2.1.1
Princípio de Arquimedes
Princípio de Arquimedes
Na situação em que um corpo está imerso num líquido em equilíbrio estático sob ação exclusiva
da gravidade, o empuxo sobre o corpo é igual ao peso do volume do líquido deslocado pela parte
imersa do corpo.
De…nição 2.1 (Empuxo) Na situação em que um corpo está imerso num ‡uido, o empuxo é a resultante
da força exercida pelo ‡uido sobre o corpo devido a pressão. Precisamente, se o campo de pressão do ‡uido
~ então o empuxo é dado por
é p = p (r) e a parte da superfície do corpo imersa no ‡uido é S,
ZZ
E=
p (r) nd2 (r) ;
~
S
onde d é o elemento de área da superfície S~ e n é o campo de vetores unitários normal a S~ que aponta
para fora da região delimitada pelo corpo.
Proposição 2.1 (Princípio de Arquimedes Generalizado) Considere um corpo imerso num ‡uido em
equilíbrio estático, com densidade uniforme o . Suponha que o ‡uido esteja sob ação de uma densidade de
forças f = f (r) e seja R a parte imersa do corpo.
Se o campo de pressão do ‡uido na região ocupada pelo ‡uido coincide com a restrição do campo de
pressão que o ‡uido em equilíbrio estático teria na situação em que ele preenchesse o espaço ocupado pelo
corpo, então o empuxo é igual a
ZZZ
E=
f (r) d3 v (r) :
R
Em particular, se a densidade de forças é a força gravitacional, então o empuxo é igual ao peso do volume
do ‡uido deslocado pelo corpo.
Prova. Na situação de equilíbrio estático, o gradiente da pressão é igual a densidade de força de corpo:
rp =
f:
Sem perda de generalidade, podemos supor que o ‡uido está completamente imerso no ‡uido! Seja S~ a
superfície do corpo e denote por n seu campo de vetores unitários normais que aponta para fora do corpo e
considere sua decomposição em coordenadas cartesianas:
n = nx i + ny j + nz k:
Então, o empuxo é dado por:
ZZ
E =
p (r) nd2 (r)
~
S
=
i
ZZ
p (r) i nd2 (r)
j
~
S
ZZ
p (r) j nd2 (r)
k
~
S
ZZ
p (r) k nd2 (r)
~
S
Sob a hipótese de que o campo de pressão se extende para a região ocupada pelo corpo, podemos usar o
Teorema da Diveregência em cada uma das integrais de superfície:
ZZZ
ZZZ
ZZZ
3
3
E =
i
(r p (r) i) d v (r) j
(r p (r) j) d v (r) k
(r p (r) k) d3 v (r)
R
ZZZ
=
i
=
Z ZRZ
@
p (r) d3 v (r)
@x
j
ZZZ
R
@
p (r) d3 v (r)
@y
R
R
3
rp (r) d v (r)
R
=
ZZZ
k
ZZZ
f (r) d3 v (r)
R
5
R
@
p (r) d3 v (r)
@z
No caso em que f (r) =
0 g,
segue:
E =M g; M =
0
ZZZ
R
6
d3 v (r) :