f é contı́nua ou não),
justificando:
(a) f : (−∞, 16] → IR dada por f (x) =
√
16 − x .
(b) f : [0, +∞) → IR dada por f (0) = 0 e f (x) =

x+1


 x3 + 1
(c) f : IR → IR dada por f (x) =



3
(
3) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
1
se x 6= 0 .
x2
se x 6= −1
.
se x = −1
x5 + x3 + 2x2 + 3
−x + 2
se x < 0
se x ≥ 0
(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .
(b) A equação f (x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.
(
4) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
x3 − x − 3
5−x
se x < 2
se x ≥ 2
(a) Onde f é contı́nua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)
(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe
x tal que f (x) = 0 ? JUSTIFIQUE.
66
CAPÍTULO 3
(
5) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
se x ≤ 3
se x > 3
2x + 1
−x2 + 8x − 8
(a) Responda se f é contı́nua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).
(b) Sabendo que f é crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10, +∞) , podemos
afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f (xM ) ≥ f (x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)
(
6) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
se x < −1
se x ≥ −1
x+1
1 + sen (x + 1)
(a) Responda se f é contı́nua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).
(b) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , é possı́vel afirmar que dado d entre f (a) e f (b), existe c entre
a e b com f (c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.
sen [π(x − 1)]
∀ x 6= 1 . f pode ser
x−1
contı́nua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f (1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se
não, JUSTIFIQUE.
7) (a) Seja f : IR → IR uma função tal que f (x) =
|x − 1|
∀ x 6= 1 . g pode ser contı́nua
x−1
em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não,
JUSTIFIQUE.
(b) Seja g : IR → IR uma função tal que g(x) =
Respostas de exercı́cios:
• Exercı́cio (B) da Seção 3.4:
√
8
2
1
1) 6
2)
3)
4)
9
4
32
11) −2
√
6
2
33)
5
39) 1
13) 0
20) −1
19) 4
27)
12) 12
21) 0
28) 7
√
3
34) − 2
40) −
1
3
5) −9
6) 0
14) @ (não existe)
22)
1
2
35)
2
16
41) 0
24) 12
36)
42)
1
2
√
8)
1
2
9) 0
16)
3
5
17)
25) 5/4
31) −
30) 0
√
1
7
15) 1
23) ln 3
29) −1/2
7)
π
π
9
37) @
43) 7
10) −
1
3
26) @
32) −1
38) 0
1
8
18) @
Limite de uma função e Continuidade
44)
1
√
2 5
45)
9
4
46)
67
2
3
47) 0
48) 0
• Exercı́cios da página 61:
1) @ lim f (x) , @ lim g(x) , lim (f.g)(x) = 4
x→1
x→1
x→1
2) Faça a mudança de variáveis x − a = h e aplique o Teorema sobre limites de funções
compostas !
3) (a) f10 (−5) = mt−5 = 3
(b) f20 (3) = mt3 = −6
√
3
2
1
=−
2
(c) f30 (π/6) = mtπ/6 =
(d) f40 (π/6) = mtπ/6
(e) f50 (2) = mt2 = e2
√
1
(f) f60 ( 2) = mt√2 = −
2
4) (a) f10 (a) = 3
(b) f20 (a) = −2a
(c) f30 (a) = cos a
(d) f40 (a) = − sen a
(e) f50 (a) = ea
(f) f60 (a) = −
1
a2
• Exercı́cios da Seção 3.6:
2) Contı́nua em...
a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos:
lim−
√
16 − x = 0 = f (16)
x→16
b) ... (0, +∞) . Em a = 0 temos: @ lim+ f (x)
x→0
c) ... IR − {−1} . Em a = −1 temos: ∃ lim f (x) = 1/3 6= f (−1)
x→−1
68
CAPÍTULO 3
3)
(a) f é contı́nua em todo a 6= 0 e não é contı́nua em a = 0 .
(b) Como a função f é contı́nua no intervalo [−2, −1] e f (−2) < 0 < f (−1) , temos
então pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO que existe x entre −2 e −1 tal que
f (x) = 0 .
4)
(a) f é contı́nua em todo a ∈ IR .
(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a função é contı́nua e “muda de sinal”.
O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO nos garante que sob estas condições a função
assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.
5)
(a) f é contı́nua em a = 3 (verificados também os limites laterais).
(b) SIM! f é contı́nua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume aı́
máximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se então (com as outras hipóteses)
que f (xM ) ≥ f (x) ∀ x ∈ IR .
6)
(a) f não é contı́nua em a = −1 (@ lim f (x) ).
x→−1
(b) NÃO PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2, −1] . Temos:
−1 = f (−2) < 1/2 < f (−1) = 1 mas não existe nenhum c ∈ [−2, −1] tal que f (c) = 1/2 .
7)
(a) SIM! f (1) = π para que f seja contı́nua em x = 1 .
(b) NÃO ! g não pode ser contı́nua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .
Capı́tulo 4
Derivada
4.1
A definição da Derivada
Definição 4.1. Consideremos uma função f : X → IR , com X ⊂ X 0 (todo ponto do
domı́nio é ponto de acumulação do domı́nio).
Dizemos que f é DERIVÁVEL em a ∈ X quando existe o limite
f 0 (a) = lim
x→a
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= lim
h→0
x−a
h
O número f 0 (a) ∈ IR é chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.
Observações:
• Em nossas aplicações, o domı́nio X será quase sempre um intervalo (e já teremos X ⊂ X 0 );
• Outras notações para f 0 (a) :
df
df dy
f (a) = Dx f (a) =
(a) =
ou ainda f 0 (a) = y 0 (a) =
(a) , se y = f (x)
dx
dx x=a
dx
0
• Podemos considerar a função f 0 : x 7→ f 0 (x) definida em todos os pontos x ∈ X onde
existir f 0 (x) . f 0 é chamada a FUNÇÃO DERIVADA DE f .
69
70
CAPÍTULO 4
Interpretação geométrica
Já vimos, como motivação para o estudo de limites, que se f : X → IR é derivável em
a ∈ X , então f 0 (a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gráfico
de f no ponto (a, f (a)) :
Vimos também que o conhecimento de f 0 (a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos
trazer uma série de informações sobre o comportamento da função f .
Primeiros exemplos:
(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR → IR dada por f (x) = c ∀ x ∈ IR .
Derivada
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g 0 (2) , por exemplo:
Exercı́cio:
(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 então g 0 (x) = 3x2 ∀ x ∈ IR .
(ii) Generalize (i) e mostre que se f (x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) então f 0 (x) = nxn−1 .
(C) Seja f : IR → IR dada por f (x) = sen x .
Exercı́cio: Obtenha a derivada de g : IR → IR dada por g(x) = cos x .
(D) Seja u : IR → IR dada por u(t) = et (função exponencial na base e).
71
72
CAPÍTULO 4
(E) Seja f : IR → IR dada por f (x) = |x| .
(F) Seja g : IR − {0} → IR dada por g(x) =
1
= x−4 .
4
x
Exercı́cio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)
então g 0 (x) = −nx−n−1 ∀x 6= 0 .
(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR → IR dada por u(t) = at (função exponencial na base a).
Derivada
4.2
73
Derivadas e continuidade
Teorema 4.1. Se f : X → IR é DERIVÁVEL em a ∈ X , então f é CONTÍNUA em a.
De fato:
Se f é derivável em a ∈ X , então existe o limite lim
x→a
f (x) − f (a)
= f 0 (a) .
x−a
Existe f (a) (pois a ∈ X).
f (x) − f (a)
Se x 6= a , temos: f (x) − f (a) =
· (x − a) .
x−a
Como lim
x→a
f (x) − f (a)
= f 0 (a) e lim (x − a) = 0 , segue que
x→a
x−a
lim f (x) − f (a) = lim
x→a
x→a
f (x) − f (a)
· lim (x − a) = f 0 (a) · 0 = 0
x→a
x−a
Logo lim f (x) = f (a) e portanto f é contı́nua no ponto a .
x→a
Algumas conseqüências:
• São contı́nuas em todos os pontos de seus domı́nios as funções:
1
f : IR − {0} → IR dada por f (x) = n (n = 1, 2, 3. . . .) ,
x
g1 : IR → IR dada por g1 (x) = sen x , g2 : IR → IR dada por g2 (x) = cos x ,
u : IR → IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois são todas deriváveis em todos os pontos de
seus domı́nios.
• Se uma determinada função é descontı́nua
em algum ponto de seu domı́nio, então ela não é
derivável neste ponto de descontinuidade.
• CUIDADO! Não podemos garantir a recı́proca do teorema anterior, ou seja, podemos
ter uma função que é contı́nua mas não é derivável em determinados pontos.
Exemplo: f (x) = |x| é contı́nua no ponto 0 ( lim |x| = 0 = f (0) ), mas já vimos que @ f 0 (0) .
x→0
74
CAPÍTULO 4
4.3
Exercı́cios
1
∀x 6= 0 . Obtenha, via definição, f 0 (1) .
x3
(b) Seja f (x) = sen x ∀x ∈ IR . Obtenha (via definição) f 0 (2π/3) .
1) (a) Seja f (x) =
(c) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via definição) que g 0 (x) = 5x . ln 5 ∀x ∈ IR .
(d) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 3 ·
√
3
x ∀ x ∈ IR
1
∀ a 6= 0 .
Mostre, via definição, que @ (não existe) f 0 (0) e que f 0 (a) = √
3
a2
2) (Derivadas Laterais) Quando f : X → IR , a é ponto de acumulação BILATERAL
de X e f é definida de modos diferentes à direita e à esquerda de a, a existência do limite
que define a derivada no ponto a é verificada observando-se a existência e a igualdade dos
limites laterais correspondentes (veja Teorema 3.9), chamados DERIVADAS LATERAIS DE
f (À DIREITA OU À ESQUERDA) NO PONTO a:
f+0 (a) = lim+
x→a
f (x) − f (a)
x−a
(
(a) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
e
f−0 (a) = lim−
x→a
x5 + x3 + 2x2 + 3
−x + 2
f (x) − f (a)
x−a
se x < 0
se x ≥ 0
f é derivável em x = 0 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f 0 (0). Se não for, justifique.
(
6x − 2 se x ≤ 1
(b) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
5−x
se x > 1
f é derivável em a = 1 ? Se for, PROVE e obtenha f 0 (1). Se não, justifique.
(
2x + 1
se x ≤ 3
(c) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
2
−x + 8x − 8 se x > 3
f é derivável em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f 0 (3). Se não for, justifique.
(
x3 − x − 3 se x < 2
(d) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
7 − x2
se x ≥ 2
f é derivável em a = 2 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f 0 (2). Se não for, justifique.
(
x+1
se x < −1
(e) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
1 + sen (x + 1) se x ≥ −1
f é derivável em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f 0 (−1). Se não, justifique.
Derivada
4.4
75
Regras de derivação
Teorema 4.2. Se f , g : X → IR são deriváveis em a ∈ X , então:
(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf ) : X → IR é derivável em a e (cf )0 (a) = c · f 0 (a) ;
(b) f ± g são deriváveis em a e (f ± g)0 (a) = f 0 (a) ± g 0 (a) ;
(c) (f · g) é derivável em a e (f · g)0 (a) = f 0 (a).g(a) + f (a).g 0 (a) ;
(d) (f /g) é derivável em a se g(a) 6= 0 e (f /g)0 (a) =
f 0 (a).g(a) − f (a).g 0 (a)
.
[g(a)]2
Exemplos:
(A) Para cada função f dada abaixo, obtenha f 0 (onde existir a derivada)
1) f : IR → IR dada por f (x) = 6x3 − 3x2 − x + 7 .
2) f : IR → IR dada por f (t) =
6t − 10
.
t2 + 5
3) f : IR − Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f (x) = tg x .
Exercı́cio: Obtenha
d
d
d
ctg x ,
sec x ,
csc x
dx
dx
dx
4) f : IR → IR dada por f (u) = eu (u3 + 3 cos u) .
76
CAPÍTULO 4
5) f : IR → IR dada por f (t) = sen 2t .
6) f : IR − {0} → IR dada por f (x) =
1
= x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .
xn
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = 4 − x2 .
1) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico de g e que passam pelos pontos:
A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .
2) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de g e que é paralela à reta y = 2x .
Derivada
77
3) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto A(1, 3) .
4) Em que ponto a tangente ao gráfico é “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)
5) Onde o coeficiente angular da tangente é positivo ?
6) Onde o coeficiente angular da tangente é negativo ?
A Regra da Cadeia - Derivadas de funções compostas
Teorema 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e a
composta (g ◦ u) : X → IR está bem definida:
Dado a ∈ X , se u é derivável em a (existe u0 (a)) e g é derivável em b = u(a) (existe
g 0 (b) = g 0 (u(a)) ), então a composta (g ◦ u) : X → IR é derivável em a ∈ X em temos ainda:
(g ◦ u)0 (a) = g 0 (b) · u0 (a) = g 0 (u(a)) · u0 (a)
Quanto à função derivada (g◦u)0 : x 7→ (g◦u)0 (x) , escrevemos (g◦u)0 (x) = g 0 (u(x))·u0 (x)
para todo x onde existirem as derivadas.
78
CAPÍTULO 4
Exemplos:
Para cada função f : IR → IR dada abaixo, obtenha f 0 (onde existir a derivada):
(A) f dada por f (x) = cos(x3 + 1) .
(B) f dada por f (t) = (4t3 − t2 + 3t − 2)2 .
(C) f dada por f (x) = (5x2 − 2x + 1)−3 .
(D) f dada por f (w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .
(E) f dada por f (t) = ekt , k 6= 0 (constante).
Derivada
79
(F) f dada por f (t) = sen 2t .
(G) f dada por f (t) = cos5 t .
2
(H) f dada por f (x) = e(x ) .
(I) f dada por f (w) = (ew − sen w)2 .
3
(J) f dada por f (t) = eπ cos(2t ) .
80
CAPÍTULO 4
Derivadas de funções inversas
Teorema 4.4. Seja f : I (intervalo) → J (intervalo) uma função INVERTÍVEL (bijetora =
injetora e sobrejetora) e CONTÍNUA (em todos os pontos de seu domı́nio I).
Sua inversa g : J → I é contı́nua em todos os pontos de J.
Mais ainda:
Se f é derivável em a ∈ I e f 0 (a) 6= 0 , então g é derivável em b = f (a) e podemos
obter g 0 (b) através da Regra da Cadeia.
Exemplos:
(A) Derivada da função logarı́tmica na base e:
Exercı́cio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g 0 (x) se g : (0, +∞) → IR é dada por
g(x) = loga x
Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0, +∞) ⇒ g 0 (x) =
1
∀x>0.
x ln a
Derivada
(B) Raı́zes:
(C) Funções trigonométricas e suas inversas:
Exercı́cio:
(a) Se g : [−1, 1] → [0, π] é dada por g(x) = arc cos x , mostre que
1
g 0 (x) = − √
∀ x ∈ (−1, 1)
1 − x2
81
82
CAPÍTULO 4
(b) Se h : IR → (−π/2, π/2) é dada por h(x) = arc tg x , mostre que
h0 (x) =
4.5
1
∀ x ∈ IR
1 + x2
Derivação implı́cita
Seja f : [−1, 1] → IR a função dada por f (x) =
√
1 − x2 para todo x ∈ [−1, 1] .
Pondo y = f (x) , temos:
√
y = 1 − x2
⇓
y 2 = 1 − x2 , y ≥ 0
⇓
(∗)
x2 + y 2 = 1 (y ≥ 0)
A equação (*) acima estabelece uma relação entre x e y = f (x) . Juntamente com a
restrição y ≥ 0 ela define bem a função f . Por isso dizemos que f ESTÁ IMPLICITAMENTE
DEFINIDA POR (*).
Tendo em mente que y = f (x) , ou seja, y é função de x , é fácil ver que a equação (*)
estabelece a igualdade entre x2 + f (x)2 e a função constante e igual a 1. Podemos pensar
portanto em DERIVAR EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x.
Vamos fazer isso, admitindo que y = f (x) é derivável e tomando o cuidado de lembrar
que y = f (x) , ou seja, y 2 é uma composição de funções e DEVEMOS USAR A REGRA
DA CADEIA:
x2 + y 2 = 1
⇓
2x + 2yy 0 = 0
⇓
(∗∗)
Lembrando que y = f (x) =
√
y0 = −
x
y
(y 6= 0)
1 − x2 , temos:
f 0 (x) = y 0 = − √
x
,
1 − x2
x ∈ (−1, 1)
Derivada
83
Possı́veis vantagens da derivação implı́cita:
• Derivar a equação (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar
obter a derivada através da expressão explı́cita de f .
• Uma equação em x e y pode definir implicitamente várias funções e, caso isto ocorra,
a derivação implı́cita serviria para todas elas.
Exemplos:
(A) Admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = ln x é derivável, obtenha f 0 (x) por
derivação implı́cita.
(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = xα seja
derivável, use logarı́tmos para obter f 0 (x) por derivação implı́cita.
(C) Obtenha a equação da reta tangente à curva
√
x2
+ y 2 = 1 no ponto (1, − 3 /2) .
4
84
CAPÍTULO 4
(D) Seja g : (0, +∞) → IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a 6= 1) . Admitindo que g é
derivável, obtenha g 0 (x) via derivação implı́cita.
r
(E) Se y =
4.6
3
x3
x
, obtenha y 0 (x) por derivação implı́cita.
+1
Exercı́cios
(A) O objetivo deste exercı́cio é observar a naturalidade da medida de ângulos em radianos,
no seguinte sentido: alguns cálculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao
invés de graus como unidades de medida.
Quando lidamos com as funções trigonométricas, por exemplo, quase todos os resultados
decorrem do seguinte limite:
sen x
lim
= 1 (Limite Trigonométrico Fundamental)
x→0
x
Ajuste a demonstração que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a
medida dos ângulos em GRAUS.
d sen x
Calcule também
quando x é medido em graus.
dx
Derivada
85
(B) Para cada função dada abaixo (por questões de economia, cometemos um abuso ao
omitir os domı́nios e contra-domı́nios), calcule sua derivada, indicando onde existe:
2w
1) f (x) = 10x2 + 9x − 4 2) h(x) = (2x2 − 4x + 1)(6x − 5) 3) f (w) = 3
w −7
3
1
3t + 4
9z 3 + 2z
−5
4) f (x) =
5)
g(x)
=
(8x−7)
6)
s(t)
=
7)
h(z)
=
1 + x + x2 + x3
6t − 7
6z + 1
2x + 3
8) H(x) = √
4x2 + 9
9) f (x) =
6
12) f (t) = (t6 − t−6 )
15) f (x) = x ln x
20) g(w) = ln
24) f (w) = ln cos2 3w
1/x
10) f (x) = 6x2 −
13) f (x) = xm/n m, n 6= 0 ∈ Z
16) g(x) =
ew + 1
ew − 1
p
5
x2
ln x
17) f (u) = ue−u
21) f (x) = ecos 2x
25) f (x) =
arc tg x
x2 + 1
2
5
+√
3
x
x2
11) f (w) =
√
3
3w2
14) h(s) = ln(5s2 + 1)3
18) h(s) = s2 e−2s
22) g(x) = x sen x
26) f (x) =
19) f (x) = ex ln x
23) h(x) = ln tg x
e2x
arc sen 5x
(C) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 2x3 + 4x2 − 5x − 3 no ponto
P (−1, 4).
(D) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 3x2 + 4x − 6 e tal que:
(i) Essa tangente seja paralela à reta 5x − 2y − 1 = 0 ;
(ii) Seja tangente ao gráfico no ponto P (1, 1) .
(E) Obtenha a equação da reta que passa por P (3, 1) e é tangente ao gráfico de y =
4
.
x
(F) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de f (x) = (x − 1)4 no ponto P (2, 1) .
(G) Determine as equações da tangente e da normal ao gráfico de y = 8 sen 3 x no ponto
P (π/6, 1) .
(H) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f : IR → (−2π, 2π) dada por
f (x) = 4. arc tg x no ponto A(1, π) .
(I) Considere f : IR → IR dada por f (x) = e−2x .
(i) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?
(ii) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ?
86
CAPÍTULO 4
(J) Considere f : IR → IR dada por f (x) =
arc tg x
.
π
(i) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?
√
(ii) Qual a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto B( 3 , 1/3) ?
(K) Seja f : IR → IR dada por f (x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se existir, a equação
da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)
(L) (i) A reta 3y + 8x + 1 = 0 é NORMAL ao gráfico de uma certa função f : IR → IR
no ponto A(1, −3) (pertencente ao gráfico de f ). Obtenha (JUSTIFICANDO) f 0 (1) .
(ii) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gráfico de
2
g(x) = e(x +6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao gráfico de g) ? (JUSTIFIQUE)
(M) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domı́nios
e contra-domı́nios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda o que se
pede:
1) f (x) = (3x − 1).(2x + 1)5 .
2) g(w) =
√
3
3w − 1 = (3w − 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g 0 (3).
3) h(s) = π. sec s =
2 −t)
4) f (t) = e(3t
π
. Obtenha ainda, em particular, h0 (0).
cos s
. Obtenha ainda, em particular, f 0 (1/3).
5) f (x) = ln( sen 4 2x) .
6) f (x) =
2x2
. Obtenha ainda, em particular, f 0 (2).
(x − 4)2
ctg s
cos s
7) h(s) = √ = √
. Obtenha ainda, em particular, h0 (π/4).
2
2 · sen s
2 +2t)
8) g(t) = (2t − 1)3 · e(t
. Obtenha ainda, em particular, g 0 (0).
9) f (w) = ln (5w2 + 2 + cos w) . Obtenha ainda, em particular, f 0 (0).
√
10) g(y) = arc tg ( y − 1 ) .
11) f (x) =
x3
. Responda: Para quais valores de x temos f 0 (x) = 0 ?
e2x
12) h(s) = sen (3s2 − s) + 2(s
2 +3s)
. Obtenha ainda, em particular, h0 (0).
Derivada
87
13) g(w) = tg w · ln(3 − w2 ) . Obtenha ainda, em particular, g 0 (0).
s(t)2
(existe s0 (t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s0 (1) = 2, obtenha v 0 (1) .
3t
p
15) u(y) = 4 2y 2 + 5 + 4 cos y = (2y 2 + 5 + 4 cos y)1/4 .
r
s2
3
16) h(s) =
. Obtenha ainda, em particular, h0 (1).
1 + s2
14) v(t) =
17) v(t) = ln 2 · log 1 (3t2 + 1) . v 0 (1) é positivo, negativo ou zero ? Obtenha v 0 (1) para
2
justificar.
x2
18) f (x) = x · ln x −
. Responda: Para quais valores de x temos f 0 (x) = x ?
2
2
1
. Obtenha ainda, em particular, g 0 (π/4).
sen 2 w
√
1
20) u(y) = tg arc tg
. Obtenha ainda, em particular, u0 ( 3 ) .
y
19) g(w) = csc2 w =
21) f (x) = x · (ln 5 − 1 + ln x) . Obtenha ainda, em particular, f 0 (2) .
22) h(θ) = ( tg θ + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h0 (π/3).
2
23) g(w) = ln(w2 − w) +
3(3w −w
ln 3
3)
. Obtenha ainda, em particular, g 0 (2).
sen [s(t)]
(existe s0 (t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = π/2 e s0 (2) = e, obtenha v 0 (2) .
t
√
25) u(y) = 3 · 3 arc tg y . Obtenha ainda u0 (1) e responda se u0 (1) é maior ou menor
que 1 (mostre as contas).
24) v(t) =
Respostas de exercı́cios:
• Segundo exercı́cio da página 71:
d
cos x = − sen x
dx
• Exercı́cios da Seção 4.3:
2) (a) f não pode ser derivável em x = 0 pois f não é contı́nua neste ponto.
(b) f não é derivável em a = 1 (apesar de ser contı́nua neste ponto), pois temos que
f+0 (1) = −1 6= 6 = f−0 (1) .
88
CAPÍTULO 4
f (x) − f (3)
= 2 ( f é derivável em a = 3 ).
x→3
x−3
(d) f não é derivável em a = 2 (apesar de ser contı́nua neste ponto), pois temos que
(c) ∃ f 0 (3) = lim
f+0 (2) = −4 6= 11 = f−0 (2) .
(e) f não é derivável em a = −1 pois não é contı́nua neste ponto.
• Exercı́cio da página 75:
d
ctg x = − csc2 x para todo x tal que sen x 6= 0
dx
d
sec x = sec x. tg x
dx
para todo x tal que cos x 6= 0
d
csc x = − csc x. ctg x
dx
para todo x tal que sen x 6= 0
• Exercı́cios da Seção 4.6:
sen x
π
d sen x
π cos x
(A) lim
=
e
=
(se x é dado em GRAUS).
x→0
x
180
dx
180
(B)
1) f 0 (x) = 20x + 9 ∀ x ∈ IR
3) f 0 (w) =
√
−4w3 − 14
3
∀
w
=
6
7
3
2
(w − 7)
5) g 0 (x) = −40(8x − 7)−6 ∀ x 6=
7) h0 (z) =
2) h0 (x) = 36x2 − 68x + 26 ∀ x ∈ IR
4) f 0 (x) = −
7
8
6) s0 (t) = −
1
108z 3 + 27z 2 + 2
∀
z
=
6
−
(6z + 1)2
6
9) f 0 (x) = −
1
√
5
5x x
11) f 0 (w) = √
3
2
9w
∀ x 6= 0
∀ w 6= 0
m
−1
m
0
13) f (x) =
·xn
n
(
15) f 0 (x) = ln x + 1 ∀ x > 0
(3x2 + 2x + 1)
∀ x 6= −1
(1 + x + x2 + x3 )2
135(3t + 4)2
7
∀ t 6=
4
(6t − 7)
6
18 − 12x
8) H 0 (x) = p
∀ x ∈ IR
(4x2 + 9)3
10) f 0 (x) = 12x +
5
4
− √
∀ x 6= 0
3
2
x
3x x2
12) f 0 (t) = 6(t6 − t−6 )5 .(6t5 + 6t−7 ) ∀ t 6= 0
∀ x > 0 se n é par
∀ x 6= 0 se n é ı́mpar
16) g 0 (x) =
17) f 0 (u) = (1 − u) · e−u ∀ u ∈ IR
14) h0 (s) =
30s
∀ s ∈ IR
5s2 + 1
2x ln x − x
∀x>0
(ln x)2
18) h0 (s) = (s − s2 ) · 2e−2s ∀ s ∈ IR
Derivada
89
19) f 0 (x) = xx (ln x + 1) ∀ x > 0
−2ew
∀ w 6= 0
e2w − 1
sen x 22) g 0 (x) = x sen x cos x ln x +
x
20) g 0 (w) =
21) f 0 (x) = −2ecos 2x · sen 2x ∀ x ∈ IR
23) h0 (x) =
1
sen x cos x
25) f 0 (x) =
1 − 2x arc tg x
∀ x ∈ IR
(x2 + 1)2
se tg x > 0
24) f 0 (w) = −6 tg 3w
se cos 3w 6= 0
√
1 1
2e2x · arc sen 5x · 1 − 25x2 − 5e2x
√
∀x∈ − ,
26) f (x) =
5 5
1 − 25x2 · ( arc sen 5x)2
0
(C) y = −7x − 3
(D) (i) y =
99
5
x−
2
16
(ii) y = 10x − 9
(E) y = −x + 4 ou y =
(F) y = −
−1
4
x+
9
3
x
3
+
4
2
√
(G) tangente: y = 3 3 x +
√ !
π 3
1−
2
√
3
normal: y = −
x+
9
√ !
π 3
1+
54
(H) y = 2x + (π − 2)
(I) (i) y = −2x + 1
1
(J) (i) y =
x
π
(K)
1
(ii) y = − x +
2
(ii) y = −4π x +
y = 2e2 x − 2e2 .
(L) (i) f 0 (1) =
3
8
(ii) b = 3e .
1 + ln 4
4
!
√
12π 3 + 1
3
∀x>0
90
CAPÍTULO 4
(M) 1) f 0 (x) = (2x + 1)4 (36x − 7) ∀ x ∈ IR
1
2) g 0 (w) = p
3
(3w −
3) h0 (s) = π. tg s. sec s
2 −t
4) f 0 (t) = e3t
e g 0 (3) = 1/4
se cos s 6= 0
e h0 (0) = 0
· (6t − 1) ∀ t ∈ IR
5) f 0 (x) = 8 ctg 2x
6) f 0 (x) =
∀ w 6= 1/3
1)2
se sen 2x 6= 0
−16x
∀ x 6= 4
(x − 4)3
csc2 s
7) h0 (s) = − √
2
e f 0 (1/3) = 1
se
e f 0 (2) = 4
sen s 6= 0
2 +2t
8) g 0 (t) = (2t − 1)2 · et
√
e h0 (π/4) = − 2
· [6 + (2t − 1)(2t + 2)]
9) f 0 (w) =
10w − sen w
∀ w ∈ IR
5w2 + 2 + cos w
10) g 0 (y) =
1
2y y − 1
√
∀ t ∈ IR
e g 0 (0) = 4
e f 0 (0) = 0
se y > 1
x2 (3 − 2x)
∀ x ∈ IR . f 0 (x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 .
11) f (x) =
2x
e
0
12) h0 (s) = cos(3s2 − s).(6s − 1) + 2(s
13) g 0 (w) =
14) v 0 (t) =
ln(3 − w2 ) 2w tg w
−
cos2 w
3 − w2
p
2 3 (1 + s2 )2
√
16) h (s) =
3(1 + s2 )2 . 3 s
17) v 0 (t) =
. ln 2.(2s + 3) ∀ s ∈ IR . h0 (0) = 3 ln 2 − 1 .
∀ cos w 6= 0 e −
√
3<w<
2t · s(t) · s0 (t) − s(t)2
∀ t 6= 0 . v 0 (1) = 1 .
3t2
y − sen y
15) u0 (y) = p
4
(2y 2 + 5 + 4 cos y)3
0
2 +3s)
∀ y ∈ IR .
√
3
0
∀ s 6= 0 . h (1) =
4
.
6
−6t
3
∀ t ∈ IR . v 0 (1) = − < 0 .
2
3t + 1
2
18) f 0 (x) = 2x ln x ∀ x > 0 . x = f 0 (x) quando x =
√
e .
√
3 . g 0 (0) = ln 3 .
Derivada
19) g 0 (w) =
91
−2 cos w
∀ sen w 6= 0 . g 0 (π/4) = −4 .
sen 3 w
20) u0 (y) = −
√
1
1
0
3) = − .
∀
y
=
6
0
.
u
(
2
y
3
21) f 0 (x) = ln x + ln 5 ∀ x > 0 . f 0 (2) = ln 10 .
√
22) h0 (θ) = 2( tg θ + 1). sec2 θ ∀ cos θ 6= 0 . h0 (π/3) = 8( 3 + 1) .
23) g 0 (w) =
3
2w − 1
2
3
+ (6w − 3w2 ) · 3(3w −w ) ∀ w < 0 ou w > 1 . g 0 (2) =
.
2
w −w
2
cos[s(t)] · s0 (t) · t − sen [s(t)]
1
0
.
∀
t
=
6
0
.
v
(2)
=
−
t2
4
r
2
1
1
0
0
25) u (y) = p
·
∀ y 6= 0 . u (1) = 3 2 < 1 .
2
3
π
( arc tg y)2 1 + y
24) v 0 (t) =
92
CAPÍTULO 4
Capı́tulo 5
Aplicações da Derivada
5.1
Acréscimos e diferenciais
Consideremos uma função f : X → IR derivável em pontos x ∈ X . Podemos escrever:
f 0 (x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
(para cada x onde f for derivável)
∆x é chamado ACRÉSCIMO DE x e representa a variação na variável independente x.
Pondo y = f (x) como variável dependente, temos que ∆y = f (x + ∆x) − f (x) representa
a VARIAÇÃO DA FUNÇÃO f (devida ao acréscimo ∆x ) e
f 0 (x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores
diferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f 0 (x) .
Então podemos dizer que ∆y/∆x é uma boa aproximação para f 0 (x) quando ∆x é
pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever
∆y
≈ f 0 (x)
∆x
quando ∆x é pequeno
ou então, de modo equivalente,
(∗) f (x + ∆x) − f (x) = ∆y ≈ f 0 (x) · ∆x
quando ∆x é pequeno
A relação (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximações para a variação da
função, ∆y = f (x + ∆x) − f (x) , através de f 0 (x) · ∆x , com ∆x pequeno !!!
93
94
CAPÍTULO 5
Por exemplo, vamos obter uma aproximação para (0, 98)4
Portanto, f 0 (x) · ∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esse
importante papel de ser uma boa aproximação para a variação da função f quando ∆x é
pequeno.
f 0 (x) · ∆x será denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo
com x e ∆x).
Escrevemos também dx = ∆x para a chamada diferencial de x.
dy = f 0 (x) · ∆x
dx = ∆x
Geometricamente, temos:
Aplicações da Derivada
95
Exemplos:
(A) Use diferenciais para obter aproximações para:
√
(a) 3 · (2, 001)2 − 5 · (2, 001) + 3
(b) 4 82
(B) A medida de um lado de um cubo é encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade
de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro máximo no cálculo do volume do
cubo.
96
CAPÍTULO 5
(C) A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força F de atração entre duas partı́culas de
g · m1 · m2
massas m1 e m2 é dada por F =
onde g é uma constante e s é a distância entre
s2
as partı́culas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variação de
s que aumente F em 10% .
(D) À medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha cônica cuja
altura é sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio é de 10 cm, use diferenciais para
aproximar a variação do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
Aplicações da Derivada
97
Exercı́cios:
1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)4 − 3(2, 01)3 + 4(2, 01)2 − 5 ,
√
√
√
√
1
3
65 , 37 , 3 0, 00098 , 0, 042 , 5(0, 99)3/5 − 3(0, 99)1/5 + 7 , √
.
4
15
2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .
3) Use diferenciais para obter uma aproximação para ctg 46◦ .
4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da área de uma esfera, quando o raio
varia de 2 a 2, 02 pés.
5) Os lados oposto e adjacente a um ângulo θ de um triângulo retângulo acusam medidas
de 10 pés e 8 pés, respectivamente, com erro possı́vel de 1,5 polegada na medida de 10 pés.
Use a diferencial de uma função trigonométrica inversa para obter uma aproximação do erro
no valor calculado de θ . (Obs.: 1 pé = 12 polegadas)
6) A altura de um cone circular reto é duas vezes o raio da base. A medida encontrada da
altura é de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado
no cálculo do volume do cone.
7) Se l (em metros) é o comprimento de um fio de ferro quando está a t graus de temperatura, então l = 60e0,00001. t . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l
quando t cresce, de 0 a 10 graus.
8) Em um ponto situado a 20’ (pés) da base de um mastro, o ângulo de elevação do topo
do mastro é de 60◦ , com erro possı́vel de 0, 25◦ . Obtenha, com auxı́lio de diferenciais, uma
aproximação do erro no cálculo da altura do mastro.
9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3 . Os seis
lados da caixa vão ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o preço do metal que vai
ser usado na fabricação da caixa é de R$ 0,80 por cm3 , use diferenciais para encontrar o preço
aproximado de todo o metal necessário.
10) A resistência elétrica R de um fio é proporcional ao seu comprimento l e inversamente
proporcional ao quadrado de seu diâmetro d. Suponha que a resistência de um fio, de comprimento dado (fixo), seja calculada
a partir
do diâmetro com uma possibilidade de erro de 2%
∆d
· 100 = 2 . Encontre a possı́vel porcentagem de erro no cálculo
na medida do diâmetro
d
do valor da resistência.
98
CAPÍTULO 5
11) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacessı́vel) em relação ao
seu nı́vel, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicialmente um sofisti√
cado aparelho baseado num feixe de laser e obteve 17 km como medida da distância de B ao
ponto A . Porém, para medir o ângulo θ da linha BA com o horizonte foi utilizado um outro
aparelho, não tão preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibilidade de erro igual a
∆θ = ±0, 01 rad.
(a) Obtenha a equação que expressa o desnı́vel h(θ) entre A e B, como função do ângulo θ.
(b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desnı́vel h(θ) calculado pelo explorador ?
(USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).
(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximação para o erro h(θ + ∆θ) − h(θ) no cálculo
do desnı́vel.
12) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproximação para a VARIAÇÃO
5
5
cm para
+ 0, 005 cm.
da área de uma esfera quando seu raio aumenta de
π
π
b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento ∆r do raio que, aplicado à esfera de
raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume?
4 3
πr cm3
Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua área é 4πr2 cm2 e seu volume é
3
13) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diâmetro, você recebe a oferta
de pagar 10% a mais por um acréscimo de 3 cm no diâmetro. Sem calcular áreas, USE
DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou não a oferta.
(Sugestão: Calcule aproximadamente o aumento percentual na área devido ao acréscimo
∆d = 3 cm)
Para qual diâmetro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diâmetro com um
aumento de 10% no preço seria justa para ambas as partes (você e o vendedor) ?
14) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde será constuı́da a
ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens são desniveladas. Mede-se então o ângulo de
inclinação que a ponte terá e obtem-se a medida de 30o , com possibilidade de erro de 1o . Use
diferenciais para obter uma aproximação do erro no cálculo do comprimento da ponte.
15) Um empresário fabrica tanques com a forma de cones “invertidos” nos quais a altura é
sempre igual ao diâmetro da base. Sem calcular volumes, USE DIFERENCIAIS para obter
(JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade (volume) dos tanques se
o raio da base é aumentado em 3, 333 . . . % .
Aplicações da Derivada
5.2
99
A Derivada como razão de variação
Variação média:
Sejam f : X → IR e y = f (x) .
A variável y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distância, volume, área,
etc.) que depende da variável independente x, a qual por sua vez representa também uma
quantidade de alguma grandeza.
Já vimos que ∆y = f (x1 + ∆x) − f (x1 ) é a variação da função, correspondente a uma
variação de x1 a x1 + ∆x (∆x é o chamado acréscimo em x).
f (x1 + ∆x) − f (x1 )
∆y
=
é a chamada VARIAÇÃO MÉDIA de y por unidade
∆x
∆x
de variação de x, quando x varia de x1 a x1 + ∆x.
Então
Exemplo: Seja S (em centı́metros quadrados) a área de um cubo de aresta x (centı́metros).
Encontre a razão de variação média da área por unidade de variação no comprimento da aresta
quando x varia de ...
(a) ... 3 a 3, 2 cm
(b) ... 3 a 3, 1 cm
Variação instantânea:
Quando fazemos ∆x → 0 no quociente ∆y/∆x
∆y
lim
∆x→0 ∆x
, o limite (quando existir)
será a RAZÃO (TAXA) DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA de y por unidade de variação de x
em (no INSTANTE em que) x = x1 .
Mas lim
∆x→0
∆y
f (x1 + ∆x) − f (x1 )
= lim
= f 0 (x1 ) (se existir o limite).
∆x ∆x→0
∆x
Portanto a derivada f 0 (x1 ) representa a razão (taxa) de variação instantânea de y = f (x)
por unidade de variação de x no instante em que x = x1 .
100
CAPÍTULO 5
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a razão de variação da área do cubo por
variação de centı́metro no comprimento da aresta quando x = 3 ?
Definimos ainda a taxa (razão) de VARIAÇÃO RELATIVA de y por unidade de variação
f 0 (x1 )
(proporção da variação instantânea em relação à quantidade
de x em x1 como sendo
f (x1 )
f (x1 ) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIAÇÃO PERCENTUAL,
dada por
f 0 (x1 )
· 100 .
f (x1 )
Exemplos:
(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 é o
volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:
(a) A razão de variação média do volume por unidade de variação do raio, quando r varia
de 5 a 5, 1 cm.
(b) A razão de variação instantânea do volume , por unidade de variação do raio, quando
r = 5 e quando r = 5, 1 cm.
(c) As taxas de variação relativas do volume, por unidade de variação do raio, quando r = 5
e quando r = 5, 1.
Aplicações da Derivada
101
(B) O lucro de um depósito de retalhos é de 100y reais quando x reais são gastos diariamente
em propaganda e y = 2500 + 36x − 0, 2x2 . Use a derivada para determinar se seria vantajoso
que o orçamento diário de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:
(a) O orçamento atual é de 60 reais diários;
(b) O orçamento atual é de 100 reais diários.
(C) Em um circuito elétrico, se E é a força eletromotriz, R ohms é a resistência e I amperes
é a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .
Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma razão que é proporcional
ao inverso do quadrado de I.
Se E = 100 volts, qual a taxa de variação de I por unidade de variação de R quando
R = 20 ohms ?
(D) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p é a pressão, V é o volume e
c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressão seja dada por 20 + 2t
u.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume é de 60 cm3 , determine a taxa de variação do
volume por unidade de variação do tempo quando t = 5.
102
CAPÍTULO 5
Um caso particular: interpretação cinemática da Derivada
Suponhamos agora que s = s(t) represente a posição de um objeto ao longo de uma linha
reta, como função do tempo t:
Se em t1 o objeto estava em s(t1 ) e em t1 + ∆t estava em s(t1 + ∆t) , a variação total da
posição do objeto entre os instantes t1 e t1 + ∆t é dada por
∆s = s(t1 + ∆t) − s(t1 )
A taxa de variação média de s por unidade de variação de tempo, entre o t1 e t1 + ∆t é
s(t1 + ∆t) − s(t1 )
∆t
Essa é a VELOCIDADE MÉDIA com que o objeto se movimentou de s(t1 ) até s(t1 + ∆t)
entre os instantes t1 e t1 + ∆t.
A razão de variação instantânea da posição s do objeto por unidade de variação do tempo,
no instante t1 é dada por
s(t1 + ∆t) − s(t1 )
s0 (t1 ) = lim
∆t→0
∆t
Essa é a VELOCIDADE INSTANTÂNEA do objeto no instante t = t1 .
Se s0 (t1 ) > 0 então a taxa de variação em t1 é positiva, ou seja, s está aumentando em t1 ,
ou melhor, o objeto está se movimentando no sentido adotado como positivo.
Se s0 (t1 ) < 0 , o movimento em t1 é contrário ao sentido positivo.
Se s0 (t1 ) = 0 então o objeto está parado no instante t1 .
Exemplos:
(A) Um foguete é lançado verticalmente para cima e está a s m do solo t s após ter sido lançado
(t ≥ 0), sendo s(t) = 160t − 5t2 (o sentido positivo é para cima). Determine:
(a) A velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 4 s.
(b) A velocidade instantânea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s.
(c) Em t = 20 s, o foguete está subindo ou caindo ?
Aplicações da Derivada
103
(d) Quanto tempo leva o foguete para alcançar a sua altura máxima ?
(e) Qual a altura máxima atingida pelo foguete ?
(B) Uma pedra é solta de um edifı́cio de 80 m de altura e a equação do movimento é dada por
s(t) = −5t2 (t em segundos, t ≥ 0, orientação positiva para cima).
(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo após ser lançada ?
(b) Quanto tempo leva a pedra para alcançar o solo ?
(c) Qual a velocidade (instantânea) da pedra ao atingir o solo ?
(d) Qual a velocidade média entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ?
104
CAPÍTULO 5
Obs.: Assim como definimos a velocidade como variação da posição por unidade de variação
do tempo, definimos a ACELERAÇÃO como sendo a variação da velocidade (olhando v = v(t))
por unidade de variação do tempo.
(C) A posição s de um objeto em movimento retilı́neo é dada por s(t) = 2t3 − 15t2 + 48t − 10 ,
com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a aceleração quando a velocidade é
de 12 m/s. Determine a velocidade quando a aceleração é de 10 m/s2 .
(D) Um bombardeiro está voando paralelo ao chão a uma altitude de 2 km e a uma velocidade constante de 4, 5 km/min. A que razão varia a distância entre o bombardeiro e o alvo
exatamente 20 segundos após o bombardeiro passar sobre o alvo ?
Aplicações da Derivada
105
Exercı́cios:
1) O volume de um balão esférico (em pés cúbicos) t horas após 13:00 é dado pela equação
4
V (t) = π(9−2t)3 , com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a variação média do volume por unidade de variação
3
de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de variação do volume por unidade de variação de
tempo às 16:00 ?
2) Suponha que, t segundos após ter começado a correr, o pulso de um indivı́duo tenha sua
taxa dada por P (t) = 56 + 2t2 − t (batimentos por minuto), com 0 ≤ t ≤ 7 . Determine a
variação média de P por unidade de variação de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha
a taxa de variação de P por unidade de variação de t em t = 2, t = 3, t = 4.
3) O iluminamento I (em u.i. - “unidades de iluminamento” ) de uma fonte de luz é
diretamente proporcional à intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado
da distância d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distância de 2 pés,
determine a taxa de variação de I por unidade de variação de d, quando d = 20 pés.
4) A relação entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala
Celsius, é dada por C = 5/9(F − 32). Qual a taxa de variação de F em relação a C ?
5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de
largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto
e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em função de s e determine a taxa
de variação de V em relação a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume possı́vel,
responda se é conveniente ou não aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.
Obs.: Lembremos que a ACELERAÇÃO de um objeto em movimento retilı́neo é a taxa
de variação da velocidade v por unidade de variação do tempo t.
6) Para cada uma das situações abaixo, define-se a posição s de um objeto em movimento
retilı́neo como função do tempo t. Determine a velocidade e aceleração em cada instante
t e tente descrever o movimento (posição inicial, velocidade inicial, direções do movimento,
quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados:
(a) s(t) = 3t2 −12t+1 , t ∈ [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t ∈ [1, 4] (c) s(t) = 24+6t−t3 , t ∈ [−2, 3]
(d) s(t) =
1 − e−3t
, t ∈ [0, 2] (e) s(t) = 3 cos πt , t ∈ [0, 2] (f) s(t) = t2 −4 ln(t+1) , t ∈ [0, 4]
3
7) Lança-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pés após t segs
dada por s(t) = 144t − 16t2 . Obtenha a velocidade e a aceleração iniciais e no instante t = 3
s (descreva o que ocorre). Qual a altura máxima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ?
106
CAPÍTULO 5
8) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) =
[ln(1 + t)] − t/4 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) = posição ao longo de um eixo
orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e
t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2. (c) Em que
instante o objeto pára ? Em que posição isto ocorre ? Qual a aceleração neste instante ?
9) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equação s(t) =
10 ln(2t + 1)
(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo
(2t + 1)
de um eixo orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade
nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto está parado ?
(d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 até t → +∞ .
10) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação
2t2
s(t) = t (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo de um eixo orientado,
e
medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 2, a
velocidade no instante t = 1 e responda qual delas é a maior (mostre as contas). (b) O que
ocorre com s(t) quando t → +∞ ? (c) Qual a maior distância da posição inicial que é atingida
pelo objeto ?
11) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação
s(t) = t · ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo de um eixo
orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t =
e3 − 1
. (b) Obtenha a
2
e3 − 1
velocidade nos instantes t = 0 e t =
. (c) Obtenha a aceleração no instante t = 0 .
2
(d) O que ocorre com a velocidade e com a aceleração quando t → +∞ ?
12) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação
2
s(t) = 3 − e−t (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo de um eixo
orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e
t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas é a maior (mostre as contas).
(b) O que ocorre com a velocidade instantânea v(t) quando t → +∞ ? (c) O que ocorre
com s(t) quando t → +∞ ? Qual a maior distância da posição inicial que é atingida pelo
objeto (se existir)?
Obs.: Para
9) (d), 10) (b), 11) (d) e 12) (b), (c) use as Seções 5.8, 5.9 e 5.10
Aplicações da Derivada
5.3
107
Taxas relacionadas
Em alguns problemas, podemos ter várias grandezas relacionadas através de equações.
Exemplos:
(A) Uma escada com 5 m de comprimento está inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua
base, apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a uma velocidade de 0,5
m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a
base está a 4 m da parede ?
(B) Infla-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de 5 dm3 /min. A
que razão o diâmetro do balão cresce quando o diâmetro é de 12 dm ?
108
CAPÍTULO 5
(C) Um tanque de água com a forma de cone invertido e altura igual ao diâmetro está sendo
enchido à razão de 3 m3 /s. Qual a velocidade com que o nı́vel de água sobe, quando a parte
cheia com água tem 2 m de altura ?
(D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta está girando com uma
velocidade de 3 rpm (rotações por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na região
costeira quando o ângulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol à praia é de π/4 rad ?
Aplicações da Derivada
109
Exercı́cios:
1) Um papagaio de papel está voando a uma altura de 40m. Um garoto está empinando
o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma razão de 3m/seg. Se a linha
está esticada, com que razão deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta é
50m ?
2) Um carro que viaja à razão de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o
carro está a 120m do cruzamento, um caminhão que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento.
O carro e o caminhão estão em estradas que formam ângulos retos uma com a outra. Com
que rapidez separam-se o carro e o caminhão 2 segundos depois que o caminhão passou pelo
cruzamento ?
3) De um orifı́cio em um recipiente vaza areia, que forma um monte cônico cuja altura é
sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta à razão de 6 pol/min, determine a taxa de
vazamento da areia quando a altura da pilha é 10 pols.
4) Uma lâmpada colocada em um poste está a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura
caminha afastando-se da lâmpada à razão de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade
de sua sombra no instante em que ele está a 4m do poste ? Com que rapidez se alonga sua
sombra neste instante ? Qual velocidade é a maior, a da extremidade da sombra ou a de
alongamento da sombra ? O que ocorre em outros instantes ?
5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p é a pressão, v é o volume e c
uma constante. Em certo instante, o volume é de 75 pols3 , a pressão 30 lbs/pol2 e a pressão
decresce à razão de 2 lbs/pol2 por minuto. Qual a taxa de variação do volume neste instante ?
6) Um ponto P (x, y) se move sobre o gráfico da equação y = ln(x3 ) (x > 0) e sua abscissa
x varia à razão de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y também varia a uma razão fixa ?
Qual a taxa de variação da ordenada no ponto (e, 3) ?
7) Quando duas resistências elétricas R1 e R2 são ligadas em paralelo, a resistência total
R é dada por 1/R = (1/R1 ) + (1/R2 ). Se R1 e R2 aumentam à razão de 0,01 ohms/s e 0,02
ohms/s, respect., qual a taxa de variação de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90
ohms ?
8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu
comprimento aumenta à taxa de 0,005 cm/min e seu diâmetro cresce à razão de 0,002 cm/min.
Qual a taxa de variação do volume quando o comprimento é 40 cm e o diâmetro é 3 cm ?
110
CAPÍTULO 5
9) Uma escada com 6 m de comprimento está apoiada em um dique inclinado a 60◦ em
relação à horizontal. Se a base da escada está sendo movida horizontalmente na direção do
dique à razão de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no
dique), quando a base estiver a 4 m do dique ?
10) Um avião voa a uma altura constante de 5000 pés ao longo de uma reta que o levará
diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador
nota que o ângulo de elevação do avião é de 60◦ e aumenta à razão de 1◦ por segundo, determine a velocidade do avião neste instante.
11) Um triângulo isósceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o ângulo entre
os lados iguais varia à razão de 2◦ por min, com que velocidade varia a área do triângulo
quando θ = 30◦ ?
12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais próximo P de uma estrada
retilı́nea está sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora,
se afastando de P. Determine a taxa de rotação do farol no instante em que o carro está a 1/4
de milha do farol.
13) Uma escada de 5 m de altura está apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior
da escada é puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada
escorrega à razão de 3 m/s, com que velocidade está variando a medida do ângulo entre a
escada e o solo quando a parte inferior da escada está a 3 m da parede ?
14) Um homem num cais está puxando um bote à razão de 2 m/s por meio de uma corda
(esta é a velocidade com que puxa a corda). As mãos do homem estão a 30 cm do nı́vel do
ponto onde a corda está presa no bote. com que velocidade varia a medida do ângulo de
deflexão da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda é
de 50 cm ?
15) Um quadro de 40 cm de altura está colocado numa parede, com sua base a 30 cm
acima do nı́vel dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede à razão
de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do ângulo subtendido pelo quadro a seus olhos,
quando o observador estiver a 1 m da parede ?
Aplicações da Derivada
111
16) Despeja-se água num recipiente de forma cônica à razão de 8 cm3 /min. O cone tem
20 cm de profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Com que velocidade deve
aumentar a profundidade da água no recipiente quando a água estiver a 16 cm do fundo ?
Suponhamos agora que se tenha a informação adicional de que existe um furo no fundo, pelo
qual a água escoa, e que a água está subindo à razão de 1/8π cm/min neste instante (quando
a água está a 16 cm do fundo). Com que velocidade a água está escoando ?
17) Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sua base, que
está apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a uma velocidade constante
de 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se desloca não é constante.
(b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando a base está a 3 m da parede
? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando o ângulo da escada com
o chão é de π/4 rad ?
18) A luz de um farol que gira à taxa de 1,5 rpm (rotações por minuto) está iluminando
(acompanhando) um carro que passa numa estrada retilı́nea. (Obs.: O farol está distante da
estrada)
No momento em que o ângulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol à estrada
é de π/3 rad, a distância do farol ao carro é de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade do
carro neste instante, em km/h.
A velocidade de rotação do farol é constante. Responda se a velocidade do carro também
é constante e justifique.
19) Uma escada de 4 m está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada (apoiada
no chão) é empurrada na direção da parede à razão (constante) de 2 m/s, com que velocidade
está variando a medida do ângulo (agudo) entre a escada e a parede vertical quando a base da
escada está a 2 m da parede ? A velocidade de variação deste ângulo é constante ? (Justifique)
20) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto às 8 horas da manhã, um viajando para
leste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora.
(a) Como estará variando a distância entre eles quando for meio-dia ?
(b) Como estará variando a área do triângulo formado pelo ponto de partida e as posições
dos ciclistas ao meio-dia ?
21) Um homem num cais está puxando um bote à razão de 1 m/s por meio de uma corda
(esta é a velocidade do bote). As mãos do homem estão a 1 m acima do nı́vel do ponto onde a
corda está presa no bote. Com que velocidade varia a medida do ângulo de deflexão da corda
√
(entre a corda e o movimento do bote) quando o bote está a 3 m de distância (“medidos na
horizontal”) do homem ?
112
5.4
CAPÍTULO 5
Alguns resultados importantes
Pontos crı́ticos, máximos e mı́nimos:
Definição 5.1. Um ponto c ∈ X é um PONTO CRÍTICO de f : X → IR quando f 0 (c) = 0
ou não existe f 0 (c) .
Exemplos:
(A) Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x .
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .
(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = ex .
(D) Seja s : IR → IR dada por s(x) = cos x .
√
(E) Seja f2 : IR → IR dada por f2 (x) = (x + 5)2 3 x − 4 .
Aplicações da Derivada
113
Teorema 5.1. Seja f : X → IR uma função. Se c é um ponto de máximo ou mı́nimo local
de f e c ∈ I (intervalo aberto) ⊂ X então c é um ponto crı́tico de f , ou seja, f 0 (c) = 0 ou
@ f 0 (c) .
Consequência importante do Teorema 5.1: Se f : [a, b] → IR é uma função contı́nua,
sabemos (ver Teorema 3.12) que f assume máximo e mı́nimo absolutos neste intervalo, ou seja,
existem cM e cm em [a, b] tais que f (cM ) ≥ f (x) e f (cm ) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b] .
O Teorema 5.1 nos diz que os candidatos a cM e cm são os pontos crı́ticos de f em (a, b)
juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b] .
Exemplos:
(A) f : [−3, 5] → IR dada por f (x) = x3 − 12x .
114
CAPÍTULO 5
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .
Obs.: Este exemplo mostra que não vale a recı́proca do Teorema 5.1
(C) (Aplicação) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços
quadrados de 12 dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.
Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo
volume seja máximo.
Aplicações da Derivada
115
O Teorema do Valor Médio para Derivadas:
Teorema 5.2. (Rolle) Se f é contı́nua em um intervalo limitado e fechado [a, b] , derivável
no intervalo aberto correspondente (a, b) e f (a) = f (b) , então existe (pelo menos um)
c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0 .
⇓
Teorema 5.3. (Teorema do Valor Médio, de Lagrange) Se f é contı́nua em um intervalo
limitado e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) então existe
f (b) − f (a)
.
(pelo menos um) c ∈ (a, b) tal que f (b)−f (a) = f 0 (c)·(b−a) , ou seja, f 0 (c) =
b−a
Principais conseqüências do Teorema do Valor Médio:
Teorema 5.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f contı́nua em um intervalo limitado
e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) .
(i) Se f 0 (x) > 0 para todo x em (a, b), então f é CRESCENTE em [a, b] .
(ii) Se f 0 (x) < 0 para todo x em (a, b), então f é DECRESCENTE em [a, b] .
116
CAPÍTULO 5
Teorema 5.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma função contı́nua em [a, b] e derivável
em (a, b), exceto possivelmente em um ponto crı́tico c ∈ (a, b) .
(i) Se f 0 (x) > 0 ∀ x ∈ (a, c) e f 0 (x) < 0 ∀ x ∈ (c, b) , então c é ponto de máximo local de f .
(ii) Se f 0 (x) < 0 ∀ x ∈ (a, c) e f 0 (x) > 0 ∀ x ∈ (c, b) , então c é ponto de mı́nimo local de f .
(iii) Se f 0 (x) > 0 ∀ x 6= c em (a, b) ou se f 0 (x) < 0 ∀ x 6= c em (a, b) então c não é nem
máximo nem mı́nimo local de f .
Exemplos:
(A) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR . Obtenha máximos ou mı́nimos
locais de g e onde g é crescente ou decrescente.
Aplicações da Derivada
117
(B) Seja f : IR → IR dada por f (x) = x4 − 4x2 ∀ x ∈ IR .
(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = x1/3 (8 − x) ∀ x ∈ IR .
√
(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = (x + 5)2 3 x − 4 ∀ x ∈ IR .
5.5
Concavidade e pontos de inflexão
Derivadas de ordem superior:
Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR → IR dada por f (x) = 2x3 − 5x2 + x + 2 .
Para todo x ∈ IR existe f 0 (x) = 6x2 − 10x + 1 .
Podemos considerar portanto a função f 0 : IR → IR dada por f 0 (x) = 6x2 − 10x + 1
f 0 (x) − f 0 (a)
= f 00 (a) para cada
x→a
x−a
a ∈ IR (existindo, f 00 (a) é chamada a derivada segunda de f em a).
e indagar se ela é derivável ou não, ou seja, se existe lim
Como f 0 (neste exemplo) é polinomial, sabemos que existe, ∀ x ∈ IR, f 00 (x) = 12x − 10
e temos portanto uma nova função f 00 : IR → IR dada por f 00 (x) = 12x − 10 ∀ x ∈ IR (f 00 é
a função derivada segunda de f .
Podemos pensar (novamente) em derivar f 00 e assim por diante...
(Exemplos)
Obs.: (A) Já interpretamos f 0 como taxa de variação instantânea de y = f (x) por unidade
de variação de x.
Como f 00 é a derivada de f 0 , então f 00 é a taxa de variação instantânea de f 0 (x) por unidade
de variação de x.
Em resumo: f 0 mede a variação de f ;
f 00 mede a variação de f 0 ;
f 000 mede a variação de f 00 e assim por diante ...
(B) Vimos também que se s = s(t) representa a posição s de um objeto ao longo de uma
linha reta, como função do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTÂNEA) a taxa
de variação instantânea de s por unidade de variação de t, ou seja, v(t) = s0 (t) .
Derivando novamente, temos a variação da velocidade v 0 (t) = s00 (t) (derivada segunda de
s), a qual chamamos de ACELERAÇÃO no instante t.
118
CAPÍTULO 5
Testes de concavidade:
Teorema 5.6. (Sobre concavidade) Seja f derivável em um intervalo aberto contendo c .
(i) Se existe f 00 (c) > 0 então no ponto ponto (c, f (c)) o gráfico de f tem a concavidade
voltada para cima.
(ii) Se existe f 00 (c) < 0 então no ponto ponto (c, f (c)) o gráfico de f tem a concavidade
voltada para baixo.
Exemplos:
(A) Seja f : IR → IR dada por f (x) = x3 ∀ x ∈ IR .
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = ex ∀ x ∈ IR .
Aplicações da Derivada
119
(C) Seja h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x ∀ x > 0 .
(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = sen x ∀ x ∈ IR .
(E) Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR .
Definição 5.2. (Ponto de inflexão) Um ponto (c, f (c)) do gráfico de uma função f , f contı́nua
em c, é chamado um PONTO DE INFLEXÃO quando neste ponto a concavidade “muda
de sentido” , ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintes
situações ocorre:
(i) f 00 (x) > 0 se x ∈ (a, c) e f 00 (x) < 0 se x ∈ (c, b) ;
(ii) f 00 (x) < 0 se x ∈ (a, c) e f 00 (x) > 0 se x ∈ (c, b) .
120
CAPÍTULO 5
Teorema 5.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f é derivável em um intervalo aberto contendo
c e f 0 (c) = 0, temos:
(i) Se f 00 (c) < 0 então f tem máximo local em c ;
(ii) Se f 00 (c) > 0 então f tem mı́nimo local em c .
Obs.: Se f 00 (c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira).
Exemplo: Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x .
Resumindo:
• f 0 mede a variação de f ; Sinal de f 0 : crescimento e decrescimento de f ;
Teste da Derivada Primeira: máximos e/ou mı́nimos.
• f 00 mede a variação de f 0 ; Sinal de f 00 : concavidade do gráfico de f ;
Teste da Derivada Segunda: máximos e/ou mı́nimos.
5.6
Aplicações em problemas de máximos e/ou mı́nimos
(A) Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito num triângulo
equilátero de lado a, com dois dos vértices sobre um dos lados do triângulo.
Aplicações da Derivada
121
(B) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de
largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por km do cabo é 25% mais
caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia ?
(C) Um cartaz de 20 pés de altura está localizado no topo de um edifı́cio de tal modo que
seu bordo inferior está a 60 pés acima do nı́vel do olho de um observador. Use funções
trigonométricas inversas para determinar a que distância de um ponto diretamente abaixo
do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o ângulo entre as linhas de visão do
topo e da base do cartaz.
122
CAPÍTULO 5
Exercı́cios:
1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 pés cúbicos,
determine as dimensões que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e
aperda de material). Refaça o problema considerando o caso de uma caixa coberta.
2) Determine as dimensões do cone circular reto de volume máximo que pode ser inscrito
numa esfera de raio a.
3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada para
formar uma calha, dobrando-se em ângulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas
polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja máxima ? Refaça o
problema considerando que os lados da calha devam fazer um ângulo de 2π/3 rad com a base.
4) Encontre as dimensões do retângulo de maior área que tem 200 cm de perı́metro.
5) Determine o ponto do gráfico de y = x3 mais próximo do ponto (4, 0).
6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidos
de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (até 600), o preço unitário
tem um desconto igual a US$0,02 vezes o número de encomendas. Qual volume de encomendas
proporciona maior receita para o fabricante ?
7) Às 13:00 horas um navio A está a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte
a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B está navegando rumo oeste a 10 mph, determine o
instante em que a distância entre os dois navios é mı́nima.
8) Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto B mais próximo numa praia reta. Um
armazém está num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar à razão de 4
km/h e caminhar à razão de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém
no menor tempo possı́vel ?
9) Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito
num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm.
10) José comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir à Copa do Mundo. A TV tem
uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distância dos olhos de José, quando ele estiver
sentado confortavelmente em seu sofá, xingando aqueles milionários que estão jogando vezes
o que deveriam para ganhar a Copa ( → 0). Sabendo que os olhos de José, ao sentar-se, estão
a 1,5 m de altura do solo e num nı́vel entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura
do solo deve ser colocada a TV para que o ângulo de visão de José seja máximo ?
Aplicações da Derivada
123
11) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens
opostas e um rio retilı́neo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto será construı́da sob a água,
de A até um ponto C na margem oposta, e o restante à superfı́cie, de C até B. Se o custo de
construção do oleoduto sob a água é quatro vezes o custo da construção à superfı́cie, determine
a localização de C que minimize o custo de construção.
12) O proprietário de um pomar estima que, plantando 24 árvores por are, cada árvore
produzirá 600 maçãs por ano. Para cada árvore adicional plantada por are, haverá uma
redução de 12 maçãs por pé por ano. Quantas árvores deve plantar por are para maximizar o
número de maçãs (por are por ano) ?
13) Um piloto de testes da Fórmula 1 percorre um circuito elı́ptico plano, de forma que
sua posição, após t vezes 10-segundos, é dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (faça um
esboço da trajetória percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t
é dado por v(t) = s0 (t) = (−2. sen t, cos t) (tente fazer um esboço). A velocidade (tangencial)
escalar é dada pelo módulo do vetor velocidade: |v(t)|. Supondo que o deve completar pelo
menos uma volta no circuito, calcule os pontos onde o piloto alcança as velocidades máximas
e mı́nimas. (Sugestão: maximizar e minimizar |v(t)|2 )
14) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm, sua área total é
S = (2πr2 + 2πrh) cm2 e seu volume é V = πr2 h cm3 . DENTRE TODOS OS CILINDROS
DE ÁREA TOTAL S = 12π cm2 , obtenha as dimensões (r e h) daquele que tem o maior
volume possı́vel e forneça o maior volume que pode ser obtido.
15) Quando duas resistências elétricas R1 e R2 são ligadas em paralelo, a
1
1
1
=
+
.
resistência total R é dada por
R
R1 R2
Se R1 > 0, R2 > 0 e R1 + R2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R1 e R2 tais que R
seja máxima. (Sugestão: Exprima R como função de uma única variável para então resolver o
problema) E se fossem pedidos R1 e R2 tais que R seja mı́nima ? Justifique a resposta.
16) Um fazendeiro dispõe de 1km de cerca. Uma parte da cerca será utilizada para cercar
uma área circular e o restante para cercar uma área quadrada. Ele também pode utilizar toda
a cerca para cercar uma única área (circular ou quadrada). Como ele deve proceder para que:
(a) A área total cercada seja a menor possı́vel; (b) A área total cercada seja a maior possı́vel.
17) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR RETO de VOLUME
3
m.
MÁXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio
2
124
5.7
CAPÍTULO 5
Aplicações em esboços de gráficos
Dada uma função f : X → IR , nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para
fazer um esboço do gráfico de f .
Algumas dicas:
1) Obter a derivada primeira f 0 e os pontos crı́ticos (onde f 0 se anula ou não existe);
2) Estudando o sinal de f 0 , obter informações sobre o crescimento/decrescimento de f ;
3) Obter a derivada segunda f 00 e estudar o seu sinal para obter informações sobre a
concavidade do gráfico de f ;
4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir
máximos ou mı́nimos locais;
5) Obter alguns pontos do gráfico para ajudar no esboço (pontos de máximo ou mı́nimo,
pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.);
6) Observar o comportamento de f (x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) busca de assı́ntotas horizontais (*);
7) Observar quando f (x) → ±∞ - busca de assı́ntotas verticais (*).
(*) Veremos estes dois últimos ı́tens com mais detalhes nas próximas aulas.
Exemplo: Seja f : IR → IR dada por f (x) = 5x3 − x5 .
Aplicações da Derivada
5.8
125
Apêndice A : Limites no infinito
Noção básica:
Dada f : X → IR, nos interessa investigar (se possı́vel) o comportamento de f (x) quando
x → ±∞ .
Dizemos que um número real L é o limite de f (x) quando x → +∞ e escrevemos
lim f (x) = L
x→+∞
quando f (x) se aproxima tanto quanto quisermos de L à medida que x cresce indefinidamente,
ou seja, quando x → +∞ .
Neste caso, a reta y = L é chamada uma ASSÍNTOTA HORIZONTAL do gráfico de f .
Analogamente, escrevemos
lim f (x) = M ∈ IR quando f (x) se aproxima tanto
x→−∞
quanto quisermos de M à medida que x → −∞ .
Neste caso também y = M é assı́ntota horizontal do gráfico de f .
Exemplos:
(A) f : [2, +∞) → IR dada por f (x) =
1
.
x
126
CAPÍTULO 5

 4+ 1
(B) g : (−∞, 3) → IR dada por g(x) =
x
 6
se
x ≤ −1
se −1 < x < 3
(C) u : IR → IR dada por u(x) = sen x .
Teoremas sobre limites no infinito:
Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adaptações.
Por exemplo: Se
lim f (x) = L e
x→+∞
lim g(x) = M , então podemos comcluir que
x→+∞
lim f (x) ± g(x) = L ± M , lim f (x) · g(x) = L · M , lim f (x)/g(x) = L/M se M 6= 0
x→+∞
x→+∞
x→+∞
(analogamente para x → −∞ )
Alguns limites básicos no infinito:
1)
lim c = c
x→±∞
2) Se k ∈ Q, k > 0 e c 6= 0 então
3)
5)
lim
x→+∞
1
1+
x
lim ex = 0
x→−∞
lim
c
= 0 (se fizerem sentido)
xk
lim
ln x
=0
x
lim
1
=0
ex
x→±∞
x
=e
4)
6)
x→+∞
x→+∞
7)
lim
x→+∞
1
=0
ln x
Aplicações da Derivada
127
Exemplos:
−5x3 + 2x
(A) lim 3
x→+∞ x − 4x2 + 3
(B)
lim
x→−∞
3x − 4
5x2
√
(C)
(D)
lim
x→+∞
lim
x→−∞
5x2 − 6
4x + 3
sen x
x
(E) (Exercı́cio) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que ex > x sempre
que x ≥ 1 (Sugestão: Mostre que f (x) = ex − x é crescente em [1, +∞) e f (1) > 0 ) e
1
conclua que lim x = 0 .
x→+∞ e
(F) (Exercı́cio) Mostre que
2
2
lim e−x = 0 (Sugestão: Mostre que 0 < e−x =
x→+∞
quando x → +∞ e aplique o Sanduı́che).
1
1
2 <
x
ex
e
128
5.9
CAPÍTULO 5
Apêndice B : Limites infinitos
Dada f : X → IR e a ∈ X 0 , vamos estudar agora, para auxı́lio no esboço do gráfico de f ,
a situação na qual NÃO EXISTE o lim f (x) (f não pode ser contı́nua em a) e, AINDA
x→a
ASSIM, f (x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x 6= a).
Escrevemos lim f (x) = +∞ quando f (x) → +∞ à medida que x → a (x 6= a) .
x→a
Neste caso, a reta x = a é chamada uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de f :
Analogamente, lim f (x) = −∞ quando f (x) → −∞ à medida que x → a (x 6= a) .
x→a
Neste caso também dizemos que x = a é uma assı́ntota vertical do gráfico de f :
Observações:
1) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais lim+ f (x) ou lim− f (x) .
x→a
x→a
2) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite lim f (x) NÃO EXISTE (não é um número
x→a
real). Apenas escrevemos lim f (x) = ±∞ para descrever um comportamento especial de
x→a
f (x) quando x se aproxima de a.
Aplicações da Derivada
129
Exemplos:
1
(A) lim
= +∞
x→−3 (x + 3)2
(B) lim+
1
= +∞
(x − 2)3
lim−
1
= −∞
(x − 2)3
x→2
x→2
(C) Em geral:
1
= +∞
(x − a)n
1
Se n é ÍMPAR: lim+
= +∞
x→a (x − a)n
Se n é PAR: lim
x→a
e
lim−
x→a
1
= −∞
(x − a)n
(D) lim+ ln x = −∞
x→0
(E)
lim
θ→π/2−
tg θ = +∞
Proposição 5.1. (Para ajudar no cálculo de alguns limites infinitos)
Sejam lim f (x) = +∞ , lim g(x) = c ∈ IR , lim h(x) = −∞ . Temos:
x→a
x→a
x→a
1) lim [f (x) + g(x)] = +∞ , lim [h(x) + g(x)] = −∞ .
x→a
2) lim
x→a
x→a
g(x)
g(x)
= 0 , lim
=0.
x→a h(x)
f (x)
⇒
3)
c > 0
lim
h(x)
= −∞ .
g(x)
x→a
lim f (x) · g(x) = +∞ ,
x→a
lim h(x) · g(x) = −∞ ,
x→a
c < 0 ⇒ lim f (x) · g(x) = −∞ , lim h(x) · g(x) = +∞ , lim
x→a
x→a
Obs.: Valem resultados análogos para limites laterais.
x→a
lim
x→a
f (x)
= +∞ ,
g(x)
f (x)
h(x)
= −∞ , lim
= +∞
x→a g(x)
g(x)
130
CAPÍTULO 5
Exemplos:
(A) f (x) =
(B)
lim
x→−π/2+
2x2
x2 − 9
sen x tg x
√
x4 + 2
(C) lim+
x→0
ln x
Aplicações da Derivada
131
Observação: De modo inteiramente análogo ao que fizemos para lim f (x) = ±∞ ,
x→a
podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposição anterior
continuam válidos! (apenas não temos mais as assı́ntotas verticais nestes casos)
(D)
lim x = +∞ ,
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
lim ex = +∞
(E)
(F)
x→+∞
(G)
lim ln x = +∞
x→+∞
lim −5x4 + 3x + 2
x→+∞
Observação: As conclusões que não podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos
com limites infinitos:
Devemos sempre tomar cuidado com operações entre funções que têm LIMITES INFINITOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINAÇÕES, que são as formas cujos comportamentos NÃO PODEMOS PREVER A PRIORI.
Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINAÇÕES:
0
,
0
∞
,
∞
0 · ∞ , 00 ,
∞0 ,
1∞ , ∞ − ∞
Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as funções dadas de modo que
possamos ELIMINAR AS INDETERMINAÇÕES. (EXEMPLOS)
132
CAPÍTULO 5
5.10
Apêndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital
0
∞
,
,
0
∞
INDETERMINAÇÕES.
As formas
0 · ∞ , 00 ,
∞0 ,
1∞ ,
∞ − ∞ são todas consideradas
Além de tentarmos trabalhar com as expressões que geram as indeterminações visando
ELIMINÁ-LAS, veremos a seguir alguns métodos para atacar estes problemas.
C.1) Indeterminações do tipo
0
∞
ou
:
0
∞
Uma ferramenta muito útil é a ...
Regra de L’Hopital:
Suponhamos que
x → ±∞ . Se
f (x)
tome a forma indeterminada
g(x)
Exemplos:
x→0
(B)
lim
3 − 2x − 3 cos x
5x
x→+∞
ln x
x
ou
∞
∞
quando x → c ou
f 0 (x)
tem limite (ou tende a ±∞ ) quando x → c (ou x → ±∞ ), então
g 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
lim
= lim 0
g(x)
g (x)
(A) lim
0
0
Aplicações da Derivada
(C)
lim
x→+∞
133
e2x
x2
Obs.: CUIDADO! Não saia aplicando a Regra de L’Hopital antes de verificar que realmente
se tem uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞ .
C.2) Indeterminações do tipo 0 · ∞ :
Escrevendo-se f (x) · g(x) =
0/0 ou ∞/∞ .
Exemplos:
(A) lim+ x · ln x
x→0
(B)
lim
x→+∞
arc tg x −
π
·x
2
f (x)
g(x)
ou f (x) · g(x) =
recai-se numa forma do tipo
1/g(x)
1/f (x)
134
CAPÍTULO 5
C.3) Indeterminações do tipo 00 , ∞0 ou 1∞ :
O roteiro abaixo pode ser útil nestes casos:
0) Seja f (x)g(x) a expressão que gera a indeterminação;
1) Tome y = f (x)g(x) ;
2) Tome logarı́tmos: ln y = ln f (x)g(x) = g(x) · ln f (x) (e recaia em casos já vistos);
3) Determine lim ln y (se existir);
4) Se lim ln y = L então lim y = eL . (Atenção: Não pare em 3)
Exemplos:
(A)
lim x1/x
x→+∞
(B)
(C)
lim
x→+∞
1
1+
x
lim x1/ ln x
x→+∞
x
Aplicações da Derivada
135
C.4) Indeterminações do tipo ∞ − ∞ :
Trabalhe com a expressão para cair em casos conhecidos !
Exemplos:
(A)
lim (sec x − tg x)
x→π/2−
(B) lim+
x→0
1
1
−
x
e −1
x
Exercı́cio:
APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, faça um esboço do gráfico de cada
função f dada a seguir:
Roteiro:
a. Obtenha a derivada primeira f 0 e os pontos crı́ticos de f .
b. Estudando o sinal de f 0 , obtenha informações sobre o crescimento/decrescimento de f .
c. Obtenha a derivada segunda f 00 e estude seu sinal para obter informações sobre a concavidade
do gráfico de f .
d. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir máximos
ou mı́nimos locais.
e. Obtenha alguns pontos do gráfico de f para ajudar no esboço (pontos de máximo ou mı́nimo,
pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.).
f. Observar o comportamento de f (x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) - busca
de assı́ntotas horizontais.
g. Observar quando f (x) → ±∞ - busca de assı́ntotas verticais.
136
CAPÍTULO 5
1) f (x) = 4 − x2
2) f (x) = x3
3) f (x) = x3 − 9x
5) f (x) = 1 −
√
3
4) f (x) = x4 − 6x2
x2
1 + x2
√
8) f (x) = 3 x (8 − x)
x
6) f (x) =
7) f (x) = 10x3 (x − 1)2
√
9) f (x) = (x + 5)2 3 x − 4
11) f (x) = x3 +
13) f (x) =
3
x
10) f (x) = x2/3 (x2 − 8)
(x 6= 0)
12) f (x) =
2x2
(x 6= ±1)
1 − x2
16) f (x) = e−x
15) f (x) = ex
18) f (x) = e−x
2
20) f (x) = e1/x (x 6= 0)
23) cosh x =
14) f (x) =
ex + e−x
2
1
(x 6= 0, 3)
x(x − 3)2
3x2
(x 6= 9)
(x − 9)2
17) f (x) = ex − x
19) f (x) = ln x (x > 0)
21) f (x) =
senh x =
x
ex
ex − e−x
2
22) f (x) =
tgh x =
ln x
(x > 0)
x
ex − e−x
ex + e−x
24) f (x) = arc tg x
25) f (x) = e−x sen x (x ∈ [0, 4π] )
26) f (x) = 2 cos x + sen 2x (x ∈ [0, 2π] )
27) f : IR − {4} → IR dada por f (x) =
2x2
(x − 4)2
x2
29) f : IR → IR dada por f (x) = x
e
31) f : IR − {1} → IR , f (x) =
35) f : IR → IR dada por f (x) =
3x
ex
x2
30) f : IR − {±2} → IR dada por f (x) =
4 − x2
−3x
.
(1 − x)2
33) f : IR − {0} → IR dada por f (x) =
28) f : IR → IR dada por f (x) =
ex
x3
32) f : IR − {0} → IR , f (x) = x · ln(x2 ) .
34) f : IR → IR dada por f (x) =
2x2
∀ x ∈ IR .
1 + x2
√
3
1 − x2
Aplicações da Derivada
5.11
137
Apêndice D: Aproximações via
Polinômios de Taylor
Recordando...
Quando estudamos acréscimos e diferenciais, vimos que se f : X → IR é derivável em
f (x + ∆x) − f (x)
, então a variação da função y = f (x),
∆x
dada por ∆y = f (x + ∆x) − f (x) , pode ser aproximada por f 0 (x) · ∆x quando ∆x está
próximo de 0:
x ∈ X, ou seja, se existe f 0 (x) = lim
∆x→0
∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f 0 (x) · ∆x = dy
quando ∆x → 0
Isto é o mesmo que
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x) · ∆x .
Geometricamente:
A idéia é aproximar o gráfico de f por uma reta numa vizinhança em torno de x. A reta que
melhor cumpre esse papel é a reta tangente ao gráfico de f em (x, f (x)), cujo coeficiente
angular é f 0 (x) . Quando fazemos essa aproximação, cometemos um erro r = r(∆x) .
Quanto menor é |∆x| , ou seja, quanto mais próximos estão ∆x e 0, melhor a aproximação
obtida e menor é o erro cometido.
Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproximações cada vez melhores ?
Resposta: SIM ! (sob certas condições)
138
CAPÍTULO 5
Um passo adiante:
Se f : I (intervalo aberto) → IR é duas vezes derivável em um ponto x ∈ I então, se
x + ∆x ∈ I , temos
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x) · ∆x +
f 00 (x)
· (∆x)2
2!
(∆x pequeno)
Da mesma forma que antes, quanto menor |∆x| , melhor é a aproximação.
Porém, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinômio do 2o grau, ou
seja, geometricamente, o gráfico de f é aproximado por um arco de parábola e a expectativa
é que isto funcione melhor como aproximação do que uma reta:
Generalizando:
Se f : I (intervalo aberto) → IR é n−vezes derivável em um ponto x ∈ I então, se
x + ∆x ∈ I , temos:
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x) · ∆x +
f 000 (x)
f (n) (x)
f 00 (x)
· (∆x)2 +
· (∆x)3 + . . . +
· (∆x)n
2!
3!
n!
e quanto menor |∆x|, melhor é a aproximação.
Obs.:
1) Como o ponto x ∈ I, onde a função é n−vezes derivável, está fixo e ∆x varia (∆x → 0),
vamos adotar uma NOVA NOTAÇÃO:
f : I → IR n−vezes derivável em um ponto a ∈ I . Se a + h ∈ I , temos:
f (a + h) ≈ f (a) + f 0 (a) · h +
f 00 (a) 2 f 000 (a) 3
f (n) (a) n
·h +
· h + ... +
·h
2!
3!
n!
e quanto menor |h| , melhor é a aproximação.
Aplicações da Derivada
139
2) Se f : I → IR é n−vezes derivável em um ponto a ∈ I , definimos o POLINÔMIO DE
TAYLOR DE GRAU n DA FUNÇÃO f NO PONTO a:
Pn,f (a) (h) = a0 + a1 · h + a2 · h2 + . . . + an · hn
sendo a0 = f (a) , a1 = f 0 (a) , a2 =
ai =
f (n) (a)
f 00 (a)
, . . . , an =
, ou seja,
2!
n!
f (i) (a)
i!
i = 1, 2, . . . , n
Neste caso temos:
f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h)
Exemplos:
(A) f (x) = ex , a = 0 , n = 5 .
(B) g(x) = sen x , a = 0 , n = 7 .
(C) h(x) = cos x , a = 0 , n = 10 (Exercı́cio)
140
CAPÍTULO 5
Buscando estimativas: A Fórmula de Taylor:
Teorema 5.8. (Fórmula de Taylor)
Se uma função f é n + 1 vezes derivável em um intervalo aberto I contendo x = a então,
se a + h ∈ I, temos:
f (a + h) = f (a) + f 0 (a) · h +
f 00 (a) 2
f (n) (a) n f (n+1) (z) n+1
· h + ... +
·h +
·h
2!
n!
(n + 1)!
com z = z(n, h) entre a e a + h.
• Continuamos tendo f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h) quando h está próximo de 0.
• Rn (h) =
f (n+1) (z) n+1
·h
é o erro cometido na aproximação f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h)
(n + 1)!
(quanto menor |h|, menor o erro).
• A Fórmula de Taylor nos permite, além de aproximar f (a + h) por Pn,f (a) (h) , tentar
obter estimativas para o erro cometido.
(Exemplo)
Aplicações da Derivada
141
Indo um pouco mais além: A Série de Taylor:
Uma função f : I (intervalo aberto) → IR é chamada ANALÍTICA quando para cada a ∈ I
admite o desenvolvimento em Série de Taylor numa vizinhança em torno de a:
f (a + h) = f (a) + f 0 (a) · h +
f 00 (a) 2 f 000 (a) 3
·h +
· h + ...
2!
3!
Quando a + h está próximo de a (o quanto, depende de f e sua Série) a soma à direita,
chamada a SÉRIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de)
f (a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f (a + h).
Obs.:
1) Uma função analı́tica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos.
2) As funções clássicas p(x) = a0 +a1 x+. . .+an xn , ex , sen x, cos x, ln x são todas analı́ticas.
Exemplos:
(A) f : IR → IR dada por f (x) = ex em torno de a = 0 .
(B) g : IR → IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0 .
Exercı́cio: Obtenha a Série de Taylor de f (x) = ln x em torno do ponto a = 1 .
142
CAPÍTULO 5
Respostas de exercı́cios
• Exercı́cios das páginas 97 e 98:
√
1) a) Expressão ≈ 3, 12 b) 3 65 ≈ 4 + 1/48 = 193/48
d)
√
3
0, 00098 ≈
2
1
−
10 3 · 103
e)
√
0, 042 ≈ 0, 205
c)
√
37 ≈ 6 + 1/12 = 73/12
f) Expressão ≈ 9−
1122
3
=
= 8, 976
125
125
1
65
g) √
≈
4
128
15
2) ln(2, 01) ≈ 0, 6981
5) ∆θ ≈ ±
1
rad
164
9) ≈ R$19,20
11) (a) h(θ) =
3) ctg 46◦ ≈ 1 −
6) ∆V ≈ ±
π
90
4) S(2, 02) − S(2) ≈
9π
cm3
50
7) ∆l ≈ 0, 6 cm
8π
pés2
25
8) ∆h ≈ ±
4π
pols
3
10) Erro ±2% em d ⇒ Erro no cálculo de R ≈ ∓4%
√
17 · sen θ km
(b) h(π/3) ≈
25
= 3, 571... km
7
√
(c) h(θ + ∆θ) − h(θ) ≈ ±
17
1
km (com θ = π/3 , ∆θ = ±
)
200
100
12) (a) S(r + ∆r) − S(r) ≈ S 0 (r) · ∆r = 1/5 cm2
(b) ∆r = 0, 5 cm.
13) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diâmetro gera um aumento aproximado de 12%
na área da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos.
14) ∆l ≈ ± π/90 m.
15) 10% (aumento percentual aproximado no volume)
• Exercı́cios das páginas 105 e 106:
∆V
728π
=−
pés3 /hora ;
V 0 (3) = −72π pés3 /hora.
1)
∆t
3
2)
∆P
= 11 bpm/s ;
∆t
P 0 (2) = 7 bpm/s ;
3) I 0 (20) = −0, 12 u.i./pé
4) F 0 (C) =
P 0 (3) = 11 bpm/s ;
P 0 (4) = 15 bpm/s.
9 ◦ ◦
F/ C
5
5) V (s) = 4s3 − 200s2 + 2400s ; V 0 (s) = 12s2 − 400s + 2400 ;
V 0 (5) = 700 cm3 /cm ⇒ é conveniente aumentar s quando s = 5;
V 0 (10) = −400 cm3 /cm ⇒ não é conveniente aumentar s quando s = 10.
Aplicações da Derivada
143
6) (a) s(0) = 1 ; v(t) = s0 (t) = 6t − 12 ⇒ v(0) = −12 ; a(t) = v 0 (t) = 6 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = −11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16 .
(b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1 − 4/t2 ; v(1) = −3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t3 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = 4 .
(c) s(−2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6 − 3t2 ; v(−2) = −6 ; v(3) = −21 ; a(t) = −6t ;
√
√
√
v(t) = 0 ⇒ t = ± 2 ⇒ s(− 2) ≈ 18, 3 , s( 2) ≈ 29, 7 .
(d) s(0) = 0 ; s(2) ≈ o, 33 ; v(t) = e−3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) ≈ 0, 0025 ; a(t) = −3e−3t .
(e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = −3π sen (πt) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = −3π 2 cos(πt) ;
v(1) = 0 ; s(1) = −3 .
4
; v(0) = −4 ; v(4) = 7, 2 ;
(f) s(0) = 0 ; s(4) ≈ 9, 5 ; v(t) = 2t −
t+1
4
a(t) = 2 +
; v(t) = 0 ⇒ t = 1 ⇒ s(1) = 1 − 4 ln 2 .
(t + 1)2
7) v(0) = 144 pés/s ; a(0) = −32 (pés/s)/s ; v(3) = 48 pés/s ; a(3) = −32 (pés/s)/s ;
Em t = 3s, o objeto está a 288 pés de altura, subindo e perdendo velocidade ;
Altura máxima: 324 pés (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos.
1
8) (a) vm [0, 2] =
2
1
ln 3 −
2
m/s
(c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln 4 −
9)
(a) vm [0, 3] =
10 ln 7
m/s
21
(b) v(0) =
3
1
m/s ; v(2) =
m/s
4
12
1
3
m e a(3) = − (m/s)/s
4
16
(b) v(0) = 20 m/s ; v(3) =
20 − 20 ln 7
m/s
49
e−1
s
(d) s(0) = 0 m , v(0) = 20 m/s (inicialmente) ;
(c) v = 0 em t =
2
e−1
10
s
=
m (objeto parado) ; lim s(t) = 0 (se aproxima da posição 0 qdo t → +∞).
t→+∞
2
e
4
2
m/s, v(1) =
m/s e v(1) > vm [0, 2] . (b) lim s(t) = 0 .
2
t→+∞
e
e
8
(c) A maior distância é atingida em t = 2 (justifique) e s(2) = 2 m.
e
10) (a) vm [0, 2] =
11) (a) vm [0,
e3 − 1
] = 3 m/s
2
(c) a(0) = 4 (m/s)/s.
(d)
(b) v(0) = 0 m/s ; v(
lim v(t) = +∞ e
t→+∞
e3 − 1
4e3 − 1
)=
m/s
2
e3
lim a(t) = 0 .
t→+∞
144
CAPÍTULO 5
e4 − 1
2
m/s. vm [0, 2] < v(1) .
m/s e v(1) =
4
2e
e
lim v(t) = 0 . (c) lim s(t) = 3 . A maior distância do objeto à posição inicial
12) (a) vm [0, 2] =
(b)
t→+∞
t→+∞
NÃO É ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 ∀ t e
lim s(t) = 3 .
t→+∞
• Exercı́cios das páginas 109, 110 e 111:
9
1)
m/s
2) 14 m/s
3) 600π pol3 /min
5
4) Extremidade:
5
2
m/s ; Alonga:
m/s (menor). Outros inst.: mantêm velocidades
3
3
5) 5 pol3 /min
6)
1000π
pés/s
27
13) -1 rad/s
7)
11
Ω/s
1600
√
2+ 6
9)
m/s
4
√
π 3
11)
pol2 /min
10
21π
8)
cm3 /min
160
10) −
3
u/s
2e
12) 100 rad/hora =
5
rpm
6π
14) 3 rad/s
15) ≈ 0, 778 rad/s
16)
1
cm/min , 6cm3 /min (escoando)
2π
17) x(t) = dist. da base da escada à parede ; y(t) = dist. do topo até o chão
(a) y 0 =
x
y
(b) quando x = 3 m : y 0 =
3
m/s
4
(c) quando θ = π/4 rad : y 0 = 1 m/s
18) x(t) = dist. do carro a (perp. ∩ estrada) ; θ(t) = ângulo feixe-perpendicular
0
0
Quando θ = π/3 rad : x = 90π km/h ; x não é constante
45π sec2 θ
x =
2
0
19) A velocidade de variação do ângulo não é constante (depende de θ ) e temos
√
3
0
θ =−
rad/s quando x = 2 m.
3
20) (a) d0 = 25 km/h ao meio-dia.
21) θ0 =
(b) S 0 = 1200 km2 /h ao meio-dia.
√
1
rad/s quando x = 3 m.
4
Aplicações da Derivada
145
• Exercı́cios das páginas 122 e 123:
1) Aberta: b = 2 pés, a = 1 pé; Coberta: b = a =
√
4a
2a 2
2) h =
, r=
3
3
√
3
4 pés
3) Ângulo reto: d = 3 pols ; Ângulo 2π/3 : d = 4 pols
4) a = b = 50 cm
5) P (1, 1)
6) 500 unidades
7) t = 18/13 horas após 13:00
8) a 8 km de B, entre B e C
9) h = r = 4 cm
10) a 1,25m do solo
1
11) a √ milhas de B, entre B e C
15
12) 37 árvores por are
13) Máxima em: s(π/2) e s(3π/2) ; Mı́nima em: s(0) e s(π)
6 − r2
(relação entre h e r nos cilindros de área total 12π cm2 )
r
√
√
⇒ V = V (r) = π(6r − r3 ) , 0 < r < 6 ⇒ Ponto crı́tico: r = 2 .
14) h =
Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume é máximo quando
√
√
√
√
r = 2 e h = 2 2 e temos V ( 2 ) = 4π 2 cm2 .
15) R é MÁXIMA quando R1 = 25 ohms e R2 = 25 ohms.
R NÃO ASSUME MÍNIMO.
4
16) (a) A área total cercada é a menor possı́vel quando y =
é o perı́metro da área
4+π
π
quadrada e x =
é o perı́metro da área circular.
4+π
(b) A área total cercada é a maior possı́vel quando toda a cerca é utilizada para cercar
uma única área circular.
√
√
3
6
17) h =
m e r=
m para que o volume do cilindro seja máximo.
2
2
146
CAPÍTULO 5
Referências
[1] Flemming, Diva M. e Gonçalves, Mirian B., Cálculo A. Prentice Hall Brasil. (*)
[2] Swokowski, Earl W., Cálculo com geometria analı́tica, vol. 1. Makron Books.
[3] Leithold, Louis, Cálculo com geometria analı́tica. Makron Books.
[4] Simmons, George F., Cálculo com geometria analı́tica. Makron Books.
[5] Stewart, J., Cálculo, vol. 1. Thomson Learning.
[6] Munem, Mustafa e Foulis, David J., Cálculo. Editora Guanabara Dois.
[7] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de cálculo, vol. 1. Editora LTC.
[8] Anton, H., Cálculo, um novo horizonte, vol. 1. Bookman.
(*) Principal referência
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