Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Conjuntos, elementos, pertinência,
igualdade e inclusão
Renata de Freitas e Petrucio Viana
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Instituto de Matemática e Estatı́stica, UFF
Março de 2011
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Sumário
• Conjuntos, elementos, pertinência.
Conjuntos,
elementos,
pertinência
• Conjuntos finitos, conjuntos infinitos.
Conjuntos
finitos e
infinitos
• Definição de conjunto: por lista, por propriedade.
Definição de
conjuntos
• Conjuntos numéricos.
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
• Igualdade, inclusão.
• Propriedades básicas.
• Problemas e algoritmos.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Christos Papadimitriou
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
• Autor dos livros Elementos da Teoria da Computação,
Otimização Combinatória: algoritmos e complexidade,
Complexidade Computacional, entre outros.
• Prêmio Knuth, em 2002 for longstanding and seminal
contributions to the foundations of computer science.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos, elementos, pertinência
Os conceitos
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
ser um conjunto
e
ser um elemento de um conjunto
são considerados como primitivos, i.e., não são definidos
formalmente.
O nosso entendimento sobre eles é guiado pela familiaridade e
a intuição que temos sobre
conjuntos
e
elementos.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Conjuntos de elementos
Um problema é que a nossa intuição sobre elementos e
conjuntos, geralmente, está errada!
Por exemplo, conjuntos podem ser elementos.
• Podemos considerar o conjunto dos alunos da Turma A2
da disciplina Matemática Discreta.
Cada um dos alunos que compõem a turma é um
elemento deste conjunto.
Bruno é um elemento deste conjunto.
• Podemos considerar o aluno Bruno como um conjunto de
órgãos.
Coração é um elemento de Bruno.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos de conjuntos
Esta situação é, na verdade, corriqueira.
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
• Podemos considerar o conjunto das pastas da pasta
Meus documentos do desktop da Profa. Renata.
Cada pasta armazenada nesta pasta é um elemento deste
conjunto.
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Assim, um mesmo objeto pode tanto ser considerado como um
elemento ou um conjunto, dependendo do contexto.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Notação
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
• Bruno ∈ Turma A2
• Jogos 6∈ Meus Documentos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
notação
leitura
a∈b
a é elemento de b
a∈b
a pertence a b
a 6∈ b a não é elemento de b
a 6∈ b
a não pertence a b
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos finitos
Um conjunto é finito se possui um número (natural) bem
determinado de elementos.
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
• O conjunto cujo único elemento é o time carioca que já foi
campeão mundial.
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
• O conjunto das células de memória deste computador.
• O conjunto dos grãos de areia da praia de Copacabana.
• O conjunto dos átomos do universo.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Conjuntos infinitos
Um conjunto é infinito se quando retiramos qualquer
quantidade finita de elementos dele, ele continua tendo
infinitos elementos.
• O conjunto dos números naturais.
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
• O conjunto dos números racionais.
• O conjunto dos pontos do Plano Cartesiano.
• O conjunto das curvas que podemos desenhar no espaço.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Definição de conjuntos
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Um conjunto é denotado pela apresentação de sua definição
entre chaves: { , }.
Vamos estudar duas maneiras de definir um conjunto:
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
• por lista ou indicação de uma lista,
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
• por propriedade.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Definição por lista
Para definir um conjunto por lista, apresentamos uma lista dos
“nomes” dos elementos do conjunto.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Notação
Um conjunto definido por lista é denotado pela apresentação
dos nomes dos seus elementos separados por vı́rgulas e
encerrados entre chaves.
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Meus Documentos =
{Artigos , Orientações , Aulas , Apresentações , Projetos}
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Definição por indicação de lista
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
A definição por lista é adequada apenas para conjuntos finitos
“pequenos”.
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
No caso de conjuntos finitos “grandes” ou de conjuntos
infinitos, podemos apresentar uma indicação da lista dos
elementos do conjunto.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Notação
Um conjunto definido por indicação de lista é denotado pela
apresentação dos nomes de alguns dos seus elementos
separados por vı́rgulas e encerrados entre chaves e são usadas
reticências para substituir os nomes de elementos do conjunto
que não são listados.
Devem ser listados nomes de elementos em quantidade
suficiente para que o leitor possa inferir quais nomes foram
substituı́dos pelas reticências.
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
D = {Andre , Bruno , Carlos , Daniel , . . . , Walter}
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Notação
No caso de conjuntos infinitos, podem ser usados
nomes genéricos que indiquem a forma dos elementos do
conjunto.
N = {0, 1, 2, . . . , n , . . .}
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
P = {0, 2, 4, . . . , 2n , . . .}
Problemas e
algoritmos
Há ainda outras formas mais complicadas, dependendo do que
se passa na cabeça do autor da definição do conjunto.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Definição por propriedade
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Para definir um conjunto por propriedade, devemos apresentar
um conjunto universo e uma propriedade que se aplica a
elementos desse universo.
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Os elementos do conjunto definido são os elementos do
conjunto universo que possuem a propriedade.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Notação
Um conjunto definido por propriedade é denotado do seguinte
modo:
{x ∈ U : P(x)},
onde U é o nome do conjunto universo e P(x) é uma
especificação da propriedade, envolvendo a variável x.
Apesar de ser estranho, a expressão
Conjuntos
numéricos
{x ∈ U : P(x)}
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
costuma ser lida como
o conjunto dos x pertencentes a U tais que x é P.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Notação
Outra maneira de denotar um conjunto definido por
propriedade é:
{x : x ∈ U e P(x)},
ou ainda de formas mais complicadas, dependendo do que se
passa na cabeça do autor da definição do conjunto.
Por exemplo, o conjunto
Definição de
conjuntos
P = {x ∈ N : x é par}
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
também pode ser denotado por
P = {x : existe y ∈ N tal que x = 2y }
ou, ainda, por
P = {2y : y ∈ N}
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos numéricos
Do ponto de vista da matemática, os conjuntos mais
importantes são:
Conjuntos,
elementos,
pertinência
N, o conjunto dos números naturais.
Conjuntos
finitos e
infinitos
Z, o conjunto dos números inteiros.
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Q, o conjunto dos números racionais.
R, o conjunto dos números reais.
C, o conjunto dos números complexos.
Observe que todos estes conjuntos são infinitos.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Pré requisitos
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Assumimos como conhecidas todas as propriedades dos
conjuntos numéricos, que são abordadas no Ensino Médio.
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Isso não significa que você tem que saber todas elas de cor
mas, sim, que você deve estar preparado para usá-las e não ter
medo de fazer isso, quando for preciso.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Igualdade
A relação de igualdade entre conjuntos é regulada pelo seguinte
princı́pio:
Princı́pio da Extensionalidade
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem
exatamente os mesmos elementos.
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Por exemplo, considere os conjuntos:
A = {x ∈ Z : x é natural},
B = {x ∈ Z : x é soma de 4 quadrados}.
Temos que A e B são iguais.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Tradução
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
notação
leitura
=
é igual a
para todo
∀
∈
pertence
se, e somente se
⇐⇒
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Em sı́mbolos:
A=B
se, e somente se,
∀x(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B).
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Ordem e repetições
Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisamos
saber apenas quais são os elementos de A e de B.
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Não importa a ordem em que os elementos são apresentados.
{1, 2, 3} = {3, 2, 1}
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Não importa se há repetição na apresentação dos elementos.
{1, 2, 2, 3} = {1, 1, 2, 3, 3, 3}
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Representações e universos
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Não importa a maneira como os elementos são apresentados.
√
{1, 2, 2, 2, 3} = {3, 3, | 4|, 1}
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Não importa o universo em que os objetos são tomados.
{x ∈ N : 1 < x < 3} = {x ∈ R : x 2 − 4x + 4 = 0}
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Propriedades básicas da igualdade
Estamos interessados nas propriedades da igualdade que valem
para todos os conjuntos, independente da natureza dos seus
elementos.
Para todos os conjuntos A, B e C ,
para todos os objetos x ∈ U, temos que:
(1) A = A.
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
(2) Se A = B, então B = A.
(3) Se A = B e B = C , então A = C .
(4) Se A = B e x ∈ A, então x ∈ B.
Se A = B e A ∈ C , então B ∈ C .
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Verificando igualdades
Como verificar se dois conjuntos dados A e B são iguais?
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
{x ∈ Z : x é soma de 3 quadrados} = N?
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
– Verificando se:
– todo elemento de A é também elemento de B,
– todo elemento de B é também elemento de A.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Inclusão
Definição
Sejam A e B conjuntos. Dizemos que A está contido em B se,
e somente se, todos os objetos que são elementos de A são
também elementos de B.
Por exemplo, o conjunto das pessoas com deficiência está
contido no conjunto dos seres humanos.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Tradução
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
notação
leitura
⊆
está contido em
para todo
∀
∈
pertence
se ... então
=⇒
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Em sı́mbolos:
A⊆B
se, e somente se,
∀x(x ∈ A =⇒ x ∈ B).
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Notação
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
notação
leitura
a⊆b
a está contido em b
a é subconjunto de b
a⊆b
a 6⊆ b
a não está contido em b
a 6⊆ b a não é subconjunto de b
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Observe a semelhança entre o sı́mbolo ≤, utilizado quando
comparamos números, e o sı́mbolo ⊆, utilizado quando
comparamos conjuntos.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Propriedades básicas da inclusão
Estamos interessados nas propriedades da inclusão que valem
para todos os conjuntos, independente da natureza dos seus
elementos.
Para todos os conjuntos A, B e C , temos que:
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
(1) A ⊆ A.
(2) Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B.
(3) Se A ⊆ B e B ⊆ C , então A ⊆ C .
(4) Se A = B e C ⊆ A, então C ⊆ B.
Se A = B e A ⊆ C , então B ⊆ C .
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Uma propriedade que falta
Observe que as propriedades listadas da relação ⊆, sobre
conjuntos, são inteiramente análogas a propriedades da
relação ≤, sobre números.
Mas, neste contexto, a semelhança pára por aı́.
Por exemplo, para números, vale
∀x, y (x ≤ y ou y ≤ x),
mas existem conjuntos A e B tais que
A 6⊆ B e B 6⊆ A.
Por exemplo, os conjuntos A = {1} e B = {2}.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Problemas
Um problema computacional é uma questão geral a ser
respondida, possuindo determinado parâmetros.
Por exemplo,
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
• ‘multiplicar duas matrizes’,
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
• ‘determinar se um número natural é primo’.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
Especificações
Um problema é especificado quando damos (1) uma indicação
dos parâmetros considerados no problema, (2) o universo no
qual os parâmetros tomam valores e (3) a questão a ser
respondida.
Por exemplo:
• O problema da multiplicação de matrizes pode ser
especificado como:
Dados: Duas matrizes A e B de números reais, tais que o
número de colunas de A é igual ao número de linhas de B;
Questão: Calcular o produto AB.
• O problema dos números primos pode ser especificado
como:
Dados: Um número natural n, não nulo e maior do que 1;
Questão: n é primo?
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Problemas de decisão
Um problema é de decisão quando a questão pode ter como
resposta sim ou não.
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
• Multiplicar matrizes não é um problema de decisão.
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
• O problema de determinar se um número natural é primo é
de decisão.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Algoritmos
Um algoritmo que resolve um problema de decisão é um
procedimento que sempre pára e responde corretamente com
sim ou não à questão do problema, para quaisquer dados de
entrada.
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
• Você conhece um algoritmo para multiplicar duas
matrizes?
Igualdade e
inclusão
Problemas e
algoritmos
• Você conhece um algoritmo para determinar se um
número é primo?
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Problemas de inclusão
Exercı́cio
Projetar algoritmos para decidir se A ⊆ B, nos casos em que A
e B são apresentados como segue.
A
B
A⊆B?
listagem
listagem
Algoritmo ?
listagem
propriedade Algoritmo ?
propriedade
listagem
Algoritmo ?
propriedade propriedade Algoritmo ?
Problemas e
algoritmos
Escrever os algoritmos o mais detalhadamente possı́vel, usando
as notações introduzidas nesta aula.
Conjuntos,
elementos,
pertinência,
igualdade e
inclusão
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjuntos,
elementos,
pertinência
Conjuntos
finitos e
infinitos
Definição de
conjuntos
Conjuntos
numéricos
Igualdade e
inclusão
Mais exercı́cios
1. Exercı́cios do Capı́tulo 1 do Menezes
(Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e
Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da
UFRGS, Porto Alegre, 2006).
2. Exercı́cios do Capı́tulo 2, pp. 55-56, itens 1, 3 e 9, do
Scheinerman
(E.R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo,
2006).
Problemas e
algoritmos
3. Exercı́cios da Lista 1.