Rolamento
Torque
Momentum angular
ROLAMENTO, TORQUE E
MOMENTUM ANGULAR
Fı́sica Geral I (1108030) - Capı́tulo 08
I. Paulino*
*UAF/CCT/UFCG - Brasil
2012.2
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Sumário
Rolamento
Rolamento como rotação e translação combinados e como uma rotação pura
Energia cinética de rolamento e forças do rolamento
Torque
Torque revisado
Momentum angular
Momentum angular, 2a Lei de Newton na forma angular,
Momentum angular de um sistema de partı́culas e de um corpo rı́gido
Conservação do momentum angular
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Rolamento como rotação e translação combinados
Rolamento
Pode-se definir o rolamento, como o movimento que um roda faz ao se deslocar. Por
exemplo, uma roda de bicicleta. Este movimento pode ser entendido do ponto de
vista fı́sico de duas formas: (1) Como uma combinação do movimento de translação e
rotação da roda ou (2) apenas como o movimento de rotação pura.
O movimento de rolamento pode ser observado de duas maneiras diferentes. No caso
da roda deslizando suavemente, o centro da roda descreve um movimento uniforme,
enquanto que um ponto na periferia da roda, descreverá um movimento mais
complexo como pode ser visto na Figura abaixo:
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Rolamento como rotação e translação combinados
Imagine o movimento de uma roda de bicicleta que rola
suavemente sem deslizar conforme ilustra a figura ao
lado.
O centro de massa O da roda se move para frente com
velocidade de constante de módulo vcm que permanece
sempre a mesma distância do ponto P, que é o ponto
de contato da roda com o solo, em relação à vertical.
Durante um intervalo de tempo ∆t um observado
afastado da bicicleta vê o os pontos P e O se moverem
para frente a uma distância s. Já o ciclista, olhando
para o pneu, vê a roda girar um ângulo θ em torno do
eixo da roda.
O comprimento de arco s está relacionado com o
ângulo θ pela seguinte expressão:
s = Rθ
em que R é o raio da roda. O módulo velocidade linear
do centro de massa é dada por:
vcm =
d
ds
=
θR = ωR.
dt
dt
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Rolamento como rotação e translação combinados
Na figura acima pode ser visto que o movimento de rolamento (c) pode ser
entendido como a soma do movimento de rotação pura (a) com o
movimento de translação pura (b) da roda
A figura ao lado mostra mostra a fotografia de uma roda de bicicleta
rolando. Esta imagem comprova o que foi explicado acima porque os raios
próximos a superfı́cie estão nı́tidos enquanto que os raios da parte superior
estão borrados.
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Rolamento como rotação pura
O rolamento também pode ser enxergado como uma
rotação pura em torno do ponto P A figura ao lado
mostra a distribuição dos vetores velocidades em
diversos pontos da roda.
A velocidade angular do movimento em relação à esse
novo eixo de rotação visto por um observador
estacionário é exatamente igual a velocidade angular
que o ciclista atribui a roda quando observa o
movimento de rotação pura.
Desta maneira, o módulo da velocidade no ponto mais
alto da roda, será:
valto = ω2R = 2ωR = 2vcm ,
que concorda com o que foi discutido para o caso do
rolamento como combinação da rotação e da
translação.
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Energia cinética de rolamento
Para calcular a energia cinética da roda em
movimento por um observador estacionário,
Combinando essas duas equações, tem-se:
considere o rolamento como o caso da rotação
pura em torno do ponto P. A energia cinética é
1
1
K = Icm ω 2 + MR 2 ω 2
dada por:
2
2
K =
1
IP ω 2 ,
2
1
1
2
K = Icm ω 2 + Mvcm
.
no qual, ω é o módulo da velocidade angular da
2
2
roda e IP é o momentum de inércia em relação
ao eixo que passa por P.
Um objeto rolando possui dois tipos de energia
Do teorema do eixo paralelo tem-se que
cinética: Um termo devido a rotação em torno
do seu centro de massa e outro devido ao
IP = Icm + MR 2 ,
movimento de translação do seu centro de
na qual M é a massa da roda, Icm é o
massa.
momentum de inércia para o eixo que passa
pelo centro de massa da roda de raio R.
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Forças do rolamento
Se uma roda rola com velocidade constante, nenhuma força atua sobre ela e
não existe força de atrito que se oponha ao movimento. Entretanto, se uma
força resultante atuar sobre a roda para aumentar ou diminuir sua velocidade,
então, a força resultante provoca uma aceleração do centro de massa. Ela
também faz a roda gira mais rapidamente ou mais lentamente, o que significa
que que ela provoca uma aceleração angular α em torno do centro de massa.
Essas acelerações tendem fazer a roda deslizar em torno do ponto P. Assim,
uma força de atrito surge para se opor essa tendência.
Se a roda não deslizar, a força de atrito será uma força de atrito estática fs e o
movimento de rolamento será suave. A aceleração linear do centro de massa
neste caso será:
acm = αR .
Se a roda deslizar quando a força resultante atuar sobre ela, a força de atrito é
dita cinética fk e o rolamento não é suave. Neste curso serão estudados apenas
rolamentos suaves.
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Rolamento numa rampa
A figura ao lado mostra um corpo uniforme
redondo de massa M e raio R rolando
suavemente para baixo numa rampa inclinada
de ângulo θ ao longo do eixo x. Escrevendo a
componente x da segunda lei de Newton,
tem-se
fs − Mg sin θ = Macm .
Usando a segunda lei de Newton para sua
forma angular fica
Icm α = Rfs .
Agora α =
a
− cm,x
fs
, logo
fs = −Icm
acm,x
.
R2
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Rolamento numa rampa
Substituindo a última expressão do slide anterior na segunda lei de Newton
para as variáveis lineares, tem-se
g sin θ
1 + Icm /MR 2
que é a equação que pode ser utilizada para calcular a aceleração linear do
centro de massa de qualquer corpo que esteja rolando sobre um plano inclinado
de ângulo θ.
acm,x = −
Para um ioiô que desliza verticalmente num cordão a expressão para a
aceleração linear do centro de massa pode ser calculada analogamente por (ver
figura ao lado):
acm = −
g
,
1 + Icm /MR02
em que Icm é a inércia à rotação do ioiô em torno do seu centro e M é a sua
massa.
IOIÔ
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Torque
O torque pode ser escrito de uma forma mais ampla, por exemplo
para qualquer partı́cula descrevendo qualquer trajetória e não
apenas para o movimento circular como havı́amos discutido no
capı́tulo anterior. A Figura acima ilustra essa forma mais geral que
pode ser escrita matematicamente por:
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Torque
~ .
~τ = ~r × F
A direção e o sentido do vetor torque pode ser dada pela regra da
mão direita e sua intensidade é definida por
τ = rF sin φ ,
~ . Isto implica, que
neste caso, φ é o ângulo entre os vetores ~r e F
apenas a componente perpendicular à força aplicada contribui para
o torque, logo, o módulo do torque também pode ser expresso por:
τ = r ⊥F ,
ou
τ = rF ⊥.
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Momentum angular
Da mesma forma que a quantidade de movimento linear e o princı́pio de conservação
do momentum linear foram importantes para os movimentos de translação. Existe
uma grandeza fı́sica equivalente na rotação chamada de momentum angular. O
momentum angular é uma grandeza vetorial definida por:
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Momentum angular
~` = ~r × ~p = m(~r × ~v ) .
neste caso, ~r é o vetor posição da partı́cula em relação ao ponto O que é
ilustrado na figura do slide anterior.
A intensidade do vetor momentum angular é dado por:
` = rmv sin φ ,
em que φ é o ângulo entre ~r e ~p . A direção e o sentido do vetor ~l é dada pela
regra da mão direita.
Da mesma maneira que o torque, o módulo do momentum angular pode ser
calculado por
` = r ⊥mv ,
ou
` = rmv ⊥ .
MOMENTUM ANGULAR
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Rolamento
Torque
Momentum angular
2a lei de Newton na forma angular
Para demonstrar a expressão para a
segunda lei de Newton na forma
angular, parte-se da definição de
momentum angular, ou seja,
~` = m(~r × ~v ) ,
derivando com relação ao tempo
tem-se
d~v
d~r
d ~`
= m ~r ×
+
× ~v
dt
dt
dt
agora,
d~v
dt
= ~a e
d~r
dt
= ~v .
Portanto,
d ~`
= m (~r × ~a + ~v × ~v )
dt
mas, ~v × ~v = 0, logo
d ~`
= (~r × m~a)
dt
Por fim, pode-se escrever
d ~`
~ = ~τ ,
= ~r × F
dt
que é a segunda lei Newton
considerando movimento de rotação
e em função do momentum angular.
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Momentum angular de um sistema de partı́culas
Se for necessário calcular o momentum angular
devido a um sistema de partı́culas, utiliza-se o
princı́pio da superposição, ou seja:
~L = `~1 + `~2 + `~3 + · · · + `~n =
n
X
`~i ,
i=1
o ı́ndice “i” identifica as partı́culas.
A variação temporal do momentum angular
total do sistema devido à mudanças do
momentum angular de um ou mais partı́culas
pode ser escrito por:
neste caso, τres,i
~ é o torque resultante que age
sobre a i-ésima partı́cula.
Então, a variação temporal do momentum
angular é igual a somas dos torques que atuam
sobre as partı́culas que compõe o sistema.
Porém, torques internos são compensados e
apenas torque devido à forças externas são
capazes de modificar o momentum angular do
sistema, desta forma pode-se se escrever:
n
X d `~i
d ~L
=
.
dt
dt
i=1
Utilizando a segunda lei de Newton na forma
angular, tem-se
d ~L
=
dt
n
X
i=1
τres,i
~ ,
τ~res =
d ~L
,
dt
isto é:
O torque externo atuando sobre um sistema
de partı́culas é igual à taxa de variação do
momentum angular total do sistema.
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Momentum angular de um corpo rı́gido
Para o esquema da figura ao lado, o
corpo rı́gido gira com velocidade
angular ω constante em torno de um
eixo fixo. O módulo do momentum
linear do elemento de massa ∆mi
pode ser calculado por:
`i = ri pi sin α = ri pi sin
π
2
`i = ri pi = ri ∆mi vi
É de interesse, para este caso apenas
a componente z, logo
`iz = `i sin θ = ri sin θ∆mi vi .
`iz = r⊥i ∆mi vi .
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Momentum angular de um corpo rı́gido
Somando para todos os elementos
de massa ∆mi , tem-se
Lz =
n
X
`iz =
i=1
Lz =
n
X
∆mi vi r⊥i
i=1
n
X
2
∆mi ωi r⊥i
,
i=1
mas I =
n
X
2
∆mi r⊥i
, então
i=1
L = Iω .
L é o módulo do momentum angular
em torno do eixo fixo z e I é o
momentum de inércia do sistema
calculando em torno deste mesmo
eixo.
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Conservação do momentum angular
Se o torque externo que atua sobre um
sistema for nulo, da segunda lei de
Newton, tem-se:
d ~L
τ~res =
=0,
dt
logo
Se o torque resultante que atua sobre
um sistema for nulo, o momentum
angular do sistema ~L permanece
constante e não importa as mudanças
que ocorrem dentro do sistema.
~L = constante ⇒
~Li = ~Lf .
isto implica que o sistema está isolado, ou
seja, nenhuma força externa atua sobre o
mesmo. Este o o princı́pio de conservação
do momentum angular que ainda pode ser
escrito da seguinte forma:
O momentum angular é uma grandeza
vetorial. Porém, se o torque resultante em
uma das componentes do sistema for nula,
o momentum angular desse se conservar
naquela direção.
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Conservação do momentum angular
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
EXEMPLO 3
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Rolamento
Torque
Momentum angular
Exercı́cios
LIVRO: Fundamentos de Fı́sica
AUTORES: Halliday e Resnick
8a Edição. Volume 1 - Mecânica
CAPÍTULO 11 - ROLAMENTO, TORQUE E
MOMENTUM ANGULAR - Pág. 318-324.
Problemas
06, 08, 22, 24, 30, 35, 41, 55, 59, 66.
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