Lista 4 - Retas - GA - 2◦ Q/2014
Professor: Maurı́cio Richartz
Leitura: MW – cap.6, Notas de aula – seções 3.1, 3.3.1, 3.4.1, 3.5.1 e 3.5.3.
Problema 1 (MW 6.7.6) Dados os pontos A = (1, 2, 3), B = (0, 1, 2), C = (−1, 0, 1),
D = ( 12 , 32 , 25 ) e E = (2, 3, 4),
a) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e B;
b) Verifique quais dos pontos C, D e E estão na reta AB;
c) Situe esses pontos na reta.
Problema 2 (MW 6.7.8 modificado) Escreva a equação paramétrica da reta que passa por
y−45
z
= −1
. Ache m e n para que o ponto P = (3, m, n)
A = (1, −2, 3) e é paralela à reta x−4
2 =
7
pertença à reta encontrada.
Problema 3 (MW 6.7.20) Dados os vértices A = (2, 3, −1), B = (4, −1, 5) e C = (0, 3, −1)
de um triângulo,
a) Escreva as equações paramétricas das três medianas do triângulo;
b) Ache a intersecção entre duas delas;
c) Mostre que a terceira mediana passa pela intersecção das outras duas.
Problema 4 (MW 6.7.10 modificado) Escreva as equações das retas que contêm as diagonais
do paralelogramo de vértices A = (1, −2, 2), B = (2, 1, −1), C = (1, −6, 8) e D = (2, −3, 5). Em
que ponto as diagonais se interceptam?
Problema 5 (MW 6.7.13) A reta r passa pelo ponto (−1, 1, 0) e tem vetor diretor ~v = (2, 3, 1).
Determine o ponto da reta r que seja eqüidistante de A = (1, −1, 0) e de B = (4, 1, −1).
OBS: os problemas 6, 7 e 8 abaixo são bidimensionais.
Problema 6 Os pontos A = (2, 5) e B = (14, 1) são simétricos em relação a uma reta. Determine a equação dessa reta.
Problema 7 Determine a reta que passa por (−5, 7) e é perpendicular à 4x − 5y = 10
Problema 8 Os lados de um triângulo estão sobre as retas y = 2x + 1, y = 3x − 2 e y = 1 − x.
Determine os vértices desse triângulo.
Problema 9 (MW 6.7.14) Sejam A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1), C = (3, −2, 1) e D = (0, 0, 1).
a) Determine um ponto X na reta AB tal que a área do triângulo CDX seja 2. Quantos pontos X
existem nessas condições?
b) Qual a distância de X à reta CD?
Problema 10 (MW 6.7.15) A reta r passa por A = (−1, 2, 0) e B = (2, 1, 3). A reta s é dada
y−6
z+3
por x+3
3 = −1 = 3 . Ache os pontos C e D de s tais que A, B, C e D formem, nessa ordem, um
retângulo. Calcule a área desse retângulo.
y+2
z−2
Problema 11 (MW 6.7.18) São dadas as retas r: x−7
4 = −2 = 3 e s: (x, y, z) = (3 −
4m, 2m, −1 − 3m). Seja t a reta que passa por A = (1, −1, 0) e B = (7, −6, 7).
a) Escreva as equações paramétricas das retas r e t.
b) Estude a posição relativa entre das retas r e s. Desenhe r e s.
c) Estude a posição relativa das retas r e t. Desenhe r e t.
Problema 12 (MW 6.7.21) Escreva equações paramétricas da reta r que passa por A =
z+3
(1, 2, −1), encontra a reta x−1
u = (1, −1, 2).
2 = y = −1 e é ortogonal ao vetor ~
Problema 13 (MW 6.7.23) Determine a distância do ponto P = (6, −4, 4) à reta determinada
pelos pontos A = (2, 1, 2) e B = (3, −1, 4).
Problema 14 (MW 6.7.24) Calcule as coordenadas do ponto simétrico de A = (3, −1, 2) em
y−1
z
relação à reta s: x+4
2 = −1 = 1 .
Problema 15 (MW 6.7.25) Sejam A = (1, 3, −1), B = (−2, 0, 1) e C = (4, 2, 3) os vértices de
um triângulo. Escreva as equações paramétricas da altura que passa por A. Qual é o comprimento
dessa altura?
Problema 16 (MW 6.7.27) Escreva equações paramétricas da reta r, perpendicular às retas
s e t e que passa pela intersecção das mesmas. Dados s: (x, y, z) = (1 + α, −α, 2 + α) e t (x, y, z) =
(2 − β, −1 + β, 1 + β).
Problema 17 (MW 6.7.30) Dadas as retas r: x − 1 = y−3
−1 = z + 1 e s: (x, y, z) = (−λ, 1 +
λ, 1 + 2λ), escreva as equações paramétricas da reta t, concorrente com r e s e paralela ao vetor
(−2, 1, 1).
Problema 18 (MW 6.7.31) Ache as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto
y−1
z−5
z−4
B = (3, 1, 2) e é concorrente com as retas s: x + 1 = y+2
2 = −2 e t: x − 4 = −1 = −1 .
Problema 19 Encontre a posição relativa das retas r e s. Se elas forem concorrentes, encontre
o ponto de intersecção.
a) r: (1, 4, 4) + (1, 2, 3)t e s: (2, 5, 1) + (2, 4, 6)k;
b) r: (1, 4, 4) + (1, 2, 3)t e s: (2, 5, 1) + (1, 4, 1)k;
c) r:
x+1
2
=
y
3
=
z+1
2
e s: (0, 0, 0) + (1, 2, 0)k;
d) r: (8, 1, 9) + (2, −1, 3)λ e s: (3, −4, 4) + (1, −2, 2)λ;
e) r:
x−1
3
=
y−5
3
f) r: x + 3 =
=
2y−4
4
z+2
5
=
e s: x = −y =
z−1
3
z−1
4 ;
e s: (0, 2, 2) + (1, 1, −1)k.
2
Gabarito: 1) a) x = 1 − t, y = 2 − t, z = 3 − t; b) todos. 2) a) x = 1 + 2t, y = −2 + 7t,
z = 3 − t; b) m = 5, n = 2. 3)b) G = (2, 35 , 1). 4) x = 1 + t, y = −2 − t, z = 2 + 3t e x = 2 − m,
7 38 9
y = 1 − 7m, z = −1 + 9m. 5) ( 11
, , ). 9) a) X = (−1, 2, 1) ou X = (7, −6, 1); b) √413 . 10)
√11 11
C = (3, 4, 3) e D = (0, 5, 0), área= 190. 11) b) coincidentes; c) concorrentes em (−5, 4, 7). 12)
x =q
1 + t, y = 2 + t, z = −1. 13) 3. 14) (1, −3, 4). 15) x = 1 + 3t, y = 3 + 23t, z = −1 − 32t,
h = 142
11 . 16) x = 1 − t, y = −t, z = 2. 17) x = 4 − 2t, y = t, z = 2 + t. 18) x = 3 + 2t, y = 1 − t,
z = 2 + t.
3