FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Engenharia Ambiental e Sanitária
Curso de Engenharia de Produção
Pré-Cálculo e Geometria Analítica
Resumo sobre Funções: Definições Básicas
Profa. Valéria Iorio
Uma função é uma regra que aceita certos elementos como valor de entrada e associa a
cada um deles um único valor de saída.
O valor de entrada é chamado de variável independente e o valor de saída é a variável
dependente. Uma função pode ser descrita por palavras ou pode ser definida através de
tabelas, gráficos ou fórmulas. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores
de entrada, o contradomínio é um conjunto de valores possíveis para variável dependente
e a imagem é o conjunto de valores que efetivamente são valores de saída associados a
alguma entrada.
Uma função definida através de uma tabela tem necessariamente um número finito de
valores de entrada, já que não é possível fazer uma tabela infinita.
Em Cálculo usamos a notação funcional: se F for uma função tendo como domínio certo
conjunto de elementos A e como contradomínio determinado conjunto de elementos B,
escrevemos F: A → B e se b∈B é o único elemento de B que está associado ao elemento
a∈A, escrevemos F(a) = b.
Exemplo 1: Considere a função F que associa a cada ser humano sua altura em metros.
Neste caso seu domínio é o conjunto de todos os seres humanos. O contradomínio
poderia ser o conjunto de todos os números maiores ou iguais a zero, mas a imagem é
certamente bem menor: não existe um ser humano com 10 m de altura, por exemplo.
Neste caso não é possível determinar exatamente a imagem desta função, que seria o
conjunto formado por todas as alturas dos bilhões de pessoas na Terra. Em linguagem
funcional, F: A → B, onde A = {todos os seres humanos}, B = [0,∞).
Exemplo 2: A tabela a seguir representa o índice da Bolsa de Valores de São Paulo
(BOVESPA) nos meses de março a agosto de 2013:
Índice
-1,87%
-0,78%
-4,30%
-11,31%
1,64%
2,38%
Meses
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Fonte: O Globo, 12/09/2013.
Esses mesmo dados poderiam ter sido apresentados em forma de gráfico. Em notação
funcional, se I é a função índice, A = {Março de 2013, Abril de 2013, Maio de 2013,
Junho de 2013, Julho de 2013, Agosto de 2013}, B = ℝ e I: A → B. Neste caso a imagem
é o conjunto de valores {-1,87; -0,78; -4,3; -11,31; 1,64; 2,38}.
Estaremos particularmente interessados quando os valores de entrada e de saída forem
números reais. Denotamos por ℝ o conjunto de todos os números reais. Alguns
subconjuntos importantes de ℝ que vocês já conhecem são os números naturais ℕ = {1, 2,
Funções
Pré-Cálculo e Geometria Analítica
1
3, 4, …}, os números inteiros ℤ = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} e os números racionais
ℚ = {m/n: m, n ∈ ℤ, n ≠ 0}.
A representação de pontos no plano através de um par de coordenadas permite a
representação de uma função, cujos valores de entrada e de saída são números reais,
através de seu gráfico. O domínio da função é representado no eixo horizontal e seu
contradomínio, no eixo vertical. Denotaremos os pontos no plano por ℝ2.
Seja A um subconjunto dos números reais. Dada uma função F: A →ℝ, o gráfico de F é o
conjunto de pontos {(x, y)∈ℝ2| y = F(x)}.
Vocês aprenderão mais tarde como desenhar o gráfico de diversos tipos de função. Mas,
enquanto isso, podemos desenhar o gráfico de uma função marcando diversos pontos e
tentando intuir como ele continuaria.
Exemplo 3: Vamos desenhar o gráfico da função F: ℝ → ℝ definida por F(x) = 2.
Poderíamos fazer uma tabela, mas, neste caso, o valor de y é sempre o mesmo, y = 2. No
gráfico a seguir, marcamos os pontos do gráfico correspondentes a x = -2, -1, 0, 1, 2 e
depois vimos que o gráfico teria que ser uma reta horizontal.
Exemplo 4: Vamos desenhar o gráfico da função F: ℝ → ℝ definida por F(x) = 2 – x.
Primeiro, fazemos uma tabela de valores e colocamos esses pontos no gráfico. Note que,
cada vez que aumentamos x de uma unidade, o valor da função diminui de uma unidade. O
gráfico desta função é uma reta.
y
x y = F(x)
6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
5
4
3
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
Exemplo 5: A função piso, denotada por piso(x) = x, associa a cada número real o maior
inteiro igual a ele ou à sua esquerda na reta real, ou seja, x é o maior inteiro menor ou
2
Pré-Cálculo e Geometria Analítica
Funções
igual a x. Então, por exemplo, π = 3, −π = -4. Nesse caso podemos determinar
exatamente a imagem desta função, que é o conjunto de todos os números inteiros.
Então ⋅: ℝ → ℤ. Note que esta função é constante em intervalos do tipo [n, n + 1), onde
n é inteiro: se n ≤ x < n, então x = n. Mas vimos no Exemplo 1 que o gráfico de uma
função constante é uma reta horizontal, logo o gráfico desta função vai ter segmentos
horizontais acima dos intervalos da forma [n, n + 1) com n inteiro. A figura a seguir
mostra o gráfico desta função; a convenção é que os pontos brancos (que aparecem como
pequenos círculos) não pertencem ao gráfico da função.
y
4
3
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
Exemplo 6: Vamos considerar agora a função F: ℝ → ℝ definida por F(x) = x2. Como o
quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero, e, reciprocamente, dado um
número real maior ou igual a zero, ele é o quadrado de outro número real, a imagem
desta função deve ser o intervalo [0, ∞). Vamos fazer uma tabela com os valores desta
função, colocar os pontos no gráfico e tentar uni-los. Veremos mais tarde que este
gráfico é uma parábola.
x y = F(x)
±4
16
±3
9
±2
4
±1
1
0
0
16
y
14
12
10
8
6
4
2
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
Note que o gráfico no Exemplo 6 é simétrico em relação ao eixo dos y. Isso ocorre
porque a função satisfaz F(-x) = F(x). Funções com esta propriedade são importantes e
recebem um nome especial.
Seja F: ℝ → ℝ. Então F é uma função par quando F(-x) = F(x) para todo x∈ℝ e F é uma
função ímpar quando F(-x) = -F(x) para todo x∈ℝ.
Funções
Pré-Cálculo e Geometria Analítica
3
A definição acima também pode ser feita para funções definidas em intervalos do tipo
[−a, a], onde a é um número real positivo. Como vimos no Exemplo 6, os gráficos de
funções pares são simétricos em relação ao eixo dos y. Os gráficos de funções ímpares
também têm uma simetria, mas é em relação à origem.
Exemplo 7: A função F: ℝ → ℝ definida por F(x) = x3 é uma função ímpar. Este gráfico é
simétrico em relação à origem: a distância do ponto (−x, F(−x)) à origem é igual à
distância do ponto (x, F(x)) à origem.
8
x y = F(x)
-2
-8
-1
-1
0
0
1
1
2
8
y
6
4
2
x
−2
−1
1
2
−2
−4
−6
−8
Como existe um único valor do contradomínio para cada valor do domínio, temos o
seguinte resultado:
Uma curva no plano é o gráfico de uma função real de variável real se e somente se cada
reta vertical encontra a curva, no máximo, uma vez.
Exemplo 8: Dos gráficos a seguir, apenas o segundo é o gráfico de uma função.
y
y
y
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
2
3
4
Quando a função é definida através de uma fórmula sem ser explicitado o conjunto de
valores, a convenção é usar como domínio o maior conjunto de números reais para os
quais a função faz sentido.
Exemplo 9: Como a raiz quadrada de um número só é real se o número for maior ou igual
a zero, a função f ( x ) = x tem como domínio o conjunto dos números reais maiores ou
iguais a zero, ou seja, f : [0,∞) → ℝ. Veremos mais tarde que o gráfico desta função é a
metade da parábola y2 = x, com y ≥ 0. Como o gráfico é parte de uma parábola, sabemos
como ele continua, apesar de só mostrar parte do gráfico: a função vai assumindo valores
cada vez maiores. A imagem desta função é o intervalo [0,∞). A figura a seguir mostra
seu gráfico.
4
Pré-Cálculo e Geometria Analítica
Funções
y
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Seja F: A → B uma função. F é dita injetora se F(x) = F(a) ⇒ x = a. F é dita sobrejetora
se a imagem de F for igual a B. Se F for injetora e sobrejetora, ela é dita bijetora.
Geometricamente, uma função é injetora se e somente se cada reta horizontal encontra
o gráfico da função no máximo uma vez. No caso de uma função F: ℝ → ℝ, F é
sobrejetora se e somente se cada reta horizontal encontra o gráfico no mínimo uma vez.
Exemplo 10: Todos os gráficos a seguir são gráficos de funções da reta na reta. As
funções em (a) e (f) não são injetoras, nem sobrejetoras; em (b) e (e) são bijetoras; em
(c) é sobrejetora, mas não injetora; em (d) é injetora, mas não sobrejetora.
y
y
y
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
(b)
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
(d)
2
y
4
−1
1
(c)
y
x
−2
−2
−2
y
−3
−3
−1
(a)
−4
x
−4
(e)
(f)
Dada uma função y = f (x), a taxa de variação média de y entre x = a e x = b é igual a
∆y f ( b ) − f ( a )
=
.
∆x
b−a
Exemplo 11: A tabela a seguir mostra os lucros de uma companhia (em milhares de reais)
na década de 2000 a 2009.
Funções
Pré-Cálculo e Geometria Analítica
5
Ano
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Lucro
230
350
300
400
420
450
490
550
610
500
Então a taxa de variação média na década foi de (500 – 230)/(2009 – 2000) = 270/9 =
30 mil reais por ano. Note que a variação média de 2008 a 2009 foi negativa, -110 mil. A
variação média foi negativa em outros períodos: por exemplo, de 2007 a 2009, a
variação média foi -50/2 = -25 mil reais por ano.
Exemplo 12: Considere a função F(x) = 25 − x 2 . Então a taxa de variação média no
intervalo de 0 a 4 é [F(4) – F(0)]/(4 – 0) = (3 – 5)/4 = -0,5 e a taxa de variação média no
intervalo [-4, 0] é [F(0) – F(-4)]/[0 – (-4)] = (5 – 3)/4 = 0,5. Note que o gráfico desta
função é a parte superior da circunferência centrada na origem de raio 5:
y = 25 − x 2 ⇔ y ≥ 0 e y 2 = 25 − x 2 ⇔ y ≥ 0 e x 2 + y 2 = 25 .
Note que a taxa de variação média no intervalo [0, 4] é negativa porque a função
diminuiu neste intervalo: a taxa de variação é a (yR – yQ)/(xR – xQ). Analogamente, a taxa
de variação no intervalo [-4, 0] é positiva porque a função cresceu neste intervalo. Em
módulo as duas taxas são iguais porque os dois triângulos na figura são congruentes.
Note que a taxa de variação, em módulo, é o quociente dos catetos, ou seja, cateto
vertical dividido pelo cateto horizontal.
REFERÊNCIAS
MacCALLUM, W.G. et al. Álgebra: forma e função. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo Aplicado, 4ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
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Pré-Cálculo e Geometria Analítica
Funções