MOQ-13 – PROBABILIDADE E ESTATISTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS 6 – PRINCÍPIOS DA ESTATÍSTICA
1.
Seja X a proporção do tempo disponível para fazer uma tarefa, que um funcionário
gasta fazendo esta tarefa. Suponha que a f.d.p. de X é:
⎪⎧(θ + 1).xθ ,0 ≤ x ≤ 1
f ( x;θ ) = ⎨
⎪⎩ 0, caso contrário
em que θ > -1. Uma amostra aleatória de 10 funcionários foi obtida: x1 = 0,92, x2 =
0,79, x3 = 0,90, x4 = 0,65, x5 = 0,86, x6 = 0,47, x7 = 0,73, x8 = 0,97, x9 = 0,94, x10 =
0,77. Obtenha o estimador de máxima verossimilhança de θ e estime θ para a
amostra.
2.
No tempo t = 0, 20 componentes foram postos em teste. A distribuição do tempo
de vida de cada um dos componentes segue uma distribuição exponencial com
parâmetro λ. O teste é feito sem monitoramento. Após 24 horas, o teste é
concluído e verifica-se que y = 15 dos 20 componentes ainda funcionavam, ou
seja, 5 quebraram ao longo das 24 horas. A partir dessas informações obtenha o
estimador de máxima verossimilhança de λ. (Dica: Faça Y = número de
componentes que sobreviveram às 24 horas. Sendo Y~Bin(n,p), construa o
estimador de máxima verossimilhança de p. Mas se p=P(Xi ≥24), em que X é
distribuído exponencialmente, é possível relacionar λ a p e obter o estimador de λ
a partir do estimador de p).
3.
Obtenha o estimador de λ da distribuição de Poisson pelo método da máxima
verossimilhança.
4.
Obtenha o estimador de λ da distribuição de Exponencial pelo método da máxima
verossimilhança.
5.
Sejam as séries estatísticas:
X: X1, X2, X3, ..., XN com média µX e desvio-padrão σX;
Y: Y1, Y2, Y3, ..., YN com média µY e desvio-padrão σY.
Mostre que a variância de Z = X + Y é dada por:
σ Z2 = σ X2
6.
⎡N
⎤
⎢ ∑ ( X i − µ X )(Yi − µ Y ) ⎥
⎥
+ σ Y2 + 2 ⎢ i =1
⎢
⎥
N
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
Sejam as séries estatísticas:
X: X1, X2, X3, ..., XN com média µX e desvio-padrão σX;
Y: Y1, Y2, Y3, ..., YM com média µY e desvio-padrão σY.
a. Mostre que a variância das duas séries reunidas é dada por:
Nσ X2 + Mσ Y2 + N ( µ XY − µ X ) 2 + M ( µ XY − µY ) 2
2
σc =
N +M
em que a média conjunta é definida por:
µ XY =
Nµ X + MµY
N +M
b. A estatura média de um grupo de 30 rapazes é de 170 cm com variância de 26
cm2, e a de um grupo de 20 moças é de 160 cm com variância de 18 cm2.
Utilize os conceitos mostrados para calcular a média e a variância das estaturas
dos dois grupos reunidos. R: 46,8 cm2
7.
A Tabela a seguir demonstra os dados anuais de vendas (em R$) das regiões A, B,
C e D.
REGIÃO
A
B
C
D
VENDAS MÉDIAS
10.000
13.000
18.000
20.000
DESVIO-PADRÃO
2.400
3.000
4.000
7.000
Destacar qual a região que apresentou equipe de vendas com desempenho mais
homogêneo. R: C
8.
Considere as séries estatísticas:
X: X1, X2, X3, ..., XN com média µX ≠ 0 e desvio-padrão σX;
Y: Y1, Y2, Y3, ..., YN com média µY e desvio-padrão σY.
em que: Yi = Xi / µ X, i = 1, ..., N
Mostre que o desvio-padrão do conjunto Y é igual ao coeficiente de variação do
conjunto X, ou seja: σY = σX / µ X.
9.
Uma pesquisa sobre a renda anual familiar realizada com uma amostra de 1.000
pessoas na cidade de Tangará resultou na seguinte distribuição de freqüências:
Salário Anual (em R$1.000)
0,00 ┤ 10,00
10,00 ┤ 20,00
20,00 ┤ 30,00
30,00 ┤ 40,00
40,00 ┤ 50,00
50,00 ┤ 60,00
60,00 ┤ 70,00
70,00 ┤ 80,00
Total
Número de funcionários
250
300
200
120
60
40
20
10
1.000
Pede-se para construir o histograma da distribuição e determinar a média, a
mediana, a moda, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação da
distribuição dos salários. R: média=21,9, mediana=15, moda=15,
variância=249,39, desvio-padrão=15,79 e coeficiente de variação=0,721