LISTA 1 – GEOMETRIA PLANA – PROF. NILTON e PROF. NATHALIE
1º Ensino Médio
01. Se (2; 3; x; + y. ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente
proporcionais, determine o valor da soma x + y. (13)
02. Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos
judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas
respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30
anos? (36)
03. A largura e o comprimento de um retângulo estão na razão de 3 para 7. Admitindo-se
que o perímetro desse retângulo seja 60 cm, calcule as dimensões desse retângulo. (9
cm e 21 cm)
04. Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão
receber um prêmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao
número de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11
faltas. Qual a premiação referente a cada um deles respectivamente? (R$ 1540, R$
1100, R$ 700)
05. A soma das medidas dos lados de um triângulo é 24 cm. Ache os lados desse triângulo
sabendo que suas medidas são proporcionais a 3, 4 e 5. (6, 8 e 10)
06. Pifer, Keller e Fefo formaram uma sociedade. O primeiro entrou com R$ 6000,00, o
segundo com R$ 8000,00 e o terceiro com R$ 4000,00. Ao fim de seis meses houve
um lucro de R$ 3600,00, que foi dividido entre os três. Quanto coube a cada um?
(Pifer: R$ 1200,00 Keller: R$ 1600,00 Fefo: R$ 800,00)
07. Abrindo completamente 4 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água
em 72 minutos. Se utilizarmos 6 dessas torneiras em quanto tempo encheremos o
tanque? (48 MINUTOS)
08. Um trem, rodando a uma velocidade constante de 50 km/h vai de São Paulo ao Rio em
8 horas. Em quanto tempo fará a mesma viagem se a velocidade passar para 80
km/h? (5 horas)
09. Uma escola promove um campeonato com questões teste e possui um prêmio em
créditos que podem ser gastos em uma rede de livrarias. O prêmio total é de
R$3.400,00 que será dividido entre os três primeiros colocados de forma inversamente
proporcional ao número de questões erradas. Os três alunos melhores colocados
foram: Luiz que errou 2 questões, Natália que errou 1 questão e Erick que errou 5
questões. Determine o valor do prêmio de cada um deles. (Luiz – R$ 1000, Natalia –
R$ 2000, Erick – R$ 400)
10. Um navio dispõe de reservas suficientes para alimentar 14 homens durante 45 dias,
mas recebe 4 sobreviventes de um naufrágio. As reservas de alimento darão para no
máximo quantos dias? (35 dias)
11. Se 16 operários levam três dias para completarem uma certa obra, quantos operários
seriam necessários para completarem essa mesma obra em dois dias? (24 operários)
12. Nilson vai dividir 360 mil reais entre seus três filhos, diretamente proporcional ao
número de membros da família de cada um deles. Artur tem esposa e 3 filhos, Bete
tem 2 filhos e é viúva e Carlos tem esposa e 2 filhos. Quanto cada filho vai receber?
(150 mil – Artur, 90 mil – Bete, 120 mil – Carlos)
13. Em um projeto foi arrecadado R$ 2250,00; esse valor deve ser dividido de forma
diretamente proporcional à quantidade de aulas dadas por cada professor. Marilda
participou com 4 aulas, Carol com 5 aulas e o Glédio com 6 aulas. Qual o valor que
cada um recebeu? (Marilda – R$ 600,00, Carol – R$ 750,00, Glédio – R$ 900,00)
14. Os professores de matemática e educação física de uma escola organizaram um
campeonato de damas entre os alunos. Pelas regras do campeonato, cada colocação
admitia apenas um ocupante. Para premiar os três primeiros colocados, a direção da
escola comprou 310 chocolates, que foram divididos entre os 1º, 2º e 3º colocados no
campeonato, em quantidades inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5,
respectivamente. As quantidades de chocolates recebidas pelos alunos premiados, em
ordem crescente no campeonato, foram:
a) 155, 93 e 62.
d) 150, 103 e 57.
b) 155, 95 e 60.
e) 150, 105 e 55.
c) 150, 100 e 60.
(Alternativa C)
15. Se OP é bissetriz de AOˆ B , determine x sabendo que BOˆ C = 2 y , BOˆ P = y − 10° e
AOˆ P = x + 30° .
(x = 10°)
B
C
16. Determine o valor de α em cada caso:
a)
b)
(a) 60°
b) 120°
c) 120°)
O
P
A
c)
17. Na figura plana abaixo, OX e OY são bissetrizes de AÔB e CÔD, respectivamente. Se
o
XÔY = 160 , então qual o valor de BÔC?
30. Na figura, MN//AC, determine a medida do ângulo α. (30°)
(BÔC = 140°)
18. Dois ângulos a e b são opostos pelo vértice e têm suas medidas expressas em graus
por 5x + 30° e 3x + 40°, respectivamente. Calcule as medidas de a e b.
(a = b = 55°)
31. Na figura, o retângulo ABCD é cortado por duas retas paralelas, r e s. Sabendo que o
ângulo e mede o quádruplo do ângulo f, calcule a medida do ângulo x, em graus. (54°)
19. Dois ângulos são suplementares e a medida de um deles é o triplo da medida do outro.
Calcule as medidas desses ângulos. (135° e 45°)
20. Sejam x + 10° e 2x + 50° as medidas em graus de dois ângulos a e b respectivamente.
Qual é o menor valor positivo de x de modo que a e b sejam suplementares? (40°)
21. Dois ângulos adjacentes têm suas medias expressas em graus por 10x + 20° e 5x +
10°, respectivamente. Calcule as medidas desses ângulos. (60° e 120°)
32. Na figura,
BC é bissetriz do ângulo OCˆ D . Determine o valor de γ
. (35°)
22. O dobro da medida do complemento de um ângulo, aumentado de 40° é igual a
medida do seu suplemento. Qual é a medida do ângulo? (40°)
23. Calcule um ângulo sabendo que a metade do seu suplemento menos o seu
complemento é igual 30º. (60°)
24. Determinar um ângulo sabendo que a metade do seu complemento menos a quinta
parte do seu suplemento é igual a 6º. (10°)
25. Determinar um ângulo sabendo que metade do seu complemento mais a quarta parte
do seu suplemento é igual a 75°. (20°)
26. Calcule um ângulo cuja quarta parte do seu suplemento vale 36°. (36°)
27. O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse
ângulo. Quanto mede esse ângulo? (78,75°)
28. Duas retas distintas, interceptadas por uma transversal, determinam dois ângulos
colaterais internos de medidas, em graus, expressas por 3x – 50° e 2x + 10°.
Determine o valor de x, de modo que essas retas distintas sejam paralelas. (44°)
29. Na figura, a reta ED é paralela à reta BC .
A
Sendo BAˆ E igual a 80° e ABˆ C igual a 35°,
calcule a medida de AEˆ D . (115°)
E
B
D
C
33. Um pescador sai de um ponto P e precisa chegar ao ponto R. Sabe-se que as
margens do rio são paralelas, devido ao vento o pescador não conseguiu realizar o
percurso em linha reta e acabou fazendo o percurso desenhado abaixo, calcule o valor
do ângulo
PÂB que o pescador obteve.
(80°)
34. Sendo r//s, calcule o valor de
a)
b)
α
em cada caso:
37. Calcule os ângulos de um triângulo, sabendo que eles são proporcionais aos números
1, 3 e 5. (20°, 60° e 100°)
c)
38. Na figura, a = 100° e b = 110°. Quanto mede o ângulo x? (35°)
d)
e)
f)
39. A figura mostra um triângulo ABC isósceles de
A
base. Sendo BD bissetriz de ABˆ C , CD
bissetriz de ACˆ B e BAˆ C = 80° , calcule o
valor de x. (130°)
(a) 72°
b) 100°
c) 52°
d) 100º
e) 20°
f) 40°)
D
x
B
40. Na figura, BD e CD são bissetrizes dos
C
A
ângulos ABˆ C e ACˆ B . Sabendo-se que o
35. Na figura os triângulos ABD e BCD são isósceles, de bases AD e BD ,
respectivamente. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo C reto, e A, B, C estão
alinhados. Dê a medida do ângulo
BÂD , em graus. (22,5°)
triângulo ABC não é isósceles e que BAˆ C
D
ˆC .
mede 100°, calcule a medida do ângulo BD
(140°)
x
B
C
ˆ C ≡ ABˆ C e DAˆ C ≡ BAˆ C .
41. Num quadrilátero ABCD de diagonal AC , temos que AD
Se AB = 2 y + 17 , BC = x + 5 , AD = 3 y − 2 e DC = 15 , mostre que o triângulo ABC
é congruente ao triângulo ADC e calcule x e y.
(LAAo ; x = 10; y = 19 )
ˆB e
42. Num quadrilátero ABCD traça-se a diagonal BD e verifica-se que ABˆ D ≡ CD
36. Na figura, os dois triângulos ABC e FDE são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x?
BDˆ A ≡ DBˆ C . Sabe-se que AB = 2 y + 1 , BC = 5 x + 2 , AD = 4 y e CD = 2 x + y .
Prove que o ∆ABD é congruente ao ∆CDB e calcule x e y.
(ALA; x = 2; y = 3 )
43. Seja B o ponto médio de AC . Por B conduz-se um segmento BD , perpendicular ao
segmento AC .
a) Justifique a congruência dos triângulos ABD e CBD. (LAL)
b) Se AB = x , BC = 2 y , AD = 2 x e CD = 3 y + 8 , calcule x e y. (x = 16; y = 8)
(x = 40°)
44. Os segmentos AB e CD interceptam-se em M, que é o ponto médio dos dois
ˆ M = 3β + 9º
segmentos. Sendo DAˆ M = 2α + 6º , CBˆ M = 2β , BCˆ M = 4α + 3º e AD
, justifique a congruência dos triângulos ADM e BCM e calcule α
eβ .
(LAL;
α = 15°; β = 18° )
45. Na figura, AM = MD e CM = MB . Sabendo
C
D
ˆ B = 46° ,
que DAˆ B = 20° , CBˆ A = 30° e AD
calcule as medias dos ângulos α = BMˆ D e
β = ACˆ B . ( α = 50º ; β = 84° )
M
A
B
46. Calcule o número de diagonais de um icoságono. (170 diagonais)
47. Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.
(eneágono)
48. Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1800°? (dodecágono)
49. Determine o número de diagonais de um polígono cuja soma dos ângulos internos e
externos vale 1800°. (35 diagonais)
50. Dois dos ângulos externos de um polígono convexo medem 75° e todos os
demais ângulos externos medem 30°. Quantos lados esse polígono possui? (9
lados)
51. Determine o ângulo interno de um polígono regular de 170 diagonais. (162°)
52. Num polígono regular, a medida de um ângulo interno é 150°. Determine o número de
lados desse polígono. (12 lados)
53. Se de cada vértice de um polígono regular partem 15 diagonais, determine a medida
de cada ângulo interno. (160°)
54. Determine o número de diagonais de um polígono regular convexo cujo ângulo externo
vale 24°. (90 diagonais)
55. Determine o polígono regular convexo cujo ângulo interno é 7/2 do seu ângulo externo.
(eneágono)
56. Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais
ângulos medem 128° cada um. Qual o número de lados desse polígono? (7 lados)
57. Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados AB e
CD de um polígono regular ABCD... de 20 lados. (36°)
58. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo
de 24°. Determine o número de diagonais desse polígono. (90 diagonais)
59. Três polígonos convexos têm n, n + 1 e n + 2 lados, respectivamente. Sendo de 2700°
a soma dos ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de n.(n = 6)
60. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos
ângulos externos. Qual é o nome do polígono? Calcule o número de diagonais desse
polígono. (Dodecágono – 54 diagonais)