Crescimento do fruto do cafeeiro cv. Obatã IAC 1669-20 via
modelos não-lineares
Tales Jesus Fernandes 1 2
Joel Augusto Muniz 2
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Introdução
O café foi a base da economia brasileira no Século XIX e na primeira metade do Século XX,
e ainda hoje é muito importante para o contexto agrı́cola do paı́s. Devido a melhor qualidade
da bebida cultivares da espécie Coffea arabica correspondem a aproximadamente 75% do café
comercializado no mundo. Atualmente a cv. Obatã IAC 1669-20 que pertence a esta espécie
vem sendo plantada por cafeicultores de diversas partes do Brasil por apresentar caracterı́sticas
interessantes além de favorecer o escalonamento da colheita (CUNHA e VOLPE, 2011).
O crescimento do fruto de cafeeiro passa por cinco estágios distintos: chumbinho, expansão
rápida, crescimento suspenso, granação e maturação. Sendo que cada estágio possui funções
fisiológicas e metabólicas próprias essenciais a formação final do fruto (LAVIOLA et al., 2007).
O estudo de curvas de crescimento de frutos possibilita o manejo adequado da cultura e
principalmente auxiliam no ponto de colheita que geralmente é feito de forma subjetiva através
da coloração externa e tamanho do fruto. Vários autores tem trabalhado com modelos nãolineares no estudo de curvas de crescimento de espécies animais e vegetais bem como de frutos.
Prado (2011) estudou o crescimento dos frutos do coqueiro utilizando os modelos Logı́stico e
Gompertz. Terra et al. (2010) ajustaram o modelo de Gompertz e Logı́stico para descrever o
crescimento de frutos de tamareira anã. Martins et al. (2008) utilizaram o modelo Logı́stico
para descrever o crescimento de duas cultivares de feijoeiro.
O objetivo deste trabalho foi comparar os modelos Logı́stico e Gompertz no ajuste da curva
de crescimento da massa fresca do fruto do cafeeiro cv. Obatã IAC 1669-20. Esta comparação
foi feita com base nos avaliadores de qualidade de ajuste: coeficiente de determinação (R2 ) e
critério de informação de akaike (AIC).
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Material e Métodos
Os dados analisados neste trabalho foram extraı́dos de (CUNHA e VOLPE, 2011) e correspondem a um experimento conduzido na Faculdade de Ciências Agrárias e Veterinárias,
UNESP, Campus Jaboticabal, SP (latitude: 21o 14’ 05” S; longitude: 48o 17’ 09” W; e altitude:
1 e-mail:
2 DEX
[email protected]
- UFLA. Agradecimento ao CNPq e a FAPEMIG pelo apoio financeiro.
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615m), em uma cultura de cafeeiro cv. Obatã IAC 1669-20, com 5 anos de idade, altura média
de 2m e espaçamento de 3,5 x 0,5 m. Foi analisado o alinhamento de plantio 81o - 261o com 4
repetições e 100 cafeeiros em cada parcela. As coletas foram feitas aleatoriamente nas parcelas
e constaram de 100 frutos distinguindo entre as faces norte (N) e sul (S) durante o ano agrı́cola
2007/2008. Foram realizadas 14 coletas com espaçamento médio entre elas de 15 dias sendo
que a primeira foi feita 96 dias após florescimento (DAF) e a última 293 DAF. O material era
acondicionado em sacos plásticos para posterior pesagem em balança analı́tica de 0,0001g de
precisão, e assim obter a massa fresca.
As equações dos modelos não-lineares Logı́stico e Gompertz utilizados para descrever o
crescimento de massa fresca são apresentados na tabela abaixo.
Tabela 1: Equações dos modelos não-lineares Logı́stico e Gompertz ajustados ao crescimento
de massa fresca do cafeeiro Obatã IAC 1669-20.
Nas equações apresentadas β1 é a assı́ntota horizontal, ou seja, é o peso máximo de massa
fresca esperado para o fruto desta cultivar; β3 é a taxa média de aumento da massa fresca;
β2 não apresenta interpretação prática, sendo um parâmetro de locação e εi é o erro, que foi
considerado independente e identicamente distribuı́do, sendo εi ∼ N(0, σ2 ).
A estimação dos parâmetros em modelos não-lineares é feita através do Método de Mı́nimos
Quadrados Ordinários que consiste em minimizar a doma dos quadrados dos erros do modelo.
Segundo Draper e Smith (1998) para encontrar as estimativas de mı́nimos quadrados basta
derivar a soma dos quadrados dos desvios em relação a cada um dos p parâmetros, obtendo se
assim um Sistema de Equações Normais (SEN) com p equações. O problema é que não existe
uma solução explı́cita para o SEN não-linear, estas soluções são obtidas por métodos interativos. A estimação dos parâmetros neste trabalho foi feita utilizando a função nls do software
estatı́stico R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2011), esta função utiliza uma variante do
método interativo de Gauss-Newton.
Os modelos foram comparados utilizando os avaliadores de qualidade de ajuste coeficiente
de determinação (R2 ) e critério de informação de akaike (AIC).
O coeficiente de determinação (R2 ) foi estimado por:
R2 = 1 −
SQresı́duo
SQtotal
O coeficiente de determinação embora seja muito utilizado na seleção de modelos, não faz
ponderações quanto ao número de parâmetros existentes no modelo estimado. Nesse sentido
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também foi utilizado na seleção dos modelos o critério de informação de akaike (AIC) estimado
por:
AIC = −2 ln(like) + 2p
Em que p é o número de parâmetros do modelo e ln(like) é o valor do logaritmo de base natural
da função de verossimilhança considerando as estimativas dos parâmetros.
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Resultados e Discussões
Na Tabela 2 são apresentados os valores estimados dos parâmetros dos modelos e os resultados dos avaliadores de qualidade de ajuste.
Tabela 2: Estimativas dos parâmetros dos modelos não-lineares ajustados aos dados do crescimento de massa fresca do fruto do cafeeiro Obatã IAC 1669-20, e os resultados dos avaliadores
de qualidade de ajuste.
Conforme pode ser observado na tabela acima tanto o modelo Logı́stico quanto o modelo
Gompertz apresentaram melhores resultados no ajuste aos dados de aumento da massa fresca
do fruto da face sul da planta. Os valores estimados para o parâmetro β1 (peso máximo) estão
de acordo com os observados por CUNHA e VOLPE (2011). De modo geral o modelo Gompertz apresentou os melhores resultados com base nos avaliadores de qualidade abordados neste
trabalho, porém o modelo logı́stico também apresentou um ajuste satisfatório aos dados como
pode ser observado nas figuras 1 e 2.
Nestes gráficos podem ser observadas as três fases de crescimento caracterı́sticas da curva
sigmoidal: a) perı́odo juvenil, caracterizado pelo crescimento lento no inı́cio que é fase do
chumbinho, e logo após, um crescimento acelerado apresentando concavidade voltada para
cima (fruto verde); b) perı́odo retilı́neo, no qual a curva tende a linearidade, esta é a fase de
maturação; c) perı́odo de senescência, em que o crescimento se torna cada vez mais insgnificante e apresenta tendência de concavidade voltada para baixo, nesta fase ocorre perda de água
e por consequência diminuição da massa fresca (fruto seco).
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Figura 1: Ajuste do modelo Logı́stico aos dados de crescimento de massa fresca do fruto do cafeeiro
Obatã IAC 1669-20 colhidos nas faces norte e sul da planta, com o intervalo de confiança 95% do modelo.
Figura 2: Ajuste do modelo Gompertz aos dados de crescimento de massa fresca do fruto do cafeeiro
Obatã IAC 1669-20 colhidos nas faces norte e sul da planta, com o intervalo de confiança 95% do modelo.
Uma caracterı́stica do modelo logı́stico é a simetria em relação ao ponto de inflexão. Porém,
como pode ser observado nos gráficos das figuras 1 e 2 essa simetria não ocorre no crescimento
dos frutos do cafeeiro, pois a massa fresca do fruto apresenta um crescimento mais acelerado
no inı́cio do seu desenvolvimento. Fato que corrobora com os resultados dos avaliadores de
qualidade de ajuste (R2 e AIC) apresentados na tabela 2 que indicam que o modelo de Gompertz fornece um melhor ajuste aos dados. Entretanto, este resultado discorda parcialmente dos
obtidos por Prado (2011) e por Terra et al. (2010) que estudaram o crescimento dos frutos do
coqueiro e da tamareira anã respectivamente e concluı́ram que o modelo Logı́stico apresenta o
melhor ajuste.
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Conclusões
Os modelos não-lineares Logı́stico e Gompertz descreveram de forma satisfatória o aumento
da massa fresca do fruto do cafeeiro Obatã IAC 1669-20.
O modelo de Gompertz foi o que apresentou o melhor ajuste a massa fresca do fruto do
cafeeiro cv. Obatã IAC 1669-20 perante os avaliadores de qualidade utilizados neste trabalho.
Referências
[1] CUNHA, A. R.; VOLPE, C. A. Curvas de crescimento do fruto de cafeeiro cv. Obatã
IAC 1669-20 em diferentes alinhamentos de plantio. Semina: Ciências Agrárias, Londrina,v.32, n. 1, p. 49-62, 2011.
[2] DRAPER, N. R.; SMITH, H. Applied regression Analisis 3.ed. New York: J. Wiley e
Sons, 1998, 706p.
[3] LAVIOLA, B. G.; MARTINEZ, H. E. P.; SALOMÃO, L. C. C.;CRUZ, C. D.;
MENDONÇA, S. M. Acúmulo de nutrientes em futos de cafeeiro em quatro altitudes de
cultivo: cálcio, magnésio e enxofre. Revista Brasileira de Ciência do Solo, Campinas,
v.31, p. 1451-1462, 2007.
[4] MARTINS FILHO, S.; SILVA, F. F.; CARNEIRO, A. P. S.; MUNIZ, J. A. Abordagem
Bayesiana da curva de crescimento de duas cultivares de feijoeiro. Ciência Rural Santa
Maria, v.38, n.6, p. 1516-1521, 2008.
[5] PRADO, T. K. L. Modelos não-lineares no crescimento de frutos de coqueiro. 91p.
Dissertação (Mestrado em Estatı́stica e Experimentação Agropecuária), Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2011.
[6] R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing. 2011.
[7] TERRA, M. F.; MUNIZ, J. A.; SAVIAN, T. V. Ajuste dos modelos Logı́stico e Gompertz aos dados de crescimento de frutos da tamareira-anã (Phoenix roebelenii O’BRIEN).
Magistra, Cruz das Almas, v. 22, n.1, p. 1-7, 2010.
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