Ajuste dos modelos Logístico e Gompertz à altura do cafeeiro irrigado e não irrigado no
sistema de plantio adensado
Adriele Aparecida Pereira 15
Tales Jesus Fernandes 2
Augusto Ramalho de Morais 3
Myriane Stella Scalco 4
1 Introdução
Atualmente, o Brasil é o país que apresenta a maior produção de café do mundo, sendo
Minas Gerais, Espírito Santo, São Paulo, Bahia, Paraná e Rondônia, os principais estados
produtores (SILVA et al., 2011).
As espécies Coffea arábica L. e Coffea canephora P., são as mais valorizadas no
mercado, por propiciarem bebida de melhor qualidade (SÁGIO, 2009). Deste modo, a
preocupação em se produzir café de qualidade e também em aumentar a produtividade, tem
levado os produtores a investirem mais em todo o processo que envolve a sua produção
(SILVA et al., 2011).
Alguns fatores como a densidade de plantio adotada e o suprimento das necessidades
hídricas das plantas, influenciam diretamente no desenvolvimento vegetativo, produtividade e
qualidade final do café.
Atualmente, grande parte dos cafeicultores está aderindo os sistemas adensados,
devido ao melhor aproveitamento das áreas cultivadas e ao aumento da produção por hectare.
(ARANTES et al., 2006; PEREIRA et al., 2011).
A prática da irrigação também tem sido cada vez mais utilizada, tanto nas regiões onde
as chuvas são mal distribuídas quanto nas regiões livres de déficit hídrico, por contribuir para
o melhor desenvolvimento vegetativo das plantas, aumento da produtividade e obtenção de
grãos e bebida de melhor qualidade (CARVALHO et al., 2006; SILVA et al., 2011).
Sendo também o segundo maior país consumidor, no Brasil se desenvolve diversas
pesquisas acerca do desenvolvimento do cafeeiro. Estas pesquisas, as quais podem ser feitas
utilizando-se da análise de crescimento, apresentam uma importante aplicação na pesquisa
agropecuária, pois permite ao pesquisador comparar o comportamento das plantas diante das
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DEX – UFLA. e-mail: [email protected]
DEX – UFLA. e-mail: [email protected]
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DEX – UFLA. e-mail: [email protected]
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DAG – UFLA. e-mail: [email protected]
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Agradecimento ao CNPq e à FAPEMIG pelo apoio financeiro e bolsa concedida.
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diversas situações experimentais empregadas, e desta forma, propor melhorias no manejo da
cultura.
A análise de crescimento pode ser realizada por meio de modelos de regressão lineares
e não lineares. Porém, os modelos não lineares se destacam por apresentarem parâmetros
interpretáveis biologicamente (MAZZINI et al., 2005).
Carvalho et al. (2006) utilizaram o modelo não linear Logístico para descrever o
crescimento em altura de plantas do cafeeiro em função do tempo, cultivadas nas densidades
de plantio 2500 e 10000 plantas ha -1 e sob o efeito dos regimes de irrigação testemunha (não
irrigado), 20 kPa e 100 kPa. Eles verificaram que as plantas mais altas foram observadas na
maior densidade de plantio e, que a irrigação propiciou médias superiores em relação ao
regime não irrigado.
Analisando o efeito de diferentes espaçamentos entre linhas – 1; 1,5; 2 e 2,5 m – e
entre plantas na linha – 0,25; 0,5; 0,75 e 1 m – na altura de plantas do cafeeiro, ao longo do
tempo, Andrade et al. (2007) verificaram que o cafeeiro alcançou maiores alturas na medida
em que as plantas ficaram mais adensadas, ou seja, nos menores espaçamentos entre linhas e
também nos menores espaçamentos entre plantas na linha.
Diante deste contexto, o objetivo do presente trabalho foi descrever e analisar o
crescimento em altura de plantas do cafeeiro, cultivar Rubi MG 1192, cultivadas na densidade
de plantio 10000 plantas ha -1 e submetidas aos regimes de irrigação testemunha (Si – não
irrigado) e 60 kPa, utilizando os modelos de regressão não lineares Logístico e Gompertz.
2 Material e métodos
Os dados utilizados são provenientes de um experimento realizado com cafeeiro,
cultivar Rubi MG 1192, utilizando o sistema adensado de cultivo, com densidade de plantio
10000 plantas ha-1, na área experimental do Departamento de Agricultura da Universidade
Federal de Lavras, em Lavras-MG. O delineamento experimental utilizado foi o de blocos
casualizados, com quatro repetições, sendo os tratamentos dispostos no esquema de parcelas
divididas, com os diferentes regimes de irrigação (sem irrigação e 60 kPa) sorteados nas
parcelas, e as épocas de avaliação (em dias após plantio), nas subparcelas.
A altura de planta foi medida a cada três meses, no período que compreendeu o pósplantio até fevereiro de 2005, totalizando 16 medições.
Inicialmente, os dados foram submetidos à análise de variância, de acordo com
esquema para análise de experimentos em parcelas divididas (PIMENTEL GOMES, 2009).
Havendo interação significativa, procedeu-se o estudo do comportamento da altura de planta
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em função das épocas de avaliação, em cada regime de irrigação. Nesta análise foram
realizados os ajustes dos modelos não lineares, Logístico (BACAËR, 2011) e Gompertz
(WINSOR, 1932) aos dados de altura de planta em função das épocas de avaliação, por meio
das respectivas parametrizações (em cada regime de irrigação):
yt = α / (1 + exp(δ - β.t) + et
(Eq. 1)
yt = α . exp(-exp(δ - β.t)) + et
(Eq. 2)
em que, yt são os valores observados para a altura das plantas; t = 90,180,...,1440 as épocas de
avaliação, em dias após o plantio; α é a assíntota superior que estima a altura máxima
assintótica das plantas; δ é um parâmetro que não apresenta interpretação biológica direta,
mas que é importante para manter o formato sigmoidal do modelo e está relacionado com o
ponto de inflexão; β está associado ao crescimento e indica o índice de maturidade; et é o erro
aleatório associado ao ajuste.
O ajuste inicial dos modelos foi feito considerando que as pressuposições de
normalidade, independência e homocedasticidade entre os resíduos eram satisfeitas.
Posteriormente, foi realizada a análise de resíduos para verificação destes
pressupostos. Foi utilizado o teste de Shapiro-Wilk (SHAPIRO; WILK, 1965) para verificar a
normalidade dos resíduos; o teste de Breush-Pagan (BREUSCH; PAGAN, 1979) para
verificar a homocedasticidade e, o teste de Durbin-Watson (DURBIN; WATSON, 1950) para
testar a independência entre os resíduos.
Para comparação entre os dois modelos, em cada regime de irrigação, foi utilizado o
critério de informação de Akaike (AKAIKE, 1974), sendo considerado como o modelo mais
adequado (melhor ajuste), aquele que apresentou menor estimativa.
Todos os cálculos e figuras foram feitos utilizando funções específicas do software R
(R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2013).
3 Resultados e discussões
A análise de variância apresentou efeito significativo de quase todos os fatores e
interações: regimes de irrigação (RI), épocas de avaliação (EA) e EA*RI. Assim, verificou-se
que a altura das plantas do cafeeiro se comporta de forma diferenciada perante os regimes de
irrigação, às épocas de avaliação e à interação destes dois fatores.
Obtidas as médias, foram realizados os ajustes iniciais dos modelos Logístico e
Gompertz, considerando que, o vetor de resíduos ε t ~ N(ϕ, Iσ2), sendo I uma matriz
identidade.
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Após estes ajustes iniciais, ao realizar a análise de resíduos, verificou-se pelo teste de
Shapiro-Wilk, que os resíduos apresentaram distribuição Normal em todas as situações
analisadas (valor-p≥0,05). O teste de Breush-Pagan indicou que os resíduos também
apresentaram homogeneidade de variâncias para todas as situações analisadas (valor-p≥0,05).
Já o teste de Durbin-Watson foi significativo (valor-p<0,05), apenas para os resíduos do
modelo Logístico, no regime 60 kPa, sendo necessário incorporar um parâmetro de
autocorrelação de primeira ordem:
et = ϕ.et–1 + kt
(Eq. 3)
em que, et corresponde ao resíduo no tempo t; et–1 é o resíduo gerado no tempo t-1; ϕ
representa o parâmetro de autocorrelação de primeira ordem e, k t é o erro puro; ou seja,
E[kt]=0, E[kt.kt–h]=0, para h≠0 e E[k2k]=σ2k (MORETTIN; TOLOI, 2004).
Desta forma, o ajuste foi refeito, considerando a dependência residual. Na Tabela 1
são apresentadas as estimativas para o avaliador de qualidade de ajuste, critério de informação
de Akaike (AIC), e para os parâmetros dos modelos ajustados, Logístico e Gompertz, com os
respectivos erros padrões, em ambos os regimes de irrigação. Todas as estimativas dos
parâmetros foram significativas pelo teste t a 1% de significância.
Tabela 1: Estimativas para o avaliador de qualidade de ajuste, AIC, e para os parâmetros dos
modelos Logístico e Gompertz, com os respectivos erros padrões, considerando os regimes de
irrigação Si e 60 kPa.
RI
Si
60 kPa
Parâmetros
Logístico
Erro padrão
Gompertz
Erro padrão
α
182,3000
9,1930
213,7000
15,8600
β
0,0028
0,0002
0,0015
0,0001
δ
1,9810
0,0934
0,9243
0,0396
AIC
103,0228
-
98,3614
-
α
195,3588
5,7310
206,7000
5,1670
β
0,0038
0,0003
0,0025
0,0002
δ
1,8784
0,1453
0,8986
0,0506
ϕ
0,3812
-
-
-
AIC
105,5842
-
98,6314
-
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Analisando as estimativas (em centímetros) obtidas para a assíntota superior do
modelo Logístico (parâmetro α), verifica-se que a altura máxima esperada para as plantas, em
ambos os regimes de irrigação, foi subestimada; pois segundo Mendes, Guimarães e Souza
(2002), a altura média das plantas do cafeeiro, cultivar Rubi MG 1192, na fase adulta é de 2
m. Já o ajuste do modelo Gompertz, propiciou estimativas mais coerentes.
Considerando o ajuste do modelo Gompertz, ao comparar as estimativas obtidas para o
índice de maturidade (parâmetro β), nos dois regimes de irrigação, observam-se valores bem
distantes: 0,0015 para o regime não irrigado, e 0,0025 para o regime de irrigação 60 kPa. Esta
diferença significativa entre as estimativas indicam que as plantas irrigadas atingiram, em
menos tempo, a altura máxima esperada, ou seja, se desenvolveram de forma mais rápida que
as plantas que não foram irrigadas; o que vem a confirmar que a irrigação contribui para o
melhor desenvolvimento vegetativo da lavoura, já relatado por Carvalho et al. (2006) e Silva
et al. (2011).
Uma das características do modelo Logístico é a simetria em relação ao ponto de
inflexão. Ou seja, quando a variável independente (tempo) atingir o valor δ/β (abscissa do
ponto de inflexão), as plantas já vão ter atingido metade da assíntota: α/2.
Para o ajuste do modelo Logístico, no regime de irrigação testemunha, o ponto de
inflexão ocorreu aos 707 dias após o plantio; já no regime de irrigação 60 kPa, as plantas
atingiram metade da altura máxima esperada aos 494 dia após o plantio. Esta diferença entre
os pontos de inflexão já era esperada, pois como as plantas irrigadas não sofreram restrições
hídricas, as taxas de crescimento permaneceram inalteradas. Por outro lado, se as
necessidades hídricas das plantas não são totalmente satisfeitas – fato que provavelmente
ocorreu com as plantas não irrigadas – as taxas de crescimento tendem a diminuir e, com isso,
o desenvolvimento vegetativo fica prejudicado, fazendo-se necessário um tempo maior para
que se atinja metade da altura máxima esperada.
Analisando os resultados obtidos para o critério de informação de Akaike, tem-se que
o modelo Gompertz é o que apresentou os menores valores, em ambos os regimes de
irrigação, o que indica que este modelo é o que melhor descreve a altura de plantas do
cafeeiro, ao longo do tempo, em ambos os regimes de irrigação analisados.
Nas Figuras 1 e 2 são apresentadas as alturas médias observadas e os ajustes dos
modelos, Logístico e Gompertz, nos regimes de irrigação Si e 60 kPa, respectivamente.
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Figura 1: Representação gráfica dos dados e ajuste dos modelos, Logístico e Gompertz, à
altura de plantas do cafeeiro, cultivadas na densidade de plantio 10000 plantas ha -1 e
submetidas ao regime de irrigação Si.
Figura 2: Representação gráfica dos dados e ajuste dos modelos, Logístico e Gompertz, à
altura de plantas do cafeeiro, cultivadas na densidade de plantio 10000 plantas ha -1 e
submetidas ao regime de irrigação 60 kPa.
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4 Conclusões
Em ambos os ajustes realizados, as maiores estimativas para o índice de maturidade
foram observadas nas plantas irrigadas, confirmando que a irrigação contribui para o melhor
desenvolvimento vegetativo do cafeeiro.
O modelo Gompertz é o que melhor descreve a altura de plantas do cafeeiro, cultivar
Rubi MG 1192, em ambos os regimes de irrigação analisados, Si e 60 kPa, ao longo do
tempo.
5 Referências
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Automatic Control, Boston, v. 19, n. 6, p. 716-723, 1974.
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[5] CARVALHO, C. H. M. de et al. Evolução do crescimento do cafeeiro (Coffea arábica L.)
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30, n. 2, p. 243-250, 2006.
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heterocedasticidade e resíduos autorregressivos. Ciência Rural, Santa Maria, v. 35, n. 2, p.
422-427, 2005.
[7] MENDES, A. N. G.; GUIMARÃES, R. J.; SOUZA, C. A. S. Classificação botânica,
origem e distribuição geográfica do cafeeiro. In: _______. Cafeicultura. Lavras:
UFLA/FAEPE, 2002. p. 39-99.
[8] PEREIRA, S. P. et al. Crescimento, produtividade e bienalidade do cafeeiro em função do
espaçamento de cultivo. Pesquisa Agropecuária Brasileira, Brasília, v. 46, n. 2, p. 152-160,
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[9] PIMENTEL GOMES, F. Curso de estatística experimental. 15ª Ed. Piracicaba: FEALQ,
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[10] R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: a language and environment for statistical
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<http://www.R-project.org>. Acesso em: 10 de janeiro de 2013.
[11] SÁGIO, S. A. Características fisiológicas e bioquímicas de duas cultivares de café de
ciclos de maturação precoce e tardio. 2009. 46 p. Dissertação (Mestrado em Fisiologia
Vegetal) - Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2009.
[12] SILVA, A. C. et al. Características produtivas do cafeeiro arábica irrigado por pivô
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[13] WINSOR, C. P. The Gompertz curve as a growth curve. Proceedings of the National
Academy of Science, Washington, v. 18, p. 1-17, 1932.
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