Introdução à Robótica
PROF. ANDRÉ LUÍS MARQUES MARCATO
E-mail: [email protected]
PPEE – Sala 206 – 2102 3460
Apresentação Número: 04
Cinemática
Cinemática Direta
Convenção de Denavit-Hartenberg
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Cinemática Direta (1)
•
Um manipulador é composto por uma série de corpos
rígidos (elos ou links) conectados através de pares
cinemáticos (juntas ou joints).
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Cinemática Direta (2)
•
•
•
A estrutura mecânica do manipulador é caracterizada por
um número de graus de liberdade (degrees of freedom –
DOFs) que determinam unicamente sua postura.
Cada DOF é tipicamente associado a uma articulação e
constitui uma variável junta.
A idéia da cinemática direta é calcular o posicionamento
completo do efetuador-final (ferramenta ou garra) como uma
função de todas as variáveis junta.
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Representação Convencional das Juntas
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Exemplos de Juntas Industriais (1)
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Exemplos de Juntas Industriais (2)
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Descrição da Posição e Orientação da
Ferramenta
ne, se, ae são os vetores
unitários do frame anexado
à ferramenta.
FRAME
Base
Ob-xbybzb
Teb é matriz de transformação
unitária do end-effector em
relação à base.
FRAME
End-Effector
Oe-xeyeze
pe é o vetor posição da origem do
frame anexado à ferramenta em
relação a origem do frame de
referência.
q é o vetor (n x 1) das
variáveis junta.
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Convenção para Direcionamento do Oe
•
Se a ferramenta for uma garra:
 a origem de Oe será no centro da garra
 o vetor unitário ae será escolhido na direção do objeto de
abordagem
 o vetor unitário se é escolhido normal ao ae no plano das garras
deslizantes
 o vetor unitário ne é escolhido normal aos outros dois (de forma que
o frame Oe-xeyeze seja right-handed
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Cinemática Direta (3)
•
O primeiro passo para a realização da análise da cinemática
direta de um manipulador é observar a sua estrutura.
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Exemplo 2.4. (Braço Planar de Dois Elos)
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Cadeia Aberta (1)
•
•
•
•
Considere um manipulador em cadeia cinemática aberta,
constituído por n+1 elos (links) conectados por n juntas
(joints).
O elo 0 é normalmente fixo (base).
Será assumido que cada junta provê a estrutura mecânica
com um grau de liberdade (correspondente à variável junta).
Devem ser consideradas as relações cinemáticas entre
cada conjunto de elos (links) consecutivos.
 Deve ser definido o sistema de coordenada anexado em cada link (0
até n).
 Então, a transformação de coordenadas descrevendo a posição e
orientação do frame n em relação ao frame 0 é dada por:
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Cadeia Aberta (2)
Li-1
J2
L1
L0 ou
Base
J1
Ji
Li
Ji+1
Ln
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Cadeia Cinemática Aberta (3)
•
•
O cálculo da cadeia cinemática aberta é recursivo
Este cálculo é implementado pelo produto simples das
matrizes de transformação homogêneas, onde cada uma
delas função de uma única variável junta.
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Convenção de Denavit-Hartenberg
•
•
Para calcular a equação cinemática direta para um
manipulador em cadeia aberta, um método geral deve ser
derivado para definir a posição e orientação de dois links
consecutivos.
O OBJETIVO É DETERMINAR DOIS FRAMES ANEXADOS
A DOIS ELOS (LINKS) E CALCULAR A
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ENTRE ELES
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Convenção de Denavit-Hartenberg
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Eixo da JUNTA
conectando o ELO (i)
com o ELO (i-1)
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Passo 1: Escolha o eixo
zi como sendo o eixo da
junta (i+1)
Passo 2: Localize a
origem Oi na interseção
do eixo zi com a normal
comum entre os eixos
zi e zi-1. Localize
também a origem Oi’
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Convenção de Denavit-Hartenberg
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Definições não-únicas para o frame do elo
•
CASO 1: para o frame 0, somente a direção do eixo z0 é especificada;
logo O0 e x0 podem ser arbitrariamente escolhidos.
•
CASO 2: Para o frame n, considerando que não existe a junta n+1, zn
não é unicamente definido enquanto que xn deve ser normal ao eixo zn-1.
Tipicamente, a junta n é de revolução o que faz com que o eixo zn esteja
na mesma direção que zn-1.
•
CASO 3: Quando dois eixos consecutivos são paralelos. A normal
comum entre eles não é unicamente definida
•
CASO 4: Quando dois eixos consecutivos se cruzam, a direção de xi é
arbitrária
•
CASO 5: Quando a junta i é prismática, a direção de zi-1 é arbitrária.
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Parâmetros de Denavit-Hartenberg
•
•
•
•
ai Distância entre Oi e Oi’
di Coordenada de Oi’ ao longo de zi-1
ai Ângulo entre os eixos zi e zi-1 sobre o eixo xi considerado
positivo no sentido horário
Ji Ângulo entre os eixos xi-1 e xi sobre o eixo zi-1
considerado positivo no sentido horário
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Sempre Constantes:
Dependem da
Geometria do
Manipulador
Varia se a junta for
prismática
Varia se a junta for de
revolução
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Passo 1:
 Escolha o frame (i-1)
 Translade o frame
escolhido ao longo do eixo zi1
 Rotacione o frame
escolhido por Ji em torno do
eixo zi-1
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Passo 2:
 Translade o frame alinhado
com i’ por ai ao longo do eixo
xi’
 Rotacione o frame
escolhido por ai em torno do
eixo xi’
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Observe que a transformação do frame i para o frame i-1 é função
somente da variável qi.
1. qi é igual a Ji se a junta for de revolução
2. qi é igual a di se a junta for prismática
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1. Encontre e enumere consecutivamente os eixos das juntas;
Defina as direções dos eixos z0, ..., zn-1
2. Escolha o frame 0, através da localização da origem sobre o
eixo z0 e localização dos eixos x0 e y0 “right-handed”. Se
possível, escolha o frame 0 coincidente com o frame base.
3. Execute os sub-passos 1, 2, 3 para os frames i=1,..., n-1
1. Normal comum entre zi e zi-1, Oi.
 Se zi e zi-1 são paralelos e a junta i é de revolução: Posicione Oi
de forma que di seja 0.
 Se a junta i é prismática, posicione Oi no limite mecânico.
2. Escolha xi ao longo da normal comum, direção junta i para junta i+1
3. Escolha yi “right-handed”
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Convenção de Denavit-Hartenberg
Para Finalizar
4. Escolha o frame n



Se a junta n for de revolução, alinhe zn e zn-1
Se a junta n for prismática, escolha zn arbitrariamente
xn e yn podem ser escolhidos de acordo com passo 3
5.
6.
Para i = 1, ..., n, construa uma tabela com os parâmetros ai, di, ai, Ji
Baseado nos parâmetros definidos em 5, construa as matrizes de
transformação homogênea:
7.
Calcule a transformação homogênea entre o frame n e o frame 0
8.
Dado T0b e Ten, calcule a transformação homogênea entre a ferramenta
e a base.
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Braço Triplo Planar
Frame 3
Frame 2
Junta 3
Frame 1
Frame 0
Junta 2
Link 0
Junta 1
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Braço Triplo Planar
•
•
•
Considerando que todos os eixos de revolução são
paralelos, a escolha mais simples para a direção de todos
os eixos xi ao longo da direção dos links (x0 foi escolhido
arbitrariamente). Todos eles no plano (x0,y0).
Todos os parâmetros di são nulos e os ângulos entre os
eixos xi, resultam diretamente nas variáveis junta.
Os parâmetros DH são:
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Braço Triplo Planar
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Braço Triplo Planar