CONJUNTOS NUMÉRICOS
e
TEORIA DOS NÚMEROS
NÚMEROS NATURAIS
1
“São os números que
2
usamos quando precisamos
3
contar coisas.”
4
São todos os números inteiros nãonegativos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
NÚMEROS INTEIROS
Como efetuar a subtração de 3 – 4?
Pelos Naturais é impossível!
“São todos os números que pertencem aos Naturais
acrescido dos seus respectivos opostos.”
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
1. Inteiros não Negativos (Z+):
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
2. Inteiros não Positivos (Z-):
Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
3. Inteiros não negativos e não nulos (Z*+):
Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
4. Inteiros não positivos e não nulos (Z*-):
Z*- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}
NÚMEROS RACIONAIS
Como dividir um osso para dois cachorros?
Os Inteiros não permitem
a resolver este problema!
“Para resolver isso foram criados os números
fracionários.”
Q = Z  { números fracionários }
Q = {a/b | a, b  Z e b  0}
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
1. Racionais não Negativos e não nulos (Q*+):
Q*+ = {Z*+}  {Todos os números fracionários
não negativos}
2. Racionais não Positivos e não nulos (Q*-):
Q*- = {Z*-}  {Todos os números fracionários
não Positivos}
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
3. Racionais não Negativos (R+):
Q+ = {Z+}  {Todos os números fracionários não
negativos}
4. Racionais não Positivos (Q-):
Q- = {Z-}  {Todos os números fracionários não
Positivos}
2,252
Número Racional.
Finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...
Número Racional.
Infinitos algarismos periódicos após a vírgula
(dízima periódica).
3,1415926...
Não é um número Racional.
Infinitos algarismos aleatórios após a vírgula
NÚMEROS IRRACIONAIS
Como descrever números
que não são inteiros nem
fracionários?
O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os
números que NÃO podem ser representados
por uma fração de números inteiros.
I = {Todos os números que Q não consegue descrever}
2 = 1,41421...
3
5;
8...
Raizes inexatas.
Inf. algarismos não periódicos após a vírgula.
3,1415926...
Número PI.
Supercomputadores já conseguiram calcular
bilhões de casas decimais .
2,7182818...
Número de Euler.
Como Pi, já foram calculadas bilhões de casas
decimais.
NÚMEROS REAIS
“Descreve todo o conjunto
dos números racionais e
irracionais”
R={Q}{I}
R
Números Reais
Q
Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...
Z
Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
I
Números Irracionais
3
5



2
3
e
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
“Descreve todo o conjunto
dos números reais e
números complexos”
i  1
y  xi
z
 3  4i 
2
R
Números Reais
Q
Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...
Z
Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
4i
C
Números Imaginários
I
Números Irracionais
3
5




0
0
i  1
2
3
e
3  4i
1
0
Axiomas
“Um axioma é uma sentença ou proposição que
não é provada ou demonstrada, é considerada
como óbvia, um consenso inicial necessário para a
construção ou aceitação de uma teoria!”
Axiomas para os números Reais
1. Toda e qualquer subtração, na verdade, é uma
soma, ou seja:
a – b = a + (– b)
2. Toda e qualquer divisão, na verdade, é uma
multiplicação, ou seja:
1
a
= a ÷ b = a·
b
b
( )
Axiomas para os números Reais
3. Lei de Fechamento: A soma a+b e o produto a·b de
dois números reais são únicos.
4. Lei Comutativa:
a) a + b = b + a
b) a·b = b·a
“A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”
Axiomas para os números Reais
5. Lei Comutativa:
a) a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c ) + b = a + b +c
b) (a·b)·c = a·(b·c) = b·(a·c) = a·b·c
“A ordem em adições e multiplicações sucessivas é
irrelevante!”
Axiomas para os números Reais
6. Lei Distributiva:
a) a·(b + c) = a·b + a·c
b) b·(a + c) = b·a + b·c
c) c·(a + b) = c·a + c·b
“A multiplicação é distributiva em relação a adição!”
Axiomas para os números Reais
7. Lei de Identidade:
a)
Existe apenas um número real na qual a soma dele com
outro número qualquer X é igual a X, ou seja:
X+0 = 0+X = X
b)
Existe apenas um número real na qual a multiplicação
dele com outro número qualquer x é igual a x, ou seja:
1·X = X·1 = X
Axiomas para os números Reais
8. Lei de Inverso:
a)
Para qualquer número Real X existe um Real – X, tal que:
X + (–X) = (–X) + X = 0
b)
Para qualquer número Real X ≠ 0, existe um número real
X-1 tal que:
X·(X-1) = (X-1)·X = 1
Axiomas para os números Reais
9. Lei do fator zero:
a) Para qualquer número Real X:
X·0 = 0
b) Se X e Y são dois números reais tal que X·Y = 0,
então obrigatoriamente X = 0 ou Y = 0.
Axiomas para os números Reais
10. Lei do número negativo:
a)
(–1)·a = – a
b)
(–1)·(–a) = – (–a) = a
c)
(–a)·(–b) = a·b
d)
–ab = (–a)·b = a·(–b) = – (–a)·(–b)
Axiomas para os números Reais
11. Lei dos Quocientes:
–a a
a)
=
–b b
a c
c) = se e somente se a  d = b  c
b d
a –a a
–a
b) – =
=
=–
b b –b
–b
a k a
d) =
para qualquer k  R *
b kb
Axiomas para os números Reais
12. Lei do número absoluto:
Qualquer número Real tem um número absoluto
correspondente, tal que:
Se a < 0, ou seja, o negativo de a, | – a | = a
Se a > 0, ou seja, o positivo de a, | a | = a
|–a|=|a|=a
Axiomas para os números Reais
13. Lei da ordem das operações:
“Em uma expressão, uma soma ou uma subtração
só deve ser realizada após todas as operações de
multiplicação e divisão já terem sido efetuadas, ao
menos que elas apareçam isoladas por ( ), [ ] ou { }”.