Estudo da taxa de acúmulo de boro em frutos de manga
utilizando modelos não-lineares
Adriana Dias 1 2
Joel Augusto Muniz 3
Fabyano Fonseca e Silva 4
Taciana Villela Savian 5
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Introdução
O Brasil é o sétimo maior produtor mundial de manga, com uma produção superior a 850
mil toneladas anuais (FAO, 2004). Dentre as variedades cultivadas, a mangueira cv. Tommy
Atkins concentra em torno de 90% da área plantada de manga no paı́s (ALMEIDA et al., 2001)
e apresenta elevada produtividade, regularidade na produção e resistência tanto aos impactos
mecânicos quanto à deterioração pós-colheita, sendo assim menos perecı́vel que as demais variedades para os mercados internacionais (LIMA NETO et al., 2010).
Além do fator genético, o ponto ideal de colheita e aspectos ligados ao estado nutricional
das plantas proporcionam melhor qualidade dos frutos da mangueira que apresenta padrão de
crescimento sigmoidal (MORAIS et al., 2004).
O conhecimento das curvas de crescimento e exportação de nutrientes nas diferentes fases
de desenvolvimento é importante para determinar as exigências nutricionais.
Na literatura são apresentados diferentes modelos não-lineares para descrever o crescimento
de frutos (MAIA et al., 2009; TERRA et al., 2010; PRADO et al., 2013) e a justificativa para o
uso desses modelos é a interpretação biológica dos parâmetros.
Além dos parâmetros implı́citos nos modelos não-lineares, as funções destes parâmetros
também são de interesse prático. Destacam-se entre outras a taxa de acúmulo absoluta instantânea (TAI) e o ponto de inflexão (PI).
Este trabalho teve como objetivo estudar a taxa de acúmulo de boro em frutos de mangueira
Tommy Atkins utilizando os modelos não-lineares Logı́stico, Gompertz e Richards e verificar
qual modelo apresenta o melhor ajuste segundo os avaliadores critério de informação de Akaike
(AIC) e critério de informação Bayesiano (BIC).
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Material e métodos
O estudo foi conduzido em Janaúba- MG pela Faculdade de Ciências Agrárias e Veterinárias
- Unesp (SOUZA, 2007). O experimento foi instalado segundo o delineamento inteiramente
1 DEX
- UFLA, ICEx - UNIFAL-MG. e-mail: [email protected]
ao CNPq e à FAPEMIG pelo apoio financeiro.
3 DEX - UFLA.
4 DET - UFV.
5 LCE - ESALQ/USP.
2 Agradecimento
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casualizado, com cinco repetições. Os tratamentos corresponderam às épocas de amostragem
das panı́culas. Cada unidade experimental foi composta por cinco plantas. Durante o pleno
florescimento das mangueiras, que ocorreu em maio de 2005,foram selecionadas 25 plantas por
variedade e, 150 panı́culas foram marcadas com fita de plástico. Em cada planta foram marcadas
seis panı́culas, padronizadas quanto ao tamanho e vigor. Iniciou-se a coleta quando os frutos
atingiram o estádio de chumbinho, aproximadamente cinco dias após a antese, e finalizando
quando os frutos atingiram o ponto de colheita, totalizando 19 épocas de amostragens.
Aos dados de acúmulo de boro nos frutos foram ajustados os modelos Logı́stico, Gompertz
e Richards, apresentados na Tabela 1 e estimados os pontos de inflexão e a taxa de acúmulo
instantânea, apresentados na Tabela 2.
Tabela 1: Modelos não-lineares ajustados aos dados de acúmulo de boro
Modelo
Equação
β1
+ ei
Logı́stico (Ratkowski, 1983)
yi = (−β x)
1+β2 e
3
β2 −β3 xi
)) + e
yi = β1 e(−e(
i
Gompertz (Gompertz e Philos, 1825)
Richards (Richards, 1959)
yi =
β1
1
1+e(β2 −β3 xi ) β4
+ ei
Tabela 2: Taxa de acúmulo instantânea (TAI) e ponto de inflexão (PI) [tempo; teor de boro] dos
modelos não-lineares: Logı́stico (1), Gompertz (2) e Richards (3)
∂y
Modelo
TAI = ∂x
PI = [xi ; yi ]
i
h
β2 −β3 xi ) 2
(
β1
β2 β1
β1 β3 e
+ ei
;
1. yi = β3 2
(−β x)
(β −β3x )
1+β2 e
3
1+e
3. yi =
1
1+e(β2 −β3 xi ) β4
+ ei
i
(β2 −β3 xi ) −e
(β
−β
x
)
i
2
3
β1 β3 e
e
β2 −β3 xi
)) + e
2. yi = β1 e(−e(
i
β1
2
β1
β4
−1− 1
β4
β3 e(β2 −β3 xi ) 1 + e(β2 −β3 xi )
h
β2 β1
β3 ; e
i
1
β2 −ln β4
β1 β4
; (1+β
β3
4)
Para as equações apresentados na Tabela 1, o parâmetro β1 representa a assı́ntota do modelo, ou seja, valor de estabilização da variável dependente em relação ao tempo; o parâmetro
β3 a taxa de expansão ou velocidade de acúmulo e ei é o erro experimental com média zero
e variância σ2 . No modelo Richards, o parâmetro β4 determina a localização do ponto de inflexão. De forma geral, não há uma interpretação biológica para o parâmetro β2 , sendo este o
parâmetro de locação, correspondendo a uma constante de integração. Para o ajuste dos modelos apresentados na Tabela 1, utlizou-se o programa R, versão 2.13.1 (R DEVELOPMENT
CORE TEAM, 2010) e para comparar os modelos quanto à qualidade de ajuste, utilizou-se os
critérios de informação de Akaike (AIC) e Bayesiano (BIC).
2
A taxa de acúmulo absoluta instantânea (TAI) estima o incremento no teor de boro em cada
unidade de tempo t e é dada por:
∂y
TAI =
(1)
∂x
O ponto de inflexão (PI) é o ponto em que a taxa de acúmulo absoluta instantânea (TAI)
passa de crescente para decrescente.
Foi aplicado o teste de Durbin-Watson para verificar a independência entre as observações,
dado que são realizações no tempo oriundos da mesma planta.
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Resultados e discussão
O teste de Durbin-Watson para os três modelos ajustados foi não significativo (valor-p >
0,05), indicando que o teor de boro se comporta de forma independente ao longo do tempo.
A Tabela 3 apresenta as estimativas dos parâmetros dos modelos ajustados aos dados de
acúmulo de boro em frutos da mangueira Tommy Atkins e os resultados dos avaliadores de
qualidade de ajuste.
De acordo com os resultados apresentados na Tabela 3, os três modelos ajustados apresentaram estimativas do parâmetro β1 condizentes com a realidade do acúmulo de boro, conforme
o estudo de Souza (2007).
Tabela 3: Estimativas, erros-padrão (entre parênteses) dos parâmetros dos modelos ajustados
aos dados de acúmulo de boro e resultados dos avaliadores da qualidade de ajuste
Estimativas
ˆ
ˆ
Modelo
β1
β2
βˆ3
βˆ4
AIC
BIC
1. Logı́stico 261, 46(4, 05) 4, 06(0, 27) 0, 07(0, 005)
−
137, 59 140, 42
2. Gompertz 290, 85(7, 68) 1, 96(0, 14) 0, 04(0, 003)
−
131, 27 134, 10
3. Richards 279, 75(9, 58) 1, 03(1, 84) 0, 05(0, 008) 0, 24(0, 30) 132, 82 136, 60
Pode-se observar que o modelo Gompertz apresentou os menores valores de AIC e BIC.
Sendo assim, os resultados indicam este modelo como o que melhor se ajusta aos dados, embora os modelos Logı́stico e Richards apresentem estimativas que descrevem bem os dados
avaliados, como pode ser observado nas Figura 1 e 3.
A Tabela 4 apresenta as estimativas da taxa de acúmulo instantâneo e do ponto de inflexão
dos modelos ajustados.
3
Tabela 4: Taxa de acúmulo instantânea TAI e ponto de inflexão PI [tempo; teor de boro] dos
modelos não-lineares: Logı́stico (1), Gompertz (2) e Richards (3)
∂y
Modelo
TAI = ∂x
PI = [xi ; yi ]
2. Gompertz
(4,0637−0,0695xi ) 2
261,4613·0,0695e
1+e(4,0637−0,0695xi )
(1,9628−0,0380xi ) −e
(1,9628−0,0380x
)
i
e
290, 8475 0, 0380e
[51, 65; 107, 00]
3. Richards
−5,1615
279,7478
(1,0257−0,0455xi )
(1,0257−0,0455xi )
0,
0455e
1
+
e
0,2403
[53, 88; 114, 17]
1. Logı́stico
[58, 47; 130, 73]
Figura 1: 1a. Estimativas do acúmulo de boro em função do tempo em frutos de mangueira Tommy Atkins a partir
do modelo Logı́sitco. 1b. Taxa de acúmulo instantâneo de boro em função do tempo usando o modelo Logı́stico.
Figura 2: 2a. Estimativas do acúmulo de boro em função do tempo em frutos de mangueira Tommy Atkins a partir
do modelo Gompertz. 2b. Taxa de acúmulo instantâneo de boro em função do tempo usando o modelo Gompertz.
Figura 3: 3a. Estimativas do acúmulo de boro em função do tempo em frutos de mangueira Tommy Atkins a partir
do modelo Richards. 3b. Taxa de acúmulo instantâneo de boro em função do tempo usando o modelo Richards.
As maiores taxas de acúmulo instantânea (TAI) de boro foram observadas até os 107 dias
e foram crescentes até aproximadamente 4,07 microgramas/dia segundo o modelo Gompertz.
A partir do ponto de inflexão a TAI apresentou uma queda e os acúmulos no final do perı́odo
foram muito pequenos. O acúmulo de boro deve ser acompanhado visto que o limite entre a
deficiência e a toxicidade é muito próximo. Além de ser essencial para a absorção e uso de
cálcio, o boro é importante para a polinização e desenvolvimento dos frutos.
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Conclusão
O estudo da taxa de acúmulo instantâneo de boro foi realizado por meio dos modelos nãolineares Logı́stico, Gompertz e Richards. O modelo Gompertz foi mais eficiente que os modelos
4
Logı́stico e Richards para explicar o acúmulo de boro em frutos de mangueira Tommy Atkins
segundo os avaliadores AIC e BIC e possibilitou verificar que a taxa de acúmulo instantânea de
boro máxima foi de 4,07 microgramas aos 107 dias.
Referências
[1] FAO - Food and agriculture organization of the United Nations. Disponı́vel em:
http://www.fao.org/. Acesso em: 15 de janeiro de 2012.
[2] GOMPERTZ, B.; PHILOS, T. Roy Soc London. P. 115-513, 1825.
[3] LIMA
NETO,
F.
P.;
SANTOS,
C.A.F.;
COSTA,
J.G.
Cultivo da mangueira. Petrolina-PE: Embrapa Semiárido,
2010. (Ema
brapa Semiárido. Sistemas de Produção, 2, 2
ed.). Disponı́vel em:
http://sistemasdeproducao.cnptia.embrapa.br/FontesHTML/Manga/CultivodaMangueira
2ed/cultivares.htm/. Acesso em: 08 de abril de 2013.
[4] MAIA, E.; SIQUEIRA, D.L.; SILVA, F.F.; PETERNELLI, L.A.; SALOMÃO, L.C.C,
Método de comparação de modelos de regressão não-lineares em bananeiras,Ciência Rural, v. 39,n.5, p. 1380-1386, 2009.
[5] MORAIS, P. L. D.; FILGUEIRAS, H. A. C.; PINHO, J.L.N.; ALVES, R.E. Correlação
entre variáveis de crescimento do fruto da mangueira “Tommy Atkins”. Ciência e Agrotecnologia. Lavras. v. 28, n. 4, p. 743-747, 2004.
[6] R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A language and environment for statistical
computing.. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. 2010. Disponı́vel
em: http:///www.R-project.org/. Acesso em: 15 de fevereiro de 2010.
[7] RATKOWSKI, D.A. Nonlinear regression modeling: a unified practical approach.
New York: Marcel Dekker. 1983. 276 p.
[8] RICHARDS, F. J. A flexible growth function for empirical use. Journal of Experimental
Botany. Oxford. v.10, p.290-300, 1959.
[9] SOUZA, F. V., Curva de crescimento e exportação de nutrientes e sódio por frutos
de mangueira Palmer, Haden e Tommy Atkins. 2007. 54 p., Dissertação (Mestrado
em Agronomia) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Ciências Agrárias e Veterinárias, Jaboticabal, 2007.
[10] TERRA, M. F.; MUNIZ. J. A.; SAVIAN, T.V., Ajuste dos modelos logı́stico e Gompertz
aos dados de crescimento de frutos de tamareira-anã (Phoenix roebelenii O BRIEN), Magistra, v.22, p. 1-7, 2010.
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