MOEDELAGEM E SIMULAÇÃO
HIDROLÓGICA
ESCOAMENTO
PROF. CARLOS RUBERTO FRAGOSO JR.
PROF. MARLLUS GUSTAVO F. P. DAS NEVES
Tópicos
• Importância do Escoamento
• Tipos de Escoamento
• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas
– Equação da continuidade
– Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica
• Simplificações das Equações de Saint Venant
–
–
–
–
–
Onda cinemática
Difusão
Métodos de armazenamento (Muskingum)
Equação de advecção-difusão
Métodos de armazenamento com difusão artificial (MuskingumCunge, etc.)
• O método de Pulz - reservatórios
Importância do Escoamento





Precipitação que não infiltra pode se acumular sobre a
superfície e pode se movimentar sobre a superfície 
escoamento superficial
Outras formas de escoamento = subsuperficial,
subterrâneo
Escoamento superficial é muito importante na hidrologia
porque admite-se que é o responsável pelos picos dos
hidrogramas (cheias)
Escoamento está relacionado à disponibilidade da água
para usos múltiplos
Escoamento transporta sedimentos, matéria orgânica,
nutrientes e organismos
Tipos e características do Escoamento
Tipos de Escoamento na bacia
• Escoamento superficial
• Escoamento sub-superficial
• Escoamento subterrâneo
Tipos e Fase
características
Escoamento
terrestre nodo
ciclo
hidrológico
Esc. superficial
Esc. sub-superficial
Esc. subterrâneo
Tipos e Fase
características
Escoamento
terrestre nodo
ciclo
hidrológico
Para onde vai o escoamento superficial?
Escoamento até a rede de drenagem  rios e
canais  Reservatórios
Tipos e características
do
Escoamento
Tipos de escoamento bacia
• Superficial
• Sub-superficial ?
• Subterrâneo
Tipos e características
do
Escoamento
Tipos de escoamento bacia
• Chuva, infiltração,
escoamento superficial
Tipos e características
do
Escoamento
Tipos de escoamento bacia
• Chuva, infiltração,
escoamento superficial,
escoamento subterrâneo
Camada saturada
Tipos e características
do
Escoamento
Tipos de escoamento bacia
• Escoamento
sub-superficial
Tipos e características
do
Escoamento
Tipos de escoamento bacia
• Depois da chuva: Escoamento sub-superficial e
escoamento subterrâneo
Camada saturada
Tipos e características
do
Escoamento
Tipos de escoamento bacia
• Estiagem: apenas escoamento subterrâneo
Camada saturada
Tipos e características
do
Escoamento
Tipos de escoamento bacia
• Estiagem: apenas escoamento subterrâneo
Camada saturada
Tipos e características
do
Escoamento
Tipos de escoamento bacia
• Estiagem: apenas escoamento subterrâneo
Camada saturada
Tipos e características
do
Escoamento
Tipos de escoamento bacia
• Estiagem muito longa = rio seco
Rios intermitentes
Camada saturada
Tipos e características do Escoamento
Geração de escoamento superficial
• Precipitação que atinge áreas impermeáveis, áreas
com capacidade de infiltração limitadas, áreas de
alta declividade,...
• Processo hortoniano  escoamento superficial
hortoniano
– Intensidade de precipitação excede a capacidade
de infiltração
• Processo Dunneano  Escoamento superficial em
áreas saturadas
– Saturação do horizonte superficial do solo
• Fluxo direto (preferencial)
– Infiltração e percolação rápidas em macroporos
(fendas, buracos de raízes, ...)
Tipos e características do Escoamento
Áreas Impermeáveis
 Telhados
 Ruas
 Passeios
• Geração de escoamento superficial é quase imediata
• Infiltração é quase nula
Tipos e características do Escoamento
Geração de escoamento superficial
• Intensidade da precipitação
é maior do que a
capacidade de infiltração
do solo
• Processo hortoniano
(Horton, 1934)
I (mm/h)
Q (mm/h)
F (mm/h)
Q=I–F
Tipos e características do Escoamento
Geração de escoamento superficial
•Precipitação atinge áreas saturadas
•Processo duniano (Dunne)
Q (mm/h)
Tipos e características do Escoamento
Áreas de capacidade de infiltração limitadas
 Gramados
 Solos Compactados
 Solos muito argilosos
• Capacidade de infiltração é baixa
Tipos e características do Escoamento
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Precipitação
Escoamento
Infiltração
Infiltração
tempo
Tipos e características do Escoamento
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Infiltração
Precipitação
• Considere chuva com intensidade constante
• Infiltra completamente no início
• Gera escoamento no fim
início do escoamento
Intensidade da chuva
Capacidade de infiltração
tempo
Tipos e características do Escoamento
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Infiltração
Precipitação
• Considere chuva com intensidade constante
• Infiltra completamente no início
• Gera escoamento no fim
início do escoamento
Intensidade da chuva
Capacidade de infiltração
tempo
volume infiltrado
Tipos e características do Escoamento
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Infiltração
Precipitação
• Considere chuva com intensidade constante
• Infiltra completamente no início
• Gera escoamento no fim
início do escoamento
volume escoado
Intensidade da chuva
Capacidade de infiltração
tempo
volume infiltrado
Tipos e características do Escoamento
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Este tipo é chamado escoamento hortoniano
em função de ter sido descrito por Robert E.
Horton na década de 1930:
•Storm-runoff is very nearly equal to the part of the rain
which falls at intensities exceeding the infiltration
capacity of the soil – in other words, it is the difference
between total rainfall and infiltration.
Vários modelos hidrológicos estão baseados na
estimativa de escoamento superficial pelo
processo hortoniano (IPH2, por exemplo).
Tipos e características do Escoamento
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Existem muitas bacias em que a capacidade de
infiltração é sempre maior do que a intensidade de
precipitação na maior parte dos pontos.
•Solos de florestas.
•Solos profundo.
Estudos posteriores mostraram que a geração de
escoamento pelo processo Hortoniano é
relativamente rara
Processo hortoniano é importante onde:
•Zonas semi-áridas com intensidades de chuva altas.
•Solos perturbados pela ocupação humana, pisoteamento
de gado, ou mecanização não apropriada.
•Áreas impermeáveis.
Tipos e características do Escoamento
Escoamento em áreas de solo saturado
Precipitação
Infiltração
Tipos e características do Escoamento
Escoamento em áreas de solo saturado
Precipitação
Solo saturado
Tipos e características do Escoamento
Escoamento em áreas de solo saturado
Precipitação
Escoamento
Solo saturado
E mesmo que as características do solo propiciem alta,
a capacidade de infiltração  a taxa de I é baixa
Tipos e características do Escoamento
Escoamento em áreas de solo saturado
• Ocorre próximo à rede de drenagem
• Solo é umedecido por baixo e pelos lados (e
pela chuva) até ficar saturado, quando inicia o
escoamento superficial.
• Descrito por Dunne e Black (1970) (Water
Resources Research, Vol. 6 pp. 1296-1311).
• Apenas uma parte da bacia responde pela
maior parte do escoamento superficial.
E isto tudo pode ocorrer
na mesma bacia e no
mesmo instante!
Fonte: Rampelloto et al. 2001
Hidrograma
Hidrograma
Representação gráfica da vazão ao longo do tempo
Resultado da interação de todos os componentes do
ciclo hidrológico
Hidrograma 1
Hidrograma 2
Hidrograma 3
Hidrograma 4
Hidrograma 5
Hidrograma 6
Hidrograma 7
Hidrograma 8
Hidrograma 9
Hidrograma 10
Hidrograma 11
Hidrograma 12
Hidrograma 13
Hidrograma 14
Hidrograma 15
Hidrograma 16
Tipos e características do Escoamento
Formação do Hidrograma
3
1 – Início do escoamento superficial
2 – Ascensão do hidrograma
3 – Pico do hidrograma
4 – Recessão do hidrograma
5 – Fim do escoamento superficial
6 – Recessão do escoamento subterrâneo
2
4
Superficial
e
Sub-superficial
1
5
6
Escoamento subterrâneo
Tipos e características do Escoamento
• Difuso x concentrado
– Escoamento difuso ocorre na bacia, sobre
superfícies ou em pequenos canais efêmeros
 tem profundidade pequena e largura
indefinida
– Escoamento concentrado ocorre em canais 
num rio, por exemplo, tem profundidade
maior e largura definida
– Até onde o escoamento é considerado difuso
vai depender da escala em que o fenômeno vai
ser representado
Tipos e características do Escoamento
• Outros
– Escoamento num conduto pode estar sob pressão, mas
tem seção constante
– Escoamento num lago sofre atuação de forças como a
do vento e de Coriolis (grandes lagos)
• Fundamentos dos escoamentos  Mecânica dos
fluidos e hidráulica (equações da continuidade,
Euler, Navier-Stokes)
– Retratam-se os processo nas 3 dimensões e no tempo
(caso geral)
– Rios  direção predominante longitudinal  equações
unidimensionais de Saint Venant
ESCOAMENTO: MODELOS DE
RIOS E RESERVATÓRIOS
Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios
Hidrograma
de entrada
• Ocorre atenuação:
Hidrograma
de saída
– Armazenamento
– Atrito (efeitos dinâmicos)
Volume armazenado
acumulado
Igual a este (sem Qlateral)
Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios
dS
 IQ
dt
dS
IQ
0
dt
S  Smax
Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios
Pode haver o mesmo S
para cotas Z diferentes
I
Q
Z2
Z1
S
Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios
• Velocidade pequena
• Linha d’água horizontal
Relação biunívoca Z x S
I
Q
S2
Z2
Z1
S1
Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios
h  f(S)
h
h
h  f(Q)
S
dS
0
dt
dQ
0
dt
Q
S
Q
Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios
dS
0
dt
dQ
0
dt
Equações hidrodinâmicas
• Hipóteses (Escoamento não permanente em canais)
– Escoamento unidimensional
– Distribuição de pressão hidrostática 
declividade menor que 10% (Baptista e Lara, 2010)
– Canal de baixa declividade  menor que 15%
(Fread, 1993 – handbook of hydrology)
– Fluido incompressível e homogêneo com vazão dada
por Q (x,t) = V(x,t).A(x,t)
– Perda de carga no regime variado computada por
uma equação de resistência do regime permanente
e uniforme
– Funções contínuas em relação ao tempo t e ao
espaço x
Equações hidrodinâmicas
• Equação da continuidade
Volume de controle elementar de comprimento dx 
escoamento entre as seções 1 e 2  x medida ao
longo do canal, A a área molhada, y altura,
profundidade ou tirante de água, B a largura da
superfície livre, V a velocidade média na seção 1
Equações hidrodinâmicas
• Equação da continuidade
Equação integral

0
t
Fluido incompressível

ρd 
VC

 
ρV  n dA
SC
 

0
d   V  n dA

t VC
SC
Obs.: sem aporte lateral
 

SCV n dA   t
Equações hidrodinâmicas
• Equação da continuidade
A variação de volume é resultado de uma
y
modificação na superfície livre
t

y
 Bdx
t
t
B (x,y)
dy
A (x,y)
 A

dx
t t
Equações hidrodinâmicas
• Equação da continuidade
O fluxo na superfície de controle é resolvido
expandindo-se Vx.A na série de Taylor
Equações hidrodinâmicas
• Equação da continuidade
A equação resultante
Vx
A A
A
 Vx

0
x
x t
Canais com declividade fraca  Vx pode ser
considerada igual à V = Q/A (vel. média na seção)
V
A A
A
V

0
x
x t
Q A

q0
x t
q  vazão lateral (Q por unidade de comprimento)
 negativa (influxo) e positiva (efluxo ou saída)
Equações hidrodinâmicas
• Equação dinâmica
Forças
– Devido à pressão hidrostática nas seções 1 e 2
– gravitacional no sentido do escoamento
– de atrito nas paredes e no fundo do canal
Equações hidrodinâmicas
• Equação dinâmica
 

Fp1  Fp2  Fa  Wx 
Vx ρd   Vx ρV  n dA

t VC
SC
Equações hidrodinâmicas
• Equação dinâmica
Um processo semelhante ao da equação da
continuidade leva a:
y 

 V V 
γA S0  Sf  dx  ρA V
 dx
x 
 x t 

y
V V
V

g
 gS0  Sf 
x t
x
• Ver Hidráulica básica de Rodrigo de Melo Porto, capítulo 14
Equações hidrodinâmicas
As equações foram estabelecidas pela primeira vez
por Adémas Jean-Claude Barré, conde de Saint
Venant, engenheiro francês (1797-1886)
y
V
A
A
V
B
0
x
x
t
y
V V
V

g
 gS0  Sf 
x t
x
Constituem um sistema de equações com duas
incógnitas, em derivadas parcias de x e de t
Equações hidrodinâmicas
Também são escritas como abaixo
(continuidade e quantidade de movimento)
Q A

q0
x t
y
Q (Q /A)

 gA
 gA(So  Sf )
t
x
x
2
Equações hidrodinâmicas
Equação dinâmica  significado dos termos
Termo de gravidade
y
V V
V

g
 gS0  Sf 
x t
x
y
Q (Q /A)

 gA
 gA(So  Sf )
t
x
x
2
Termos de inércia
Termo de
pressão
Termo de
atrito
Simplificações das Equações de Saint Venant
Importância dos termos da equação dinâmica
em rios
– Determinada pela situação hidráulica do curso
d’água (declividade, largura da seção, ...)
– Henderson (1966)  para rios com I0 > 0,02 m/m
 termos de inércia, em geral, muito pequenos,
podendo ser desprezados  força da gravidade
preponderante
– Cunge (1980)  ordem de grandeza dos termos
de inércia = 10-5, enquanto dos termos de atrito
e gravidade = 10-3
Simplificações das Equações de Saint Venant
Importância dos termos da equação dinâmica
em rios
Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2)
A Q

q
t x
2

y
Q  Q 
  gA  gASf  0
 
t x  A 
x
Máximo 1,5% Normal <1%
Simplificações das Equações de Saint Venant
Importância dos termos da equação dinâmica
em rios
Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2)
Sf
 0,9
S0
y
x  2  10 2
S0
Termo de pressão é pequeno
V
V
Termo de advecção e termo
t  t  1,7  10 3 de variação temporal da quantidade de
movimento são muito pequenos frente
gS0 gS0
aos outros termos
Simplificações das Equações de Saint Venant
O que queremos representar com os modelos?
– Efeitos que ocorrem com a onda de cheia
quando se propaga ao longo de um rio ou canal
– Que efeitos são esses? Ocorre atenuação e
deslocamento devido ao:
(a) Armazenamento  tanto na calha normal como nas
áreas de inundação
(b) Atrito com as superfícies do canal e difusão devido
ao gradiente de pressão
Simplificações das Equações de Saint Venant
Translação (deslocamento)
A
B
Q
Hidrograma em A
Hidrograma em B
t
Simplificações das Equações de Saint Venant
Amortecimento
A
B
Q
Hidrograma em A
Hidrograma em B
t
Simplificações das Equações de Saint Venant
Efeito de jusante
A
h em B (maré)
B
Q
Hidrograma em A
Hidrograma em B
t
Simplificações das Equações de Saint Venant
Abordagem de Moussa e Bocquillon (1996)
- Analisa-se o escoamento com as eq. de SaintVenant como uma superposição de dois
regimes: um regime permanente e uma
perturbação do primeiro
- Os termos da Eq. completas correspondentes a
menos de 1% da soma dos restantes são
considerados desprezíveis
- Utilizam-se 2 parâmetros: o n° de Froude (F0)
do escoamento não perturbado e o período
adimensional (T+) da perturbação aplicada ao
regime permanente
Simplificações das Equações de Saint Venant
MOUSSA, R.; BOCQUILLON, C. (1996). Criteria for the choice of flood routing
methods in natural channels, J. of Hydrol., 186, 1-30.
Simplificações das Equações de Saint Venant
Paiva e Getirana (2013)
Maior parte dos rios
Amazônicos (~99%) 
modelos de onda
cinemática (KI) ou difusiva
(DF)
Cabeceiras e regiões de
altas decliv. como a região
Andina (64,5% da bacia) 
cinemática
Principais tributários, rios
com baixa decliv., (Amaz.
central no Brasil, planícies
bolivianas e peruanas 
difusivo (34,5% da bacia)
~1% da bacia  equações completas
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Voltando aos termos da equação dinâmica
– Eles podem ser considerados como uma
representação de um gradiente ou declividade
Não permanente e não uniforme
Permanente e não uniforme
Permanente e uniforme
y V V 1 V
Sf  S0 - x g x g t
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Voltando aos termos da equação dinâmica
– Eles podem ser considerados como uma
representação de um gradiente ou declividade
Não permanente e não uniforme
Armazenamento
Difusão
Onda cinemática
y V V 1 V
Nenhum
Sf  S0 termo
- - dax g x g t
equação dinâmica
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Desprezando todos os termos de inércia
y
Sf  S0 x
y
 S0 - Sf
x
– Associando esta equação dinâmica à equação da
continuidade  base do modelo de difusão ou
não inercial
– Aplicado quando não há grande variação
temporal e espacial de V
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Desprezando também o termo de pressão
y
Sf  S0 x
Sf  S0
– Associando esta equação dinâmica à equação da
continuidade  base do modelo de onda
cinemática
– se não há variação da linha d’água 
movimento uniforme (UM)
Simplificações das Equações de Saint Venant
2
Q A
y

Q

(Q
/A)

q0


gA

gA(S

S
)
o
f
x t
t
x
x
Não utilizam a equação dinâmica
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology)
– Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q
biunívoca e o produto do tempo de ascensão do
hidrograma pela declividade de fundo não seja
pequeno
• Onda cinemática (Erro em relação aos modelos
com equações completas)
E(%) 
μ' φn1,2qp
TrS01,6
Decliv.da linha de energia(cinem.)

Decliv.da linha de energia(dinâm.)
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology)
– Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q
biunívoca e o produto do tempo de ascensão do
hidrograma pela declividade de fundo não seja
pequeno
• Difusão (Erro em relação aos modelos com
equações completas)
E(%) 
μ"φ' qp0,4
TrS00,7n 0,6
Decliv.da linha de energia(cinem.)

Decliv.da linha de energia(dinâm.)
Simplificações das Equações de Saint Venant
E(%) 
μ' φn qp
1,2
TrS
1,6
0
E(%) 
μ"φ' q
0,4
p
0,7 0,6
0
TrS n
Parâmetros importantes: grande
variedades de valores possíveis
Canais de declividades suaves e ondas de cheia que
sobem rapidamente  TrS0 pequeno  modelos com
equações completas de Saint Venant
Onda cinemática
Tópicos
• Importância do Escoamento
• Tipos de Escoamento
• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas
– Equação da continuidade
– Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica
• Simplificações das Equações de Saint Venant
–
–
–
–
–
Onda cinemática
Difusão
Métodos de armazenamento (Muskingum)
Equação de advecção-difusão
Métodos de armazenamento com difusão artificial (MuskingumCunge, etc.)
• O método de Pulz - reservatórios
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Voltando aos termos da equação dinâmica
– Eles podem ser considerados como uma
representação de um gradiente ou declividade
Onda cinemática
y V V 1 V
Sf  S0 - x g x g t
Simplificações das Equações de Saint Venant
2
Q A

 q  0 Q  (Q /A)  gA y  gA(So  Sf )
x t
t
x
x
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• Partindo de uma expressão do escoamento
uniforme como a de Chézy
V  C RhSf

y V V 1 V 

V  C Rh  S0 - 
x g x g t 

Desprezam-se  Onda cinemática  V
 C RhS0
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• As duas equações juntas da Onda cinemática
Q A

0
x t
Sf  S0
OU
V  C RhS0
– Como é possível MU (geralmente associado ao
escoamento permanente) e uma variações de Q
com x e de A com t?
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• A onda passa ...
Q2
Q1
y2
y1
• Durante e após sua passagem  sem mudança na
declividade da linha d’água (escoamento principal)  não há
desequilíbrio por causa de forças de pressão  as forças de
resistência se equilibram com a gravidade
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
V  C RhS0
(a) Relação
biunívoca entre
QeVey
(b) Não biunívoca
nas equações
completas 
largura do laço
indica
importância
relativa dos
termos de
inércia e
pressão
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
Relação Q = f(y)  cota-descarga ou curva chave
V  C RhS0
(a) Esc. Não
perman.  Q
para 2 para
duas prof. Y 
onda de cheia
em ascenção ou
depleção 
influência do
termo de
aceleração local
(1/g)(∂V/ ∂t)
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
Relação Q = f(y)  cota-descarga ou curva chave
V  C RhS0
(b) Nível máximo
da água
atingido não
corresponde à
máxima vazão,
que ocorre
antes dele
(c) Linha tracejada
 escoamento
uniforme 
onda cinemática
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
Q = f(y)  A = f(y)  A = f(Q) e Q = f(A)
y
A
Q
A
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• Conceito de onda cinemática  introduzido por Lighthill e
Whitham (1955)
• Na equação da continuidade
Q A

0
x t
y
Q
B
0
x
t
y
dQ y
B  0
dy x
t
• Por outro lado
y dx y

0
x dt t
dx
1 dQ dQ
 CK 

dt
B dy dA
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
Celeridade da onda cinemática
dx
1 dQ dQ
 CK 

dt
B dy dA
Espaço percorrido em Dt
Só admite valores
positivos (sentido da
corrente)
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• Outras formas de escrever a equação
Q dQ Q
Q
Q

 0 ou
 CK
0
t dA x
t
x
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• Propriedades da onda cinemática
(a) Propaga-se somente pra jusante
Q
Q
(b) O aspecto não muda ao longo do
 CK
0
percurso, não havendo atenuação
t
x
da altura da onda
Percurso em Dt
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• Propriedades da onda cinemática
• Onda cinemática não
tem dispersão nem
difusão (sem
amortecimento)
• A onda é transladada
sem sofrer alterações
na forma
A
B
Q
Hidrograma em A
Hidrograma em B
t
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• Propriedades da onda cinemática
(c) velocidade de propagação
1 dQ dQ d(VA)
V
CK 


V A
B dy dA
dA
A
• Demonstração que o termo ∂V/∂A é sempre
positivo  a celeridade é superior à velocidade
média do regime uniforme
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• Quando usar o modelo de onda cinemática?
– ∂y/∂x desprezado  não usar onde há
efeito de jusante (canais próximos a
lagos, barragens, estuários,
estrangulamentos, oceanos ou rios
maiores)  força da gravidade
preponderante  escoamento
unidirecional (montante para jusante)
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
• Quando usar o modelo de onda cinemática?
– Usados em modelos chuva-vazão
(escoamento superficial)  não são
recomendados para canais, exceto quando
o hidrograma ascende devagar, a
declividade é moderada para íngreme e a
atenuação do hidrograma é bastante
pequena.
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
verifiquem
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
dx
1 dQ dQ
 CK 

dt
B dy dA
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
Qp
Q
Q0
t
1) Montar o hidrograma de entrada no trecho
2) Propagá-lo
2.1. Calcular y para cada Q (Manning)
2.2. Calcular CK para cada y
2.3. Calcular o tempo de viagem  Dt = L/CK
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
1) Montagem o hidrograma de entrada no trecho
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
2) Propagação
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
2) Propagação
Simplificações das Equações de Saint Venant
onda cinemática
2) Propagação
Difusão
Tópicos
• Importância do Escoamento
• Tipos de Escoamento
• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas
– Equação da continuidade
– Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica
• Simplificações das Equações de Saint Venant
–
–
–
–
–
Onda cinemática
Difusão
Métodos de armazenamento (Muskingum)
Equação de advecção-difusão
Métodos de armazenamento com difusão artificial (MuskingumCunge, etc.)
• O método de Pulz - reservatórios
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Voltando aos termos da equação dinâmica
– Eles podem ser considerados como uma
representação de um gradiente ou declividade
Difusão
y V V 1 V
Sf  S0 - x g x g t
Simplificações das Equações de Saint Venant
2
Q A

 q  0 Q  (Q /A)  gA y  gA(So  Sf )
x t
t
x
x
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
O modelo de difusão
• despreza os termos de inércia do escoamento
dinâmico  pode ser usado onde não há
grandes gradientes de velocidade
• considera os efeitos de jusante no escoamento
de montante, como o próximo ao mar e
confluência dos rios
• relação entre nível, vazão e declividade da
linha d’água para uma seção de rio
A Q

q
t x
Equação da continuidade
dy
 So  Sf
dx
Equação dinâmica
O modelo de difusão
2
Q A
y

Q

(Q
/A)

q0


gA

gA(S

S
)
o
f
x t
t
x
x
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
O modelo de difusão
• A partir da equação dinâmica e usando Sf a
partir da equação de Manning
dy
 So  Sf
dx
dZ
 Sf
dx
Sf 
Q Qn
Z
y
AR
2/3
h
datum
Q  Qo
dZ
/So
dx
Qo = vazão de escoamento sem efeito
de jusante
O modelo de difusão
• Positivo quando dZ/dx < 0
• Se dZ/dx = S0 (dy/dx = 0)  escoamento uniforme  S0 =
Sf  condição de onda cinemática
Q  Qo
dZ
/So
dx
• Permite corrigir uma curva de descarga sujeita a efeito de
jusante, função da declividade da linha d’água
• Aplicabilidade (PONCE et al., 1978)
TSo
g
 30
y
O modelo de difusão
• Exemplos
Afluente a um rio maior
A
B
B
A
Afluente ao mar ou lago
O modelo de difusão
• Exemplos
Afluência da bacia 2
Afluência da bacia 1
Canal de
ligação
Reservatório 2
Reservatório 1
O modelo de difusão
h2
Funções da seção de um rio
Armazenamento ou
Onda Cinemática
h1
Para valores
de h2
h1
h
Sem remanso
Q
Q
Com remanso
dQ
O modelo de difusão
So Dx  0,00004 5000
O modelo de difusão
A
B
Sem efeito de jusante
ZA – ZB > 0,2 m
Q0
Com efeito de jusante
Modelos de armazenamento
Tópicos
• Importância do Escoamento
• Tipos de Escoamento
• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas
– Equação da continuidade
– Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica
• Simplificações das Equações de Saint Venant
–
–
–
–
–
Onda cinemática
Difusão
Métodos de armazenamento (Muskingum)
Equação de advecção-difusão
Métodos de armazenamento com difusão artificial (MuskingumCunge, etc.)
• O método de Pulz - reservatórios
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Voltando aos termos da equação dinâmica
– Eles podem ser considerados como uma
representação de um gradiente ou declividade
Armazenamento
Nenhum termo da
equação dinâmica
Propagação de cheias em rios
métodos hidrológicos (armazenamento)
2
Q A
y

Q

(Q
/A)

q0

 gA
 gA(So  Sf )
x t
t
x
x
Não utilizam a equação dinâmica
O que se utiliza no lugar?
Propagação de cheias em rios
métodos hidrológicos (armazenamento)
Uma equação do tipo
S = f (I, Q, I’, Q’)
S = kQ
S = K [xI +(1- x) Q]
Reservatório
linear simples
Muskingum
S = a/Qb
SSARR
Chamados modelos hidrológicos ou de armazenamento
Escapar do trabalho com as equações de Saint Venant
(modelos hidrodinâmicos)
Propagação de cheias em rios
métodos hidrológicos (armazenamento)
• Baseiam-se nos conceitos de prisma de
armazenamento e cunha de armazenamento
Declividade da linha d’água
I≠O
Propagação de cheias em rios
métodos hidrológicos (armazenamento)


dS
Continuidade
 IQ
dt
Relação
O  ay
n
S  by
m
Se O  xI  1  xQ
b
m/n
S  1/n xI  1  x Q 
a
Muskingum 
m
1
n
b
e K  1/n
a
O modelo Muskingum
• Desenvolvido por McCarthy em 1938  trabalhos
e controle de cheias na bacia do rio Muskingum,
EUA
• Baseia-se na equação da continuidade e relações
aproximadas entre o armazenamento na calha e as
vazões de entrada I e saída Q
dS
 IQ
dt

Continuidade

Relação S = K[xI +(1- x)Q]
• É do tipo concentrado no espaço
O modelo Muskingum
Sprisma = KQ
Scunha = Kx(I-Q)
I
Ascenção I > Q
Q
I Q
K = tempo de viagem da vazão
de pico ao longo do trecho
X = fator de ponderação das
vazões de entrada e saída
(0 ≤ X ≤ 0,5)
Canais naturais  0 ≤ X ≤ 0,3
S = K[xI +(1- x)Q]
Q
Q
I
Q
Depleção Q > I
QI
I
I
O modelo Muskingum
Sprisma = KQ
Scunha = Kx(I-Q)
O modelo Muskingum
Efeito de X
O modelo Muskingum
Efeito de K
O modelo Muskingum
• Tanto I quanto Q variam com o tempo  para
um intervalo de tempo Dt  aproximados pela
média aritmética dos valores do início e do fim
do intervalo
It  It 1 Qt  Qt 1 St 1  St


2
2
Δt
• Rearranjando os termos
Qt1  C1It1  C2It  C3Qt
Δt
Δt
Δt
 KX 
KX 
K(1  X) 
2 ; C 
2
2
C1 
;
C

2
3
Δt
Δt
Δt
K(1  X) 
K(1  X) 
K(1  X) 
2
2
2
C1 + C2 + C3 = 1
O modelo Muskingum
• K  tempo médio de deslocamento da onda
no trecho
• X  ponderador entre as vazões de entrada
e saída  varia entre 0 e 0,5, com valor
típico para muitas correntes naturais igual a
0,2
• K, X, It, It+1 e Qt são conhecidos
• K e Dt devem estar na mesma unidade,
horas ou dias
O modelo Muskingum
• Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos
de acordo com os valores dos parâmetros
– C1 negativo  quando Dt/K é menor que 2X 
distância entre as seções é muito grande (valor alto
de K) ou intervalo de tempo é muito pequeno 
evitar vazões negativas  subdivide-se o trecho 
reduz o K de cada um ou se aumenta Dt
Δt
 KX 
2
C1 
Δt
K(1  X) 
2
Δt
 2X
K
C1 
Δt
2(1  X) 
K
O modelo Muskingum
• Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos
de acordo com os valores dos parâmetros
– C3 negativo  Dt/K é maior que 2(1-X)  intervalo
de tempo é muito grande  evitar vazões negativas
 diminui-se o intervalo de tempo Dt
Δt
K(1  X) 
2
C3 
Δt
K(1  X) 
2
Δt
2(1  X) 
K
C3 
Δt
2(1  X) 
K
O modelo Muskingum
Para que os coeficientes da equação sejam positivos
Dt
 KX 
2  0 e 2KX  Dt
C1 
Dt
K(1  X) 
2
Dt
2  0 e 2K(1- X)  Dt
C3 
Dt
K (1  X) 
2
K (1  X) 
Condições de estabilidade numérica
0  X  0,5
Dt
2X 
 2(1  X)
K
Dt / K
2
1
00
Região válida
0,5
X
O modelo Muskingum
Faixa de validade dos parâmetros
I(t)
Δt
2X 
 2(1  X)
K
Romper este limite
 Dt alto 
reduzir
Romper este limite  K alto e a
distância entre as seções alta
 criar subtrechos
Q(t)
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
K  Diferença entre os centros de gravidade
dos hidrogramas
IeQ
I
Q
Q.t  I.t

K

Q I
K
t
X  escolhido, geralmente, entre 0,1 e 0,3
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
 Se houver dados  Tradicional Método da
Laçada  o volume acumulado ∑S é grafado
contra a vazão ponderada xI + (1-x)Q para
vários valores de X
 O gráfico que mais se aproximar de uma
função linear é o que prever melhor o valor de
X
 o coeficiente angular da reta é então o valor
de K
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
Se houver dados  Tradicional Método da Laçada
S/Δt
X=X1
X= Xn
tga = K
Quando a
inclinação mostra
várias tendências
 K varia com a
vazão  sistema
é não-linear
xI+(1-x)Q
S = K [xI +(1-x) Q]
St  1 1
St
 It 1  It   Qt 1  Qt  
Dt
2
Dt
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
 o gráfico armazenamento
versus vazão
ponderada 
visualização do que
ocorre na cunha
o Início da enchente  aumento do armazenamento
segundo um gradiente íngreme
o Após o pico  diminuição do armazenamento com
gradiente menor e em sentido contrário
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
Se houver dados  Tradicional Método da Laçada
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
Se houver dados  Tradicional Método da Laçada
O modelo Muskingum
K
• Determinação dos parâmetros K e X
Se houver dados  Tradicional Método da Laçada
O melhor
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
•Mínimos quadrados  minimização quadrática da função de
armazenamento
D  (SCi  SOi )
2

Sc
 


Di

So
QI( QSo   ISo )   Q 2So   I 2  QSo

K
 I2  Q 2  ( IQ) 2
Q 2  ISo   QSo  IQ

X
K[ I 2  Q 2  ( I Q) 2 ]
•Tende a dar maior peso aos maiores valores (vizinhança do pico)
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
• Otimização de parâmetros  Utilizar um dos
métodos de otimização com restrições
• condições iniciais
K
X  0,5 
 Q.t
Q
1
K
2

 I.t
I
 Nash (do modelo Nash)  do
primeiro momento de uma função
linear  diferença entre os CGs
(m2Q  m1Q  m2I  m2I)  Do segundo momento
Q.t 2
Q.t
I.t2
I.t




m2Q 
; m1Q =
; m2I =
; m1I =
Q
Q
I
I
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
• Relação de momentos das funções  Dooge
(1982)  Método considera o modelo linear e
estima os parâmetros por características físicas
0,6Dx
K
vo
velocidade
4F2 yo
X  0,5  0,3(1 
)
9 So Dx
Declividade do fundo
Número de Froude
profundidade
Distância entre montante e jusante
Equação de advecção-difusão
Tópicos
• Importância do Escoamento
• Tipos de Escoamento
• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas
– Equação da continuidade
– Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica
• Simplificações das Equações de Saint Venant
–
–
–
–
–
Onda cinemática
Difusão
Métodos de armazenamento (Muskingum)
Equação de advecção-difusão
Métodos de armazenamento com difusão artificial (MuskingumCunge, etc.)
• O método de Pulz - reservatórios
O modelo de difusão
• Equação de convecção-difusão
Q
Q
 Q
c
D 2
t
x
x
Q dK
c
BK dy
2
K
D
2B Q
2
Conhecida também
como equação do calor
Obtida da forma seguinte:
1) Derivando a eq. da
continuidade em relação a
x e a eq. Dinâmica (modelo
de difusão) em relação a t
QQ
y
 S0  2
x
K
2) Trabalhando em cima da
derivada e K em relação a t
O modelo de difusão
• Equação de convecção-difusão
 Q
Q
Q
D 2
c
x
x
t
Q dK
c
BK dy
2
K
D
2B Q
2
Os coeficientes dependem
da vazão e da profundidade
 modelo não-linear
É necessário fornecer
condições de contorno de
montante e de jusante
(regime subcrítico), além
das condições iniciais
Pode-se utilizar diferenças
finitas
O modelo de difusão
• Equação de convecção-difusão
Há uma forma de resolvê-la como
modelo linear  difusão linear
• Celeridade = c
• Difusividade = D
• Translação e difusão
• Não representa efeitos de jusante
Q
Q
 2Q
c
D 2
t
x
x
Q
c
A
Q0
D
2BS0
A
B
A
B
Q
Q
Hidrograma em A
Hidrograma em B
Hidrograma em A
Hidrograma em B
t
t
Métodos de armazenamento
com difusão artificial
(Muskingum-Cunge, etc.)
Tópicos
• Importância do Escoamento
• Tipos de Escoamento
• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas
– Equação da continuidade
– Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica
• Simplificações das Equações de Saint Venant
–
–
–
–
–
Onda cinemática
Difusão
Métodos de armazenamento (Muskingum)
Equação de advecção-difusão
Métodos de armazenamento com difusão artificial (MuskingumCunge, etc.)
• O método de Pulz - reservatórios
O modelo Muskingum-Cunge
• Cunge (1980)  o método Muskingum é
equivalente à solução da onda cinemática
com um esquema numérico de diferenças
finitas
– Podemos aplicar um esquema de diferenças
finitas no modelo de onda cinemática 
atingiremos um modelo semelhante ao
Muskingum
O modelo Muskingum-Cunge
• Assim fazendo, o que descobrimos?
– Difusão da onda de cheia resultante do uso do
modelo Muskingum  resultado de um erro
numérico dependente dos intervalos de
discretização utilizados nas derivadas do tempo
e do espaço
O modelo Muskingum-Cunge
• Cunge então propôs uma forma de estimar os
valores de K e X para que a difusão causada pelo
erro numérico se iguale à difusão real da onda de
cheia
• O modelo de Muskingum passou a ser chamado
modelo Muskingum-Cunge
A
B
Q
Hidrograma em A
Hidrograma em B
t
O modelo Muskingum-Cunge
• Para uma seção em um ponto específico xo
A dA Q

t dQ xo t
Q
Q
dt 
dx
• Derivada total da vazão  dQ 
t
x
Q
Q
dt 
dx
• Para uma vazão constante  0 
t
x
• Da equação da continuidade sem vazão lateral
A 1 Q

t c t
Q
Q
c
0
t
x
O modelo Muskingum-Cunge
Q
Q
c
0
t
x
Equação da continuidade, sem vazão lateral,
transformada com base no conceito de que
existe uma relação biunívoca entre vazão e
área (modelo de onda cinemática e
armazenamento)
O modelo Muskingum-Cunge
• Esquemas numéricos para a onda cinemática
Esquema de primeira ordem
Q
n 1
j 1
Q
n
j 1
Dt
c
Q
n 1
j 1
Q
Dx
n 1
j
0
Esquema de segunda ordem
Q nj11  Q nj 1
2

Dt
Q nj1  Q nj11
Q nj1  Q nj
2
c
2

Dx
Q nj  Q nj 1
2
0
O modelo Muskingum-Cunge
• Esquema de primeira ordem
Q
n 1
j 1
Q
n
j 1
Dt
c
Q
n 1
j 1
Q
n 1
j
Dx
n1
j 1
Q
C
C0 
1 C
1
C2 
1 C
0
n1
j
 C0  Q
Dt
C  b V 
Dx
 C2  Q
n
j 1
Número de Courant
O modelo Muskingum-Cunge
• Esquema de segunda ordem
Q nj11  Q nj 1
2

Dt
Q nj1  Q nj11
Q nj1  Q nj
2
c
n1
j 1
Q
C 1
C0 
1 C
C1  1
1 C
C2 
1 C
2

Dx
n1
j
 C0  Q
Dt
C  b V 
Dx
Q nj  Q nj 1
2
0
 C1  Q  C2  Q
n
j
n
j 1
Número de Courant
O modelo Muskingum-Cunge
• Exemplo onda cinemática
• Arquivo Excel onda cinemática
• Ocorre difusão porque o esquema numérico
não representa perfeitamente a equação
• Difusão numérica
O modelo Muskingum-Cunge
• Onda cinemática versus equação de difusão
Diferença
Q
Q
c
0
t
x
Cunge utilizou um esquema
numérico de 4 pontos para
discretizar esta equação 
chegou numa equação
semelhante à do modelo
Muskingum
Q
Q
Q
c
D 2
t
x
x
Q dK
c
BK dy
2
2
K
D
2B Q
O modelo Muskingum-Cunge
• Onda cinemática versus equação de difusão
Diferença
Q
Q
c
0
t
x
Q
Q
 2Q
c
D 2
t
x
x
Qt 1  C1It 1  C2 I t  C3Qt
Modelo Muskingum  equivalente a
uma solução numérica da equação
hiperbólica da onda cinemática
I t 1  q tj1
I t  q tj
Qt 1  q tj11
Qt  q tj 1
Dx
K
c
O modelo Muskingum-Cunge
Q
Q
c
0
t
x
t+1
X
t
1-X
Qtj11
t 1
j
Q
Δt
t
Q
t
j
Δx
j
t
j 1
Q
j+1
x
O modelo Muskingum-Cunge
Derivada no tempo
Q
Q
c
0
t
x
Ponderação entre duas
diferenças adiantadas
no tempo
Q Q
Q Q
Q
 X
 1  X
t
Δt
Δt
t 1
j
t
j
t 1
j1
t
j1
O modelo Muskingum-Cunge
Q 1  f  f
 
x 2  Δx
t 1
j1
t 1
j
f f 


Δx 
t
j1
t
j
Média entre duas diferenças
adiantadas no espaço
Q
Q
c
0
t
x
Derivada no espaço
O modelo Muskingum-Cunge
• Onda cinemática versus equação de difusão
Diferença
Q
Q
c
0
t
x
Como já dito  solução por
métodos numéricos gera um
amortecimento artificial
devido à discretização
Q
Q
Q
c
D 2
t
x
x
2
Cunge (1969)
expandiu por série
Taylor os termos
numéricos
O modelo Muskingum-Cunge
• Onda cinemática versus equação de difusão
Diferença
Q
Q
c
0
t
x
Q
Q
 2Q
c
D 2
t
x
x
Resultado
Q
Q
Q
c
 (0,5  X )cDx 2
t
x
x
2
O modelo Muskingum-Cunge
• Dispersão numérica
Q
Q
 2Q
c
D 2
t
x
x
D  (0,5  X)cDx
• Para que D seja nulo (onda cinemática)  X = 0,5. Caso
contrário é introduzida um amortecimento numérico
• Cunge (1980) sugeriu uma equação para o parâmetro X, onde
a difusão numérica seria equivalente à difusão real:


Qo

X  0,5  1 
 boSocoΔx 
Δx
K
co
O modelo Muskingum-Cunge
• Dispersão numérica
• Estas equações permitem a estimativa dos
parâmetros do modelo Muskingum para que ele
funcione como um modelo de difusão
É necessária uma vazão de referência


Qo

X  0,5  1 
 boSocoΔx 
Δx
K
co
As estimativas são baseadas em dados físicos do trecho
O modelo Muskingum-Cunge
• Muskingum Cunge Linear (MCL)  essa vazão de
referência Q0 é fixa para todo o período de
cálculo  Tucci (2005) sugere que Q0 seja cerca
70% da vazão máxima do hidrograma de entrada
no trecho
• Muskingum-Cunge Não Linear (MCNL)  Q0 é
calculada em cada passo de tempo de simulação.
Desta forma, os parâmetros K e X também variam
em cada passo de tempo  várias formas 
esquema de 3 pontos e esquema de 4 pontos
(método iterativo)
O modelo Muskingum-Cunge
• MCL
• c0 pode ser obtida com base na equação de Manning
por
dQ 1 dQ 5 S01/2 2/3 5 S00,3Q00,4
c0 


y 
1/3
dA B dy 3 nB
3 B0,4n0,6
• O uso dela está em contradição com o modelo de
difusão: equação de Manning  onda cinemática
• Jones (1981)  analisou a precisão numérica do
esquema numérico do modelo Muskingum para resolver
a equação de difusão
• Apresentou relações entre K/Dt e X
O modelo Muskingum-Cunge
• MCL
• Intervalo 0,2  X  0,4  ajuste de uma
curva que atenda as duas funções dentro de
uma margem de erro de 2,5%
Dt
1, 25
 3,125 X
K
0,2  X  0,4
K
 0,32 X 1, 25
Dt
Dt / K  1 0,4  X  0,5
O modelo Muskingum-Cunge
• MCL
O modelo Muskingum-Cunge
• MCL
• Ajuste
A seguir roteiros
para uso do
modelo para os
casos sem dados e
com dados
O modelo Muskingum-Cunge
• MCL  roteiros
• Sem dados: roteiro 1  Se Dx é determinado em função dos
dados e das características dos trechos  Dt determinado visando
à faixa de precisão das curvas e Dt ≤ tp/5, onde tp é o tempo de
pico do Hidrograma de entrada
 Fixe Dt = tp/5
0,761 c0  Dt
 Determine Dx com a equação Dx 
1  Q0 /(B  S0  c0  Dx)1,25
2,5Qo
 Chute inicial, adotando X = 0,3 (melhor precisão) Δx 
bSoco
 Adote Qo = 2/3 Imax ou ajuste
 Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%)  se não
estiver, reavalie Dx
O modelo Muskingum-Cunge
• MCL  roteiros
• Sem dados: roteiro 2  Se Dx é determinado em função dos
dados e das características dos trechos  Dt determinado visando
à faixa de precisão das curvas e Dt ≤ tp/5, onde tp é o tempo de
pico do Hidrograma de entrada
2,5Qo
 Fixe Dt = tp/5 e determine Dx com a equação Δx 
bSoco
 Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%)  se não
estiver, reavalie Dx
O modelo Muskingum-Cunge
• MCL  roteiros
• Com dados
 Dx pode ser fixado em função das características físicas
ou ajustado com outros parâmetros
5 S00,3Q00,4
 Utilizando a equação c0 
0,4 0,6  parâmetros
3 B n
de ajuste Q0 e n
 Outras etapas iguais aos casos anteriores
O modelo Muskingum-Cunge
• MCL  Dx ideal Muskingum Cunge
Q0
0 ,8
0, 2
Dx 
 0,8  c0  Dt   Dx 
B  S0  c0
2
 
 
Q0
 
Dx  0,5  c0  Dt 1  1  1,5 
2 
B  Dt  S0  c0  
 


Jones
Fread
O modelo Muskingum-Cunge
5 S00,3Q00,4
c0 
3 B0,4n 0,6
2,5Qo
Δx 
bSoco
Tempo
(40min)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
vazão de entrada
m3 / s
20
30
60
90
100
130
115
95
80
60
40
20
20
20
20
vazão de saída
m3 / s
20
20
20
20
21,1
27,0
42,2
63,9
85,9
103,0
102,4
92,4
77,2
59,4
41,9
O modelo Muskingum-Cunge


Qo


X  0,5  1 
 boSocoΔx 
Δx
K
co
Dx 
2,5.87
 5.568m
30x 0,0007x1,86
5 So 0,3Qo0,4
co 
 1,86m / s
0
,
6
0
,
4
3 n b
O modelo Muskingum-Cunge
O modelo Muskingum-Cunge
• MCNL
• A celeridade não é constante
• Os parâmetros do método de Muskingum Cunge
deveriam variar
• Celeridade varia com o nível da água ou com a
vazão
Celeridade diminui
Celeridade aumenta
O modelo Muskingum-Cunge
• MCNL  Evidências experimentais
Murrumbidgee river - Wang e Laurenson, 1983 Water
Resources Research
O modelo Muskingum-Cunge
• MCNL
• Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por
variáveis
• A cada passo de tempo é necessário recalcular
o valor de K e X (C1, C2 e C3)
• Só o que não muda é o Dx
O modelo Muskingum-Cunge
• MCNL  Qual vazão usar como referência?
Qo( t , j) 
Qo( t , j) 
Qo( t , j) 
Q tj  Q tj1  Q tj1
3
Q tj  Q tj1  Q tj1
3
Q tj  Q tj1  Q tj1  Q tj11
4
e c( t , j) 
c(Q tj )  c(Q tj1 )  c(Q tj1 )
3
e c( t , j)  c(Qo( t , j))
e c(( t , j)) 
c(Q tj )  c(Q tj1 )  c(Q tj1 )  c(Q tj11 )
4
iterativos
Qo( t , j) 
Q tj  Q tj1  Q tj1  Q tj11
4
e c(( t , j))  c(Qo( t , j))
O modelo Muskingum-Cunge-Todini
• MCT  fazer resumo do artigo
PONTES, P. R. M. ; COLLISCHONN, W. .
Conservação de volume em modelos simplificados de
propagação de vazão. Revista Brasileira de Recursos
Hídricos, v. 17, n.4. p. 83-96, 2012.
Contribuição lateral



O tratamento do escoamento em rios pelos modelos
anteriores resolve somente o fluxo na calha
Mas o hidrograma de jusante recebe um volume
correspondente à vazão lateral (Qlat)
Tem que ser avaliada a sua importância
M
Contribuição
lateral
Propagação
J
Contribuição lateral
• Avaliação da influência (ajuste e verificação)
 tomar eventos na seções de montante e de jusante do
trecho  calcular os volumes: montante (Vm) e de
jusante (Vj)
nt
Vm  Δt  It
t 1
nt
Vj  Δt  Qt
t 1
nt  número de intervalos de tempo
V i = Vj – V m

V V 
V
P(%) 
 100   100
i
j
m
Vj
i
Vj
Contribuição lateral
• Avaliação da influência (ajuste e verificação)

V V 
V
P(%) 
 100   100
i
j
m
Vj
i
Vj
 Para valores de Pi < 15%  influência da Qlat tende a ser
pequena  deslocamento da onda do rio é o processo
principal
 Caso contrário (há Qlat significativa)  estimar a vazão
que vai pela calha somente
*
Jusante
Q
Q
dados
Jusante
Q
estimada
Lateral
Como?
Contribuição lateral
• Avaliação da influência (ajuste e verificação)
 Vazão de jusante sem contribuição (somente pela calha)
 num tempo t qualquer
estimada
Q*Jusante  Qdados

Q
Jusante
Lateral
Q
*
Jusante
Q
Q
*
Jusante
dados
Jusante
Q
Q
dados
Jusante
dados
Jusante
Pi

100
Pi 

 1

 100 
Contribuição lateral
• Prognóstico
 Quando não é conhecido o hidrograma de jusante 
contribuição lateral: estimada com base nos valores de Pi
(de eventos anteriores registrados) e do hidrograma de
montante:
estimada
Q*Jusante  Qdados

Q
Jusante
Lateral
Q
dados
Jusante
Pi

100
Q
*
Jusante
Q
dados
Jusante
Pi 

 1

 100 
Contribuição lateral
• Prognóstico
 E quando não se tem eventos a jusante e sabemos
que a contribuição lateral é importante?
Pode-se utilizar proporção de
área com dados de
contribuintes, que tenham
dados, julgados
representativos
M
Contribuição
lateral
Propagação
J
Contribuição lateral
• Exercício

Determine o valor do parâmetro K do método de Muskingun,
considerando o seguinte evento observado
Tempo
dia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
I
m³/s
101
123
408
627
563
393
163
127
116
107
106
Q
m³/s
104
109
356
604
650
516
246
144
123
114
107
Planilha - Exemplo 12.3 Tucci
Modelos de reservatórios
(O método de Pulz)
Tópicos
• Importância do Escoamento
• Tipos de Escoamento
• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas
– Equação da continuidade
– Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica
• Simplificações das Equações de Saint Venant
–
–
–
–
–
Onda cinemática
Difusão
Métodos de armazenamento (Muskingum)
Equação de advecção-difusão
Métodos de armazenamento com difusão artificial (MuskingumCunge, etc.)
• O método de Pulz - reservatórios
Escoamento em reservatórios
• Linha d’água horizontal, grande profundidade e
velocidade baixa
• velocidade baixa  termos dinâmicos são
desprezíveis perto da grande variação de
armazenamento
• Simula-se a propagação de vazão com a equação
da continuidade concentrada
dS
 IQ
dt
Escoamento em reservatórios
Já vimos
dS
 IQ
dt
dS
IQ
0
dt
S  Smax
Método de Pulz


Simula a propagação na bacia de detenção com
três equações:
 Equação da continuidade: dS/dt = I - Q
 Função de armazenamento: S = f(Q)
 Equação do controle hidráulico: Q = f(H)
Necessário o emprego de métodos numéricos  O
hidrograma de entrada I pode assumir diferentes
formas  a equação dinâmica de propagação S =
f(Q) é quase sempre não linear
Método de Pulz

Equação da continuidade
dS
 IQ
dt
S t 1  S t It  It 1 Q t  Q t 1


Δt
2
2
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
Incógnitas
Variáveis conhecidas
1 equação e 2 Incógnitas  equação adicional:
Q = f(S/Dt)
Método de Pulz
Relação volume x vazão
Q = f(S/Dt)
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
Função auxiliar Q = f1(Q + 2.S/Dt)
Q
S/Dt
Construídas a partir da curva cota x S e cota x Q
saída pelas estruturas hidráulicas
Método de Pulz
Metodologia
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
f1
G
1. Estabeleça as condições iniciais So (volume inicial) 
calcular Q0 = f(S0/Dt) no gráfico Q = f(S/Dt);
2. Calcule o valor G = lado direito da equação acima
3. Este valor é igual a f1t+1 = lado esquerdo da equação acima
4. No gráfico Q = f1(Q + 2S/Dt)  determinar Qt+1 e St+1
5. Repete-se os itens 2 a 4 até o último intervalo de tempo
Método de Pulz
Metodologia
Tempo It
1
I0
2
I1
3
I2
...
...
2S1
f11  Q1 
Δt
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
f1
G
2S0
G1  I0  I1  Q0 
Δt
f 11
Q1 e S1
2S1
G2  I1  I2  Q1 
Δt
f 12
Q2 e S2
2S1
 f11  Q1
Δt
Da curva Q = f(S/Dt)
Método de Pulz
Metodologia
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
f1
f e f1
Q=f1(Q+2S/DT)
Q=f(S/DT)
Q
Cálculo de G com o
hidrograma de
entrada
S/Dt
G = f1
Método de Pulz
Curva Q = f(S)
Curva cota x volume
(armazenamento)
Batimetria do reservatório ou projeto
(reservatório de geometria regular)
Método de Pulz
Sistema WGS 84
Diferença +/- 5 m
Método de Pulz
Cota: 6,5 m
Área inundada: 32 ha
Volume: 0,1 Hm3
Vazão regularizada: ?
Método de Pulz
Cota: 7 m
Área inundada: 200 ha
Volume: 0,7 Hm3
Vazão regularizada: ?
Método de Pulz
Cota: 8 m
Área inundada: 815 ha
Volume: 5,7 Hm3
Vazão regularizada: 1,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 9 m
Área inundada: 1.569 ha
Volume: 17,6 Hm3
Vazão regularizada: 1,5 m3/s
Método de Pulz
Cota: 10 m
Área inundada: 3.614 ha
Volume: 43,6 Hm3
Vazão regularizada: 3,5 m3/s
Método de Pulz
Cota: 11 m
Área inundada: 7.841
Volume: 101 Hm3
Vazão regularizada: 5,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 12 m
Área inundada: 10.198 ha
Volume: 191 Hm3
Vazão regularizada: 7,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 13 m
Área inundada: 12.569 ha
Volume: 305 Hm3
Vazão regularizada: 8,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 14 m
Área inundada: 14.434 ha
Volume: 440 Hm3
Vazão regularizada: 8,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 15 m
Área inundada: 16.353 ha
Volume: 594 Hm3
Vazão regularizada: 8,5 m3/s
Método de Pulz
Curva Q = f(S)
Curva cota x vazão de saída  função do tipo de dispositivo
hidráulico usado na saída (orifício, vertedor, etc.)
Q  CL(Z  Zw )
3/2
Q  C' A 2gΔg
Método de Pulz
Curva Q = f(S)
z
z
z1
z1
S
S1
Q1
Q
S
S1
Q1
Q
Método de Pulz
Estruturas de saída
Método de Pulz
Estruturas de saída
Método de Pulz
Estruturas de saída
Método de Pulz
Estruturas de saída
• Qual a relação cota x vazão de saída da
estrutura abaixo?
Equação de vertedor
Q  c L H
3
2
Equação de orifício
Q  c  a  2  g h
Método de Pulz
Estruturas de saída
Para a cota 561’  h = 0,83’
Q  c  a  2  g  h  0,62  0,087  2  32,2  0,83  0,39 cfs
Método de Pulz
Método de Pulz - exemplo
Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com um
vertedor de 25 m de comprimento de soleira, esta na cota
120 m, considerando tabela cota-volume para o reservatório
e o hidrograma de entrada apresentados abaixo, e
considerando que nível da água no reservatório está
inicialmente na cota 120 m.
Cota (m)
Volume (10 m )
4
115
1900
120
2000
121
2008
122
2038
123
2102
124
2208
125
2362
126
2569
127
2834
128
3163
129
3560
130
4029
3
Método de Pulz - exemplo
Hidrograma de entrada no
reservatório
Tempo (h)
Vazão (m3.s-1)
0
0
1
350
2
720
3
940
4
1090
5
1060
6
930
7
750
8
580
9
470
10
380
11
310
12
270
13
220
14
200
15
180
16
150
17
120
18
100
19
80
20
70
Método de Pulz - exemplo
O primeiro passo  criar uma tabela
relacionando a vazão de saída com a
cota. Considerando um vertedor livre,
com coeficiente C = 1,5 e soleira na
cota 120 m, a relação é dada por:
Q  C  L H
3
2
ver tabela 
H (m)
Q (m3/s)
120
0.0
121
37.5
122
106.1
123
194.9
124
300.0
125
419.3
126
551.1
127
694.5
128
848.5
129
1012.5
130
1185.9
Método de Pulz - exemplo
Esta tabela pode ser combinada à tabela cota – volume,
acrescentando uma coluna com o valor do termo 2.S/Dt+Q,
considerando o intervalo de tempo igual a 1 hora:
Método de Pulz - exemplo
No primeiro intervalo de tempo o nível da água no
reservatório é de 120 m, e a vazão é zero. O volume
acumulado (S) no reservatório é 2000.104 m3. O
valor 2.S/Dt+Q para o primeiro intervalo de tempo
é 11111 m3.s-1. Para cada intervalo de tempo
seguinte a vazão de saída pode ser calculada pelos
passos do método.
Ver planilha PulsExemploSlides.xls
Método de Pulz - exemplo
Metodologia
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
f1
f e f1
Q=f1(Q+2S/DT)
Q=f(S/DT)
Q
Cálculo de G com o
hidrograma de
entrada
S/Dt
G = f1
Método de Pulz - exemplo
Metodologia
Tempo It
1
I0
2
I1
3
I2
...
...
2S1
f11  Q1 
Δt
2S t 1
2S t
Q t 1 
 It  It 1  Q t 
Δt
Δt
f1
G
2S0
G1  I0  I1  Q0 
Δt
f 11
Q1 e S1
2S1
G2  I1  I2  Q1 
Δt
f 12
Q2 e S2
2S1
 f11  Q1
Δt
Da curva Q = f(S/Dt)
Método de Pulz - exemplo
• O cálculo de propagação de vazões em
reservatórios  pode ser utilizado para
dimensionamento de reservatórios de controle de
cheias, e para análise de operação de reservatórios
em geral
• Algumas adaptações  reservatórios com
vertedores controlados por comportas e para
outras estruturas de saída
• Limitações: métodos como este (level-pool
routing)  menos exatos quando o comprimento do
reservatório aumenta, a profundidade média do
reservatório decresce e o tempo de ascenção do
hidrograma decresce.
Método de Pulz – exemplo 2
Determine a capacidade de um reservatório
amortecer uma cheia, considerando que o volume
inicial do reservatório deve garantir uma demanda de
irrigação de 0,1 m3/s e 60 dias a demanda de
abastecimento (0,2 m3/s). Considere também as
seguintes relações:
Tempo
(12 hrs)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vazão de entrada
(m³/s)
10
15
30
70
50
35
25
18
10
10
Cota
Volume Vertedor D. Fundo
m
10^6 (m³)
m³/s
m³/s
319
0.01
0
0
320
0.5
0
0
321
0.8
0
2
322
2
0
4
323
2.5
5
13
324
4
18
32
325
7
32
60
326
10
50
70
Método de Pulz – exemplo 3
Exercícios Puls
Calcule o hidrograma de saída
de um reservatório com um
vertedor de 10 m de
comprimento de soleira, com a
soleira na cota 120 m,
considerando a seguinte tabela
cota–volume para o
reservatório e o hidrograma de
entrada apresentado na tabela
abaixo, e considerando que nível
da água no reservatório está
inicialmente na cota 120 m
Cota (m)
Volume (104 m3)
115
0
120
100
121
118
122
168
123
262
124
408
125
562
126
869
127
1234
128
2263
129
3000
130
4000
Hidrograma
Método de Pulz – exemplo
3 de entrada no
Tempo (h)
Vazão (m3.s-1)
0
0
1
reservatório.
Qual deveria ser o
comprimento do
vertedor para que a
vazão de saída não
superasse 600 m3/s?
350
2
720
3
940
4
1090
5
1060
6
930
7
750
8
580
9
470
10
380
11
310
12
270
13
220
14
200
15
180
16
150
17
120
18
100
19
80
20
70