Introdução à Robótica
PROF. ANDRÉ LUÍS MARQUES MARCATO
E-mail: [email protected]
PPEE – Sala 206 – 2102 3460
Aula Número: 02
Cinemática
Posição de um Corpo Rígido
Matriz de Rotação
Composição de Matrizes de Rotação
Ângulos de Euler
Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato
Introdução
•
Manipulador: cadeia de corpos rígidos (ELOS ou LINKS) conectados
através JUNTAS (ou JOINTS) de revolução ou prismáticas.


Uma extremidade do manipulador é limitada por uma base.
Na outra extremidade é acoplado do efetuador (end-effector)
•
O movimento resultante da estrutura é obtido pelos movimentos
elementares de cada ELO (LINK) em relação ao anterior.
•
É necessário descrever a posição e orientação do efetuador (ou
ferramenta).
•
Objetivo: Derivar a equação cinemática direta (baseado em algebra
linear) e tratar o problema cinemático inverso.





Posição e orientação do efetuador como função das variáveis JUNTAS
(JOINTS)
Estruturas cinemáticas: cadeia fechada e cadeia aberta
Espaço operacional x Espaço de Juntas
Técnica de calibração dos parâmetros do manipulador cinemático
Dada a posição do orientador qual o valor das variáveis JUNTAS (JOINTS)
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Pose de Um Corpo Rígido (1)
•
Um corpo rígido é
completamente descrito no
espaço pela sua posição e
orientação (pose) em relação a
um sistema de coordenadas
(frame).
Corpo Rígido
O-xyz
frame de
referência
ortonormal
x, y, z: Vetores unitários
dos eixos do frame
 o' x 
o' o01' y 
zyx  01
 o' z 
10
Posição de Um Ponto
O’ do corpo rígido em
relação ao frame de
referência O-xyz.
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Pose de Um Corpo Rígido (2)
•
Para descrever a orientação do corpo rígido, é necessário
considerar um frame ortonormal acoplado ao mesmo e
expressar seus vetores unitários em relação ao frame de
referência.
•
Seja O’-x’y’z’ um frame com origem em O’ e x’, y’ e z’ são
os vetores unitários dos eixos deste frame.
•
Estes vetores podem ser expressos em relação ao frame de
referência O-xyz através das equações:
Os componentes de cada
vetor unitário são os
ângulos diretores dos
eixos do frame O’-x’y’z’
em relação ao frame de
referência O-xyz
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Matriz de Rotação (1)
T
 x ' x  0 
 x '   0   x '
x
 y  
 x' z  1

x' y
0 
x' z  0  x' x
1

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Matriz de Rotação (2) - Propriedades
R  x' y' z '
 x'T 
 
R T  R  y'T 
 z 'T 
 
 x' 
 
R T  R  y'T 
 z 'T 
 
 x' y' z '3 x 3
3x3
1
T
 x' x' x'T y' x'T z '
1


 y'T x' y'T y' y'T z '
1
 z 'T x' z 'T y' z 'T z '


T
 x' y' z '3 x 3
3x3
1 0 0 
R T  R  0 1 0
0 0 1 
Matriz Homogênea
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Rotações Elementares (1)
•
Considere as frames que podem ser obtidas via rotações
elementares da frame de referência em torno de um dos
seus eixos.
 Positivas: Se realizadas no sentido horário
•
Suponha que a frame de referência (O-xyz) seja
rotacionada por um ângulo a em torno de eixo z para gerar
a frame O’-x’y’z’
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Rotações Elementares (2)
x' cosa x  sena y  0z
y'   sin a x  cosa y  0z
z ' 0x  0y  1z
•
Os vetores unitários da nova
frame podem ser descritos por:
•
Logo, a matriz de rotação da frame
O’-x’y’z’ em relação a frame O-xyz
(obtida através de uma rotação em
torno do eixo z é:
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Rotações Elementares (3)
•
De maneira análoga, pode ser mostrado que as rotações
através de um ângulo b em torno do eixo y e através de um
ângulo g em torno do eixo x são respectivamente dadas por:
•
Observa-se também que:
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Representação de um Vetor (1)
•
Considere o caso no qual a origem da frame de um corpo
rígido coincide com a frame de referência
•
•
•
o’ = 0, onde 0 denota um
vetor nulo 3x1.
Em relação ao frame de
referência, um ponto P no
espaço pode ser representado
por:
Ou, em relação ao frame Ox’y’z’:
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Representação de um Vetor (2)
•
Considerando que p e p’ são representações do mesmo
ponto P, tem-se:
•
A matriz de rotação R representa a matriz de transformação
de vetor de coordenadas no frame O-x’y’z’ para o mesmo
vetor no frame O-xyz.
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Exemplo 2.1 (1)
•
•
Considere dois frames com origem comum rotacionados
entre si por um ângulo a em torno do eixo z.
Seja p e p’ os vetores de coordenadas do ponto P,
expressos nos frames O-xyz e O-x’y’z’.
•
Utilizando relações
geométricas, a relação entre
as coordenadas do ponto P
nas duas frames é:
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Exemplo 2.1. (2)
px  p  cos a  p  sin a
,
x
,
y
a
p ,y  sin a
p x,  cos a
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Exemplo 2.1. (3)
p y  px,  sin a  p,y  cos a
a
p x,  sin a
p ,y  cos a
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Exemplo 2.1. (4)
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Rotação de um Vetor
•
A matriz de rotação pode ser também interpretada como um
operador matricial que permite a rotação de um vetor por um dado
ângulo em torno de um eixo arbitrário no espaço.
•
Seja p’ um vetor no frame de referência O-xyz, o produto Rp’ produz
um vetor p com o mesmo módulo mas rotacionado em relação a p’
de acordo com a matriz R.
•
A igualdade do módulo dos dois vetores pode ser provada
pT  p  p' T p'
observando que pTp = p’TRTRp’.

RR  p' R Rp'  RR I
Módulo ou Norma deTum vetor:
T
T
1 T
a  x2  y 2  z 2
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Exemplo 2.2. (1)
•
Considere o vetor p que é obtido pela rotação do vetor p’ no
plano xy em torno de um ângulo a sobre o eixo z do frame
de referência.
•
•
Seja (p’x, p’y, p’z) as coordenadas do vetor p’.
O vetor p tem as seguintes componentes:
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Exemplo 2.2. (2)
p  px  cos b  p y  sin b
p y  sin b
px  cos b
b
b
90b
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Exemplo 2.2. (3)
p'  p' x  cosb  a   p y  sin b  a 
p' y sin b  a 
p' x cosb  a 
ba
ba
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Exemplo 2.2. (4)
p  p'
px  cosb  py  sin b  p'x  cosb  a   p' y  sinb  a 
p'x cosb  cosa  sin a  sin b  p' y sin b  cosa  sin a  cosb 



cosb  p'x  cosa  p' y  sin a  sin b  p'x  sin a  p' y  cosa

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Resumo: Propriedades Matriz Rotação
•
•
•
Descreve a orientação mútua entre dois frames
coordenados. Seus vetores coluna são os ângulos diretores
dos eixos do frame rotacionado em relação ao frame
original.
Representa a transformação de coordenadas entre um
ponto expresso em dois frames distintos (com origem
comum).
É o operador que permite a rotação de um vetor no mesmo
frame.