TEORIA DOS CONJUNTOS NO ENSINO FUNDAMENTAL:
ABORDAGEM HISTÓRICA
Delson Silva Souza1
RESUMO
Numa abordagem histórica, entrelaçando o ensino da teoria dos conjuntos em três diferentes etapas da
Matemática, este artigo contém além do significado da expressão Matemática Moderna, uma análise, discussões,
relevância e comparações de aspectos relacionados com a Teoria dos Conjuntos. Aborda a época precisa das
mudanças ocorridas sobre o estudo dos conjuntos. Situa fatos com datas entre autores e professores de
matemática sobre a questão do ensino de conjuntos, seja com artigos publicados, seja com cursos ministrados ou
declarações em livros.
Traz também uma biografia de Georg Cantor, considerado o “pai” da Teoria dos Conjuntos. Destaca a influência
da Teoria dos Conjuntos em outros ramos da matemática. São realçados alguns paradoxos e antinomias que
filósofos do século XIX criaram em detrimento com a criação da Teoria dos Conjuntos.
Uma entre,vista feita com professor Cristiano Muniz, Doutor em Educação Matemática, da Universidade de
Brasília foi envolvida neste trabalho. Isso contribuiu bastante, uma vez que o mesmo já orientou alunos que
desenvolveram trabalhos nessa área.
PALAVRAS CHAVES: Teoria dos Conjuntos, Matemática Moderna, Educação Matemática.
1. INTRODUÇÃO
Na década de 60, ensinava-se nas escolas do mundo todo uma matemática denominada
tradicional. Particularmente, dava-se grande ênfase nas quatro primeiras séries aos
mecanismos de operações com naturais, frações, decimais e aplicavam-se esses mecanismos
em problemas e cálculos com medidas. Segundo Bertoni (1985), na época, do departamento
de matemática da Universidade de Brasília - UNB, o ensino era tedioso, rígido, decorativo; os
tópicos matemáticos apareciam sem interligações. Com isso, a escola desenvolvia como
resultado certa habilidade nos cálculos com números e na resolução em que esses cálculos
eram introduzidos.
No decorrer dos anos 60, percebia-se uma vontade geral por parte dos educadores de
matemática de superar esse ensino tido como tradicional. Com o lançamento do 1o satélite
artificial, Sputnik, pela antiga União Soviética, era colocada em pauta a capacidade científica
pelos EUA, e, sobretudo a partir disso, a eficácia de sua educação para a ciência. É fundada
assim, nos Estados Unidos, a National Science, interligada diretamente à presidência da
república, para comandar a nova ordem do conhecimento tecnológico e científico.
Portanto, estava sendo proposto aos estudantes, principalmente do 2o grau, uma matemática
mais teórica e moderna: “Teoria dos Conjuntos, Álgebra Moderna, Topologia, pretendiam
com isso, que se desse uma visão mais geral ao ensino dessa ciência, dando-lhe um suporte de
forte estruturação lógica”, ressalta Nilza Eigenheer Bertoni.
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1 Licenciando em Matemática pela Universidade Católica de Brasília - UCB
[email protected]
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De certa maneira as iniciativas norte-americanas por uma melhoria do ensino das ciências
básicas são envolvidas pelas propostas de um grupo francês, que aderiu à introdução de
tópicos de matemática moderna nos currículos escolares. Nessa linha de raciocínio, acreditase na eficácia de uma solução para os problemas existentes e para alcançar o objetivo de se
formar cientistas matemáticos. Este movimento pegou os professores de surpresa, programas
e livros mudaram rapidamente, tendo como resultados um aumento sensível de terminologia e
simbolismo, a introdução da Teoria dos Conjuntos e grande ênfase nas propriedades dos
conjuntos numéricos. Trouxe também por outro lado, certa desvalorização dos algoritmos
básicos, bem como da resolução de problemas e da geometria euclidiana.
2. HISTÓRIA DA TEORIA DOS CONJUNTOS
As noções que deram origem à Teoria dos Conjuntos estão diretamente ligadas aos estudos
dos matemáticos ingleses Augustus De Morgan (1806-1871) e Georg Boole (1815-1864),
considerados fundadores da lógica moderna. Boole publicou em 1854 uma obra onde eram
apresentados os fundamentos de uma álgebra específica para o estudo da lógica. Em seus
trabalhos, ele utilizou freqüentemente relações entre “conjuntos” de objetos. Entretanto, não
chegou a desenvolver o conceito de modo adequado. Somente em 1890, o matemático russo
Georg Cantor (1845-1918), que desenvolvia estudos sobre a teoria dos números, publicou na
Alemanha uma série de proposições e definições que vieram a se constituir numa linguagem
simbólica para a lógica, para a teoria dos números e outros ramos da matemática. Em função
disso, Cantor é conhecido como o criador da Teoria dos Conjuntos.
Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em São Petersburgo, Rússia, mas viveu a
maior parte de sua vida na Alemanha. Tendo estudado filosofia, física e matemática, Cantor
se dedicou à última, sendo seus primeiros trabalhos desenvolvidos na área da teoria dos
números. Muito interessado pela análise, em particular pela idéia do infinito, Cantor trabalhou
com as propriedades dos conjuntos infinitos. Seus estudos na área levaram ao aparecimento
de uma disciplina totalmente estruturada e com método próprio dentro da matemática - a
Teoria dos Conjuntos, que até hoje tem influência tanto nos ensinos fundamental e médio,
como universitários.
A Teoria dos Conjuntos teve início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que
tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma forma de
comparar conjuntos infinitos pelo “casamento” um a um entre os elementos desses conjuntos.
Desde 1638, com Galileu Galilei, sabe-se que se pode obter uma correspondência um a um
entre os números e seus quadrados, o que viola a concepção euclidiana de que o todo é
sempre maior que qualquer uma de suas partes.
Esta aplicação da correspondência permitiu a Cantor introduzir um método de diagonalização,
que por contradição, permitia provar que o conjunto dos números reais não tinha
correspondência um a um com o conjuntos dos números inteiros. Isto mais tarde levou ao
desenvolvimento do conceito de contínuos por Richard Dedekind. Iniciando com estas
descobertas, Cantor acabou desenvolvendo uma Teoria dos Conjuntos Abstratos, que se
constituiu em uma generalização do conceito de conjunto.
Na Teoria dos Conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem
definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Os objetos
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podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos, etc. Por exemplo, o 4 é um
número do conjunto dos inteiros. Como podem ser visto por este exemplo, os conjuntos
podem ter um número infinito de elementos.
Além da sua influência no desenvolvimento da lógica, a teoria dos conjuntos também exerceu
influência profunda no desenvolvimento da matemática do século XX, servindo de base para
a Teoria das Funções de Variável, Álgebra, Topologia, Teoria dos Grupos e Análise
Funcional. Sua influência se estendeu também para a forma moderna como se ensinava
matemática para crianças (chamada, no Brasil, de Matemática Moderna), toda baseada na
idéia de números como conjuntos.
Questionamentos de grandes matemáticos e filósofos ao longo do processo da formação
conceitual da teoria dos conjuntos resultaram em alguns paradoxos e antinômias. Destaquei
um desses paradoxos que foi publicado no site www.somatamematica.com.br, em 09/07/2001,
que se refere a seguinte história: Quando surgiu a Teoria dos Conjuntos de Cantor, chamada
de Teoria Intuitiva dos Conjuntos, havia a idéia de que “qualquer propriedade” poderia ser
considerada para que os objetos que a satisfizessem formassem um conjunto. Assim, sempre
existiria o conjunto de conjuntos que satisfizessem a propriedade A , qualquer que fosse a
propriedade. Então o matemático e filósofo Bertrand Russel fez o seguinte raciocínio:
considere o conjunto dos conjuntos X que não pertence a si mesmos. Para Russell a
propriedade A era “ x não pertence a x ”. Parecia claro que esse conjunto existia, pois, por
exemplo, o conjunto dos números naturais não pertence a si mesmo. Muitos objetos
matemáticos formam conjuntos que não são um desses objetos. Um exemplo fora da
matemática, só para ilustrar um pouco mais, poderia ser: o conjunto de cavalos que não é um
cavalo, assim como o conjunto de homens que não é um homem.
Agora, chamando de M o conjunto de todos os conjuntos. Consideremos o subconjunto de
M formado pelos conjuntos que não pertencem a si próprios. Russell perguntou se M
pertence a M . Caso seja verdade que M pertence a M , então M satisfaz a propriedade que
determina os conjuntos de M , ou seja, M não pertence a M ! Chegamos a uma contradição,
pois um conjunto M não pode pertencer a si próprio e, ao mesmo tempo, não pertencer a si
próprio. Bem, como assumiram os antigos filósofos gregos, não podemos ter uma afirmação
verdadeira e falsa ao mesmo tempo, pelo menos na lógica que eles imaginavam ser correta.
Dessa forma, somos forçados a concluir que M não pertence a M . Mas, então, M satisfaz a
propriedade que determina os conjuntos de M . Logo, M pertence a M ! Contradição de novo.
Essa dicotomia, isto é, essa afirmação que é verdadeira se, somente se, é falsa, causou um
escândalo na Teoria dos Conjuntos de Cantor. Essa foi a razão para que o matemático Ernst
Zermelo (1871-1956) “criasse” a segunda verdade da Teoria dos Conjuntos, que é o axioma
ZF (2). O axioma ZF (2), isto é, a segunda verdade da Teoria dos conjuntos de ZermeloFraenkel, evita que possamos construir a antinômia descoberta por Russell. Assumindo esse
axioma como verdade, o raciocínio de Russell que apresentamos acima não é mais possível. A
razão é que não podemos mais construir o conjunto M de todos os conjuntos. Simplesmente
porque uma propriedade sozinha não determina mais um conjunto. É necessário que tenhamos
um conjunto prévio B, isto é, que já exista um conjunto B, para consideramos um subconjunto
seu de conjuntos que satisfaçam certa propriedade. Portanto, não podemos mais simplesmente
considerar o conjunto dos conjuntos que não pertence a si próprio. É que o “o conjunto dos
X que não pertencem a si mesmos” não é conjunto. Como disse o matemático Paul Halmos,
“nada contém tudo”. É interessante notarmos que, embora ainda não tenhamos razões para
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que existam conjuntos, no entanto já podemos demonstrar que não existe o conjunto de todos
os conjuntos. Pela teoria que temos até agora, ainda não sabemos se é verdade que existe
algum conjunto, mas já é verdade que o conjunto de todos os conjuntos não existe!
3. ANÁLISE DO ENSINO DA TEORIA DOS CONJUNTOS ANTES, DURANTE E
APÓS A MATEMÁTICA MODERNA: ABORDAGEM HISTÓRICA.
3.1 MATEMÁTICA MODERNA
A reforma no currículo escolar da matemática no início da década de 50 nos EUA tinha como
uma das preocupações eliminar a referência que este currículo tinha com o criado em 1700.
Os conteúdos abordados eram tidos como antiquados, e isso fazia com que o estudante
achasse obsoleto e desinteressante o estudo dessa matéria. Essa reforma estava oferecendo à
disciplina da matemática, tanto tópicos do antigo currículo como também novos conteúdos
que seriam abordados em diferentes graus de ensino. O fato é que as notas dos estudantes
dessa área estavam em um nível muito baixo em relação a qualquer outra disciplina. Isso
aglomerou estudantes de todas as partes dos EUA, levando-os ao desinteresse total pela
matemática.
Assim, em 1952, a Comissão de Matemática Escolar da Universidade de illinois, liderada pelo
professor Max Beberman iniciou o grande processo de reformulação no currículo. Essa
comissão tinha como propósito inicial idéias para modificações que afetaria somente a escola
elementar. Porém mais tarde estendeu-se também para a escola secundária.
Até o ano de 1956, o presidente dos EUA não havia manifestado importância ao ponto de
alguma intervenção federal. Mas, quando em 1957 os russos lançaram o primeiro satélite
artificial, o Sputnik, o governo norte americano ficou convencido que seu país estava atrás
dos russos em termos de ciências e matemática. Começava então uma aliança de outros
grupos com os já existentes com a finalidade de alcançar um currículo moderno, o que
significou para os americanos e todos os estudantes de matemática uma nova etapa
denominada Matemática Moderna.
3.2 ABORDAGEM HISTÓRICA NA ETAPA PRÉ-MODERNA
“Não podemos falar de teoria dos conjuntos sem considerar o quadro maior no
desenvolvimento matemático nas escolas e a importância do papel da matemática na
formação do cidadão e a matemática como elemento cultural”, Muniz (2005).
No final da década de 40, tínhamos um ensino de matemática apoiado séculos a séculos no
mesmo conteúdo, envolvendo o mesmo enfoque com os mesmos antiquados procedimentos
metodológicos. Os conteúdos essenciais eram voltados para a resolução de problemas. Nos
anos 50 havia uma matemática centralizada em três aspectos considerados fundamentais,
voltados para o dia-a-dia do cidadão: aritmética, geometria métrica e as medidas de
proporção. Isso era justificado porque o ensino até a 4o série já correspondia às necessidades
básicas quanto cidadania ou campo de trabalho. Que ensino matemático era esse? Era um
ensino que não tinha conjuntos, que não tinha equações. Era uma geometria que não se falava
em poligonal, não se precisavam definir os vértices A, B, C , D e, no entanto se estudava
geometria. “Não tinha teoria dos conjuntos, mas se resolvia problemas”. Relato feito pelo
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Doutor em educação, Cristiano Muniz, numa entrevista gravada concedida em sua residência
em 09/11/2005. Ainda nos anos 50, havia uma preocupação por parte da escola em envolver
problemas do carpinteiro, do pedreiro, do jardineiro, da costureira, enfim problemas
relacionados com o micro mundo da criança, uma vez que esta tinha algum parente com uma
dessas profissões, o que era comum naquela época. Isso era importante porque havia um
significado para elas (crianças). O objetivo da escola nesse projeto didático-pedagógico era se
apropriar desses problemas para transmitir com mais clareza os conhecimentos aritméticos e
algébricos. E isso supria a construção da cidadania, levando em consideração que não havia a
complexidade tecnológica de hoje.
Segundo Muniz, o ensino no colegial dava base para a formação de um bom mecânico ou de
um bom datilógrafo, por exemplo, e isso era prazeroso para o cidadão, visto que ele se
apoderava das instruções obtidas no colegial para garantir a sua inserção cultural e
profissional na sociedade.
Livros como os dos autores: Ary Quintella (1950), Nelson Benjamin Monção (1929) e livros
também elaborados em 1967 pelo NEDEM (Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da
Matemática) do curso ginasial que tinha como coordenador geral o professor Osny Antônio
Dacol, trazem indicações que na fase da matemática pré-moderna não havia o estudo de
conjuntos no currículo da matemática nas séries em pauta (ensino fundamental, antigo
ginasial).
Relato feito, numa conversa informal no campus da Universidade Católica de Brasília, pela
professora Maria Auxiliadora, que vivenciou como aluna e também como professora esta
etapa (Pré-moderna) da matemática, veio ratificar que o estudo dos conjuntos começou a ser
ensinado, juntamente com suas teorias, somente a partir da matemática moderna (início dos
anos 70, aqui no Brasil). A professora também realça que cursos foram ministrados por volta
de 1968 para que os professores pudessem compreender melhor a nova linguagem que iria
aderir aos conteúdos aplicados à matemática: a teoria dos conjuntos.
3.3 ABORDAGEM HISTÓRICA NA ETAPA MODERNA
Nessa fase vivenciada pela matemática ocorreu uma grande modificação na linguagem, no
pensamento, nas tendências de ensino e, sobretudo no objetivo que se pretendia alcançar com
o ensino da matemática.
A modificação ocorreu, porque paralelamente a isso existe todo um contexto ideológico e
político, fora da matemática, ressalta Muniz (2005). No pós-guerra houve um grande choque
ideológico, social e político entre os blocos hegemônico capitalista e socialista que se
concretizou na guerra fria: de um lado os americanos e do outro os russos.
Estava em disputa o domínio espacial, uma vez que já havia acontecido o desastre de
Hiroxima e Nagasaki, não só pelo poder de destruição em massa, mas pela possibilidade do
desenvolvimento da aeronáutica poder lançar uma bomba a grande distância. Esse era o
grande medo dos EUA em relação a Cuba. Mas poderíamos perguntar o que tem a ver essa
disputa espacial com a matemática? No início é que há um investimento do desenvolvimento
do programa espacial. Depois, os americanos são surpreendidos com o Sputnik, que
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representa a primeira vez que o homem se liberta da força gravitacional. Esse paradigma foi
bastante relevante, pois isso significava uma diferença enorme em termos de conhecimentos
científicos e tecnológicos dos americanos em relação aos russos. Isso gerou uma crise enorme
no bloco capitalista e na sociedade americana.
A partir daí, os americanos não admitiam que se tivesse um filho que não passasse pela
Universidade, pois o governo passava a pensar na contribuição que esse cidadão iria dar para
o desenvolvimento de seu país. Mas pra quê? Pra vencer a Guerra Fria. Há duas lógicas
essenciais: a primeira, que se produz ciência e tecnologia na universidade, isto é, a população
universitária deveria se ampliar, obtendo com isso mais conhecimentos científicos o que
diminuiria o atraso em relação bloco socialista. E a segunda, é que a criança deveria
desenvolver e compreender as lógicas formais. E a ciência que fornece ferramentas básicas
para tais desenvolvimentos é a matemática, ou seja, a proposta era procurar um estudo mais
científico dentro da matemática.
No início da década de 60 havia um projeto piloto que estava em teste na Escola Normal
Superior Francesa que abordava conteúdos como: Estruturas Algébricas, Polinômios,
Equações e esse projeto estava sendo introduzido na escola secundária, uma vez que estes
tópicos eram restritos ao ensino superior. Aderindo à esta proposta a linguagem se formalizou
e jovem não poderia mais dizer “que duas balas mais três balas são cinco balas”, primeiro
tinham que pensar no conjunto que representava a quantidades de balas, logo depois, se o
resultado pertenceria a este conjunto. A idéia era dar uma base científica para colher
pensamentos formais.
A partir deste momento histórico de reformulações curriculares, o estudante não podia pensar
matemática que não fosse da linguagem de conjuntos. O Brasil participou dessa fase, pois
alguns matemáticos como Castrucci e Giovanni foram fazer doutorado nos EUA e publicaram
livros didáticos com esta nova linguagem. O problema era que os professores brasileiros não
estavam preparados para receber esse novo conhecimento.
Diz Muniz: “era ensinada toda a teoria de conjuntos no ensino fundamental nessa fase da
matemática e acrescenta que não se admitia em absoluto fazer nenhum trabalho do conteúdo
de matemática sem trabalhar os conceitos, as representações, relações de pertinência, relações
de inclusão e operações”. A idéia que surgiu nessa perspectiva de educação matemática era
não conceber, por exemplo, a possibilidade de o aluno não entender uma adição sem entender
a união. Com isso o aluno começou a se achar incapaz de contribuir para o desenvolvimento
do estudo da matemática.
Mais do que o significado de conjuntos, é proposto aos alunos do ensino elementar e
secundário que aprendam a teoria dos conjuntos, para que possam entender as propriedades
que viriam em conseqüência de tal teoria. Logo, a união e intersecção de conjuntos,
subconjuntos, conjunto vazio, conjuntos infinitos, conjuntos infinitos maiores ou menores e
outros conceitos passam a fazer parte do dia-a-dia de estudos dos alunos das escolas
elementar e secundária.
Com toda essa mudança e novas características agregadas ao currículo da matemática, a
linguagem dos mestres se modifica, acarretando quase total substituição da linguagem
corrente para a simbólica e axiomática. O simples ensino de conjuntos como uma coleção de
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objetos, deu lugar ao estudo de teoria de conjuntos, onde parecia claro que esse avanço foi
implantado para dar à nova matemática elementar, mais expressão de sofisticada do que de ser
útil.
Introduzir Teoria dos Conjuntos no ensino elementar nos anos 70 significava o
desenvolvimento lógico como estrada para a compreensão, o rigor, a precisão através da
terminologia e do simbolismo e a ênfase à matemática moderna ao currículo.
Todo mundo foi envolvido pela nova linguagem que passou a reger grande parte do conteúdo
da matemática. A simbologia e os axiomas fizeram os professores acreditarem que o concreto
estava sendo substituído pelo abstrato. Os defensores da nova matemática, justificando o uso
demasiado de abstrações, citaram o psicólogo de Harvard, Jerome S. Bruner (1976) que
dissera: pode-se ensinar qualquer matéria em certa forma intelectualmente honesta a qualquer
criança em qualquer estágio de desenvolvimento. “A característica salvadora dessa teoria está
em seu caráter vago, diz o psicólogo”. A questão é se qualquer abstração particular que
qualquer determinado grupo possa estar interessado em promover justifica a prioridade.
No livro: Conjuntos, números e potências, do também renomado autor Edvard Willian
Golding é dito que “em nosso mundo moderno é necessário ajudar os jovens a compreender
como as coisas se encaixam uma nas outras, porque o mundo aumenta bem rápido em
complexidade e precisa ajustar, entre elas, situações mais e mais complicadas. O número é um
conceito muito complexo; para aprender a harmonizar entre si os elementos conceituais que o
constitui, é indispensável, antes de tudo, conhecer esses elementos, pois os números são
propriedades dos conjuntos”.
De acordo com os livros do autor Ary Quintella, em 1969, a fase introduzida a teoria dos
conjuntos era a primeira série ginasial e que um conjunto é determinado quando sabemos
dizer se um elemento pertence ou não a ele. Nesse mesmo livro era considerado que um
conjunto poderia ser reconhecido de três maneiras:
a) Por uma propriedade comum aos seus elementos. Exemplo: conjunto dos números
inteiros de um algarismo; conjunto dos alunos de cabelos pretos de sua turma.
b) Por descrição. Exemplos: conjuntos das vogais do alfabeto português; conjuntos dos
dias da semana.
c) Por enumeração de seus elementos, um a um.
Já a linguagem empregada em relação a introdução à teoria dos conjuntos, em quase toda a
fase moderna, de acordo com o professor Cristiano Muniz e confirmados no livro como do
autor Quintella na primeira série ginasial: conjunto unitário; conjunto vazio; número concreto;
número abstrato; número cardinal e ordinal; propriedade da igualdade; relação de igualdade:
reflexiva, simétrica e transitiva.
A simbologia nessa mesma etapa da matemática era refletida pelos sinais: igualdade;
diferente; maior; menor; implica; maior ou igual; menor ou igual; não é menor; não é maior.
Na década de 80, provavelmente até o ano de 1989 o conteúdo que se referia ao estudo dos
conjuntos era listado, no índice, desta forma e ordem:
•
Conjuntos;
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•
Operações com Conjuntos;
•
Conjuntos dos Números Naturais.
O cronograma citado acima era empregado na 5a série do primeiro grau, hoje atual ensino
fundamental. Essas informações foram retiradas de vários livros, dentro os quais se destacam
os seguintes autores:
•
Álvaro Andrini;
•
José Ruy Giovanni;
•
José Roberto Bonjorno.
Vejamos o que era levado em consideração:
•
Notação: os conjuntos são igualmente indicados por letras maiúsculas e se os
elementos de um conjunto forem letras, eles são representados por letras minúsculas;
•
Representação de um conjunto: por enumeração; por uma propriedade comum de seus
elementos e por descrição;
•
Tipos de conjuntos: vazio; unitário; iguais; subconjuntos;
Conteúdos abordados no tópico que corresponde ao conjunto dos números naturais:
•
Correspondência biunívoca;
•
Propriedade de igualdade;
•
Propriedade de desigualdade.
3.4 ABORDAGEM HISTÓRICA NA ETAPA PÓS-MODERNA
As grandes mudanças ocorridas ao longo do tempo no ensino da teoria dos conjuntos fizeram
os tópicos Conjuntos e Operações com Conjuntos serem retirados do Ensino Fundamental.
Passou-se então, a maior parte da teoria outrora ensinada com bastante ênfase na Matemática
Moderna, para o ensino médio, antigo 2o grau.
Portanto, hoje não encontramos nos livros de matemática do ensino fundamental, o ensino de
Teoria dos Conjuntos. Os estudos de conjuntos passaram por grandes reformulações da
matemática moderna para a pós-moderna. O que se percebe no ensino pós-moderno é o estudo
dos conjuntos numéricos distribuídos nas séries de 5ª a 8ª séries. O ensino médio é que aborda
com ênfase, propriedades, teorias, axiomas e demonstrações, ou seja, a teoria dos conjuntos
ficou restrita a outro grau de instrução.
“Hoje o que acontece é uma miscelânea, onde você tem diversos currículos e diversas
formações de professores, que na verdade cada professor acaba levando para a sala de aula
aquele currículo que faz parte da sua formação e também professores que não sabem ensinar
matemática sem a teoria dos conjuntos” Muniz (2005). Nessa etapa da matemática a essência
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é a estrutura do número e é no Ensino Médio que vamos estudar de uma maneira mais
complexa e formal tal estrutura, visto que, a complexidade dos problemas vai necessitar de
uma expansão maior de conceitos de números. Junto a isso se criam novos conjuntos. Hoje
não há tendências de ensino no diz respeito à Teoria dos Conjuntos. Na continuidade dos
estudos, por exemplo, o aluno que vai estudar uma área de exatas, no tópico que envolve
função, precisará de uma base de conjuntos, mas isto não justifica que a universidade deverá
cobrar dele conhecimentos do ensino básico onde o que seria mais interessante era a
universidade se ocupar dessa construção, garantindo assim uma base mais adequada.
Nos anos 70 foi feito um levantamento nos EUA e em outros países sobre a relevância que o
movimento da matemática moderna trouxe para o ensino de 1o primeiro grau. Os resultados
foram delicados, uma vez que se notava a defasagem do aprendizado da matemática. Os
alunos não tinham base se quer dos conhecimentos elementares dessa ciência. Diminuiu-se
então a ênfase no estruturalismo e retornaram-se, principalmente no 1o grau, métodos mais
naturais adequados ao desenvolvimento mental do aluno, tendo sido valorizado com uma
abordagem mais voltada para a realidade.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A história do ensino da Teoria dos Conjuntos não ficou restrita somente a uma nova tendência
de ensino devido a uma reformulação curricular, como muitos professores e alunos de
matemática imaginam, más há também toda uma história de choques ideológicos, políticos e
culturais. Estão relacionados também tópicos como a guerra fria, a competição em busca de
um desenvolvimento espacial cada vez e a disputa entre potências mundiais em termos de
ciências e tecnologia.
Foi abandonado de importante ao longo da história da matemática a idéia do conjunto denso e
não denso, discreto, limitado, onde é trabalhado os intervalos. Esses conjuntos que hoje foram
eliminados do currículo tinham um papel fundamental para fazer o aluno entender, por
exemplo, o salto que acontece do conjuntos dos números inteiros para os racionais.
Mesmo reformulando o ensino da matemática por meio dos mesmos objetivos é necessário
que exista um consenso de professores, pais e profissionais sobre as mudanças que se fazem
necessárias. “É preciso que identifique e valorizem os processos que são naturais para o
desenvolvimento da criança e rejeitem os inadequados, que agridem a lógica e os sentimentos
do aluno” Bertoni (1985).
Encontramos, às vezes, na escola Básica um ensino inadequado da teoria dos conjuntos que,
em vez de contribuir com a educação matemática, cria conceitos errados e obstáculos.
Seria apropriado estender essa pesquisa para o Ensino Médio, analisando as críticas e
propondo soluções.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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BERTONI, Nilza Eigenheer. O Ensino atual da matemática, Disponível em: http//www.
jornaldaciencia.org. br.
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YOUSEFF, Antonio Nicolau. Matemática para o ensino fundamental. . ed. nº. 2 Scipione,
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www.somatematica.com.br, Uma verdade importante antes da terceira verdade. Visitado
em 20/10/2005.
Entrevista gravada; Muniz, Cristiano. Perguntas sobre a história do ensino da teoria dos
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